Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Transkriptio

1 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on ? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen mukaan n ensimmäisen parittoman kokonaisluvun summa on n (Tämän voi todistaa myös induktiolla) Siis 7 99 Lukujen summa on sama molemmilla riveillä Mikä luku on *:n paikalla? * A) 00 B) 00 C) 90 D) 990 E) 00 Ratkaisu: Ensimmäisissä kymmenessä sarakkeessa alempi luku on ylempää 0 yksikköä suurempi Jotta summa olisi sama, täytyy viimeisen olla yksikköä pienempi kuin ylempi luku eli 90 Kahden tyhjän kuution pohjien alat ovat dm ja 4 dm Erkki haluaa täyttää suuremman kuution lähdevedellä, jota hän hakee pienemmällä kuutiolla Kuinka monta kertaa hänen täytyy käydä lähteellä? A) kertaa B) 4 kertaa C) 6 kertaa D) 8 kertaa E) 6 kertaa Ratkaisu: Suuren kuution pohjan ala on nelinkertainen, joten sen sivu on 4 -kertainen Siis tilavuus on 8-kertainen 4 Kuinka moni viidellä jaollinen nelinumeroinen luku koostuu vain parittomista numeroista? A) 900 B) 65 C) 50 D) 5 E) 00 Ratkaisu: Viidellä jaollisen luvun viimeinen numero on 5 tai 0, joista vain edellinen on pariton Viimeinen numero on siis 5 Loput numeroa voidaan valita vapaasti viidestä parittomasta numerosta, joten vaihtoehtoja on

2 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / 5 Yrityksen toimitusjohtaja sanoi: Jokainen yrityksemme työntekijöistä on ainakin 5 vuotta vanha Myöhemmin kävi ilmi, ettei tämä ollut totta Siis väistämättä A) kaikki yrityksen työntekijät ovat täsmälleen 5-vuotiaita B) kaikki yrityksen työntekijät ovat yli 6-vuotiaita C) kukaan yrityksen työntekijä ei ole vielä 5-vuotias D) joku yrityksen työntekijä on alle 5-vuotias E) joku yrityksen työntekijä on tasan 6-vuotias Ratkaisu: Oikea vastaus on D Formaalisti: : x 5 x : x 5 x : x 5 x 6 Laatikossa on kuvan mukaisesti seitsemän palikkaa Kuinka monta palikkaa täytyy vähintään siirtää liu uttamalla, jotta laatikkoon mahtuisi yksi palikka lisää? A) B) C) 4 D) 5 E) se on mahdotonta Ratkaisu: Kuvan mukaisesti 7 Kuvan kolmion ABC kulma C on suora ja A 60 BMC A) 05 B) 08 C) 0 D) 0 E) 5 Ratkaisu: Tapa Piirretään janalle BC normaali PM Kolmiot BPM ja BCA ovat yhdenmuotoisia (kk), joten P puolittaa janan BC Kolmio BMC on siis tasakylkinen Siis MC = MB = MA, joten kolmio AMC on tasasivuinen Siis kulma CMA 60, joten BMC Tapa Koska kolmio on suorakulmainen, sen hypotenuusa on kolmion ympäri piirretyn ympyrän halkaisija Siis MC = MB = MA, koska ne ovat ympyrän säteitä Siis kolmio AMC on tasasivuinen, joten kulma CMA 60, ja BMC

3 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / 8 Mikä seuraavista luvuista voisi olla suorakulmaisen särmiön särmien lukumäärä? A) 00 B) 00 C) 008 D) 009 E) 00 Ratkaisu: Olkoon pohjana toimivassa monikulmiossa n kärkeä, jolloin siinä on myös n sivua Kannessa on siis myös n sivua ja n kärkeä Pohjan ja kannen kärkiä yhdistämään tarvitaan n särmää Yhteensä särmiä on siis n Ainoa kolmella jaollinen luku yllä on 00 9 Kuinka monta kaksinumeroista kokonaislukua on olemassa, joiden ensimmäiselle numerolle x ja toiselle numerolle y pätee x y 0? A) B) C) 6 D) E) ei yhtään Ratkaisu: Koska x 0 ja 0 y, yhtälöllä on vain yksi ratkaisu: x ja y 0 Kuvan neliön sivu on Puoliympyröiden keskipisteet ovat neliön kärjissä ja ne kulkevat kaikki neliön keskipisteen kautta Tummennettujen ympyröiden keskipisteet ovat neliön sivuilla ja ne sivuavat puoliympyröitä Kuinka suuri tummennettu ala on yhteensä? A) 4 B) C) 4 D) E) 4 Ratkaisu: Koska neliön sivu on, sen lävistäjä on ja puoliympyröiden säde siis Tummennettujen ympyröiden säde on puoliympyrän säteen ja neliön sivun puolikkaan erotus, eli Ympyröiden kokonaisala on siis pistettä Luvut 7, 7 ja 6 7 ovat geometrisen lukujonon peräkkäisiä jäseniä Mikä on jonon seuraava jäsen? A) 9 7 B) 7 C) 5 7 D) 0 7 E) Ratkaisu: Jonon suhdeluku on 7 7 Seuraava jäsen on siis

4 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu 4 / Kuvassa on kaksi samankeskistä ympyrää Jänne AB on pienemmän ympyrän tangentti Laske tummennetun alueen ala, kun AB = 6 A) B) 6 C) 64 D) E) riippuu ympyröiden säteistä Ratkaisu: Olkoon pienen ympyrän säde r ja suuren R Tummennetun alueen A R r R r Toisaalta ala on ympyröiden alojen erotus: AB Pythagoraan lauseen mukaan R r 8 64 Ala on siis 64 Kokonaisluvuille x ja y pätee x = 5y Mikä seuraavista luvuista voi olla summan x + y arvo? A) 0 B) 00 C) 009 D) 008 E) 007 Ratkaisu: Koska luvuilla ja 5 ei ole yhteisiä tekijöitä, täytyy luvun olla y:n tekijä ja luvun 5 olla x:n tekijä Siis x 5k ja y m Toisaalta 5k 5 m, eli m = k Summa on siis muotoa 5k k 7k Annetuista vaihtoehdoista ainoa seitsemällä jaollinen on Iso tasasivuinen kolmio koostuu tasasivuisista pikkukolmioista, joiden jokaisen pinta-ala on cm Mikä on varjostetun kolmion pinta-ala? A) cm B) cm C) cm D) 4 cm E) 5 cm Ratkaisu: Kolmion kukin sivun on eri suunnikkaan lävistäjä, kuten kuvaan on merkitty Kukin sivu puolittaa yhden suunnikkaista, joten kolmion ala on 6 4 puolet suunnikkaiden kokonaisalasta eli pienen kolmion alaa 5 Pussissa on kolmen värisiä palloja: sinisiä, vihreitä ja punaisia, jokaista väriä ainakin yksi pallo Tiedämme, että pussista satunnaisesti poimituista viidestä pallosta ainakin on punaisia ja ainakin on keskenään samaa väriä Kuinka monta sinistä palloa pussissa on? A) B) C) D) 4 E) mahdotonta selvittää ilman lisätietoja Ratkaisu: Koska punaisia palloja on jokaisessa viiden joukossa ainakin, muita värejä on korkeintaan palloa Koska jokaista väriä on ainakin pallo, sinisiä tai vihreitä ei voi olla palloa samaa väriä Koska jokaisessa viiden ryhmässä on ainakin samaa väriä, tämän värin täytyy olla punainen Sinisiä ja vihreitä on siis yhteensä korkeintaan palloa eli kumpaakin yksi Punaisia palloja voi olla kuinka paljon tahansa, kuitenkin ainakin

5 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu 5 / 6 Noppaa heitetään kolme kertaa Jos kolmannella heitolla saatu luku on kahden edellisen heiton summa, millä todennäköisyydellä luku on esiintynyt sarjassa? A) 6 B) 9 6 C) D) 8 5 E) 7 Ratkaisu: Jokainen sarja on yhtä todennäköinen Ehdot täyttäviä sarjoja ovat,, 4, 45, 56,, 4, 5, 46, 4, 5, 6, 45, 46 ja 56, yhteensä 5 kappaletta Näistä luku esiintyy kahdeksassa 7 Kolmion kannan suuntaiset janat jakavat kolmion kyljet 0:een yhtä pitkään osaan Kuinka monta prosenttia kolmion pinta-alasta on väritetty harmaaksi? A) 4,5% B) 45% C) 46% D) 47,5% E) 50% Ratkaisu: Ylin harmaa kolmio on alkuperäisen kanssa yhdenmuotoinen ja mittakaavaltaan kymmenesosa, siis alaltaan 0, % koko kolmiosta Seuraavan harmaan raidan ala voidaan laskea kahden kolmion alan erotuksena: se on 0, 0, 9% 4% koko kolmion alasta Vastaavasti harmaiden alueiden kokonaisala on 0, 0, 0, 0,5 0, 4 0,7 0,6 0,9 0,8 9% 4% 5% 6% 49% 6% 8% 64% 45% % 8 Jokainen tähti lausekkeessa ***4*5*6*7*8*9*0 korvataan joko merkillä tai Olkoon N suurin mahdollinen tällä tavoin saatu luku Luvun N suurin alkutekijä on A) B) C) 5 D) 7 E) jokin muu luku Ratkaisu: Luku on suurin, kun ensimmäinen merkki on + ja seuraavat kertomerkkejä Tällöin N ei voi olla jaollinen millään luvuista 0, sillä näillä luvuilla jaettaessa jakojäännös on 9 Kolmion sivujen pituudet ovat luonnolliset luvut, x ja y Mikä on kolmion piiri, jos xy 05? A) 5 B) 9 C) 5 D)69 E) 9 Ratkaisu: Jaetaan luku 05 tekijöihinsä: Näistä saadaan sivujen mahdollisiksi pituuksiksi ja 05, ja 5, 5 ja sekä 7 ja 5 Jotta sivuista muodostuisi kolmio, täytyy pisimmän sivun olla lyhyempi kuin kahden lyhyemmän summa Tällaiset sivut ovat vain 7 ja 5 Summa on siis 7 5 5

6 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu 6 / 0 Luonnolliset luvut yhdestä kymmeneen kirjoitetaan taululle kukin 0 kertaa Luokan oppilaat pelaavat seuraavaa peliä: Kukin saa vuorollaan poistaa kaksi lukua ja kirjoittaa taululle luvun, joka on yhden pyyhittyjen lukujen summaa pienempi Peli jatkuu kunnes vain yksi luku on jäljellä Mikä se on? A) alle 440 B) 45 C) 460 D) 488 E) yli 500 Ratkaisu: Lukujen summa alussa on Aina kun kaksi lukua korvataan yhdellä, kokonaissumma vähenee yhdellä 99 poiston jälkeen summa on siis pistettä Kuinka monta suorakulmaista kolmiota voidaan muodostaa tietyn säännöllisen 4-kulmion kärkiä yhdistämällä? A) 4 B) 84 C) 88 D) 98 E) 68 Ratkaisu: Säännöllisen monikulmion ympäri voidaan piirtää ympyrä Muodostuvan suorakulmaisen kolmion kärjet ovat siis tällä samalla ympyrällä Kehäkulmalauseen mukaan kolmion hypotenuusan täytyy olla ympyrän halkaisija (sillä suoraa kehäkulmaa vastaava keskuskulma on oikokulma) Kolmiota piirrettäessä tulee siis ensin valita hypotenuusan päätepisteiksi pisteet, jotka ovat vastakkaisilla puolilla 4-kulmiota Tämä voidaan tehdä 7 tavalla Kolmas piste voi olla mikä tahansa jäljellä olevista pisteistä (kehäkulmalauseen nojalla muodostuva kulma on aina suora) Näitä pisteitä on Kolmioita on siis henkilöä osallistui juoksukilpailuun, ja kaikki tulivat eri aikaan maaliin Jokaiselta kysyttiin, miten he sijoittuivat ja jokainen vastasi luvun väliltä 00 Vastausten summa oli 4000 Mikä on pienin mahdollinen määrä vääriä vastauksia? A) 9 B) 0 C) D) E) Ratkaisu: Jos vastaukset olisivat oikeita, summa olisi Vastaukset ovat siis keskimäärin liian pieniä Tämä 050 sijan vajaus saavutetaan pienimmällä mahdollisella virheiden määrällä, kun kaikki kilpailijat viimeisestä n viimeiseen kilpailijaan vastaavat tulleensa n ensimmäiseksi Tällöin vajaus on n n 050 Tästä ratkaistuna n 99n 00 0 n n, Ilman laskinta on kätevintä päätellä, että jos n = 0, saadaan Koska = 05, tarvitaan vielä lisää huijareita Seuraava sijaluvun sanonut on voinut olla 89 sijaa alempana = 6, eli joukkoon kuuluu vielä vähintään yksi huijari Väärin vastanneita on siis vähintään

7 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu 7 / Mikä on lausekkeen arvo, kun tiedetään, että? A) B) C) 048 D) 4096 E) Ratkaisu: Muokataan osoittajan sulkulauseketta vihjeen mukaisesti kertomalla se ykkösellä (muodossa ) ja hyödyntämällä muistikaavoja = = Tulos on siis Mikä seuraavista on yhtälön x x y y 4 kuvaaja? x, kun x 0 Ratkaisu: Itseisarvon määritelmä: x x kun x 0 Tason neljänneksessä x 0 ja y 0, jolloin yhtälö saa muodon 0 4, ei kuvaajan pisteitä siellä Tason neljänneksessä x 0 ja y 0; yhtälö saa muodon 4x 4 eli x Kuvaaja on pystysuora suora Tason neljänneksessä x 0 ja y 0 ; yhtälö saa muodon x y Kuvaaja on yksikköympyrän kaari Tason 4 neljänneksessä x 0 ja y 0 ; yhtälö saa muodon 4y 4 eli y Kuvaaja on vaakasuora suora Oikea vastaus on siis A (Huom koordinaattiakselit on käsitelty neljännesten ja yhteydessä)

8 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu 8 / 5 Nauha on taitettu kolmasti kuvan mukaisesti Laske kulma, kun 70 A) 40 B) 0 C) 0 D) 0 E) 00 Ratkaisu: ensimmäisen taitoksen jälkeen on syntynyt seuraavia kulmia, missä 80 (Kulmat ovat yhtäsuuria, koska ne syntyvät yhdensuuntaisten suorien leikatessa) Toisen taitoksen jälkeen kulma siirtyy kolmion sisään kuvan mukaisesti Samankohtainen kulma löytyy alempaa, kärkenään A Suoran AB vasemmalle puolelle jää oikokulma, joka koostuu osista 80 Siis 80 Nyt tarkastellaan pystyyn piirretyn katkoviivan vasemmalle puolelle jäävää oikokulmaa: eli

9 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu 9 / 6 Funktio f on määritelty positiivisten reaalilukujen joukossa ja jokaiselle x > 0 pätee 00 f x f 5x x Laske f 6 A) 99 B) C) 009 D) 0 E) 9 00 Ratkaisu: Sijoitetaan muuttujan x paikalle luvut 6 ja 5 Saadaan yhtälöpari: 6 00 f 6 f 56 6 f 6 f 5 0 f f 6 f f 5 f 55 f Lattialaatoitus koostuu kahden kokoisista neliöistä kuvan mukaisesti Suurempien laattojen sivu on a, pienempien b Kuvan katkoviivojen välinen kulma on 0 Selvitä suhde a : b A) : B) : C) D) : E) : Ratkaisu: : Tarkastellaan kuvan mukaista suorakulmaista kolmiota ABC Sen hypotenuusa on AC a b (huomaa toinen suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat a ja b) Jana CD pituus on a b Koska AB on pikkuneliön halkaisijan suuntainen, se on 45 kulmassa neliön sivuihin Siis a b BD BC x

10 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu 0 / Koska katkoviivojen välinen kulma on 0, a b x sin 0 a b a b a 4ab b 0 AC a b Kun viimeinen yhtälö jaetaan puolittain luvulla b, saadaan a a 4 0 Merkitään kysyttyä suhdetta a t, jolloin saadaan b b b t 4t t Koska a > b, oikea vastaus saadaan plusmerkillä ja siis a: b : 8 Neliöjuurilauseke 0,444 kirjoitetaan päättymättömänä desimaalilukuna 00kpl Mikä on 00 numero desimaalipilkun jälkeen? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 Luku 4 0, 4, joten kysytylle neliöjuurilausekkeelle pätee 9 0,444 = kpl 9 Koska , niin ,666 0,444 0,6, 00 00kpl joten 00 desimaali on 6

11 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / 9 Kuvan viivakoodissa on vuorotellen mustia ja valkoisia raitoja Viivakoodi alkaa aina mustalla ja päättyy mustaa raitaan Sekä mustien että valkoisten raitojen leveys on tai Koko viivakoodin leveys on Koodia luetaan aina vasemmalta oikealle Kuinka monta erilaista koodia on mahdollista muodostaa? A) 4 B) C) 66 D) E) 6 Ratkaisu: Tapa : Jos ajatellaan, että viivan leveys on aina niin viivakoodissa voi olla enintään kaksi samanväristä viivaa peräkkäin, sitten viivan väri vaihtuu Ensimmäinen viiva vasemmalta on aina musta, samoin viiva oikealla Kuvassa on hahmoteltu kaikki vaihtoehdot kuudelle ensimmäiselle viivalle Tutkitaan, miten n:nnen viivan väri määräytyy: n =, viiva on musta n =, viiva voi olla musta tai valkoinen n > Huomataan, että viiva voi olla musta, jos viiva n- on valkoinen tai jos viiva n- on valkoinen Vastaavasti, jos viiva n- on musta tai viiva n- on musta, viiva n voi olla valkoinen Merkitään mustaan päättyvien vaihtoehtojen määrää sarakkeessa n a n ja valkoiseen päättyvien vaihtoehtojen määrää b n Saadaan jonot (a n ) a =, a =, a n =b n- +b n- kun n> (b n ) b =0, b =, b n =a n- +a n-, kun n> viivakoodin sarake mustaan päättyvät vaihtoehdot a n valkoiseen päättyvät vaihtoehdot b n Huom: jono a n + b n = (b n- + b n- ) + (a n- +a n-s ) = (a n- + b n- ) + (a n-s + b n- ) alkaa,,, 5, 8, ja on tästä eteenpäin Fibonaccin jono Ehto viimeisessä sarakkeessa on musta viiva rajaa kuitenkin viimeisestä termistä pois kaikki valkoiseen päättyvät vaihtoehdot

12 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / Tapa : Jos aletaan piirtää kaaviota sallituista värivaihtoehdoista viivoille 7 oikealta vasemmalle, saadaan sama kuva kuin Tapa :ssä, mutta peilikuvana Nyt voidaan tarkastella, kuinka monta vaihtoehtoa on jatkaa sarakkeesta 6 sarakkeeseen 7 jokaisessa tapauksessa erikseen Viereisen kuvan katkoviiva esittää kohtaa, jonka suhteen viivakoodin vasemman puolen vaihtoehdot voidaan peilata oikean puolen vaihtoehdoiksi Ylimmästä valkoisesta viivasta on kuvassa vedetty nuolet kaikkiin mahdollisiin jatkokohtiin (6 nuolta) Kun lasketaan kaikki yhdistelmämahdollisuudet yhteen, saadaan 6 eri viivakoodia Vastaus: 6

13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / 0 Suorakulmaisen kolmion kateetilta valitaan piste P ja toiselta kateetilta piste Q Piirretään pisteistä P ja Q hypotenuusaa vastaan kohtisuorat janat, jotka leikkaavat hypotenuusan pisteissä K ja H Jos kateettien pituudet ovat a ja b, mikä on summan KP PQ QH pienin mahdollinen arvo? A) a b B) ab ab C) a b a b D) a b a b E) a b ab Ratkaisu: Peilataan kuvio molempien kateettien suhteen, jolloin syntyy neljäkäs: Nyt murtoviivan KPQH sijasta voidaan tarkastella yhtä pitkää murtoviivaa KPQ H, joka yhdistää neljäkkään vastakkaiset sivut Koska sivut ovat yhdensuuntaiset, murtoviiva on lyhyin, kun se on suora ja kohtisuorassa alkuperäistä hypotenuusaa vastaan Tällaisia lyhyimpiä reittejä on äärettömän monta Niiden pituus on neljäkkään sivujen välinen etäisyys Se saadaan laskettua tarkastelemalla suorakulmaisen kolmion hypotenuusan vastaista korkeusjanaa h Kolmion ala on ab h a b ja toisaalta, joten h a ab b ja lyhyin reitti on h ab a b