Geometrian perusteet. Luvun 3 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia

Transkriptio

1 Geometrian perusteet Luvun 3 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia Harjoitus 3... Osoita, että josx on kolmion ABC sivun BC piste, BX = m, XC = n ja AX = p, niin a(p + mn) =b m + c n. Ratkaisu.. ratkaisu. Olkoon AXB = φ. Sovelletaan kosinilausetta kolmioihin ABX ja AXC. Saadaan yhtälöt c = p + m pm cos φ b = p + n +pn cos φ. Kun edellinen yhtälö kerrotaan n:llä jajälkimmäinen m:llä jayhtälöt sitten lasketaan yhteen puolittain, saadaan b m + c n = p(m + n)+m n + mn =(m + n)(p + mn) = a(p + mn), koska m + n = a.. ratkaisu. Piirretään kolmion ABC ympäri ympyrä Γ. Leikatkoon AX Γ:n pisteessä D. Merkitään BDY = d, DC = e, XD = x. Ptolemaioksen lauseen mukaan BC AD = AB DC + AC BD eli a(p + x) =ce + bd. Kolmiot ABX ja DCX ovat yhdenmuotoisia (kk), samoin BDX ja AXC. Siis e n = c p ja d m = b p. Lisäksi pisteen potenssia koskevan lauseen perusteella px = mn. Kun nämä sijoitetaan yllä esitettyyn Ptolemaioksen lauseen seuraukseen, saadaan väite. Harjoitus 3... Osoita, että jos pisteet A, B, C ja D eivät ole samalla ympyrällä, niin AB CD + BC DA > AC BD.

2 Ratkaisu. Piirretään kolmio DAE CAB. Silloin Yhdenmuotoisuudesta seuraa DE CB = AD AC. () AC AD = AB AE. Koska myös EAB = DAC, niin ABE ACD (sks). Siis BE CD = AB AC. () Verrannoista () ja () saadaan AB CD + BC DA =(BE + ED) AC AC BD. Kolmioiden yhdenmuotoisuuden nojalla AED = ABC ja AEB = ADC. Koska ABCD ei ole jännenelikulmio, ABC ja ADC eivät ole vieruskulmia. Siis AED ja AEB eivät ole vieruskulmia. Pisteet B, E ja D eivät ole samalla suoralla, joten BE + ED > AC, javäite on todistettu. Harjoitus Johda Ptolemaioksen lauseesta sinin ja kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavat. Ratkaisu. Olkoon AC = jaγympyrä, jonka halkaisija on AC. Tarkastellaan Γ:n sisään piirrettyä nelikulmiota ABCD, jossa DAC = α ja CAD = β. Koska kolmiot ACD ja ABC ovat suorakulmaisia ja AC =, niin AB =cosβ, BC =sinβ, CD =sinα ja AD = cos α. Sinilauseen perusteella lisäksi DB =sin(α + β). Ptolemaioksen lauseen mukaan AC DB = CD AB + BC AD eli sin(α + β) =sinα cos β +sinβcos α. Oletetaan, että β<α. Tarkastetaan nyt nelikulmiota ACED, missä EAC = β. NytDE =sin(α β), EC =sinβ, EA =cosβ. Ptolemaioksen lauseen nojalla AC DE = AE DC AD EC eli sin(α β) =sinα cos β cos α sin β. Olkoot sitten α ja β sellaisia, että α + β on suoraa kulmaa pienempi. Jos F valitaan Γ:lta samalta puolen AC:täkuinD niin, että FAD = β, niin AF =cos(α + β). Valitaan vielä G Γ:lta samalta puolen AC:tä kuind niin, että ACG = β. Silloin AG =sinβ ja cos(α + β) =AF = GD. Ptolemaioksen lauseesta saadaan cos(α+β)+sinα sin β = AC GD+AG CD = AD CG =cosαcos β. Tapaus α+β suurempi kuin suora kulma sivuutetaan. Olkoon sitten α > β. ValitaanH Γ:lta eri puolelta AC:tä kuind niin, että ACH = β. Olkoon vielä I Γ:lla, samalla puolella AC:tä kuind, niin että DAC = β. Silloin IAC = α β ja AI =cos(α β). Kolmiot ADH ja DAI ovat yhteneviä (ksk). Siis HD = AI. Nelikulmiosta AHCD saadaan nyt Ptolemaioksen lauseen nojalla cos(α β) =HD AC = AD HC + CI AH =cosαcos β +sinαsin β. Harjoitus Osoita, että josjännenelikulmion ABCD sivut ovat a, b, c ja d, p = (a + b + c + d), ja nelikulmion ala on S, niin S =(p a)(p b)(p c)(p d).

3 Ratkaisu. Huomataan, että a + b + c + d =(s a) jne. Olkoon sivujen a ja b välinen kulma γ ja sivujen c ja d välinen kulma δ. Kulmat γ ja δ ovat vieruskulmia, joten niillä on sama sini ja itseisarvoltaan sama, mutta vastakkaismerkkinen kosini. Jännenelikulmion ala on S = ab sin γ + cd sin δ = (ab + cd)sinγ. Olkoon e jännenelikulmion kulmia γ ja δ vastassa oleva lävistäjä. Kosinilauseen perusteella e = a + b ab cos γ ja e = c + d cd cos δ = c + d +cd cos γ. Kun edellisistä yhtälöistä eliminoidaan e, saadaan (ab+cd)cosγ = a +b c d. Lasketaan hiukan samoin kuin Heronin kaavan todistuksessa: 6S =(4S) =(ab sin γ +cd sin δ) =4(ab+cd) sin γ =4(ab+cd) 4(ab+cd) cos γ =4(ab + cd) (a + b c d ) =((ab + cd)+(a + b c d ))((ab + cd) (a + b c d )) =((a + b) (c d) )((c + d) (a b) ) =(a+b+c d)(a+b c+d)(c+d+a b)(c+d a+b) =(s d) (s c) (s b) (s a). Väite seuraa. Harjoitus 3... Kolmion ABC sisäympyrä sivuaa kolmion sivua BC pisteessä D ja kulman CAB aukeamassa oleva sivuympyrä sivuaabc:tä pisteessä E. Osoita, että BD = CE = p b. Ratkaisu. Jos ABC:n sisään piirretty ympyrä sivuaaab:tä pisteessä C ja AC:tä pisteessä B,jajosBD = x, niin BC = x, AC = AB = c x, B C = CD = b c + x. Koska CD = a x, x = a b + c, jotenx = p b. Sivutkoon kulman CAB aukeamassa oleva sivuympyrä AC:tä pisteessä A ja AB:tä pisteessä A. Olkoon y = CE. Silloin AA = b + y ja AA = c + a y. KoskaAA = AA,y = a + c b eli y = x. Harjoitus 3... Olkoot kolmion ABC kärjistä A, B ja C piirretyt korkeusjanat h A, h B ja h C. Osoita, että r = + + = + +. r A r B r C h A h B h C Ratkaisu. Lauseen 3.3. mukaan pr =(p a)r A =(p b)r B =(p c)r C. Siis + + = r A r B r C pr (3p a b c) = r. 3 Kolmion ABC alan lausekkeista pr = h Aa = h Bb = h Cc saadaan samoin + + = a + b + c h A h B h C pr = r. Harjoitus Nelikulmion sivut ovat a, b, c ja d. voidaan piirtää ympyrä jos ja vain jos a + c = b + d. Osoita, että nelikulmion sisään

4 4 Ratkaisu. Jos nelikulmion ABCD, missä AB = a, BC = b, CD = c ja DA = d, sisään on piirretty ympyrä, joka sivuaa AB:tä pisteessä X, BC:tä pisteessä Y, CD:tä pisteessä Z ja DA:ta pisteessä T, niin a + b = AX + XB+ CZ + ZD = AT + BY + YC+ DT = b + d. Olkoon sitten a + c = b + d. Piirretään ympyrä Γ,joka sivuaa DA:ta, AB:tä ja BC:tä. (Ympyrän keskipiste on kulmien DAB ja ABC leikkauspiste.) Jos se ei sivua DC:tä, niin se joko leikkaa DC:ntaieikosketa suoraa DC. Oletetaan, että tapauksista edellinen olisi tosi. Piirretään Γ:lle AB:n suuntainen tangentti. Se leikkaa AD:n pisteessä F ja BC:n pisteessä E. Oletuksen ja jo todistetun mukaan ovat voimassa yhtälöt AB + CD = AD + BC ja AB + FE = AF + BE = AD + DF + BC + CE = AB + CD + DF + CE. Yhtälöistä seuraafe = FD+ DC + CE. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että murtoviivan FDCE pituus on suurempi kuin janan FE. Tapaus, jossa Γ ei leikkaa CD:tä käsitellään analogisesti. Harjoitus Osoita, että kolmion yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste on kolmion Eulerin suoralla. Ratkaisu. Olkoon O kolmion ABC ympärysympyrän keskipiste. Lauseen merkinnöin OD HX ja OF HZ. Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste N on janan DX keskinormaalilla. Samoin se on janan FZ keskinormaalilla. Kumpikin näistä keskinormaaleista leikkaa OH:n tämän keskipisteessä. Siis N on janan OH keskipiste. Harjoitus Todista Simsonin lauseen käänteislause: jos pisteen P projektiot D, E ja F suorilla BC, CA ja AB ovat samalla suoralla, niin P on kolmion ABC ympäri piirretyllä ympyrällä. Ratkaisu. Voidaan olettaa, että E on janalla FD. Ympyrä, jonka halkaisija on PB, kulkee F :n ja D:n kautta (Thaleen lause). Oletetaan, että pisteet tällä ympyrällä ovat järjestyksessä BDPF. Silloin ABD ja DPA ovat vieruskulmia. Ympyrä, jonka halkaisija on PA,kulkeeF :n ja E:n kautta. EAP = EFP. Ympyrä, jonka halkaisija on PD,kulkeeE:n ja D:n kautta. Koska F, E ja D ovat samalla suoralla, FEP on kolmio; erityisesti FED ja ACP ovat yhdenmuotoisia (kk). Siis AP C = FPD. Siis AP C ja ABC ovat vieruskulmia. Siis P on ympyrällä ABC. Harjoitus Piirrä harpilla ja viivoittimella säännöllinen viisikulmio, jonka yksi sivu on annettu jana AB. Ratkaisu. Ratkaisu on periaatteessa selostettu luennoissa. Piste X, joka jakaa janan AB = a kultaisen leikkauksen suhteessa löytyy seuraavasti: piirretään pisteeseen BAB:tä vastaan kohtisuora ja erotetaan siltä janabo = a. Piirretään O-keskinen ympyrä ΓB:n kautta. Leikatkoon AO Γ:n pisteissä X ja Y niin, että X on lähempänä A:ta kuin Y. Nyt X Y = a ja kun lasketaan A:n potenssi Γ:n suhteen, saadaan AB = AX AY = AX (AX + X Y ). Jos AX = x, yhtälö onsamakuina = x(x + a) elia(a x) =x.

5 Kun erotetaan AB:ltä AX :n pituinen jana AX, ollaan saatu X, josta konstruktio sitten lähtee käyntiin. Harjoitus Selvitä, miten konstruoidaan säännöllinen kahdeksankulmio. Ratkaisu. Piirretään kaksi kohtisuoraa suoraa, jotka leikkaavat pisteessä O. Piirretään O- keskinen ympyrä Γ, joka leikkaa toisen suorista pisteissä A ja E ja toisen suorista pisteissä C ja G. Piirretään suorat, jotka puolittavat kulman AOC ja kulman COE. Kulman AOC puolittaja leikkaa Γ:n pisteessä B, COE:n puolittaja pisteessä D, EOG:n puolittaja pisteessä F ja GOA:n puolittaja pisteessä H. Kolmiot AOD, DOC,..., HOA ovat kaikki yhteneviä (sks). Siis AB = BC =... = AH ja kaikki kulmat ABC, BCD,... HAC ovat yhteneviä yhtenevien tasakylkisten kolmioiden kantakulmien summina. Harjoitus Selvitä, miten konstruoidaan säännöllinen kuusikulmio. Ratkaisu. Halutaan, että kuusikulmion sivu = a. Piirretään jana OA = a. Piirretään O-keskinen ympyrä ΓA:n kautta. Piirretään A-keskinen ympyrä O:n kautta. Se leikkaa Γ:n pisteissä B ja F. Kolmiot OAB ja OAC ovat tasasivuisia. Piirretään B- jaf - keskiset ympyrät O:n kautta. Ne leikaavat Γ:n A:n lisäksi pisteissä C ja E. Kolmiot OBC ja OEF ovat tasasivuisia. Piirretään C- jae-keskiset ympyrät O:n kautta. Ne leikkaavat Γ:n B:n ja F :n lisäksi pisteissä D ja D. Kolmiot OCD ja ODE ovat tasasivuisia. Koska tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat yhteneviä, COB = OAB ja DOC = ABO. Siten BOD = COB + DOC = OAB + ABO. Mutta viimeksi mainittu kulma on kulman AOB vieruskulma. Tästä seuraa, että D on suoralla AO. Aivan samoin nähdään, että D on suoralla AO. Siis D = D. Kuusikulmiossa ABCDEF kaikki sivut ovat yhteneviä yhtenevien tasasivuisten kolmioiden sivuina ja kaikki kulmat ovat yhteneviä tasasivuisen kolmion kahden kulman summina. ABCDEF on siis säännöllinen kuusikulmio. 5