Luvut, RSA ja graafit
|
|
- Hannele Pääkkönen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luvut, RSA ja graafit (LTT-12200, 1. luento) Keijo Ruohonen
2 LUVUT Insinöörityö pyörii paljolti lukujen ja niillä laskemisen ympärillä. Tämä luonnollisesti tapahtuu käytännössä tietokoneella. Kaikkia peruslukutyyppejä tarvitaan: reaalilukuja (kuten 1.25, 2.0, π, 5,... ), rationaalilukuja (kuten 2 3, 1 2, 85%,... ), kompleksilukuja (kuten i = 1, i, e 1.2i,... ) ja kokonaislukuja (kuten 0, 1, 2,... ). Lisäksi tietysti tarvitaan muutakin lukuihin liittyvää: muuttujia (kuten x, y, t,... ), funktioita (kuten sin, cos, ln,... ), matriiseja jne. Osa näistä käsitteistä on tuttuja lukiosta. Tietoja täydennetään ja loput käsitteet esitellään ensimmäisen vuoden peruskursseissa.
3 LUVUT Yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskut eri lukutyypeille ovat tuttuja (laskintavaraa paitsi ehkä kompleksiluvuille). Potenssiin korotus on kuitenkin jo reaaliluvuille mutkallisempi operaatio (kompleksiluvuista puhumattakaan). Sitä ei esimerkiksi voi tehdä käsin laskien.
4 LUVUT Yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskut eri lukutyypeille ovat tuttuja (laskintavaraa paitsi ehkä kompleksiluvuille). Potenssiin korotus on kuitenkin jo reaaliluvuille mutkallisempi operaatio (kompleksiluvuista puhumattakaan). Sitä ei esimerkiksi voi tehdä käsin laskien. Pikku esimerkkinä, uskoisitko äkkiseltään, että = 2, ( = ), mutta =? Nämä ovat ns. äärettömiä tetraatioita ja esiintyvät siellä täällä sovelluksissa liittyen mm. ns. Lambertin funktioihin.
5 LUVUT Ero on dramaattinen, esimerkiksi ( 31 2 ) = = , 2 2 mutta = Tilanteet erottava yläraja on e 1/e ja 2 e 1/e < 1.45 (tässä e = ja e 1/e = ). Alaraja puolestaan on 1/e e = Nämä ovat tetraatioita eli superpotensseja. Tetra:= proc(n,x) if n=0 then return(1) else return(xˆtetra(n-1,x)) end if; end: Tetra(44,sqrt(2.)); Tetra(42,1.45); Tetra(43,1.45);
6 LUVUT: RSA Paljon käytetyssä RSA-kryptosysteemissä valitaan ensin satunnaisesti kaksi salaista suurta alkulukua, vaikkapa p = \ \ \ ja q = \ \ \ Hyvä kysymys: Miten?
7 LUVUT: RSA Alkulukuhan on luku, jota ei voi jakaa tasan kuin vain itsellään ja 1:llä (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... ). Aukikerrottu tulo n = pq = \ \ \ \ \ \ \ on julkinen. p:n ja q:n salaisuus ei ole silti uhattu, sillä n:stä ei millään tunnetulla menetelmällä saada lasketuksi takaisin sen tekijöitä kohtuullisessa ajassa!
8 LUVUT: RSA, eksponentit Lisäksi tarvitaan kryptauseksponentti a sekä dekryptauseksponentti b. Ne ovat satunnaisia lukuja väliltä 0,..., n 1, mutta ihan mitkä tahansa valinnat eivät käy. Esimerkiksi luvun ab 1 pitää olla tasan jaollinen luvulla (p 1)(q 1), joten ainakin toinen luvuista on iso (ideaalisesti molemmat). Kun p ja q tiedetään, tällaiset eksponentit löytyvät helposti kokeilemalla (riittää valita yksi, toinen saadaan Eukleideen algoritmilla). Kryptauseksponentti on julkinen ja dekryptauseksponentti salainen. Julkisen tiedon (n ja a) avulla kuka tahansa voi salata eli kryptata viestin, mutta vain salaisen tiedon (p, q ja b) haltija voi sen dekryptata.
9 LUVUT: RSA, kryptaus ja dekryptaus Jakamalla osiin ja sopivasti koodaamalla (esimerkiksi UTF-8) viesti v voidaan ajatella luvuksi väliltä 0,..., n 1. Vastaava kryptattu viesti on silloin luku s = rem(v a, n), eli jakojäännös, kun luku v a jaetaan luvulla n. (Ts. jos q on osamäärä, niin v a = q n + s ja 0 s < n.) Lähtien pelkästään s:stä ja julkisesta tiedosta ei ole mahdollista saada lasketuksi viestiä v missään kohtuullisessa ajassa. Kryptattu viesti s on nyt myös luku väliltä 0,..., n 1 ja sen dekryptaus sujuu salaista tietoa käyttäen samaan tapaan: v = rem(s b, n).
10 LUVUT: RSA, pulma no. 1 Hyvinkin suurien lukujen yhteen-, kerto- ja jakolasku (muista ne jakojäännökset!) sujuvat nopeasti tietokoneella vaikkapa ihan koulumenetelmillä (parempiakin tietysti tunnetaan). Potenssiinkorotus on taaskin pulmallisempi. Pulma no. 1 on se, että jos a on hyvin suuri (ja jollei a ole, b on), niin potenssia v a ei voi laskea tyyliin v 2 = v v, v 3 = v v 2, v 4 = v v 3,..., v a = v v a 1 (a 1 kertolaskua). a voi olla vaikkapa suuruusluokkaa ja maailmankaikkeuden arvioitu ikä on noin µs eli miljoona kertolaskua sekunnissa ei riitä yhtään mihinkään.
11 LUVUT: RSA, pulma no. 1 Potenssiinkorotus on toistettua kertolaskua ja kertolasku taas on toistettua yhteenlaskua. Kertolaskua a v ei voi sitäkään tehdä muodossa 2 v = v +v, 3 v = v +2v, 4 v = v +3v,..., a v = v +(a 1)v (a 1 yhteenlaskua), jos a on iso. Käsilaskussa kerrotaankin käyttäen kertojan a desimaaliesitystä. Jos esimerkiksi a = 523, niin kertominen tehdään muodossa 523 v = (5 v) (2 v) 10 + (3 v). Yhteenlaskuja tarvitaan silloin (a:n pituus) 1. Huomaa, että kertominen 10:llä, 100:lla, 1000:lla jne. on ilmaista.
12 LUVUT: RSA, pulma no. 1 Ratkaisu potenssiinkorotuksessakin on käyttää a:n desimaaliesitystä (tai binääriesitystä). Otetaan esimerkki, lasketaan v 523 tällä tavalla: v 3 v 10 v 2 10 = (v 10 ) 2 v 100 = (v 10 ) 10 v = (v 100 ) 5 v 523 = v v 2 10 v 3 yhteensä 2 kertolaskua 4 kertolaskua 1 kertolasku 4 kertolaskua 3 kertolaskua 2 kertolaskua 16 kertolaskua Mutta onko tuo 16 kertolaskua pienin määrä?
13 LUVUT: RSA, pulma no. 1 Ratkaisu potenssiinkorotuksessakin on käyttää a:n desimaaliesitystä (tai binääriesitystä). Otetaan esimerkki, lasketaan v 523 tällä tavalla: v 3 v 10 v 2 10 = (v 10 ) 2 v 100 = (v 10 ) 10 v = (v 100 ) 5 v 523 = v v 2 10 v 3 yhteensä 2 kertolaskua 3 kertolaskua 1 kertolasku 3 kertolaskua 3 kertolaskua 2 kertolaskua 14 kertolaskua 1 1 Mutta onko tuo 16 kertolaskua pienin määrä? Ei, helposti näkee kierrättämällä tuloksia, että 14 kertolaskuakin riittää.
14 LUVUT: RSA, pulma no. 1 Näin menetellen kertolaskujen lukumäärä on verrannollinen eksponentin pituuteen ja pysyy kohtuullisena (< 6 pituus). Mutta saadaanko näin kertolaskujen pienin määrä? Onko esimerkiksi edellä 14 pienin määrä?
15 LUVUT: RSA, pulma no. 1 Näin menetellen kertolaskujen lukumäärä on verrannollinen eksponentin pituuteen ja pysyy kohtuullisena (< 6 pituus). Mutta saadaanko näin kertolaskujen pienin määrä? Onko esimerkiksi edellä 14 pienin määrä? Ei, pienin määrä on 12: v 2, v 4, v 8, v 16, v 32, v 64, v 65, v 130, v 260, v 261, v 522, v 523
16 LUVUT: RSA, pulma no. 1 Näin menetellen kertolaskujen lukumäärä on verrannollinen eksponentin pituuteen ja pysyy kohtuullisena (< 6 pituus). Mutta saadaanko näin kertolaskujen pienin määrä? Onko esimerkiksi edellä 14 pienin määrä? Ei, pienin määrä on 12: v 2, v 4, v 8, v 16, v 32, v 64, v 65, v 130, v 260, v 261, v 522, v 523 Näiden pienimpien kertolaskumäärien (eli yhteenlaskuketjujen) laskemiseksi suurille luvuille ei tunneta nopeaa menetelmää. Mutta onneksi sellaista ei tarvitakaan, eo. desimaaliesitysmenetelmä riittää aivan mainiosti.
17 LUVUT: RSA, pulma no. 1 Näin menetellen kertolaskujen lukumäärä on verrannollinen eksponentin pituuteen ja pysyy kohtuullisena (< 6 pituus). Mutta saadaanko näin kertolaskujen pienin määrä? Onko esimerkiksi edellä 14 pienin määrä? Ei, pienin määrä on 12: v 2, v 4, v 8, v 16, v 32, v 64, v 65, v 130, v 260, v 261, v 522, v 523 Näiden pienimpien kertolaskumäärien (eli yhteenlaskuketjujen) laskemiseksi suurille luvuille ei tunneta nopeaa menetelmää. Mutta onneksi sellaista ei tarvitakaan, eo. desimaaliesitysmenetelmä riittää aivan mainiosti. Asiaan liittyy outoja juttuja. Esimerkiksi eksponenteille ja 191 pienin määrä on sama (11). Eksponentille määrä (34) on jopa pienempi kuin eksponentille (35).
18 LUVUT: RSA, pulma no. 2 Pulma no. 2 on, että jos eksponentti a on suuri, niin v a on vielä aivan valtavan paljon suurempi. Otetaan esimerkkitapaus, jossa v = 11 1 (100 ykköstä) ja a on suuruusluokkaa
19 LUVUT: RSA, pulma no. 2 Pulma no. 2 on, että jos eksponentti a on suuri, niin v a on vielä aivan valtavan paljon suurempi. Otetaan esimerkkitapaus, jossa v = 11 1 (100 ykköstä) ja a on suuruusluokkaa Silloin v a :n pituus on suuruusluokkaa (Joidenkin arvioiden mukaan tunnetun maailmankaikkeuden alkeishiukkasten määrä on luokkaa eli luvulle v a ei ole maailmankaikkeudessa muistilaa.)
20 LUVUT: RSA, pulma no. 2 Pulma no. 2 on, että jos eksponentti a on suuri, niin v a on vielä aivan valtavan paljon suurempi. Otetaan esimerkkitapaus, jossa v = 11 1 (100 ykköstä) ja a on suuruusluokkaa Silloin v a :n pituus on suuruusluokkaa (Joidenkin arvioiden mukaan tunnetun maailmankaikkeuden alkeishiukkasten määrä on luokkaa eli luvulle v a ei ole maailmankaikkeudessa muistitilaa.) Ratkaisu tähän on, että jakojäännöksillä on oma kertolaskulakinsa: Tulon jakojäännös on tulontekijöiden jakojäännösten tulon jakojäännös. Eli kaavamuodossa rem(x y, n) = rem ( rem(x, n) rem(y, n), n ).
21 LUVUT: RSA, pulma no. 2 Kun potenssilaskussa kryptauksessa ja dekryptauksessa sovelletaan esitettyä nopeaa menettelyä ja koko ajan redusoidaan tulokset jakojäännöksiksi, ei koskaan tarvitse kertoa muita kuin välillä 0,..., n 1 olevia lukuja eikä koskaan tarvitse jakaa n:llä kuin enintään (n 1) 2 :n suuruisia lukuja. Kun vielä otetaan käyttöön menetelmä, jolla niitä suuria alkulukuja voidaan generoida nopeasti suuria määriä, niin RSA:n toteutus ja käyttö tulee mahdolliseksi. Nimi RSA tulee keksijöidensä nimistä: Ronald Rivest, Adi Shamir ja Leonard Adleman. Tosin menetelmä keksittiin jo vähän aikaisemmin vuonna 1973 Britannian sotilastutkimuskeskuksessa. Keksijät olivat Clifford Cocks ja James Ellis. Asia salattiin ja tuli julki vasta 1997 (kuukautta ennen Ellis kuoli). Myös Yhdysvalloissa NSA yritti ensin salata julkisen avaimen kryptauksen.
22 GRAAFIT Kaikki matemaattinen ja laskuissa ja mallinnuksessa tarvittava ei liity lukuihin. Esimerkiksi graafit ovat tällaisia. Graafi muodostuu pisteistä (eli solmuista), esimerkiksi a, b, c, d, e, f, ja niitä mahdollisista yhdistävistä viivoista (eli kaarista). Viivat annetaan pistepareina, esimerkiksi pari (b, d) tarkoittaa, että pisteitä b ja d yhdistää viiva. Esimerkkigraafiin otetaan viivat (a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (b, c), (c, d), (c, e), jolloin se voidaan havainnollistaa piirtämällä:
23 GRAAFIT: Piirtäminen b c d e f a
24 GRAAFIT: Mallinnus Graafi voidaan luonnollisesti piirtää loputtoman monilla eri tavoilla. Isojen graafien piirtäminen niin, että kuvasta saa jotain irti, on toisaalta taitolaji. Graafeilla mallinnettavia tilanteita on myös loputtoman monta, esimerkiksi: Ihmiset: a tuntee b:n, c ei tunne e:tä jne. Navigointi: paikkakunnat ja niiden väliset tieyhteydet Kemia: atomit ja niiden väliset sidokset Virtapiirit: johtimet, komponentit ja liitokset Tietokoneohjelmat: käskyt, haarautumiset Biotekniikka: neuroniverkot Matematiikka: matriisien tulkitseminen graafeiksi Graafiteoria on lisäksi hyvin suosittu matematiikan tutkimusalue.
25 GRAAFIT: Mallinnus Tehtävän ratkaisu graafeihin siirtymällä sujuu oheiseen tapaan. Erilaisia graafialgoritmeja on valmiina suuri määrä. Tehtävien matemaattinen mallinnus ja ratkaisu on yleensäkin tällainen, mutta graafeilla mallinnusvaihe on usein hyvinkin helppo. Probleema Graafiratkaisu Ratkaisu Mallinnus Graafiprobleema Ratkaisu valmiilla graafialgoritmilla Palautus
26 GRAAFIT: TSP (Travelling Salesman Problem) Kaikkia helpon näköisiäkään graafitehtäviä ei tätä nykyä voida yleisesti ratkaista nopeasti. Eräs tällainen on Kauppamatkustajan probleema (TSP): Onko olemassa tapaa kulkea graafin pisteet viivoja pitkin edeten siten, että jokaisessa pisteessä käydään kerran ja palataan sitten lähtöpisteeseen. Lisäksi voidaan antaa viivoille pituudet ja vaatia, että reitti olisi lyhin mahdollinen. Ei tunneta menetelmää, jolla TSP voitaisiin aina ratkaista nopeasti, monissa erikoistapauksissa kylläkin. Jos tällainen menetelmä löytyy tai näytetään, ettei sellaista ole, ratkeaa samalla kuuluisa P = NP -probleema ja ratkaisija saa Clay Instituten Millennium-palkinnon ( $).
27 GRAAFIT: TSP Joitakin Kauppamatkustajan probleemoita voidaan ratkaista suurillekin pistemäärille. Ohessa on lyhin reitti linnuntietä Suomen kaikkien taajaman (pisteet) kautta. Sen pituus on km. TSP:llä on monia sovelluksia tekniikassa (robotiikassa, elektroniikassa, aikataulutuksessa jne.). Etsitty Concorde-ohjelmistolla Lähtödata: NGA GEOnet Names Server.
28 GRAAFIT: TSP Mitä tehdä TSP:lle, joka ei ratkea nopeasti? Joidenkin arvioiden mukaan noin 200 pistettä menisi vielä rutiininomaisesti. Jos kysymys on nimenomaan lyhimmän tai yleensä lyhyen reitin etsimisestä (ja reittejä on ilman muuta tiedossa), niin on menetelmiä, jotka etsivät lyhimmästä tietyn suhteellisen virheen (esimerkiksi neljäsosan) päässä olevan reitin, suurella todennäköisyydellä hyvän (lyhyen) reitin, tietyllä (pienellä) todennäköisyydellä lyhimmän reitin, (suurella todennäköisyydellä) jotain hyödyllistä tietoa lyhimmästä reitistä (esimerkiksi hyvän alarajan pituudelle), jonkin kombinaation edellisistä.
29 GRAAFIT: Neliväriprobleema Graafin värittäminen tarkoittaa, että pisteille annetaan väri eikä minkään viivan päätepisteillä saa olla samaa väriä. Esimerkiksi edellä ollut graafi voidaan värittää neljällä värillä, mutta ei kolmella. Kuuluisa Nelivärilause sanoo, että jos graafi voidaan piirtää ilman, että viivat leikkaavat (kuten esimerkkigraafi voidaan), niin se voidaan myös värittää neljällä värillä. Lause pätee myös valtiokarttojen värittämiseen neljällä värillä (pallonpinnalla). b e c f a d Lauseen tunnettu todistus on erittäin mutkikas ja vaatii pitkät tietokoneajot, josta syystä kaikki matemaatikot eivät vieläkään sitä hyväksy!
Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotKryptologia Esitelmä
Kryptologia p. 1/28 Kryptologia Esitelmä 15.4.2011 Keijo Ruohonen keijo.ruohonen@tut.fi Kryptologia p. 2/28 Kryptologian termejä Kryptaus: Tiedon salaus käyttäen avainta Dekryptaus: Salauksen purku käyttäen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotRSA-salakirjoitus. Simo K. Kivelä, Apufunktioita
Simo K. Kivelä, 25.1.2005 RSA-salakirjoitus Ron Rivest, Adi Shamir ja Leonard Adleman esittivät vuonna 1978 salakirjoitusmenettelyn, jossa tietylle henkilölle osoitetut viestit voidaan salakirjoittaa hänen
LisätiedotSalakirjoitusmenetelmiä
Salakirjoitusmenetelmiä LUKUTEORIA JA LOGIIKKA, MAA 11 Salakirjoitusten historia on tuhansia vuosia pitkä. On ollut tarve lähettää viestejä, joiden sisältö ei asianomaisen mielestä saanut tulla ulkopuolisten
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
Lisätiedot6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Lisätiedot10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
Lisätiedot(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)
1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotNELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 12 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 12 Ke 26.4.2017 Timo Männikkö Luento 12 Rajoitehaku Kauppamatkustajan ongelma Lyhin virittävä puu Paikallinen etsintä Vaihtoalgoritmit Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Algoritmit
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
LisätiedotValitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 12 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 12 To 3.5.2018 Timo Männikkö Luento 12 Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To 3.5.2018 2/35 Algoritmien
Lisätiedot0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys 0. perusmääritelmiä Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaFonaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esihää kahden
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotReaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
LisätiedotValitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot2. Polynomien jakamisesta tekijöihin
Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot7.4 Sormenjälkitekniikka
7.4 Sormenjälkitekniikka Tarkastellaan ensimmäisenä esimerkkinä pitkien merkkijonojen vertailua. Ongelma: Ajatellaan, että kaksi n-bittistä (n 1) tiedostoa x ja y sijaitsee eri tietokoneilla. Halutaan
LisätiedotEpädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotLaskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat
Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat TRAK-vierailuluento 13.4.2010 Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Tietojenkäsittelytiede tutkii 1. mitä tehtäviä voidaan
LisätiedotKompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
LisätiedotJäännösluokat. Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan
Jäännösluokat LUKUTEORIA JA TODIS- TAMINEN, MAA Alkupala Aiemmin on tullut sana jäännösluokka vastaan. Tarkastellaan lukujoukkoja 3k k Z =, 6, 3, 0, 3, 6, 3k + k Z =,,,,, 7, 3k + k Z =,,,,, 8, Osoita,
LisätiedotRSA-salaus ja sen lukuteoreettinen pohja
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Pekka Larja RSA-salaus ja sen lukuteoreettinen pohja Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LARJA,
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
Lisätiedot0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
0. perusmääritelmiä Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys Luonnolliset luvut (N): 1, 2, 3, 4 Kokonaisluvut (Z):... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4... RaConaaliluvut (Q): kaikki luvut, jotka voidaan esieää kahden
LisätiedotAlgoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 25.-26.1.2017 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka laskee kahden kokonaisluvun välisen jakojäännöksen käyttämättä lainkaan jakolaskuja Jaettava m, jakaja n Vähennetään luku
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotEsimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista
Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia
LisätiedotRSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017
RSA-salausmenetelmä LuK-tutkielma Tapani Sipola Op. nro. 1976269 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Salausmenetelmien yleisiä periaatteita 3 2 Määritelmiä ja
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
LisätiedotFunktiot ja raja-arvo P, 5op
Funktiot ja raja-arvo 800119P, 5op Pekka Salmi 15. syyskuuta 2017 Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 1 / 122 Yleistä Luennot: ke 810, to 1214 (ensi viikosta lähtien) Luennoitsija: Pekka Salmi, MA327 Laskupäivä:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotAlgebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen
Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
LisätiedotKuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä.
POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotLuento 2: Viivan toteutus
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento : Viivan toteutus Lauri Savioja 11/07 Primitiivien toteutus / 1 GRAAFISTEN PRIMITIIVIEN TOTEUTUS HUOM! Oletuksena on XY-koordinaatisto Suorien viivojen
Lisätiedot0. perusmääritelmiä. Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
0. perusmääritelmiä Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys Luonnolliset luvut: 1,2,3,4... Kokonaisluvut (ℵ):... 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4... RaBonaaliluvut: kaikki luvut jotka voidaan esidää kahden kokonaisluvun
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotKysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
LisätiedotValitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.
MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Lisätiedot2. Eukleideen algoritmi
2. Eukleideen algoritmi 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastellaan annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot7.4. Eulerin graafit 1 / 22
7.4. Eulerin graafit 1 / 22 Viivojen läpikäynti Graafin pisteiden/viivojen läpikäyminen esiintyy usein sovelluksissa: Etsintäalgoritmit, reititykset Läpikäyminen tehdään nopeimmin, kun yhtäkään viivaa/pistettä
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotRSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä
RSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä Perusteet, algoritmit, hyökkäykset Matti K. Sinisalo, FL Alkuluvut Alkuluvuilla tarkoitetaan lukua 1 suurempia kokonaislukuja, jotka eivät ole tasan jaollisia
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
Lisätiedot