Algoritmit 2. Luento 12 To Timo Männikkö

Transkriptio

1 Algoritmit 2 Luento 12 To Timo Männikkö

2 Luento 12 Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

3 Algoritmien suunnittelu Paikallinen etsintä: Aloitetaan jostain tunnetusta (mahdollisesti satunnaisesta) ratkaisusta Parannetaan ratkaisua sopivilla paikallisilla muutoksilla Jatketaan kunnes ratkaisu ei enää parane Saadaan lokaali optimi Joskus saadaan myös globaali optimi Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

4 Geneettiset algoritmit Tarkastellaan ratkaisuehdokkaiden joukkoa populaationa Muodostetaan uusi populaatio: Kahden ratkaisun risteytyksillä Yksittäisen ratkaisun mutaatioilla Suositaan hyviä ratkaisuja, estetään huonojen ratkaisujen lisääntyminen Ratkaisu esitetään usein bittijonona (tai merkkijonona tai kokonaislukujonona) Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

5 Geneettiset algoritmit 1. Muodostetaan k:n ratkaisun populaatio R 2. Toistetaan niin kauan kuin saadaan parannettua ratkaisua riittävästi: Valitaan R:stä m kpl kahden alkion osajoukkoja Risteytetään osajoukkojen ratkaisuparit Tehdään uusille ratkaisuille mutaatio pienellä todennäköisyydellä Joukko S Valitaan R:stä ja S:stä uusi k:n ratkaisun populaatio Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

6 Esimerkki: Kauppamatkustajan ongelma Kauppamatkustajan ongelma, 9 solmua Esitetään reitit kokonaislukujonoina Kahden reitin risteytys: Valitaan satunnaisesti yhtenäinen pätkä reittiä, joka vaihtaa paikkaa vanhemmissa Muilla reitin osilla säilytetään järjestys ja paikka niin monelle solmulle kuin mahdollista Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

7 Esimerkki: Kauppamatkustajan ongelma Vaihdettavat osat pystyviivojen välissä: Solmut 2, 3 ja 9 pysyvät paikoillaan:? ? 9?? Muut solmut muutetaan vastaavasti: Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

8 Geneettiset algoritmit Yleensä risteytyksiä kannattaa suosia, valintatodennäköisyys % Mutaatioiden määrä kannattaa pitää alhaisena, % Hyviä tuloksia suhteellisen pienillä populaatiolla, kpl Ratkaisut valitaan hyvyyden mukaan: Joko ratkaisujen hyvyyden todellinen arvo Tai vain niiden keskinäinen järjestys Eliittiluokka: Ratkaisut, jotka valitaan aina mukaan Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

9 Esimerkki: Kapsäkkiongelma Esitetään ratkaisu bittijonona: i:s bitti on joko 0 tai 1 sen mukaan, onko tavara i valittu mukaan kapsäkkiin Muodostetaan (satunnaisesti) k kpl alkuratkaisuja: Jos alkuratkaisu ei sallittu (yhteispaino ylittää arvon W ), vaihdetaan satunnaisesti jokin bitti 1:stä 0:ksi Tarvittaessa toistetaan Ratkaisun hyvyysarvona käytetään vastaavan kapsäkin arvoa Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

10 Esimerkki: Kapsäkkiongelma Risteytys: Valitaan risteytettävät ratkaisut todennäköisyydellä, joka on suoraan suhteessa ratkaisujen hyvyyteen Generoidaan satunnaisesti kokonaisluku m väliltä 0,..., n Vaihdetaan risteytettävien ratkaisujen m ensimmäistä bittiä keskenään Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

11 Esimerkki: Kapsäkkiongelma Mutaatio: Käydään läpi ratkaisun bitit ja pienellä todennäköisyydellä käännetään bitti Uuden populaation valinta: Uusia ratkaisuja p %, loput vanhoja ratkaisuja Lopetusehto: Lopetetaan, jos populaation ratkaisuista 90 %:lla sama hyvyys Tai jos populaatioita muodostettu jo maksimimäärä Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

12 Paikallinen etsintä Ratkaisun parantaminen naapurimenetelmällä: Etsitään nykyisen ratkaisun hyviä naapuriratkaisuja Mitä suurempi naapuriratkaisujen joukko, sitä parempia ratkaisuja saavutettavissa Tutkittavan joukon kokoa voidaan pienentää rajoitusheuristiikoilla Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

13 Paikallinen etsintä Juuttuminen lokaaliin minimiin: Naapuriratkaisut lähellä nykyistä ratkaisua Jos ollaan jo lokaalissa minimissä, ei päästä siitä pois, vaikka kauempana olisi parempi (mahdollisesti globaali) minimi Simuloitu jäähdytys: Sallitaan satunnaisesti myös siirtyminen huonompiin ratkaisuihin Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

14 Simuloitu jäähdytys Minimoidaan kustannusta c Nykyinen ratkaisu x, uusi ratkaisu x Ratkaisujen kustannusten erotus d = c(x ) c(x) Satunnaisuutta säätelee lämpötila T Siirtyminen huonompaan ratkaisuun hyväksytään todennäköisyydellä e d/t, jos d > 0 Jäähdytys: T :n arvoa alennetaan arvosta T alku kohti arvoa T loppu 0 Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

15 Esimerkki: Kauppamatkustajan ongelma Naapuriratkaisu 2-vaihdolla: Poistetaan kaksi kaarta Lisätään kaksi kaarta Uusi reitti Siirtyminen naapuriratkaisuun: Erotus d = reitin pituuden muutos Jos d 0, hyväksytään naapuriratkaisu Jos d > 0, generoidaan satunnaisluku väliltä [0, 1] ja hyväksytään naapuriratkaisu, jos e d/t satunnaisluku Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

16 Simuloitu jäähdytys T = Talku; x = satunnainen alkuratkaisu; while (T > Tloppu) { while (lämpötilaa T ei vielä tutkittu) { x = satunnainen x:n naapuriratkaisu; d = c(x ) - c(x); if (d <= 0) x = x ; else if (exp(-d/t) >= random(0,1)) x = x ; } T = alenna(t); } return x; Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

17 Simuloitu jäähdytys Algoritmin yksityiskohdat tehtäväkohtaisia Tietyin edellytyksin voidaan osoittaa: Jos lämpötilaa T lasketaan riittävän hitaasti, globaali optimi löytyy todennäköisyydellä, joka lähestyy ykköstä Käytännössä voi antaa hyviä tuloksia myös nopeammalla jäähdytyksellä Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

18 Merkkijonon sovitus Merkkijono taulukossa T, pituus n Yksittäinen merkki T [i], missä 0 i n 1 Alimerkkijono T [i..j], missä 0 i j n 1 Mallimerkkijono P, pituus m Tehtävä: Löytyykö P merkkijonosta T Toisin sanoen: Onko jollain i T [i.. i + m 1] = P[0.. m 1] Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

19 Merkkijonon sovitus Raa an voiman menetelmä: Etsitään P:tä merkki kerrallaan T :n ensimmäisestä merkistä alkaen Ellei löydy, etsitään T :n toisesta merkistä alkaen Jne. Pahimman tapauksen aikavaativuus Θ(nm) Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

20 Merkkijonon sovitus sovitus(t, p) { for (i = 0; i < n-m+1; i++) { j = 0; while ( j < m && t[i+j] == p[j]) j++; if (j == m) return i; } return -1; // ei löytynyt } Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

21 Merkkijonon sovitus Tehokkaampia menetelmiä: Esikäsitellään mallimerkkijono Kerätty tieto tallennetaan aputaulukkoon Aputaulukon tietoa käytetään hyväksi varsinaisessa sovitusvaiheessa Esimerkiksi: Horspoolin algoritmi Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

22 Horspoolin algoritmi Mallimerkkijono P asetetaan merkkijonon T alkuun Tarkastellaan P:tä lopusta alkaen Jos kaikki merkit täsmäävät, P löytyi Muuten P:tä siirretään eteenpäin (oikealle) Siirto voi olla useampia askeleita Jatketaan kunnes P löytyy tai kunnes tullaan T :n loppuun Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

23 Horspoolin algoritmi Mallimerkkijonon siirto: Siirto tehdään mahdollisimman pitkälle siten, että mahdollista sopivaa alimerkkijonoa ei kuitenkaan ohiteta Siirron suuruus päätetään siitä T :n merkistä, jota sovitettiin P:n viimeiseen merkkiin Useita eri tapauksia Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

24 Horspoolin algoritmi Tapaus: Mallimerkkijonossa ei ole lainkaan sovitettavaa merkkiä (tässä esimerkissä d): a b c a c b d x x x x x a c a c c Siirretään koko P:n pituuden verran: a b c a c b d x x x x x a c a c c Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

25 Horspoolin algoritmi Tapaus: Mallimerkkijonossa on sovitettava merkki, mutta ei viimeisen merkin kohdalla: a b c a c b d x x x x x a c d c c Siirretään vastaava oikeanpuoleisin merkki viimeisen merkin kohdalle (kaksi askelta): a b c a c b d x x x x x a c d c c Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

26 Horspoolin algoritmi Tapaus: Vain osa merkeistä täsmää, ja viimeistä merkkiä ei esiinny P:ssä muualla: a b c a c b d x x x x x a c a b d Siirretään koko P:n pituuden verran: a b c a c b d x x x x x a c a b d Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

27 Horspoolin algoritmi Tapaus: Vain osa merkeistä täsmää, ja viimeinen merkki esiintyy P:ssä muualla: a b c a c b d x x x x x a c d b d Oikeanpuoleisin merkki (P:n viimeistä merkkiä huomioimatta) viimeisen merkin kohdalle: a b c a c b d x x x x x a c d b d Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

28 Horspoolin algoritmi Siirtymät lasketaan etukäteen taulukkoon Taulukko indeksoidaan kaikilla mahdollisilla tekstissä ja mallissa esiintyvillä merkeillä Merkin c siirtymä: s(c) = mallimerkkijonon pituus m, jos c ei esiinny mallin (m 1):n ensimmäisen merkin joukossa s(c) = oikeanpuoleisimman merkin c etäisyys mallin viimeiseen merkkiin, jos c on (m 1):n ensimmäisen merkin joukossa Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

29 Esimerkki Mallimerkkijono: a c a b d Pituus m = 5, merkkien lukumäärä k = 4 Siirtymätaulukko: a b c d s Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

30 Horspoolin algoritmi 1. Muodostetaan siirtymätaulukko 2. Mallimerkkijono tekstin alkua vasten 3. Toistetaan kunnes haettu merkkijono löytyy tai malli siirtyy tekstin lopun ohi: Alkaen mallin viimeisestä merkistä verrataan mallin ja tekstin merkkejä Jos eri merkit, haetaan siirtymätaulukosta vastaava siirtymä Siirtymän määrää tekstissä mallin viimeisen merkin kohdalla oleva merkki Siirretään mallia oikealle siirtymän verran Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

31 Esimerkki Merkkijono: a a b b a a b a b Mallimerkkijono: a b a b Siirtymätaulukko: a b s 1 2 Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

32 Esimerkki jatkuu a a b b a a b a b a b a b a a b b a a b a b a b a b a a b b a a b a b a b a b a a b b a a b a b a b a b Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

33 Horspoolin algoritmi Merkkijono t, pituus n Mallimerkkijono p, pituus m Merkistön merkkien lukumäärä k Siirtymätaulukko s, pituus k Siirtymätaulukon muodostaminen: for (i = 0; i < k; i++) s[i] = m; for (j = 0; j < m-1; j++) s[p[j]] = m j; Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

34 Horspoolin algoritmi Mallimerkkijonon sovitus: i = m - 1; while (i < n) { j = 0; while (j < m && p[m-1-j] == t[i-j]) j = j + 1; if (j == m) return i-m+1; else i = i + s[t[i]]; } return -1; Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35

35 Horspoolin algoritmi Pahimman tapauksen aikavaativuus Θ(nm) Satunnaisella tekstillä huomattavasti nopeampi kuin raa an voiman algoritmi Käytännössä lähes Θ(n) Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To /35