Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen
|
|
- Saara Kinnunen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Staattinen sähkökenttä - Eristepalkki levykondensaattorissa - Eristekappaleen energia - Maxwellin jännitystensori Staattinen magneettikenttä - Stationaariset virrat
2 Sähköstaattinen energia: kertaus Määritellään varaussysteemin sähköstaattinen energia työnä, joka tarvitaan systeemin kokoamiseksi. Lähtökohta (nollaenergia) on tilanne jossa ulkoiset varaukset ovat äärettömyydessä ja eristekappaleet polarisoitumattomia. Jatkuvile jakaumille U = 1 2 ϕ(r)ρ(r)dv Sähköstaattinen energia voidaan kirjoittaa myös kenttien avulla (sähköstaattinen energiatiheys) u = 1 2 D E Jos systeemissä on pistevarauksia, niiden ääretön itseisenergia on vähennettävä eksplisiittisesti. Esimerkki: tasaisesti varattu pallonkuori
3 Systeemissä vaikuttavia voimia voi määrittää tarkastelemalla energian muutoksia voiman suuntaisessa siirroksessa. Eristetyssä systeemissä voiman tekemä työ tapahtuu sähköstaattisen energian kustannuksella, joten F = du dr Jos toisaalta kaikki varaukset ovat johteilla, jotka pidetään vakiopotentiaalissa ulkoisen energialähteen (paristo) avulla, saadaan F = du dr Jos systeemi on mahdollista ajatella kummanlaiseksi tahansa (esim. kondensaattori jonka levyt ovat kiinteät) antavat molemmat laskutavat saman voiman, sillä systeemi ei alkutilanteessa tiedä onko se eristetty vai ei. Q V
4 Esimerkki. Eristepalkki levykondensaattorissa Olkoon kondensaattorin levyjen sisällä koko kondensaattorin täyttävä eristepalkki, jonka permittiivisyys on ǫ. Kondensaattorin levyjen etäisyys on d, niiden pituus L ja leveys w. Ulkoinen virtalähde pitää kondensaattorin jännitteen vakiona ϕ, jolloin myös sähkökenttä on vakio, E = V/d. Lasketaan, kuinka suuri voima vetää palkkia kondensaattoriin. d E F L x L x Kondensaattorin sisällä kenttä on tasainen. Palkkiin vaikuttavasta voimasta on kuitenkin vastuussa kondensaattorin reuna, jossa sähkökenttä ei ole tasainen. Reunakenttä on monimutkainen laskea.
5 d E F L x L x Tarkastellaan muutosta systeemin energiassa kun palkkia siirretään. Energiatiheys on u = ǫe 2 /2 Systeemin energia kuvan tilanteessa on U(x) = ǫ 2 E 2 wxd + ǫ 0 2 E 2 w(l x)d +reuna Jos palkki on pitkä, reunakenttä ei muutu. Voima F x = U x == ǫ r 1 ǫ 0 E 2 wd 2 osoittaa kasvavan x:n suuntaan vastustaen ulosvetämistä.
6 Eristekappaleen energia Lasketaan miten systeemin sähköstaattiseen energiaan vaikuttaa se että systeemiin tuodaan eristekappale. Oletetaan että muuten tyhjässä avaruudessa on varausjakauman ρ 0 (r) aiheuttama sähkökenttä E 0. Tuodaan avaruuteen yksinkertaisesta aineesta muodostuva eristekappale V 1 (permittiivisyys ǫ 1 ) siten, että alkuperäisen kentän E 0 aiheuttava varausjakauma ei muutu. Ennen eristekappaleen tuontia sähköstaattinen energia on U 0 = 1 E 0 D 0 dv 2 missä D 0 = ǫ 0 E 0. Kappaleen tuonnin jälkeen energia on U 1 = 1 E D dv 2 Energioiden erotus U = U 1 U 0 voidaan kirjoittaa muotoon U = 1 (E D 0 D E 0 ) dv + 1 (E + E 0 ) (D D 0 ) dv 2 2
7 Jälkimmäisessä integraalissa voidaan kirjoittaa E + E 0 = ϕ. Integrandiksi tulee osittaisintegroinnin jälkeen lauseke ϕ (D D 0 ). Tämä on nolla, koska alkuperäinen varausjakauma ρ 0 oletetaan muuttumattomaksi. Energian muutos on siis U = 1 (E D 0 D E 0 ) dv 2 Huomataan vielä, että integroimisalue on ainoastaan V 1 (eristekappale), sillä sen ulkopuolella D = ǫ 0 E. Sähkövuon tiheyden määritelmän (D = ǫ 0 E + P) perusteella integrandiksi tulee siis 1 2 P E 0 Ulkoiseen kenttään E 0 tuodun eristekappaleen energiatiheys on siten u = 1 2 P E 0 Tuloksen avulla voidaan päätellä, mihin suuntaan kappale pyrkii liikkumaan. Esim. Pieni eristekappale pistevarauksen kentässä.
8 Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa Tutustutaan tyylikkääseen tapaan laskea voimavaikutukset jännitystensorin avulla. Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on staattinen sähkökenttä E ja äärellisessä alueessa V varausjakauma ρ. Alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima on Coulombin lain mukaan F = ρ(r)edv = f(r)dv missä V V f = ρe = ǫ 0 ( E)E on voimatiheys eli voima tilavuusalkiota kohti. Jälleen kerran pyritään muuttamaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi.
9 Kirjoitetaan auki voiman x-komponentti. f x = ǫ 0 [E x x E x + E x y E y + E x z E z ] = ǫ 0 [ 1 2 x(e 2 x ) + y (E y E x ) + z (E z E x ) E y y E x E z z E x ] Koska sähköstaattinen kenttä on pyörteetön eli E = 0, niin x E y y E z z E x = y E x = z E y = x E z Saadaan f x = ǫ 0 [ x (E 2 x 1 2 E2 ) + y (E y E x ) + z (E z E x )] ja vastaava tulos muille komponenteille.
10 [ Vektorilaskennasta tunnetaan divergenssiteoreeman sukuinen tulos ] ψ dv = n ψ ds V Tavanomainen divergenssiteoreema riittänee: rakennetaan vektori [ u = ǫ 0 (Ex 2 1 ] 2 E2 )e x + (E y E x )e y + (E z E x )e z V jolloin f x = ǫ 0 [ x (Ex 2 1 ] 2 E2 ) + y (E y E x ) + z (E z E x ) = u on u:n divergenssi. Käytetään jälleen kerran Gaussin lausetta, ja muunnetaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi. Kokonaisvoiman x-komponentiksi saadaan F x = f x (r)dv V = u dv = n u ds V S
11 ja edelleen F x = ǫ 0 [n x (Ex 2 1 S 2 E2 ) + n y E y E x + n z E z E x ] ds = ǫ 0 [(E x n x + E y n y + E z n z )E x 1 S 2 E2 n x ] ds = ǫ 0 [(n E)E x 1 2 E2 n x ] ds S Koko vektoriksi saadaan F = (ǫ 0 (n E)E 1 2 ǫ 0nE 2 ) ds S
12 Alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima F voidaan siis korvata vain alueen pintaan S kohdistuvalla pintavoimalla F S, jonka pintatiheyden f S komponentti i on f S i = 3 T ij n j j=1 missä on määritelty Maxwellin jännitystensori T ij = ǫ 0 (E i E j 1 2 δ ije 2 ) Voimatiheys voidaan esittää tensorin divergenssinä: f i = 3 j T ij j=1
13 Maxwellin jännitystensori auki kirjoitettuna: T ij = ǫ 0 Pintavoima oli 1 2 (E 2 x E 2 y E 2 z ) E x E y E x E z E y E x 1 2 (E 2 y E 2 x E 2 z ) E ye z E z E x E z E y 1 2 (E 2 z E 2 x E 2 y ) f S i = 3 T ij n j Elementti T ij kertoo j-suuntaiseen pintaelementtiin kohdistuvan i-suuntaisen voiman. j=1 T 11 on paine T 12 ja T 13 edustavat jännityksiä (stress) Voimatiheys puolestaan on f i = Divergenssi tensorista on vektori. 3 j T ij j=1
14 Voimien F ja F S ekvivalenssin toteamiseksi on vielä osoitettava niiden momenttien yhtäsuuruus mielivaltaisen pisteen suhteen. On siis näytettävä, että N = V r f dv on sama kuin NS = S r fs ds. Laskennallisesti suoraviivainen todistus perustuu jännitystensorin ja permutaatiosymbolin käyttään.
15 Esimerkki: johdekappale Kappaleeseen kohdistuva voima voitiin siis lausua pintavoimana F = (ǫ 0 (n E)E 1 2 ǫ 0nE 2 ) ds S Sovelletaan tätä pintaan, joka juuri ja juuri sulkee sisäänsä johdekappaleen. Silloin E = En, jolloin 1 F = 2 ǫ 0nE 2 ds ja kun vielä muistetaan että johteille σ = ǫ 0 E n, saadaan F = 1 σ s EdS 2 S S
16 Staattinen magneettikenttä
17 Maxwellin yhtälöt: E = ρ/ǫ 0 (1) B = 0 (2) E = B t (3) B = µ 0 J + 1 E c 2 t (4) Stationaarisessa tilanteessa ei esiinny ajasta riippuvia kenttiä. Maxwellin yhtälöt yksinkertaistuvat muotoon E = ρ/ǫ 0 B = 0 E = 0 B = µ 0 J Kenttien lähteinä toimivat ajasta muuttumattomat varaustiheys ρ ja virrantiheys J. Stationaarinen virtaus synnyttää staattisen magneettikentän.
18 Sähkövirta Sähkövirta on varausten liikettä. Tarkastellaan joukkoa varauksellisia hiukkasia, joiden varaus on q, lukumäärätiheys n ja nopeus v. Sähkövirta I määritellään annetun pinnan läpi aikayksikössä kulkevan varauksen määränä I = dq/dt Olkoon ds jokin pintaelementti. Sen läpi kulkeva virta on di = missä J on virrantiheys. nqvdt n ds dt = ρv n ds = J ds Virrantiheys on samankaltainen vuosuure kuin esim. sähkövuon tiheys D. Fysikaalinen vuo (=virta) pinnan läpi saadaan integroimalla vuon tiheys pinnan yli.
19 Sähkövirran SI-yksikkö on ampeeri A = C/s. Virrantiheys on virta pinta-alan läpi, joten sen yksikkö on A/m 2. SI-yksiköissä sähkövirran yksikkö otetaan perussuureeksi ja kaikki muut sähköiset yksiköt voidaan ilmaista ampeerin, metrin, kilogramman ja sekunnin avulla.
20 Tarkastellaan pinnan S läpi kulkevaa virtaa I = dq/dt. Virta määräytyy yksinomaan pinnan läpi aikayksikössä kulkevasta nettovarauksesta J = ρv = nqv Sama virta voi rakentua eri tavoin, esim: - Hitaasti liikkuvia suuria varauksia - Nopeasti liikkuvia pieniä varauksia - Negatiiviseen suuntaan liikkuvia negatiivisia varauksia Virta voi esiintyä ilman nettovaraustiheyttä. Huom. Lausekkeessa ρv esiintyvä ρ sisältää vain liikkeeseen osallistuvat varaukset. Virta ei myöskään edellytä johtimen olemassaoloa. Esim. pyörivä varauslevy.
21 Jatkuvuusyhtälö Virrantiheys ja sähkövaraus liittyvät läheisesti toisiinsa. Suljetun pinnan S läpi alueeseen V tuleva virta on (n osoittaa ulospäin) I = J n ds = J dv S Koska kokonaisvaraus säilyy, tämän täytyy olla yhtä suuri kuin varausten tilavuuteen V tuoma varaus I = dq/dt = d ρ(r, t)dv dt Oletetaan tilavuus kiinteäksi, jolloin aikaderivaatta voidaan viedä integraalin sisään. Koska ρ on sekä ajan että paikan funktio, kokonaisderivaatta muuttuu osittaisderivaataksi: ρ(r, t) I = dv t joten V V ( ρ/ t + J) dv = 0 V V
22 Koska tämän täytyy olla voimassa kaikilla tilavuuksilla, saadaan virralle jatkuvuusyhtälö ρ/ t + J = 0 Jatkuvuusyhtälö seuraa suoraan varauksen säilymislaista. Mikäli varaustiheys on ajasta riippumaton eli J = 0, sähkövirralla ei ole lähteitä tai nieluja ja siten kaikki virtaviivat sulkeutuvat tai jatkuvat äärettömyyksiin. Tällaista virtausta kutsutaan stationaariseksi.
23 Sähkövirta johteessa Tarkastellaan johdetta, johon ulkoinen energialähde (paristo) syöttää jatkuvasti varausta niin että johteen läpi kulkee (stationaarinen) virta. Sähköstatiikassa opittiin että - johteessa ei ole sähkökenttää - johteessa ei ole nettovarausta - sähkökenttä johteen pinnalla on kohtisuorassa pintaa vastaan Nämä kaikki perustuivat staattisuusoletukseen. Mikään näistä ei enää päde jos ulkoinen lähde pitää yllä virtaa kappaleessa! Paristo pitää yllä jännitettä (potentiaalieroa) johteen eri osien välillä johteessa on sähkökenttä!
24 Ohmin laki On kokeellinen tosiasia, että vakiolämpötilassa olevissa metalleissa sähkövirta riippuu lineaarisesti sähkökentästä: J = σe Tämä on Ohmin laki ja sen verrannollisuuskerroin σ on johtavuus (älä sekoita pintavaraukseen!). Lineaarinen Ohmin laki on voimassa tavallisille aineille, ellei sähkökenttä ole kovin suuri. Se ei kuitenkaan ole sellainen fysiikan peruslaki kuin esim. Maxwellin yhtälöt tai varaustiheyden jatkuvuusyhtälö. Johtavuuden käänteislukua kutsutaan ominaisvastukseksi eli resistiivisyydeksi. Johtavuuden SI-yksikkö on [σ] = (A/m 2 )/(V/m) = A/(Vm), joten ominaisvastuksen yksiköksi tulee Vm/A. Toisaalta V/A on tuttu vastuksen yksikkö ohmi (Ω), joten ominaisvastuksen yksikkö on Ωm ja johtavuuden Ω 1 m 1 = S/m, (S=siemens).
25 Esimerkki: Homogeenisen johdelevyn resistanssi Homogeenisen äärettömän johdelevyn (paksuus D) johtavuus on σ. Mikä on levyn resistanssi pinta-alayksikköä kohden? Ajatellaan levy kytketyksi jännitteeeen V. Sähkökenttä levyssä on silloin E = V D e x ja siinä kulkee tasainen virrantiheys Virta pinta-alaa A kohden on J = σe = σv D e x I = AJ = AσV D Levyn resistanssi pinta-alaa A kohden on silloin R = V/I = D σa
26 Taulukossa luetellaan joidenkin hyvien johteiden resistiivisyyksiä. Taulukko: Aineiden resistiivisyyksiä. Johtavuus on resistiivisyyden käänteisluku. aine resistiivisyys aine resistiivisyys 10 8 Ωm 10 8 Ωm alumiini 2,65 kupari 1,67 grafiitti 1375 nikkeli 6,84 hopea 1,59 rauta 9,71 konstantaani 50 sinkki 5,92 kulta 2,35 volframi 5,68
27 Sähkövirta johtimessa Tarkastellaan sähkövirran ja jännitteen välistä yhteyttä ohuessa pitkässä homogeenisessa suorassa virtajohdossa, jonka päiden välillä on jännite ϕ ja jonka johtavuus on σ. Valitaan z-akseli johdon suuntaiseksi. Tarkastellaan stationaarista tilannetta: J = 0 Koska systeemi on homogeeninen, pätee Ohmin lain perusteella J = E = 0 ja Johtimessa sähkökentällä ei ole komponenttia kohtisuorassa johtoa vastaan, koska tämä aiheuttaisi jatkuvan sähkövirran joko johtoon tai siitä pois. Näillä ehdoilla E ja J ovat z-suuntaisia vakiokenttiä johdon sisällä.
28 Johdossa kulkee tasainen virta, joka mielivaltaisen poikkileikkauspinta-alan A läpi on I = J n ds = JA = σa ϕ L Verrannollisuuskerroin on vastus (resistanssi) jonka SI-yksikkö on siis ohmi. A R = L/(σA) Tästä voidaan johtaa koulufysiikasta tuttuja yhteyksiä, kuten työn, jonka sähkökenttä tekee siirtäessään varauksen Q potentiaalieron U yli: W = QU ja vastaavan tehon P = UI = RI 2 = U 2 /R Tämän tehon sanotaan häviävän materiaalin Joulen lämmityksenä.
29 Virtapiirejä tarkasteltaessa päästään pitkälle Kirchoffin säännöillä I. Tulevien virtojen summa on sama kuin lähtevien virtojen summa missä tahansa kohdassa virtapiiriä. II. Potentiaalierojen summa virtapiirin ympäri on nolla.
30 Johtavuuden klassinen selitys Tarkastellaan johteessa nopeudella v liikkuvaa varauksellista hiukkasta (varaus q, massa m) klassisen mekaniikan mukaisesti. Sähkökentässä E hiukkanen kiihtyy voiman qe vaikutuksesta. Olkoon kyseessä lineaarinen ohminen johde, jossa sähkökenttä aiheuttaa tasaisen virrantiheyden J. Hiukkaseen täytyy vaikuttaa toisenkin voiman, joka kumoaa sähkökentän aiheuttaman kiihtyvyyden. Jos jarruttava voima on mekaanisen kitkan kaltainen eli verrannollinen hiukkasen nopeuteen, niin liikeyhtälö on m dv dt = qe Gv missä G > 0 on vakio. Alkuehdolla v(0) = 0 saadaan ratkaisuksi v(t) = q G E(1 e Gt/m )
31 Tämän mukaan hiukkasen nopeus lähestyy kulkeutumisnopeutta v d = qe/g eksponentiaalisesti aikavakion τ ollessa τ = m/g Aikavakion avulla lausuttuna kulkeutumisnopeus on Edelleen virrantiheydelle saadaan joten johtavuus on v d = qτe m J = nqv d = nq2 τ m E σ = nq2 τ m missä n on hiukkasten lukumäärätiheys. Jos virrankuljettajia on useampaa laatua, niin σ = n i qi 2τ i m i i
32 Aikavakio τ voidaan tulkita johtavuuselektronien keskimääräiseksi törmäysajaksi. Matkaa, jonka johtavuuselektroni kulkee keskimäärin tärmäysten välillä kutsutaan keskimääräiseksi vapaaksi matkaksi l mfp = v T τ, missä v T on elektronien terminen nopeus. Sen on oltava paljon suurempi kuin v d. Useimmilla metalleilla v T 10 6 m/s ja v d yleensä alle 10 2 m/s. Metalleilla l mfp 10 8 m huoneenlämmässä, joten τ s. Sähkövirta reagoi käytännössä välittämästi sähkökentän muutokseen. Sähkökentän tekemä työ muuttuu törmäyksissä väliaineen hiukkasten kineettiseksi energiaksi eli lämpöeneriaksi. Tämä on Joulen lämmitys.
Sähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Sähköja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotLuku Ohmin laki
Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Passiiviset piirikomponentit Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet vastus käämi kondensaattori puolijohdekomponentit Tarkoitus on esitellä piiriteorian
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotDEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
LisätiedotStaattinen magneettikenttä
Luku 5 Staattinen magneettikenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvien sähkövarausten eli sähkövirtojen aiheuttamaan staattiseen magneettikenttään. Jos sähköstatiikka tuli opiskeltua huolellisesti, niin
LisätiedotStaattinen magneettikenttä
Luku 5 Staattinen magneettikenttä 5.1 Sähkövirta Nykyaikana sähkövirta lienee tutumpi ilmiö kuin sähkövaraus. Todellisuudessa varauksia ja virtoja ei oikeastaan voi käsitellä erikseen. Edellisissä luvuissakin
LisätiedotStaattinen magneettikenttä
Luku 5 Staattinen magneettikenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvien sähkövarausten eli sähkövirtojen aiheuttamaan staattiseen magneettikenttään. Jos sähköstatiikka tuli opiskeltua huolellisesti, niin
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotElektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018
Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotSähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon
30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten
LisätiedotMagneettinen energia
Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee
LisätiedotStaattinen magneettikenttä
Luku 5 taattinen magneettikenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvien sähkövarausten eli sähkövirtojen aiheuttamaan staattiseen magneettikenttään. Jos sähköstatiikka tuli opiskelluksi huolellisesti, niin
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotSÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä:
FY6 SÄHKÖ Tavoitteet Kurssin tavoitteena on, että opiskelija ymmärtää sähköön liittyviä peruskäsitteitä, tutustuu mittaustekniikkaan osaa tehdä sähköopin perusmittauksia sekä rakentaa ja tutkia yksinkertaisia
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotPassiiviset piirikomponentit. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Passiiviset piirikomponentit 1 DEE-11000 Piirianalyysi Risto Mikkonen Passiiviset piirikomponentit - vastus Resistanssi on sähkövastuksen ominaisuus. Vastuksen yli vaikuttava jännite
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-00: PIIIANAYYSI I Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Kirja: luku. (vastus), luku 6. (käämi), luku 6. (kondensaattori) uentomoniste: luvut 3., 3. ja 3.3 VASTUS ja ESISTANSSI (Ohm,
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
SMG-: SÄHKÖTEKNIIKKA Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan näiden
Lisätiedot2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................
Lisätiedot1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
LisätiedotDEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE-0: SÄHKÖTEKNIIKAN PEUSTEET Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
LisätiedotLuento 2. SMG-2100 Sähkötekniikka Risto Mikkonen
SMG-2100 Sähkötekniikka Luento 2 1 Sähköenergia ja -teho Hetkellinen teho p( t) u( t) i( t) Teho = työ aikayksikköä kohti; [p] = J/s =VC/s = VA = W (watti) Energian kulutus aikavälillä [0 T] W T 0 p( t)
LisätiedotFY6 - Soveltavat tehtävät
FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
Lisätiedot1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla
Fy3: Sähkö 1. Tasavirta Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Sähkövirta I Sähkövirran suunta on valittu jännitelähteen plusnavasta miinusnapaan (elektronit
LisätiedotLuku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0
Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten
LisätiedotFysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto
ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä
LisätiedotLuku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä
Luku 23 Tavoitteet: Määritellä potentiaalienergia potentiaali ja potentiaaliero ja selvittää, miten ne liittyvät toisiinsa Määrittää pistevarauksen potentiaali ja sen avulla mielivaltaisen varausjakauman
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin
LisätiedotMaxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?
Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1)
Luku 8 Magneettinen energia Oppimateriaali RMC Luku 1 ja CL 7.3; esitiedot KSII luvut 4 ja 5. Luvussa 4 todettiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita,
LisätiedotLuku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan
Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään
LisätiedotElektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia
Elektrodynamiikka 2010 Luennot 18.3.2010 Elina Keihänen Magneettinen energia Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin
LisätiedotMaxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?
Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän
LisätiedotSähkövirran määrittelylausekkeesta
VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotElektroniikka. Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist
Elektroniikka Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist Kurssin sisältö Sähköopin perusteet Elektroniikan perusteet Sähköturvallisuus ja lainsäädäntö Elektroniikka musiikkiteknologiassa Suoritustapa
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
LisätiedotMagneettikenttä ja sähkökenttä
Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELECA4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 2 Gaussin laki (YF 22) Oppimistavoitteet Varaus
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches
LisätiedotSMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO
SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen
LisätiedotCoulombin laki ja sähkökenttä
Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
Lisätiedot9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit
9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 1 / versio 8. syyskuuta 2015 Johdanto (ti) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Aallot ja osoittimet
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotEristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
LisätiedotSähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä
Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 13. lokakuuta 2016 Luentoviikko 7 Dynaamiset kentät (Ulaby, luku 6) Maxwellin yhtälöt Faradayn induktiolaki ja Lenzin laki Muuntaja Generaattori
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 16 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotFy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7
Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput
LisätiedotRATKAISUT: 18. Sähkökenttä
Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotFysiikka 7. Sähkömagnetismi
Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla
LisätiedotJännite, virran voimakkuus ja teho
Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin
LisätiedotStaattinen magneettikenttä
Luku 5 taattinen magneettikenttä Tässä luvussa tustustutaan tasavirtoihin ja niiden aiheuttamiin magneettikenttiin (RM luvut 7 ja 8, L luku 6; esitiedot KII luvut 5 ja 6). 5.1 ähkövirta Nykyaikana sähkövirta
LisätiedotTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka vastus on R. Liitetään virtapiiriin jännitelähde V.
Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotFysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus)
Fysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus) 1) MEKANIIKKA Vuorovaikutus vuorovaikutuksessa kaksi kappaletta vaikuttaa toisiinsa ja vaikutukset havaitaan molemmissa kappaleissa samanaikaisesti lajit: kosketus-/etä-
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotAktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)
LisätiedotAiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio
Sähkömagnetismi 2 Aiheena tänään Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Käämiin vaikuttava momentti Magneettikentässä olevaan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedotj = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v =
764A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 6 Kevät 28. Tehtävä: Aiemmi olemme laskeeet kupari johtavuuselektroie tiheydeksi 8.5 28 m. Kuparijohdossa, joka poikkipita-ala o mm 2, kulkee A: virta. Arvioi Drude
LisätiedotPotentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0
Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä
LisätiedotKURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA
KURSSIN TÄRKEIMPIÄ AIHEITA varausjakauman sähköken/ä, Coulombin laki virtajakauman ken/ä, Biot n ja Savar8n laki erilaisten (piste ja jatkuvien) varaus ja virtajakautumien poten8aalienergia, poten8aali,
LisätiedotSÄHKÖTEKNIIKKA. NTUTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015
SÄHKÖTEKNIIKKA NTTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015 1. PERSKÄSITTEITÄ 1.1. VIRTAPIIRI Virtapiiri on johtimista ja komponenteista tehty reitti, jossa sähkövirta kulkee. 2 Virtapiirissä on vähintään
Lisätiedoton myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja siten magneettikentän
Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotFYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ
FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1)
Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit
Lisätiedot