E A [u] = % % = 14 %, E B [u] = u = 15 %.
|
|
- Iivari Härkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 von Neumann & Morgenstern -hyötyteoria Esimerkki: Hallituksella on kaksi mahdollista talouspolitiikkaa, A ja B. Politiikka A tuottaa 20 %:n työttömyysasteen todennäköisyydellä 1/2 ja 8 %:n työttömyysasteen tn 1/2. Politiikka B tuottaa varman 15 %:n työttömyysasteen. Kumpi vaihtoehto hallituksen kannattaisi valita? Tarkastellaan talouspolitiikkojen tuottamia odotusarvoja (u on työttömyysaste): E A [u] = % % = 14 %, E B [u] = u = 15 %. Jos valintakriteeri on odotetun työttömyysasteen minimointi, hallituksen kannattaisi valita vaihtoehto A. Kuitenkin A:ssa riski yli 15 %:n työttömyysasteesta on melko suuri, joten riskiä karttava hallitus voisi preferoida varmaa 15 %:n työttömyysastetta, eli vaihtoehtoa B. Tämä esimerkki osoittaa, miten epävarmuus päätöksentekotilanteessa saattaa johtaa varman huonomman vaihtoehdon valitsemiseen kuin odotetun hyödyn maksimointi tuottaisi. Esimerkki osoittaa myös sen, että epävarmassa päätöksentekotilanteessa valinta riippuu päätöksentekijän suhtautumisesta riskiin. Oletetaan päätöksentekijälle perinteinen hyötyfunktio u = u(z), siten, että Z i Z j u(z i ) u(z j ), missä Z i, Z j ovat asioiden tiloja ja Z i Z j merkitsee, että päätöksentekijä pitää tulemaa Z j vähintään yhtä hyvänä kuin tulemaa Z i (päätöksentekijän preferenssijärjestyksen osoittava relaatio). Päätöksentekijän indifferenssi (samahyöty) -relaatio määritellään seuraavasti: Z i Z j u(z i ) = u(z j ). Oletetaan nyt, että Z 1 Z 2 Z n missä Z i, i = 1,..., n ovat kaikki mahdolliset asiantilat tietyssä päätöksentekotilanteessa. Tällöin päätöksentekijällä pätee u(z 1 ) u(z 2 ) u(z n ). Oletetaan vielä, että asiantiloihin liittyy epävarmuutta siten, että jokainen Z i, i = 1,..., n tapahtuu tietyllä todennäköisyydellä. Määritellään päätöksentekijälle normaalimuotoinen pelitilanne seuraavasti: päätöksentekijän on valittava kahden tilanteen välillä: 1) paras tapahtuma Z 1 tn p ja huonoin tapahtuma Z n tn (1 p) tai 2) varma tapahtuma Z i, 0 i n. Todennäköisyys p voi vaihdella välillä (0, 1). a) Koska Z 1 Z i, ja jos Z 1 on varma tapahtuma eli p = 1, päättäjä preferoi varmasti vaihtoehtoa 1). b) Koska Z i Z n, ja jos Z n on varma tapahtuma eli p = 0, päättäjä preferoi varmasti tilannetta 2). Löytyy siis sellaiset todennäköisyydet p, joissa päättäjä preferoi kumpaakin vaihtoehtoa. Väite: Jokaiselle Z i löytyy sitä vastaava todennäköisyys p, jolla päätöksentekijä yo. valintatilanteessa on indifferentti tilanteiden 1) ja 2) välillä. Todistus: Merkitään väitteessä kuvattua todennäköisyyttä v i :llä. Tällöin Z i [v i Z 1 ; (1 v i )Z n ], (1) 1
2 missä hakasuluissa esitetyllä termillä merkitään edellä kuvattua pelitilannetta (arvontaa Z 1 :n ja Z n :n välillä). Osoitetaan nyt, että jokaiselle Z i, i = 1,..., n löydetään yllä kuvattua tilannetta vastaava v i. Nyt v 1 = 1, sillä se on ainoa arvo, jolla varma tapahtuma Z 1 on päätöksentekijän kannalta samanarvoinen (indifferentti) pelitilanteen [v 1 Z 1 ; (1 v 1 )Z n ] kanssa. Vastaavasti v n = 0, sillä varma tapahtuma Z n on päätöksentekijän kannalta ainoa indifferentti tilanne pelitilanteen [v n Z 1 ; (1 v n )Z n ] kanssa. Preferenssirelaation monotoonisuuden Z 1 Z n perusteella voidaan määritellä yllä kuvatut subjektiiviset todennäköisyydet 1 = v 1 v 2 v n = 0 jokaiselle Z i, i = 1,..., n, joilla indifferenssirelaatio (1) toteutuu. Huomautus! Edellä saatu tulos johdettiin olettamalla, että päätöksentekijä kykenee järjestämään asiantilat Z 1,..., Z n paremmuusjärjestykseen. Vaikka ääritilanteet v 1 = 1 ja v n = 0 toteutuvatkin jokaisella päätöksentekijällä, jolla tämä sama paremmuusjärjestys vallitsee, muut todennäköisyydet v i, i = 2,..., n 1 määräytyvät päätöksentekijöiden subjektiivisen riskiin suhtautumisen perusteella, eli ne ovat subjektiivisia. Arvoa v i kusutaan tuleman Z i certainty equivalent -mukaiseksi hyötytasoksi. Määritellään päätöksentekotilannetta vastaava von Neumann-Morgenstern (VM) -hyötyfunktio ko. päätöksentekijälle seuraavasti: V (Z 1 ) = v 1 = 1, V (Z n ) = v n = 0 ja 0 V (Z i ) 1 i, V (Z i ) = v i. VM -hyötyfunktion arvoille pätee v i v j Z i Z j, eli se säilyttää päätöksentekijän preferenssirelaation mukaisen paremmuusjärjestyksen skaalaten funktion arvot välille (0, 1). Tämä arvoväli ei ole välttämätön, mutta se mahdollistaa samastamaan hyötyfunktion arvot todennäköisyyksiin. Huom! Jokainen v i on päätöksentekijän määrittämä subjektiivinen todennäköisyys (uskomus), jolla yllä esitetty indifferenssirelaatio (1) hänen kohdallaan toteutuu. Todennäköisyys v i ei siis liity tapahtuman Z i objektiiviseen todennäköisyyteen, vaan v i on vastaus päätöksentekijän ajatuskokeeseen yllä kuvatusta päätöstilanteesta (päätöksentekijän valinta sellaiseksi v i :n arvoksi, jolla indifferenssirelaatio hänen kohdallaan toteutuu). Subjektiiviset arvot v i, i = 1,..., n määrittävät päätöksentekijän suhtautumisen riskiin. Tarkastelemalla päätöksentekijöiden itselleen määrittelemiä arvoja v i, i = 2,..., n 1, päätöksentekijät voidaan luokitella 1) riskin karttajiin, 2) riskineutraaleihin ja 3) riskin ottajiin. Esim. Z 1 = 1000 mk, Z n = 0 mk ja Z i = 500 mk, missä luvut ovat päätöksentekijän saamia tuloja eri tilanteissa. Reilu peli edellyttää, että pelin molemmilla päätösvaihtoehdoilla on sama odotusarvo, Z i [pz 1 ; (1 p)z n ] 500 = 1000 p + 0 (1 p) p = =
3 Reilun pelin mukainen todennäköisyys tulemalle 1000 mk on siten 1/2. Yksittäisillä päätöksentekijöillä v i :n ei kuitenkaan tarvitse olla 1/2:n suuruinen; vain riskineutraaleilla tämä toteutuu. Riskin karttajilla suotuisamman tapahtuman todennäköisyyden tulisi toteuttaa ehto v i > 1/2, jotta he pitäisivät varmaa tapahtumaa 500 mk ja yllä kuvattua pelitilannetta (arpalippua) samanarvoisina. Riskin ottajilla taas pätee v i < 1/2. VM -hyötyindeksi ja odotetun hyödyn maksimointi Sellainen epävarma päätöksentekotilanne, jossa on n mahdollista tulemaa, Z 1,..., Z n, voidaan ymmärtää seuraavalla tavalla muodostetuksi yhdistetyksi arvonnaksi (compound lottery). Olkoon meillä epävarmuuden vallitessa tehtävä valintatilanne, jossa on J mahdollista arpalippua (olosuhdetta) L j, j = 1,..., J, jotka määrittelevät epävarmoille asiantiloille Z i tietyt todennäköisyydet. Jokainen arpalippu L j koostuu n:stä mahdollisesta tapahtumasta L j = [p j 1Z 1 ; p j 2Z 2 ; ; p j nz n ], missä p j i on tapahtuman Z i joko objektiivinen todennäköisyys tai päätöksentekijän subjektiivinen uskomus kyseisen tapahtuman tapahtumistodennäköisyydestä arpalipun L j toteutuessa, i = 1,..., n, n pj i = 1. Jokin Z i toteutuu siten varmasti arvonnassa. Yhdistetyssä arvonnassa ensimmäinen arvonta tehdään arpalippujen (olosuhteiden) L j, j = 1,..., J, kesken. Valittu arpalippu L k määrää tapahtumille Z i todennäköisyydet p k i, i = 1,..., n. Toinen arvonta puolestaan määrää, mikä mahdollisista tulemista (asioidentiloista) Z i toteutuu. Huom! Älä sotke todennäköisyyksiä p j i päätöksentekijän riskiin suhtautumista ilmaiseviin todennäköisyyksiin v i, jotka määräävät päätöksentekijän indifferenssirelaation tietyn arpalipun ja jonkin varman tapahtuman välille. Useat reaalimaailman epävarmuutta sisältävät päätöksentekotilanteet voidaan ajatella yllä kuvattuna yhdistettynä arvontana. Esim. Ravintoloitsija voi ajatella kesäterassinsa juomien menekkiä seuraavanlaisena yhdistettynä arvontana. Ensin arvotaan minkälainen ilma tulee tietyksi päiväksi (olosuhteet eli arpalippu L j ), joka määrää tietyt todennäköisyydet eri juomien menekille. Tämän jälkeen arvotaan, paljonko tiettyä juomaa terassilla menee kaupaksi ko. päivänä (mikä tapahtuma Z i toteutuu). Esim. Kauppias arvioi oman kauppansa hyödykkeiden menekkiä tietyn ajanjakson aikana yhdistettynä arvontana, jossa ensiksi arvotaan asiakkaiden kauppaan saapumisen todennäköisyys tiettynä ajanjaksona yhtenä tapahtumana asiakkaiden vaihtoehtoisten ajankäyttömuotojen kanssa (olosuhteet). Tämä määrää eri hyödykkeille tietyt ostotodennäköisyydet. Tämän jälkeen kauppaan saapuneiden asiakkaiden osalta arvotaan, mitä hyödykkeitä he valitsevat ostoskassiinsa. 3
4 Määritelmä: Hyötyfunktio V : Ω R on odotetun hyödyn muotoa, jos on olemassa reaaliluvut v 1,..., v n jokaiselle mahdolliselle tapahtumalle Z 1,..., Z n siten, että jokaisessa yksinkertaisessa arvonnassa L = [p 1 Z 1 ; ; p n Z n ] päätöksentekijän saama hyöty arpalipusta L voidaan kuvata funktiona V (L) = p 1 V (Z 1 ) + + p n V (Z n ) = p 1 v p n v n. Odotetun hyödyn mukaista hyötyfunktiota kutsutaan keksijöidensä mukaan von Neumann-Morgenstern (VM) -hyötyindeksiksi, ja se mittaa nimensä mukaisesti päätöksentekijän kyseisestä arvonnasta koituvan tuleman odotusarvoa siten, että eri tulemia arvotetaan niiden ns. certainty equivalent mukaisilla arvoilla (kts. edellä). Nimitys indeksi tulee siitä, että hyötyfunktion arvot ovat paljaita (mittayksiköttömiä) lukuja. Tarkastelemamme päätöksentekijän valintaongelma on seuraava: J:stä mahdollisesta arpalipusta yksi on valittava (esim. kauppiaan on arvioitava tietyn hyödykkeen menekki tiettynä ajanjaksona). Kun arpa on valittu, molemmat arvonnat suoritetaan, jonka jälkeen jokin mahdollisista arpalipuista (olosuhteista) L j sekä asiantiloista Z i toteutuu. VM -hyötyindeksi antaa meille yksinkertaisen tavan päätellä, mikä arpalippu päätöksentekijän kannattaisi valita. Muodostetaan päätöksentekijälle arpalippua L j vastaava tapahtumien Z i certainty equivalent -arvoista laskettu VM -hyötyindeksi seuraavasti V (L j ) = p j i V (Z i) = p j i v i, (2) missä päätöksentekijän hyödyt eri tilanteissa on korvattu edellä määritellyn VM -hyötyindeksin arvoilla, V (Z i ) = v i, i = 1,..., n. Hyötyindeksissä (2) tapahtumat Z i saadaan toistensa kanssa vertailukelpoisiksi arvottamalla niitä edellä kuvatulla vaatimuksella, jossa varmaa tapahtumaa Z i arvotetaan sillä suotuisamman asiantilan Z 1 todennäköisyydellä v i, joka tekee varmasta tulemasta Z i päätöksentekijän mielestä samanarvoisen parhaimmasta ja huonoimmasta vaihtoehdosta muodostetun arpalipun välillä. VM -hyötyindeksin mukaan V (L k ) V (L r ) L k L r. Tällä perusteella paras valinta (mikä arpalippu valitaan joukosta L 1,..., L J ) saadaan maksimoimalla kaavassa (2) määriteltyä odotettua hyötyä yli kaikkien arpalippujen L j, j = 1,..., J (valitaan se arpalippu L k, joka tuottaa suurimman odotusarvon hyötyindeksille V (L k ) V (L j ), j), jotka ovat päätöksentekijän arvostusten v i lineaarisia funktioita. Tästä syystä VM -hyötyteoriaa kutsutaan usein odotetun hyödyn maksimoinniksi. 4
5 Jatkossa tarkastelemme yksinkertaisuuden vuoksi vain sellaisia tilanteita, jotka voidaan kuvata yhdellä kerralla tapahtuvina arvontoina. Tämä ei rajoita analyysin kattavuutta, sillä yhdistetyt arvonnat voidaan pelkistää yhdeksi arvonnaksi muokkaamalla asiantilojen todennäköisyyksiä tilanteen mukaisesti. Esim. Merkitään yrityksen voittoa Π tietyn päätöksentekotilanteen n:ssä mahdollisessa tulemassa seuraavasti Π i, i = 1,..., n, ja järjestetään tulemat suuruusjärjestykseen Π 1 Π 2 Π n. Muodostetaan yritykselle erisuurten mahdollisten voittojen tuottamat VM -hyötyindeksin arvot (skaalataan hyötyfunktion arvot välille (0, 1)) seuraavasti: V (Π 1 ) = v 1 = 1, V (Π n ) = v n = 0 ja 0 V (Π i ) = v i 1, i = 1,..., n. Tarkastellaan nyt tapahtuman Π i päätöksentekijälle tuottamaa hyötyä V (Π i ) = v i, 0 < i < n. Edellä esitetyn määritelmän mukaan päätöksentekijä (yritys) määrää luvun v i siten, että yritys on indifferentti seuraavien kahden tapahtuman kesken Π i [v i Π 1 ; (1 v i )Π n ]. Reilun pelin mukainen tilanne toteuttaa yhtälön Π i = p i Π 1 + (1 p i )Π n, (3) missä varma tapahtuma Π i vastaa pelitilanteen (arpalipun) [p i Π 1 ; (1 p i )Π n ] odotusarvoa. Kaavan (3) mukaan tapahtuma Π i sijaitsee tasossa (Π, V (Π)) pisteet (Π 1, V (Π 1 ) = v 1 ), (Π n, V (Π n ) = v n ) yhdistävällä janalla. Oletetaan nyt yritys riskin karttajaksi, jolloin VM -hyötyindeksin (odotetun hyödyn) periaatteiden mukaisesti voidaan kirjoittaa V (Π i ) = v i > p i = p i V (Π 1 ) + (1 p i )V (Π n ) sillä V (Π 1 ) = 1, V (Π n ) = 0. Koska yrityksellä pätee V (Π i ) = v i > p i, eli päätöksentekijän edellyttämä varman tapahtuman Π i ja kyseisen kahden tapahtuman arpalipun samanarvoiseksi tekevä suotuisamman tapahtuman todennäköisyys on reilun pelin määrittämää todennäköisyyttä suurempi (tason piste löytyy kaavassa (3) määritellyn suoran yläpuolelta), päätöksentekijä on riskin välttäjä. Vastaavasti riskin ottajan valinta v i sijaitsisi tasossa suoran alapuolella ja riskineutraalin päätöksentekijän valinta sijaitsisi ko. suoralla. Riskiä välttävä päätöksentekijä vaatii tietyn kompensaation suostuakseen reilun pelin mukaiseen arvontaan. Toinen tapa sanoa sama asia on, että päätöksentekijä on valmis maksamaan siitä, että hänen ei tarvitse osallistua reilun pelin mukaiseen arvontaan (hän tyytyy pienempään varmaan tuloon kuin reilun pelin mukaisen arvonnan odotusarvo olisi, jotta hänen ei tarvitse osallistua ko. arvontaan). Tätä kompensaatiota kutsutaan riskipreemioksi. Se ilmaisee summan, jonka päätöksentekijä on valmis maksamaan riskin välttämisestä. Vakuutusmaksut ovat yksi esimerkki riskipreemiosta. 5
6 Piirretään tilanteesta kuvio. Kuviossa Π on riskin karttajan riskipreemio (korvaus riskin ottamisesta) jonka yritys vaatii, jotta se pitäisi reilun pelin arpalippua ja varmaa tapahtumaa Π i samanarvoisina, V (Π k ) = p i = p i V (Π 1 ) + (1 p i )V (Π n ), Π = Π i Π k. Riskin karttajan hyötyfunktio on siten konkaavi ( ylöspäin kupera), sillä se sijaitsee pisteet (Π 1, V (Π 1 )), (Π n, V (Π n )) yhdistävän janan yläpuolella. Vastaavasti riskin ottajan hyötyfunktio on konveksi ( ylöspäin kovera) ja riskineutraalin lineaarinen. Kasvavalle konkaaville funktiolle f : A R pätee f (A) > 0, f (A) < 0, kasvavalle konveksille funktiolle f : A R pätee f (A) > 0, f (A) > 0 ja kasvavalle lineaariselle funktiolle f : A R pätee f (A) > 0, f (A) = 0. Esimerkki. (Tämä malli on Sandmon ensimmäisenä esittämä. Aiemmin tarkastelemamme Lucasin mikromalli lienee syntynyt tämän innoittamana. Mittayksiköt olen lisännyt itse). Olkoon yrityksen voitto muotoa Π = Zq wl, q = f(l), f (L) > 0, f (L) < 0, missä Z (mk/kpl) on lopputuotteen yksikköhinta, q (kpl/kk) on yrityksen tuotantonopeus, L (h/kk) yrityksen työpanoskäyttö ja w (mk/h) tuntipalkka. Täydellisen kilpailun tilanteessa yrityksen voitto maksimoituu valitsemalla työpanoskäyttö seuraavasti Π ( L = 0 Zf (L) = w L = f 1 w ). Z Oletetaan nyt, että lopputuotteen yksikköhinta Z voi vaihdella välillä Z 1 Z n vastaavien todennäköisyyksien ollessa p 1,..., p n. Yritys joutuu tekemään sitovan työsopimuksen tarkastelujaksolle ennen kuin lopputuotteen hinta realisoituu, eli hintaa koskeva arvonta tapahtuu. Yrityksen mahdollisia tulemia voidaan kuvata seuraavana arpalippuna K = [p 1 Π 1 ; p 2 Π 2 ; ; p n Π n ], missä Π i = Z i f(l) wl, i = 1,..., n. Muodostetaan yritykselle odotetun hyödyn mukainen VM -hyötyindeksi E[V (Π)] seuraavasti E[V (Π)] = p i V (Π i ) = p i V (Z i f(l) wl). Tarkastellaan nyt riskin välttäjäyrityksen työpanoksen kysyntää. Yritykselle pätee V (Π) > 0, V (Π) < 0 riskin välttämisoletuksen mukaisesti. Valitaan L maksimoiden yrityksen odotettua hyötyä. max L E[V (Π)] = p i V (Π i ) = 6 p i V (Z i f(l) wl).
7 Tämän välttämätön ehto on E[V (Π)] L = 0 p i V (Π i )[Z i f (L) w] = 0. (4) Verrataan tulosta (4) riskineutraalin yrityksen työpanosvalintaan. Riskineutraali yritys valitsee työpanoskäyttönsä asettamalla työpanoksen rajatuottavuuden odotusarvon tuntipalkan suuruiseksi. Tämä nähdään seuraavasti. Riskineutraalin yrityksen hyötyfunktio on lineaarista muotoa, joka vastaa voiton odotusarvoa. Odotetun voiton maksimointiongelma on max E[Π] = p i Π i = p i [Z i f(l) wl]. L Tämän optimointiongelman välttämätön ehto on E[Π] = 0 p i [Z i f (L) w] = 0 L f (L) p i Z i = w E[Z]f (L) = w; Riskineutraali yritys työllistää siten työpanosta sen verran, että työpanoksen rajatuottavuuden odotusarvo yhtä tuntia kohti (tarkista mittayksiköt) vastaa tuntipalkkaa. Jos nyt Z i > E[Z], eli yrityksen lopputuotteen toteutunut hinta on odotusarvoaan suurempi, työpanoksen rajatuottavuuden arvo yhtä tuntia kohti ylittää tuntipalkan. Voiton maksimoinnin kannalta yritys on tällöin työllistänyt liian vähän ja päinvastoin. Osoitetaan seuraavaksi, että riskiä karttava yritys työllistää riskineutraalia vähemmän. Todistetaan ensin väite: [ Zi E[Z] ] V (Π i ) < [ Z i E[Z] ] V (E[Π]). Oletus Z i > E[Z]; Z i f(l) wl > E[Z]f(L) wl Π i > E[Π]. Koska Π i > E[Π], VM -hyötyindeksin määritelmän mukaan V (Π i ) > V (E[Π]). V :n kasvavuuden ja konkaavisuuden nojalla pätee tällöin V (Π i ) < V (E[Π]) (miksi?). Ehdosta Z i > E[Z] voidaan siten johtaa [ Zi E[Z] ][ V (E[Π]) V (Π i ) ] > 0, mistä väite seuraa. Oletus Z i < E[Z]; Z i f(l) wl < E[Z]f(L) wl Π i < E[Π]; Koska Π i < E[Π], VM -hyötyindeksin mukaan V (Π i ) < V (E[Π]). V :n kasvavuuden ja konkaavisuuden nojalla pätee tällöin V (Π i ) > V (E[Π]). Ehdosta Z i < E[Z] saadaan siten johdettua [ Zi E[Z] ][ V (Π i ) V (E[Π]) ] < 0, mistä väite seuraa. 7
8 Väite pätee siis aina kun Z i E[Z]. Otetaan todistetusta epäyhtälöstä odotusarvot puolittain, [Zi E{ E[Z] ] } [Zi V (Π i ) < E{ E[Z] ] } V (E[Π]) [Zi E{ E[Z] ] } { } V (Π i ) < V (E[Π])E Z i E[Z] [Zi E{ E[Z] ] } V (Π i ) < 0; ensimmäisessä vaiheessa vakio V (E[Π]) (odotusarvon ottaminen poistaa satunnaiskomponentit) otettiin odotusarvo-operaattorin eteen, ja toisessa vaiheessa laskettiin oikealla puolella määritelty odotusarvo. Kirjoitetaan yhtälö (4) uudestaan { E V (Π i ) [ Z i f (L) w ]} = 0 f (L)E[Z i V (Π i )] = we[v (Π i )]. Vähennetään yhtälön molemmilta puolilta termi E[Z]f (L)E[V (Π i )], [Zi f (L)E{ E[Z] ] } V (Π i ) = [ w E[Z]f (L) ] E [ V (Π i ) ]. Koska f (L) > 0 ja edellä osoitimme että E {[ Z i E[Z] ] V (Π i ) } < 0, yo. yhtälön vasen puoli on negatiivinen. Tällöin myös oikea puoli on negatiivinen, ja koska E[V (Π i )] > 0, epäyhtälön w E[Z]f (L) < 0 täytyy päteä. Riskiä karttavalla yrityksellä pätee siten w < E[Z]f (L), eli yritys työllistää vähemmän kuin vastaava riskineutraali yritys, sillä f (L) > 0 ja f (L) < 0. Saatu tulos selittyy sillä, että riskiä välttävä yritys pyrkii välttämään liian suuren työpanoskäytön aiheuttamia kustannuksia epäsuotuisassa tilanteessa. VM -hyötyindeksin funktiomuodoista Oletetaan riskin karttajan hyötyindeksi toisen asteen polynomifunktioksi V (Z) = a + bz cz 2, V (Z) = b 2cZ > 0, V (Z) = 2c < 0, missä a ja b ovat positiivisia vakioita siten, että Z < b/2c toteutuu. Vakion c etumerkki määrää päätöksentekijän suhtautumisen riskiin: c > 0 pätee riskin välttäjällä ja c < 0 riskin ottajalla. Esimerkki. Olkoon Z satunnaismuuttuja Z N(Z, σ 2 ) ja päätöksentekijän hyötyfunktio yllä kuvattu. Tällöin E[V (Z)] = a + be[z] ce[z 2 ] = a + bz c[σ 2 + Z 2 ], sillä (5) { [Z ] } } σ 2 2 = var[z] = E E[Z] = E {Z 2 2ZE[Z] + (E[Z]) 2 = E[Z 2 ] (E[Z]) 2 = E[Z 2 ] Z 2. 8
9 Tästä seuraa E[Z 2 ] = σ 2 + Z 2. Kokonaisdifferentioimalla (5), saadaan de[v (Z)] = [b 2cZ]dZ 2cσdσ. Hyötyindeksin vakiotasoa kuvaavalla samahyöty- eli indifferenssikäyrällä pätee de[v (Z)] = 0. Asettamalla tämä ehto edelliseen, saadaan dz dσ = 2cσ b 2cZ. Jos c > 0, eli päätöksentekijä on riskin välttäjä, ja lisäksi pätee edellä oletettu Z < b/2c, tällöin dz/dσ > 0. Väite: Koordinaatistossa (σ, Z) riskin välttäjän indifferenssirelaatio on nouseva siten, että relaatio on vaakasuora kun σ = 0. Todistus: lim σ 0 dz dσ 0, lim σ Edelleen ottamalla huomioon dz/dσ, saadaan 2 Z σ 2 = = 2c(b 2cZ) 2cσ( 2c dz dσ ) (b 2cZ) 2 = 2c b 2cZ + 8c3 σ 2 (b 2cZ) 3 > 0, dz dσ. 2c b 2cZ + 4c 2 σ (b 2cZ) 2 ( 2cσ b 2cZ eli indifferenssikäyrät kaareutuvat ylöspäin (piirrä indifferenssikäyrästö). Päätöksentekijällä σ:n kasvu merkitsee riskin (epävarmuuden) lisääntymistä. Riskiä välttävä päätöksentekijä vaatii riskin kasvun kompensaationa odotetun hyötytason Z kasvua, jotta hän pitäisi tilanteita samanarvoisina. Tämä selittää indifferenssikäyrästön muodon. ) 9
10 Arrow-Prattin suhteellinen riskin välttämismitta A-P määrittelevät seuraavan riskin välttämisen voimakkuutta ilmaisevan suhteellisen mittarin Z:n rajahyödyn V (Z):n joustona Z:n suhteen -1:llä kerrottuna. Vastaluku otetaan, jotta mittasuure saadaan positiiviseksi. H = ( V Z Z ) Z V Z = V (Z) Z Z V (Z) = ZV (Z) V (Z). Joustona kyseinen mittasuure on paljas luku. Siinä hyötyfunktion V ja sen argumentin Z mahdolliset mittayksiköt skaalautuvat pois, ja suure saa sitä suuremman arvon, mitä suurempi V (Z):n arvo on suhteessa V (Z):n arvoon, eli mitä käyrempi hyötyfunktio on; myös Z:n arvo vaikuttaa mittasuureeseen. Oletetaan hyötyfunktiolle seuraava muoto V (Z) = a + bz 1 γ, V (Z) = b(1 γ)z γ, V (Z) = b(1 γ)γz γ 1, missä a, b, γ ovat positiivisia vakioita. Suhteellisen riskin välttämismitan arvo on tällöin H = ZV (Z) V (Z) = Zbγ(1 γ)z γ 1 b(1 γ)z γ = γz 0 = γ. Valitulla hyötyfunktiolla A-P:n suhteellisen riskin välttämismitan arvo on vakio; mitä suurempi γ sitä suurempi riskin välttämishalukkuus. Käytännössä suure H mittaa riskineutraalin päätöksentekijän lineaarisen hyötyfunktion yläpuolella kulkevan hyötyfunktion etäisyyttä ko. lineaarisesta funktiosta. Arrow-Prattin absoluuttinen riskin välttämismitta Riskiä välttävä päätöksentekijä pitää parempana varmaa tulemaa odotusarvoltaan samansuuruiseen epävarmaan tulemaan verrattuna. Merkitään varmaa tulemaa Z:lla, suotuisamman tuleman Z 1 objektiivista todennäköisyyttä p 1 :llä ja epäsuotuisamman tuleman Z n objektiivista todennäköisyyttä 1 p 1 :llä. Sitä riskipreemiota, jolla päätöksentekijä on indifferentti arpalipun [p 1 Z 1 ; (1 p 1 )Z n ] ja varman tuleman Z välillä, merkitään r > 0:llä. Tällöin päätöksentekijällä pätee V (Z r) = p 1 V (Z 1 ) + (1 p 1 )V (Z n ). missä Z r on päätöksentekijän tilanteessa saama varma tulema ja oikealla puolella on epävarman tuleman tuottaman hyödyn odotusarvo. Oletetaan, että päätöksentekijälle tarjotaan mahdollisuus osallistua reiluun peliin Z i = Z + u, missä u N(0, σ 2 ). Tällöin E[Z i ] = Z, mutta päätöksentekijän 10
11 hyötytaso ei vastaa tasoa V (Z) koska hän on riskin välttäjä. Päätöksentekijällä pätee tällöin V (Z r) = E[V (Z + u)], (6) missä r > 0 on päätöksentekijän tilannetta vastaava riskipreemio. Arvioidaan V (Z + u):ta Taylorin 2. asteen sarjakehitelmällä Z:n ympäristössä V (Z + u) = V (Z) + V (Z)(Z + u Z) V (Z)(Z + u Z) 2 = V (Z) + V (Z)u V (Z)u 2 Ottamalla edellisestä odotusarvo, saadaan E[V (Z + u)] = V (Z) V (Z)E[u 2 ] = V (Z) V (Z)σ 2 (7) sillä E[u] = 0. Arvioidaan yhtälön (6) vasenta puolta Taylorin 1. asteen kehitelmällä V (Z r) = V (Z) + V (Z)(Z r Z) = V (Z) V (Z)r. (8) Asettamalla (7) ja (8) yhtäsuuriksi, saadaan V (Z) V (Z)r = V (Z) V (Z)σ 2 r = 1 V (Z) 2 V (Z) σ2 > 0. Varianssin σ 2 kerroin on edellä johdettu suhteellinen riskin välttämismitta kun Z = 1/2. Tätä r:än approksimaatiota kutsutaan Arrow- Prattin absoluuttiseksi riskin välttämismitaksi. Mitä suurempia ovat σ 2 ja V /V, sitä suurempi on r (huom! V /V < 0). Tobinin portfoliomalli (hieman muunneltuna) Oletetaan, että sijoittajalla on kaksi mahdollista sijoituskohdetta: riskitön korkosijoitus (pankkitalletus tai valtion obligaatio) sekä riskillinen sijoituskohde (esim. osake). Tobin hyödynsi VM -hyötyindeksiä osoittaakseen, että optimaalisesti toimiessaan riskin karttaja hajauttaa sijoituksensa. Sijoittajan budjettiyhtälö on muotoa W t = (W A)r + Aρ, 0 A W 0 missä W (mk) on sijoittajan varallisuus, A (mk) riskilliseen sijoituskohteeseen sijoitetut varat portfoliossa (W A+A = W ), 0 A W, W/ t (mk/ t) 11
12 varallisuuden kasvunopeus, r (1/ t) riskitön korko (vakio), ρ = ρ + ɛ riskillisen sijoituskohteen yksiköissä (1/ t) mitattu tuottoaste (ρ > r, vakio, ja ɛ N(0, σ 2 ɛ )). Nyt [ W ] E = (W A)r + Aρ = µ, (9) t missä µ:llä merkitään varallisuuden kasvunopeuden odotusarvoa ja {[ [ W ] σ 2 W [ W ] ] 2] = var = E t t E = E[(Aɛ) 2 ] = A 2 σɛ 2. t Tästä saadaan ratkaistua A = σ/σ ɛ. Sijoitetaan tämä (9):een: µ = W r + σ σ ɛ (ρ r). Yllä kuvatun budjettisuoran kulmakerroin koordinaatistossa (σ, µ) on ( ) ρ r dµ = dσ dµ dσ = ρ r > 0. σ ɛ σ ɛ Ajatellaan sijoittajan hyödyn riippuvan positiivisesti varallisuuden kasvunopeudesta ( ) W u = u, u > 0, u < 0. t Edellä johdimme riskiä karttavalle päätöksentekijälle indifferenssikäyrästön tuleman odotusarvosta ja varianssista muodostettuun koordinaatistoon. Käytetään nyt hyväksi näitä indifferenssikäyriä, ja piirretään sijoittajan optimaalinen valinta ko. koordinaatistoon. Tällöin näemme, että sijoittaja ei sijoita kaikkia varojaan jompaan kumpaan kohteeseen, vaan valitsee optimaaliseen portfolioonsa molempia sijoituskohteita. Riskiä välttävä sijoittaja preferoi siten hajautettua portfoliota. 12
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon herra K.:n hyötyfunktio u(x) = ln x. (a) Onko herra K. riskinkaihtaja, riskinrakastaja vai riskineutraali?
LisätiedotPELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA
PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA Matti Estola 29 marraskuuta 2013 Sisältö 1 Cournot'in duopolimalli 2 2 Pelin Nash -tasapainon tulkinta 3 3 Cournot'in mallin graanen ratkaisu 4 4 Bertrandin duopolimalli
LisätiedotNollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
Lisätiedotb) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.
2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5
LisätiedotSEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer
LisätiedotViime kerralta Epävarmuus ja riski Optimaalinen kulutus-säästämispäätös: Tulo- ja substituutiovaikutus analyyttinen tarkastelu Epävarmuus Epävarmuus
Viie kerralta Epävaruus ja riski Luento 5 4..010 Tulo- ja substituutiovaikutus hinnan uutoksessa Substituutiovaikutus budjettisuora kiertyi alkuperäisen valinnan ypärillä Tulovaikutus uusi budjettisuora
LisätiedotArvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.
LisätiedotLuento 5: Peliteoria
Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,
Lisätiedotill 'l' L r- i-ir il_i_ lr-+ 1r l
ir a I - --+,.---+-,- i-ir il_i_ lr-+ 1r l rl ill 'l' L r- T- 'l rl *r- I s. ;l -' --S"[nJ+&L rlr D Ur-r^^;lA_e^ 3. Piirrä indi erenssikäyrät korille ( ; x 2 ); kun on tavallinen hyödyke, ja x 2 on tavallinen
LisätiedotLuento 9. June 2, Luento 9
June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotPäätöksentekomenetelmät
L u e n t o Hanna Virta / Liikkeenjohdon systeemit Päätöksentekomenetelmät Luennon sisältö Johdanto päätöksentekoon Päätöksenteko eri tilanteissa Päätöspuut Päätösongelmia löytyy joka paikasta Päästökauppa:
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotPäätöksentekomenetelmät
L u e n t o Päätöksentekomenetelmät Luennon sisältö Hanna Virta / Liikkeenjohdon systeemit Johdanto päätöksentekoon Päätöksenteko eri tilanteissa Päätöspuut Johdanto päätöksentekoon Päätösongelmia löytyy
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotVarian luku 12. Lähde: muistiinpanot on muokattu Varianin (2006, instructor s materials) muistiinpanoista
Epävaruus Varian luku 12 Lähde: uistiinpanot on uokattu Varianin (2006, instructor s aterials) uistiinpanoista Epävaruus Tähän asti ollaan tarkasteltu kuluttajan optiaalista valintaa sivuuttaen kokonaan
LisätiedotKuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä
Kuluttajan teoriaa tähän asti Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa - Tavoitteen optimointia rajoitteella Luento 6 Kuluttajan ylijäämä 8.2.2010 Budjettirajoite (, ) hyödykeavaruudessa - Kulutus =
Lisätiedot, tuottoprosentti r = X 1 X 0
Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
LisätiedotHaitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli
Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Näissä harjoituksissa viljellään paljon sanaa paradoksi. Sana tulee ymmärtää laajassa mielessä. Suppeassa mielessähän
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Lisätiedotja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.
Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotKuluttaja valitsee erilaisten hyödykekorien välillä. Kuluttajan preferenssijärjestyksen perusoletukset ovat
Kuluttajan valinta KTT Olli Kauppi Kuluttaja valitsee erilaisten hyödykekorien välillä. Kuluttajan preferenssijärjestyksen perusoletukset ovat 1. Täydellisyys: kuluttaja pystyy asettamaan mitkä tahansa
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
Lisätiedotr = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P
Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot1. Vastaa seuraavaan tehtävään. Tehtävään liittyvä kuva on seuraavalla sivulla
A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2017 HARJOITUKSET 3 1. Vastaa seuraavaan tehtävään. Tehtävään liittyvä kuva on seuraavalla sivulla (i) Alla olevan kuvan kuluttaja A) on riskinkaihtaja B) on riskineutraali
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotKuluttajan valinta ja kysyntä. Viime kerralta. Onko helppoa ja selvää? Mitä tänään opitaan?
6..00 Viime kerralta Kuluttajan valinta ja kysyntä Y56 Luento 3 5..00 Preferenssit valintojen arvostus, järjestäminen Indifferenssikäyrät Rajakorvattavuussuhde Hyöty Hyötyfunktiot Rajahyöty Onko heloa
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotAloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.
Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot1. Lineaarinen optimointi
0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 5 (Koetentti)
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus 5 (Koetentti) Ratkaisuehdotuksia. Öljy-Yhtiö Oy on tehnyt herra K.:n maapalasta ostotarjouksen 200kC. Herra K. voi joko myydä maapalan
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotLuku 14 Kuluttajan ylijäämä
Luku 4 Kuluttajan ylijäämä Tähän asti johdettu kysyntä hyötyfunktioista ja preferensseistä, nyt päinvastainen ongelma: eli kuinka estimoida hyöty havaitusta kysynnästä. Mitattavat ja estimoitavat kysyntäkäyrät
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotLuento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
LisätiedotLuku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi
1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotMat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2016 Harjoitusten 4 ja 5 ratkaisuehdotuksia
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2016 Harjoitusten 4 ja 5 ratkaisuehdotuksia 4 Harjoitukset Harjoitustehtävä 4.1 Tarkastelemme esimerkin 4.1.3 leipuri Pullaa. Kuinka monta pullaa tulee
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 3.3. Tehtävä 1: Oheinen MATLAB-funktio toteuttaa eksponenttifunktion evaluoinnin. 1 function y = seriesexp ( x ) 2 oldsum =
LisätiedotTehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)
1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotLuku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi
1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotKansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa
Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 1 Korkolaskentaa Oletetaan, että korkoaste on r Jos esimerkiksi r = 0, 02, niin korko on 2 prosenttia Tätä korkoastetta käytettään diskonttaamaan tulevia tuloja ja
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
Lisätiedot