ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2016 Harjoitusten 4 ja 5 ratkaisuehdotuksia
|
|
- Simo Auvinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2016 Harjoitusten 4 ja 5 ratkaisuehdotuksia 4 Harjoitukset Harjoitustehtävä 4.1 Tarkastelemme esimerkin leipuri Pullaa. Kuinka monta pullaa tulee leipuri Pullan paistaa aamuisin, kun hän on riskineutraali, ja uskoo että (potentiaalisesti) myytyjen pullien lukumäärä lounastauolla on (a) binomijakautunut parametrein n = 10 ja p = 0,5, (b) Poisson-jakautunut parametrilla 5, (c) Pearson Tukey-jakautunut fraktiiliparametrein 1, 5, 10? Ratkaisuehdotus: (a) Leipuri Pullan arvotukset vaihtoehdoille i = 0, 1,..., 10 ovat V (a i ) = E(a i ) = 10 j=0 (min(i, j) 0,2i) ( ) 10 0,5 10. j Siten, esimerkiksi ja, esimerkiksi V (a 0 ) = 0,0000 V (a 1 ) = = = 10 j=0 10 j=0 10 j=0 (selvästi ilman laskujakin) (min(1, j) 0,2) (1 0,2) ( 10 0,8 j = 0, ( ) 10 0,5 10 j ) 0,5 10 ( ) 10 0,5 10 j Laskemalla samalla tavalla saamme V (a 2 ) = 1,58828, V (a 3 ) = 2,33359, V (a 4 ) = 2,96172, V (a 5 ) = 3,38477, V (a 6 ) = 3,56172, V (a 7 ) = 3,53359, V (a 8 ) = 3,38828, V (a 9 ) = 3,19902, V (a 10 ) = 3, Optimaalinen ratkaisu on siis paistaa 6 pullaa. 1
2 (b) Leipuri Pullan arvotukset vaihtoehdoille i = 0, 1,... ovat V (a i ) = E(a i ) = 5 5j (min(i, j) 0,2i) e j!. j=0 Laskemalla yllä olevan kaavan mukaan (esim. tietokoneella, korvaamalla riittävän isolla luvulla) saamme V (a 0 ) = 0,00000, V (a 1 ) = 0,76092, V (a 2 ) = 1,43762, V (a 3 ) = 1,97394, V (a 4 ) = 2,33479, V (a 5 ) = 2,52018, V (a 6 ) = 2,55934, V (a 7 ) = 2,49406, V (a 8 ) = 2,36350, V (a 9 ) = 2,19668, V (a 10 ) = 2,01172, V (a 11 ) = 1,81852, V (a 12 ) = 1,62189, V (a 13 ) = 1, Selvästikään ei tarvitse laskea suurempia i:n arvoja. Itse asiassa i = 7 näytti jo kuvion. Optimaalinen ratkaisu on siis paistaa 6 pullaa. (c) Nyt arvotukset ovat ( ) V (a i ) = min(i, 1) 0,2i 0,185 ( ) + min(i, 5) 0,2i 0,630 ( ) + min(i, 10) 0,2i 0,185. Saamme V (a 0 ) = 0,00000, V (a 1 ) = 0,80000, V (a 2 ) = 1,41500, V (a 3 ) = 2,03000, V (a 4 ) = 2,64500, V (a 5 ) = 3,26000, V (a 6 ) = 3,24500, V (a 7 ) = 3,23000, V (a 8 ) = 3,21500, V (a 9 ) = 3,20000, V (a 10 ) = 3, Näemme, että nyt kannattaa paistaa 5 pullaa. Harjoitustehtävä 4.2 Tarkastelemme esimerkin leipuri Pullaa. Oletamme, että leipuri Pullalla on vain lokakuun 2009 data käytettävissään. Oletamme lisäksi, että leipuri Pulla on riskineutraali päätöksenteossaan. Kuinka monta pullaa leipuri Pullan tulee paistaa aamuisin, kun hän estimoi pullanmyyntitodennäköisyydet (a) suhteellisten frekvenssien menetelmällä, (b) binomimallilla käyttäen suurimman uskottavuuden periaatetta, (c) Poisson-mallilla käyttäen suurimman uskottavuuden periaatetta, (d) Pearson Tukey-menetelmällä? (Tässä malliratkaisussa ei piilotella sitä, että laskuissa on käytetty GNU Oc- Ratkaisuehdotus: tavea.) (a) Lokakuun 2009 data on 2
3 x = Suhteelliset frekvenssit eri pullanmyynneille ovat p_emp = histc(x,0:10); p_emp = p_emp/sum(p_emp) = Palkkiomatriisi (indeksöinti alkaa luvusta 1 eikä luvusta 0) muodostetaan vaikkapa parilla sisäkkäiselle silmukalla näin: for i=1:11 for j=1:11 R(i,j) = min(i-1,j-i) - 0.2*(i-1); endfor endfor Tällöin riskineutraalit arvostukset eri pullanpaistomäärille saadaan kaavalla (R*p_emp ) = Näemme, että kannattaa paistaa 7 pullaa. (b) Lokakuun 2009 datassa on 22 havaintoa ja yhteensä 112 myytyä pullaa. Siten pullia myytiin 5,09 pullan päivävauhtia. päivittäinen pullanmyynti on siis binomijakautunut parametrein 10 ja 0,509. Näin ollen todennäköisyydet ovat p_bin = binopdf(0:10, 10, 0.509) = e e e e e e e e e e e-03 Tällöin riskineutraalit arvostukset eri pullanpaistomäärille saadaan kaavalla (R*p_bin ) = Näemme, että kannattaa paistaa 6 pullaa. (c) Poisson-mallissa ensimmäiset 11 pistetodennäköisyytta ovat 3
4 p_poi = poisspdf(0:10, 5.09) = Tämä sisältää jo 98,46% todennäköisyysmassasta, mikä lienee riittävästi. Emme siis laajenna palkkiomatriisia R yli 10 pullan. Tällöin riskineutraalit arvostukset eri pullanpaistomäärille saadaan kaavalla (R*p_poi ) = Näemme, että kannattaa paistaa 6 pullaa. (d) Datapisteitä on 22. Siten 0,05-fraktiili on pienin arvo, mikä on 0. Vastaavasti 0,95-fraktiili on suurin arvo, mikä on 10. Mediaani on 11 suurin arvo, mikä on 5. Siten p_pt = [ ]; ja (R*p_pt ) = Kannattaa siis paistaa 5 pullaa. Harjoitustehtävä 4.3 Satunnaismuuttuja X on geometrisesti jakautunut parametrilla θ, jos P(X = n) = (1 θ) n θ, n = 0, 1, 2,.... (a) Millaista tilannetta geometrisesti jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa? (b) Johda parametrin θ suurimman uskottavuuden estimaattori. Ratkaisuehdotus: (a) Geometrinen jakauma on dikotomisen (onnistuminen/epäonnistuminen) riippumattoman toistokokeen ensimmäistä onnistunutta koetta edeltävien epäonnistuneiden kokeiden lukumäärän jakauma. (b) Log-uskottavuus on (kun on havaittu n epäonnistumista ennen onnistumista) l(θ) = ln(1 θ) n θ = n ln(1 θ) + ln θ. 4
5 Siten dl dθ (θ) = n d dθ ln(1 θ) + d dθ ln θ = n 1 θ + 1 θ = 1 θ nθ (1 θ)θ = 1 (n 1)θ (1 θ)θ = 0, kun θ = ˆθ = 1 n 1. Harjoitustehtävä 4.5 Sijoittaja S.:llä on =C sijoitettavaa. Hän ei halua hajauttaa sijoitustaan, vaan haluaa sijoittaa joko Riskiin, Varmaan, tai Säästöön. Säästö antaa varmasti 1% tuoton. Hillosanomista sijoittaja S. on lukenut, että Varman ja Riskin odotetut tuotot (µ) ja tuottojen volatiliteetit (σ) ovat µ Varma = 3%, σ Varma = 10%, µ Riski = 5%, σ Riski = 20%. Sijoittaja S. on antanut itselleen kertoa, että tämä tarkoittaa sitä, että tuotto on normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja odotusarvolla µ ja varianssilla σ 2. Mihin kohteeseen tulisi sijoittaja S.:n sijoittaa rahansa, kun hän on (a) riskineutraali, (b) hyödyn maksimoija hyötyfunktiolla u(r) = ln r. Käytä analyysissäsi laajennettua Pearson Tukey-menetelmää, ja vertaa sitä todelliseen normaalijakaumaan. Ratkaisuehdotus: Määrittelemme aluksi fraktiilit. Tuotot ovat normaalijakautuneita. Siten normeeratut tuotot ovat standardinormaalijakautuneita. Olkoon X normaalisti jakautunut parametrein µ ja σ. Tällöin (X µ)/σ on standradinormaalisti jakautunut ja sen x-fraktiilit saadaan lausekkeesta q = P (X x) ( X µ = P x µ ) σ σ ( ) x µ = Φ σ 5
6 Siis mistä saamme Tarvitsemme tiedot seuraavista fraktiileista q: Φ 1 (q) = x µ σ, x = µ + σφ 1 (q). Φ 1 (0,05) = 1,64, Φ 1 (0,50) = 0, Φ 1 (0,95) = 1,64. Siten Pearson Tukey-approksimaatio normaalijakautuneille tuotoille r = [r 1, r 2, r 3 ] parametrein µ ja σ on r 1 = µ σ 1,64, r 2 = µ, r 3 = µ + σ 1,64. (a) Yltä näemme riskineutraalit varmuusvastineet (1 + r 1 ) 0, (1 + r 2 ) 0, (1 + r 3 ) 0,185 = (1 + µ σ 1,64) 0, (1 + µ) 0, (1 + µ + σ 1,64) 0,185 Sijoittamalla µ ja σ Varmalle ja Riskille (sekä Säästölle) saamme Säästö: Varma: Riski: Siten riskineutraali päätöksentekijä valitsee Riskin Peason Tukey-approksimaatiossa. Jos Pearson Tukey-approksimaatio korvataan todellisella normaalijakaumalla, niin tällöin varmuusvastineet ovat (1 + µ σr)φ(r) dr [ = φ(r) dr + µ = [1 + µ]. ] φ(r) dr + σ rφ(r) dr Tämä lauseke on sitä suurempi, mitä suurempi µ on taysin riippumatta parametrin σ arvosta. Siten päätös on edelleen Riski. (b) Logaritmisen utiliteetin tapauksessa Pearson Tukey-approksimaation varmuusvastineet ovat ln ( (1 + µ σ 1,64)) 0,185 + ln ( (1 + µ)) 0,630 + ln ( (1 + µ + σ 1,64)) 0,185 6
7 Sijoittamalla µ ja σ Varmalle ja Riskille (sekä Säästölle) saamme Säästö: 9,2203 Varma: 9,2351 Riski: 9,2401 Siten logaritminen päätöksentekijä valitsee myös Riskin Peason Tukey-approksimaatiossa. Jos Pearson Tukey-approksimaatio korvataan todellisella normaalijakaumalla, niin tällöin logaritmiset varmuusvastineet ovat ln ( (1 + µ σr)) φ(r) dr. Tämä lauseke on formaalisti (tai kompleksinen), jos σ > 0. Siten log-päättäjä valitsee Säästön. (Muutkin tulkinnat ovat toki mahdollisia. Jos esim. tulkitaan, että loppuvarallisuus ei voi olla negatiivinen, niin tällöin valinta on edelleen Riski). 5 Harjoitukset Harjoitustehtävä 5.4 Pekka Päättäjä on päättänyt itselleen seuraavat indifferenssit: L(1, 10) 0,5L(1, 0) + 0,5L(1, 20), L(1, 12) 0,4L(1, 10) + 0,6L(1, 20), L(1, 15) 0,2L(1, 10) + 0,8L(1, 20). (a) Mitä pystyt sanomaan Pekka Päättäjän hyötyfunktiosta? (b) Onko Pekka Päättäjä riskinrakastaja vai riskinkaihtaja? Ratkaisuehdotus: Pekka Päättäjä arvottamissa arpajaisissa esiintyy palkkiot 0, 10, 12, 15 ja 20. Saamme siis tietoa Pekan hyötyfunktiosta näissä pisteissä, yleisemmin välillä [0, 20]. (a) Normeeraamalla voimme sanoa, että u(20) = 1 ja u(0) = 0. Indifferenssistä seuraa, että Huomioimalla tämä indifferenssistä seuraa, että L(1, 10) 0,5 L(1, 0) + 0,5 L(1, 20) u(10) = 0, , 1 = 0,5. L(1, 12) 0,4L(1, 10) + 0,6L(1, 20) u(12) = 0,4 0,5 + 0,6 = 0,8. 7
8 Lopuksi, huomioimalla edelliset, indifferenssistä L(1, 15) 0,2L(1, 10) + 0,8L(1, 20) seuraa, että u(15) = 0,2 0,5 + 0,8 = 0,9. Hyötyfunktio on siis jotakuinkin seuraavan kuvan esittämän kaltainen: u r (b) Ei kumpaakaan, kuten (a)-kohdan kuvasta näkyy (hyötyfunktio ei ole konkaavi eikä konveksi). Harjoitustehtävä 5.5 Oiva Opiskelijan on päätettävä osallistuako kurssille Operaatioanalyysi vai Johdatus tilastotieteeseen. Oiva arvioi, että jos hän osallistuu kurssille Operaatioanalyysi, niin todennäköisyydellä 10% hän saa arvosanan 5, todennäköisyydellä 40% arvosanan 4 ja todennäköisyydellä 50% arvosanan 3. Samoin Oiva arvelee, että jos hän osallistuu kurssille Johdatus tilastotieteeseen, niin todennäköisyydet arvosanoille ovat: 70% arvosanalle 4, 25% arvosanalle 3 ja 5% arvosanalle 2. Oiva on indifferentti arpajaisten L(1, 3) ja L(0,25, 5 ; 0,75, 2) suhteen, sekä arpajaisten L(1, 4) ja L(0,70, 5 ; 0,30, 2) suhteen. Jos Oiva Opiskelija haluaa optimoida arvosanasta saadun keskimääräisen (eli odotetun) hyödyn, niin kumman kursseista Operaatioanalyysi vai Tilastotieteen johdantokurssi hän valitsee? 8
9 Ratkaisuehdotus: Huomaamme aluksi, että Oiva Opiskelija tarkastelee vain arvosanoja 5, 4, 3 ja 2. Hän siis ei pidä mahdollisena arvosanoja 1 tai hylätty. Rakennamme Oivan hyötyfunktion. Ääriarvoissa asetamme u(5) = 1 ja u(2) = 0. Indifferessistä L(1, 3) L(0,25, 5 ; 0,75, 2) päättelemme, että u(3) = 0,25. Samoin indifferenssistä L(1, 4) L(0,7, 5 ; 0,3, 2) päättelemme, että u(4) = 0,7. Kuvallisesti voimme hahmotella (joskaan se ei ole tarpeen) u r Nyt hyötyfunktio on tiedossamme. Voimme siis laskea odotetut hyödyt arpajaisille L OR ja L IS : E ( u ( L OR )) = u(5) 0,1 + u(4) 0,4 + u(3) 0,5 = 1 0,1 + 0,7 0,4 + 0,25 0,5 = 0,505, E ( u ( L IS )) = u(4) 0,7 + u(3) 0,25 + u(2) 0,05 = 0,7 0,7 + 0,25 0, ,05 = 0,
10 Oiva Opiskelija valitsee siis kurssin Tilastotieteen johdantokurssi. Harjoitustehtävä 6.1 Sinun on valmistauduttava possuköhän etenemiseen Suomessa. Oletetavaa on, että possuköhä tappaa 600 ihmistä. Voit valita kahdesta rokotusohjelmasta: Ohjelma I 200 ihmistä säästyy. Ohjelma II Todennäköisyydellä 1/3 600 ihmistä säästyy. Kumman rokotusohjelman valitset? Entä kumman rokotusohjelman valitset, jos vaihtoehdot ovat Ohjelma I 400 ihmistä kuolee. Ohjelma II Todennäköisyydellä 2/3 600 ihmistä kuolee. Ratkaisuehdotus: Tässä on keskeistä huomata, että ohjelmat I ja I ovat täsmälleen samoja. Myös ohjelmat II ja II ovat täsmälleen samoja. Usein ihmiset kuitenkin valitsevat ohjelman I ja ohjelman II, koska ne on muotoiltu kauniimmin. Harjoitustehtävä 6.3 Tarkastelemme Tverskyn ja Kahnemanin paradoksia. Olkoon arpajaiset tappioineen tai voittoineen L 1 = L(0,001, 5.000$ ; 0,999, 0$), L 2 = L(1, 5$), L 3 = L(0,001, 5.000$; 0,999, 0$), L 4 = L(1, 5$). Tversky ja Kahneman pyysivät 72 henkilöä valitsemaan arpajaisten L 1 ja L 2 sekä L 3 ja L 4 väliltä. Yli 75% valitsi arpajaiset L 1 mieluummin kuin arpajaiset L 2 ja arpajaiset L 4 mieluummin kuin arpajaiset L 3. (a) Miten riskineutraali päätöksentekijä arvottaisi arpajaiset? (b) Miten riskiä rakastava päätöksentekijä arvottaisi arpajaiset? (c) Miten riskiä kaihtava päätöksentekijä arvottaisi arpajaiset? (d) Miten sinä järjestäisit arpajaiset? (e) Miksi Tverskyn ja Kahnemanin koe on ristiriidassa Von Neumann Morgenstern -hyötyteorian kanssa? (f) Miten prospektiteoria tai ankkurointiefekti voi selittää Tverskyn ja Kahnemanin kokeen? Ratkaisuehdotus: (a) Riskineutraalit arvot ovat E(L 1 ) = 0, $ + 0,999 0$ = 5$, E(L 2 ) = 5$, E(L 3 ) = 0,001 ( 5.000$) + 0,999 0$, = 5$, E(L 4 ) = 5$. 10
11 Riskineutraali arvotus on siis L 3 L 4 L 1 L 2. (b) Riskinrakastajan rajahyöty on aina kasvava. Toinen tapa sanoa tämä on, että hyötyfuntion derivaatta on kasvava. Kolmas tapa sanoa tämä on, että u (pr 1 + (1 p)r 2 ) pu(r 1 ) + (1 p)u(r 2 ) kaikilla p (0, 1) ja r. Valitsemalla r 1 = 0$, r 2 = 5.000$ ja p = 0,999 näemme, että E(u(L 1 )) = 0,999u(0$) + 0,001u(5.000$) u (0,999 0$ + 0, $) = u(5$) = E(L 2 ). Siten riskinrakastajalle L 2 L 1. Samalla tavalla näemme, valitsemalla r 1 = 0$, r 2 = 5.000$ ja p = 0,999, että Siten riskinrakastajalle L 4 L 2. Lopputulos on, että riskinrakastajalle E(u(L 3 )) = 0,999u(0$) + 0,001u( 5.000$) u (0,999 0$ 0, $) = u( 5$) = E(u(L 4 )). L 4 L 3 L 2 L 1. (c) Tämä kohta menee kuten kohta (c), mutta sillä muutoksella, että nyt u (pr 1 + (1 p)r 2 ) pu(r 1 ) + (1 p)u(r 2 ). Siten riskinkaihtajalle L 3 L 4 L 2 L 1. (d) Luennoija preferoisi seuraavasti: Tämä tekee luennoijasta epärationaalisen. L 3 L 4 L 2 L 1. (e) Epärationaalisuus tulee siitä, että tarkastelemme tappioita ja voittoja. Siten ankkurointipiste on mielivaltainen ja luennoijan tapaan epärationaalinen ihminen on riskiä rakastava voitoille ja riskiä kaihtava tappioille. Tästä seuraa, että hyötyfunktio on samanaikaisesti sekä konveksi että konkaavi (olematta kuitenkaan riskineutraali). Tämä on yksinkertaisesti mahdotonta: sellaista hyötyfunktiota ei ole! Luennoija on siis epärationaalinen Von Neumannin ja Morgensternin mielessä. (f) Paras selitys lienee ankkurointiefekti: ollaan ankkuroitu nollaan, jolloin voitot ja tappiot tuntuvat erilaisilta. Samankaltainen ilmiö tapahtui Harjoitustehtävässä
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon herra K.:n hyötyfunktio u(x) = ln x. (a) Onko herra K. riskinkaihtaja, riskinrakastaja vai riskineutraali?
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 5 (Koetentti)
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus 5 (Koetentti) Ratkaisuehdotuksia. Öljy-Yhtiö Oy on tehnyt herra K.:n maapalasta ostotarjouksen 200kC. Herra K. voi joko myydä maapalan
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Omppukone Oy valmistaa liukuhihnalla muistipiirejä kymmenen piirin sarjoissa. Omppukone arvioi, että keskimäärin
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Näissä harjoituksissa viljellään paljon sanaa paradoksi. Sana tulee ymmärtää laajassa mielessä. Suppeassa mielessähän
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS00 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 008 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. Penan Grilli ja Jaskan Grilli ovat kilpailijoita. Molempien täytyy päättää samanaikaisesti ja toisistaan tietämättä
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta:
RMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 8 Ratkaisuehdotuksia Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: Pankki harkitsee myöntääkö 5. euron lainan asiakkaalle 12%
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 7 Ratkaisuehdotuksia. Liukuhihnafirma Oy tuottaa jipposensoreita liukuhihnalla. Liukuhihnalla on kuitenkin ylikapasiteettia. Siten Liukuhihnafirma
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A
Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotWiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia
Wiener-prosessi: Tarkastellaan seuraavanlaista stokastista prosessia { z(t k+1 ) = z(t k ) + ɛ(t k ) t t k+1 = t k + t, k = 0,..., N, missä ɛ(t i ), ɛ(t j ), i j ovat toisistaan riippumattomia siten, että
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:
4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Lisätiedotb) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.
2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. (a) Päätöspuu on matala, jos mitään sattumasolmua ei välittömästi seuraa sattumasolmu eikä mitään päätössolmua
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatkoa Harjoitus 8A tehtävään 3. Muodosta odotusarvolle µ approksimatiivinen
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotDiskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi
TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA0 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi Kuten tilastojakaumia voitiin esittää tunnuslukujen (keskiarvo, moodi, mediaani, jne.) avulla, niin vastaavasti
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotMatematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot
Matematiikan kotitehtävä 2, MAA 10 Todennäköisyys ja tilastot Sievin lukio Tehtävien ratkaisut tulee olla esim. Libre officen -writer ohjelmalla tehtyjä. Liitä vastauksiisi kuvia GeoGebrasta ja esim. TI-nSpire
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Haroitus 2 Ratkaisuehdotuksia 1. Työpaikalla ärestetään huumetesti. Testi on 99% varma. Toisin sanoen vain 1% huumeenkäyttäistä ää palastumatta
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
Lisätiedot6.1.2 Luottamusjoukon määritelmä
6.1.1 Johdanto Olemme tarkastelleet piste-estimointia: tavoitteemme oli etsiä tunnuslukuja t, joilla piste t(y) hyvä arvio mallin parametrille θ (tai sen muunnokselle g(θ)). Pelkän piste-estimaatin esittäminen
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 14..2017 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon θ positiivinen parametri, ja asetetaan 2θ 1 y exp y 2 /θ), kun y > 0 fy; θ) = 0, muuten
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin?
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia. Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin? (a) Todennäköisyys että kolikonheitossa saadaan lopulta
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotT Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely
T-61.281 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 11.2.2003, 16:15-18:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotYleistä tietoa kokeesta
Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe on pe 27.10. klo 12.00-14.30 (jossakin auditorioista). Huomaa tasatunti! Seuraava erilliskoe on ke 1.11 klo 16-20, johon ilmoittaudutaan Oodissa (ilmoittautumisaika erilliskokeeseen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Viimeksi käsittelimme uskottavuusfunktioita, log-uskottavuusfunktioita ja su-estimaatteja Seuraavaksi tarkastelemme parametrin muunnoksia ja kuinka su-estimaatit käyttäytyvät
LisätiedotLuento 2. Yksiparametrisia malleja. Binomi-malli. Posteriorijakauman esittämisestä. Informatiivisista priorijakaumista. Konjugaattipriori.
Luento 2 Binomi-malli Posteriorijakauman esittämisestä Informatiivisista priorijakaumista Konjugaattipriori Slide 1 Yksiparametrisia malleja Binomi Jacob Bernoulli (1654-1705), Bayes (1702-1761) Normaali
Lisätiedot