Jonojen matematiikkaa

Transkriptio

1 Lectio praecursoria Jonojen matematiikkaa Samuli Aalto luento.ppt 1

2 Sisältö Johdanto Joukkopalveltu jono (batch service queue) Nestevarastomalli (fluid flow storage model) 2

3 Reaalimaailman ilmiö... ÿþýüûr.u.p.t. 3

4 matemaatikon silmin nähtynä... ÿþýüûr.u.p.t. λ m µ 1 n 4

5 =jonomalli µ Asiakkaiden saapumisprosessi λ m 1 satunnainen n keskimäärin saapuuλ asiakasta minuutissa Asiakkaiden palveluajat vaihtelevat satunnaisesti keskimääräinen yhden asiakkaan palveluaika 1/µ minuuttia Palvelijoiden lukumäärä n = 1,2,, Odotuspaikkojen lukumäärä m = 0,1,2,, Palvelujärjestys eli jonokuri tavallisesti palvellaan saapumisjärjestyksessä (FIFO) 5

6 Kiinnostavia suureita Järjestelmässä olevien asiakkaiden lukumäärä vaihtelee satunnaisesti jakauma: keskiarvo, varianssi, => järjestelmän mitoitus Asiakkaan odotusajan pituus vaihtelee satunnaisesti jakauma: keskiarvo, varianssi, => palvelun laatu 6

7 Yhden palvelijan jono järjestelmässä olevien asiakkaiden tila (odotus/palvelu) odotusaika palveluaika asiakkaiden saapumishetket järjestelmässä olevien asiakkaiden lkm aika aika 7

8 Sisältö Johdanto Joukkopalveltu jono (batch service queue) Nestevarastomalli (fluid flow storage model) 8

9 Hissi

10 joukkopalveltuna jonona Tavallisessa jonossa palvelija palvelee kerralla vain yhtä asiakasta Joukkopalvellussa jonossa taas palveluun voidaan kerralla ottaa useampi asiakas Jonomallin täydennys: Palvelijan kapasiteetti Q eli palveluun kerralla otettavien asiakkaiden lukumäärän maksimi 10

11 Mielenkiintoisia kysymyksiä Olettaen, että joukkopalvellun jonon palvelua voidaan kontrolloida, voimme kysyä Millä hetkillä palvelu kannattaa käynnistää? Montako asiakasta kannattaa ottaa kerralla palveluun? Palveluhetket ja palveluun otettavien lukumäärät määräytyvät valitusta palvelupolitiikasta (operating policy) 11

12 Optimaalinen palvelupolitiikka Tavallista palvelupolitiikkaa noudatettaessa palvelu käynnistyy heti edellisen palvelun päätyttyä, jos asiakkaita on odottamassa; muussa tapauksessa seuraavan asiakkaan saapuessa palveluun otetaan aina maksimaalinen määrä asiakkaita Mutta onko tämä optimaalista? Vastaus tietysti riippuu siitä, miten optimaalisuus määritellään Väitöskirjassa tavoitteeksi asetettu asiakkaiden odotuksesta aiheutuvien kustannusten minimointi 12

13 Yhden palvelijan joukkopalveltu jono T 0 T 1 T 2 T 3 Palveluhetket T n Odottajien lukumäärä X(t) X(t) S 1 S 2 S 3 Q Palvelujen kestoajat S n Palvelijan kapasiteetti Q t Aika t Kustannusten kertymisnopeus Z(t) Z(t) t Aika t 13

14 Sisältö Johdanto Joukkopalveltu jono (batch service queue) Nestevarastomalli (fluid flow storage model) 14

15 Tilastollinen kanavointilaite N-1 N Sisääntulolinjat i = 1,2,,N Puskuri Ulosmenolinja 15

16 pursketasolla tarkasteltuna N-1 N Sisääntulolinjat i = 1,2,,N Puskuri Ulosmenolinja 16

17 => nestevarastomalli Sisäänvirtausnopeus r 0 (t) vaihtelee satunnaisesti väitöskirjassa rajoitutaan tapauksiin, missä r 0 (t) on Markov-hyppyprosessin moduloima tai on-off-tyyppisten lähteiden summa Puskurin koko äärellinen tai ääretön väitöskirjassa oletetaan äärettömäksi Puskurin vuotonopeus c 1 maksimaalinen ulosvirtausnopeus 17

18 Mielenkiintoisia suureita Puskurin sisältö Z(t) nesteen määrä puskurissa vaihtelee satunnaisesti Ulosvirtausnopeus r 1 (t) vaihtelee satunnaisesti Väitöskirjassa keskitytään ulosmenoprosessin karakterisointiin, toisin sanoen kuvaamaan, miten ulosvirtausnopeus vaihtelee ajan funktiona 18

19 Nestevarastomalli Sisäänvirtausnopeus r 0 (t) r 0 (t) c 1 Vuotonopeus c 1 Puskurin sisältö Z(t) Z(t) t Aika t Ulosvirtausnopeus r 1 (t) r 1 (t) t c 1 Aika t Vuotonopeus c 1 t Aika t 19

20 LOPPU 20