2. M : T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M :

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2. M : T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M :"

Transkriptio

1 T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 2. M : a 1. M : a c b, e b f,r c e a) M,a = A(U), sillä (esim.) (a,b,,,,...) on tilasta a alkava täysi polku, joka ei kulje sellaisen tilan s S kautta, jolle pätisi M,s =. b) Mallin F-reiluja polkuja ovat kaikki ne täyet polut, jotka kaikille lauseille ϕ F sisältävät äärettömän monta tilaa s S siten, että M,s = ϕ. Koska F = {R}, rajoitutaan siis tarkastelemaan sellaisia polkuja, jotka sisältävät äärettömän monta tilaa s S, joille M,s = R. Koska {s S M,s = R} = {f}, seuraa, että kaikkien mallin F-reilujen polkujen tulee kulkea äärettömän monta kertaa tilan f kautta. Koska tiloista c ja ei ole yhteyttä tilaan f, mikään F-reilu polku ei voi kulkea näien tilojen kautta. Siten mallin jokainen F- reilu polku on muotoa (a,b, e,...,e, f,a, b, e,...,e,f, a,b, e,...,e,f,...) }{{}}{{}}{{} n1 kpl n2 kpl n3 kpl missä n 1,n 2,n 3,... ovat (äärellisiä) positiivisia kokonaislukuja. Koska erityisesti n 1 on äärellinen ja M,a =, M,b =, M, e = sekä M,f =, seuraa, että M,a = F A(U) pätee. c) M,a = EG, sillä (a,b, e,e, e,...), on tilasta a alkava täysi polku, jonka jokaisessa tilassa s {a, b, e} pätee M, s =. ) Huomataan, että c-kohan polku on mallin ainoa tilasta a alkava täysi polku, jonka kaikissa tiloissa lause pätee. Tämä polku ei kuitenkaan ole F-reilu, sillä se ei kulje kertaakaan tilan f kautta. Siten M,a = F EG. 1 Järjestetään lauseen AXE ( ( )U( ) ) alilauseet järjestykseen, jonka avulla alilauseien totuusarvo mallin eri tiloissa voiaan määrittää vaiheittain aiemmin käsiteltyjen alilauseien totuusarvojen perusteella, kunnes saaaan lopulta selville koko lauseen totuusarvo mallin eri tiloissa. Alilauseet voiaan käsitellä esimerkiksi järjestyksessä,,,,e ( ( )U( ) ),AXE ( ( )U( ) ). Lauseien ja totuusarvot saaaan suoraan valuaatiosta v. Lasketaan alilauseen totuusarvot mallin eri tiloissa: Alilause :,, a, c b,, e a, c b,,, e Lasketaan alilauseen E ( ( )U( ) ) totuusarvot luentokalvoissa esitetyn CheckEU-algoritmin avulla. Aloitetaan siis tilajoukosta, jossa alilause on tosi ({b}) ja merkitään E ( ( )U( ) ) toeksi tilassa b. Kerätään tämän jälkeen kaikki ne tilat s S, joille s,b R ja M,s = (ja joihin lause E ( ( )U( ) ) 2

2 ei ole vielä merkitty toeksi). Saaaan {, e}, jonka kaikkiin tiloihin merkitään lause E ( ( )U( ) ) toeksi. Toistetaan nyt menettely tilajoukon tilojen ja e eeltäjille ja eelleen niien eeltäjille niin kauan, kunnes tulosjoukko ei enää kasva. Koko algoritmin suoritus voiaan siis esittää seuraavasti: 1 {b} {b} {,e} 2 {b,, e} {, e} {c} 3 {b,c,, e} {c} Alilause E ( ( )U( ) ) pätee siis tiloissa E ( ( )U( ) ) a E ( ( )U( ) ) c b E ( ( )U( ) ) e E ( ( )U( ) ) Lasketaan viimein lauseen AXE ( ( )U( ) ) totuusarvot keräämällä kaikki ne mallin tilat, joien kaikille R-relaation seuraajatiloille pätee E ( ( )U( ) ). Lopputulos on siten AXE ( ( )U( ) ) a AXE ( ( )U( ) ) c b AXE ( ( )U( ) ) e AXE ( ( )U( ) ) 3 3. M : a b c e, Esitetään lause ensin EU- ja EG-operaattoreien avulla: AG ( A(EFUAF) ) AG ( A(E(U)U EG ) ) AG ( E ( ( EG )U( E(U) EG ) ) EG EG ) AG ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG ) EF ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG ) E ( U ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG )) Järjestetään alilauseet sopivaan laskentajärjestykseen, esim.,,, EG, EGEG, EGEG, E(U), E(U), E(U) EG, E ( (EG )U( E(U) EG ) ), E ( (EG )U( E(U) EG ) ), E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG, E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG, ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG ), E ( U ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG )), E ( U ( E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG )) Koska pätee tiloissa a ja c, niin pätee tiloissa {b,,e}. Nyt lauseen EG totuusarvo voiaan laskea luentokalvoilla esitetyn CheckEG-algoritmin avulla. Muoostetaan siis ensin mallin M rajoittuma M niihin tiloihin, joissa pätee:, b e Etsitään seuraavaksi mallin M ei-triviaalit vahvasti kytketyt komponentit 1 ja merkitään lause EG toeksi kaikissa näihin komponentteihin kuuluvissa tiloissa. Kerätään sitten (samalla tavoin kuin 1 Yleisesti: Mallin M = S, R, v tilojen ei-tyhjä osajoukko C S on M:n eitriviaali vahvasti kytketty komponentti, jos mitkä tahansa kaksi tilaa x, y C ovat M:ssä saavutettavissa toisistaan joitakin vähintään yhen R:n kaaren sisältäviä polkuja pitkin, eikä ole olemassa tiloja z C, w S \ C siten, että z ja w olisivat saavutettavissa M:ssä toisistaan tällaisia polkuja pitkin. 4

3 CheckEU-algoritmissa) vaiheittain kaikki ne tilat, jotka ovat jonkin näihin komponentteihin kuuluvan tilan eeltäjiä mallissa M, merkitään lause toeksi myös näissä tiloissa ja toistetaan tarkastelu kaikille näille tiloille niin kauan, kunnes ei enää saaa uusia tiloja, joissa lause ei jo olisi tosi. Ainoa M :n ei-triviaali vahvasti kytketty komponentti on {b,}. Koska tila e ei ole kummankaan tilan eeltäjä M :ssa, CheckEG-algoritmi pysähtyy heti ensimmäisen kierroksen jälkeen: On siis saatu tulos 1 {b, } {b, },,EG,,EG a, b c, e, Lasketaan seuraavaksi lauseen EGEG totuusarvot käyttämällä uuelleen CheckEG-algoritmia. Muoostetaan siis mallin M rajoittuma M niihin tiloihin, joissa EG pätee:,,eg,,eg Ainoa mallin M ei-triviaali vahvasti kytketty komponentti on {b,}. CheckEG-algoritmi pysähtyy jälleen ensimmäisen kierroksen jälkeen: b 1 {b, } {b, } Lause EGEG pätee siis tiloissa b ja, jolloin sen negaatio pätee tiloissa 5,,EG,,EG a,, EGEG b c,, EGEG e,, EGEG Alilauseen E(U) totuusarvo voiaan laskea CheckEU-algoritmin avulla: 1 {a, c} {a,c} {e} 2 {a,c, e} {e} {} 3 {a, c,, e} {} {b} 4 {a,b, c,, e} {b} Lause E(U) pätee kaikissa mallin M tiloissa, joten lauseen negaatio E(U) ei päe missään mallin tilassa. Tästä seuraa, ettei myöskään konjunktio E(U) EG toteuu missään mallin tilassa. Sovelletaan sitten uuelleen CheckEU-algoritmia lauseeseen E ( (EG )U( E(U) EG ) ). Algoritmi päättyy heti, sillä eellisen perusteella jo algoritmin lähtö on tyhjä. 1 Lause E ( (EG )U( E(U) EG ) ) pätee nyt mallin kaikissa tiloissa. Koska aiemmin toettiin, että lause EGEG toteutuu tilajoukossa {a,c, e}, saaaan konjunktiolle tulos ϕ = E ( (EG )U( E(U) EG ) ) EGEG a ϕ b c 6 e,ϕ ϕ

4 (Yllä ssa kuviossa on tiloihin merkitty enää vain ne alilauseet, joien totuusarvoja tarvitaan vielä jäljellä olevien alilauseien totuusarvojen laskemiseksi.) Alilause ϕ: a ϕ, ϕ b a b c E ( U ( ϕ) ) e E ( U ( ϕ) ) c,ϕ, ϕ ϕ e ϕ, ϕ Alilause ( ϕ): a ( ϕ) b c e Lasketaan lauseen E ( U ( ϕ) ) totuusarvot CheckEU-algoritmilla: 1 {b} {b} {a,} 2 {a,b, } {a, } a E ( U ( ϕ) ) E ( U ( ϕ) ) E ( U ( ϕ) ) b c e Lopputulokseksi saaaan viimein 7 8

5 T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 12 Ratkaisut 1. M :, Lauseen X( U) sulkeuma: a b c CL ( X( U) ) = { X( U), X( U), U,X ( U), ( U),,, X ( U),, } Muoostetaan atomit. Koska v(a, ) = v(a, ) = false, saaaan tilan a perusteella taulu U ( U) X( U) X ( U) X( U) X ( U) Taulun avoimista haaroista saaaan kelvolliset lausejoukot K 1 = {,,, U,X( U), X ( U) } K 2 = {,,, ( U), X( U),X ( U) } Tilasta a ja näistä lausejoukoista saaaan siten atomit (a,k 1 ) ja (a,k 2 ). (Lausejoukot K 1 ja K 2 ovat siis suurimmat maholliset CL ( X( U) ) :n ristiriiattomat 1 osajoukot, jotka ovat yhtäpitäviä 1 Lausejoukko K on ristiriitainen, jos ϕ, ϕ K jollekin lauseelle ϕ. atomilauseien valuaation kanssa tilassa a: minkä tahansa lauseen ϕ CL ( X( U) ) \ K i lisääminen joukkoon K i, i {1, 2}, tekisi lausejoukon ristiriitaiseksi.) Koska atomilauseilla ja on tilassa c sama valuaatio kuin tilassa a, tilan c perusteella saaaan atomit (c,k 1 ) ja (c,k 2 ). Muoostetaan taulu tilan b atomilauseien valuaation perusteella: U X( U) X( U) X( U) X ( U) X ( U) Taulun avoimista haaroista saaaan lausejoukot ( U) X( U) K 3 = {,,, U,X( U), X ( U) } K 4 = {,,, U, X( U),X ( U) } Tilan b perusteella saaaan siis atomit (b,k 3 ) ja (b,k 4 ). Muoostetaan vielä taulu tilan suhteen: U X( U) Nyt saaaan lausejoukot ( U) X( U) X( U) X ( U) X ( U) X( U) X ( U) K 5 = {,,, ( U),X( U), X ( U) } K 6 = {,,, ( U), X( U),X ( U) } (lausejoukko K 6 saaaan kahesta taulun avoimesta haarasta). Tilan perusteella saaaan siis atomit (,K 5 ) ja (,K 6 ). 1 2

6 Muoostetaan graafi G = (N, E), jonka solmujen joukko N koostuu kaikista eellä määritetyistä atomeista, ts. N = { (a,k 1 ),(a,k 2 ), (b,k 3 ), (b,k 4 ), (c,k 1 ), (c,k 2 ), (,K 5 ), (,K 6 ) } ja jonka kaaret toteuttavat seuraavan ehon: atomista (s, K) on kaari atomiin (s,k ), jos ja vain, jos (a) s,s R (mallissa M) ja (b) kaikille K:n muotoa Xϕ oleville lauseille pätee ϕ K. Jälkimmäisen ehon tarkistamiseksi voiaan ensin muoostaa K i - joukkojen välille yhteensopivuusrelaatio, joka voiaan esittää taulukkona seuraavasti: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Taulukon i:nnen rivin j:nnessä sarakkeessa on rasti, jos ja vain, jos kaikille lauseille Xϕ K i pätee ϕ K j : esimerkiksi pari (K 1,K 3 ) toteuttaa ehon, koska X( U) K 1 on K 1 :n ainoa muotoa Xϕ lause ja U K 3. Ehot (a) ja (b) voiaan nyt tarkistaa relaation R ja yllä n taulukon avulla. Esimerkiksi atomista (b,k 3 ) voisi relaatiota R koskevan ehon { (a) perusteella olla kaari mihin tahansa atomeista (a,k1 ), (a,k 2 ), (,K 5 ), (,K 6 ) } ; koska K-joukkojen välinen ehto ei kuitenkaan yllä n taulukon perusteella päe pareille (K 3,K 2 ), (K 3,K 5 ) ja (K 3,K 6 ), jäljelle jää ainoastaan kaari (b,k 3 ), (a,k 1 ). Graafiksi G saaaan (c,k 2 ) (c, K 1 ) (a,k 1 ) (, K 5 ) (,K 6 ) (b, K 3) (b,k 4) (a,k 2) 3 Lauseen EX( U) toteutuvuuen määrittämiseksi tilassa a tutkitaan, onko graafissa G polkua, joka alkaa jostakin atomista (a, K) (K {K 1,...,K 6 }) siten, että lause X( U) kuuluu joukkoon K, ja polku johtaa johonkin itsetoteutuvaan ei-triviaaliin vahvasti kytkettyyn komponenttiin. (Vahvasti kytketty komponentti C N on itsetoteutuva, jos kaikkien atomien (s, K) C kaikille joukkoon K kuuluville muotoa ϕuψ oleville lauseille on olemassa atomi (s,k ) C siten, että ψ K.) Graafin G ainoa ei-triviaali vahvasti kytketty komponentti on C = { (a,k1 ), (a,k 2 ), (b,k 3 ), (b,k 4 ), (c,k 2 ), (, K 5 ), (,K 6 ) }. Tämä komponentti on myös itsetoteutuva, sillä ainoa C:n solmuissa esiintyvä muotoa ϕuψ lause on U, ja C sisältää esim. atomin (b,k 3 ), jolle pätee K 3. Nähään, että komponentti C on saavutettavissa esimerkiksi atomista (a,k 1 ) (koska (a,k 1 ) C)). Koska X( U) K 1, seuraa, että M, a = EX( U) pätee. 2. M: a b c M,a = AFG pätee, jos ja vain, jos M,a = E FG pätee, jos ja vain, jos M,a = E FG. Tutkitaan siis, päteekö M, a = E FG. Kirjoitetaan lause FG käyttämällä ainoastaan X- ja U- temporaalikonnektiiveja: FG F F F (U ) ( U (U ) ) Lauseen ( U (U ) ) sulkeuma: CL ( ( U (U ) )) = { ( U (U ) ), U (U ),, (U ),X ( U (U ) ),, U, X ( U (U ) ),, X(U ),X ( U (U ) ),, X(U ), X ( U (U ) ), X (U ), X (U ) } 4

7 Muoostetaan atomit. Koska v(a, ) = false, saaaan tilan a perusteella taulu jossa haara T 1 on (U ) U (U ) T1 T2 X(U ) U (U ) ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X(U ) X(U ) X (U ) ja haara T 2 on (U ) X (U ) X(U ) U X (U ) U X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X(U ) X(U ) X (U ) U (U ) ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć U U X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X (U ) Taulun avoimien haarojen perusteella saaaan nyt lausejoukot K 1 = {,, U, U (U ),X ( U (U ) ), X ( U (U ) ),X(U ), X (U ) } K 2 = {,, U, U (U ),X ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X(U ),X (U ) } K 3 = {,, U, ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) ),X(U ), X (U ) } K 4 = {,, U, ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) ), X(U ),X (U ) } 5 K 5 = {,, U,X(U ), X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 6 = {,, U,X(U ), X (U ), ( U (U ) ), X ( U (U ) ),X ( U (U ) )} Näin saaaan atomit (a,k 1 ), (a,k 2 ), (a,k 3 ), (a,k 4 ), (a,k 5 ) ja (a,k 6 ). Koska v(b, ) = v(c,) = true, tilojen b:n ja c:n perusteella saaaan taulu jossa haara T 3 on (U ) ja haara T 4 on U (U ) X(U ) T3 X (U ) X(U ) U (U ) ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć X (U ) U U (U ) ą ć ą ć (U ) X U (U ) X U (U ) X U (U ) X U (U ) X U (U ) X U (U ) 6 T4 U X ą U (U ) ć X ą U (U ) ć U ą U (U ) ć U X ą U (U ) ć

8 Näin saaaan lausejoukot K 7 = {,, U,X(U ), X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 8 = {,, U,X(U ), X (U ), ( U (U ) ), X ( U (U ) ),X ( U (U ) )} K 9 = {,, (U ), X(U ),X (U ), U (U ), X ( U (U ) ), X ( U (U ) )} K 10 = {,, (U ), X(U ),X (U ), U (U ), X ( U (U ) ),X ( U (U ) )} (lausejoukko K 9 saaaan taulun kahesta haarasta). Näin saaaan atomit (b,k 7 ), (b,k 8 ), (b,k 9 ), (b,k 10 ) sekä (c,k 7 ), (c,k 8 ), (c,k 9 ) ja (c,k 10 ). K-joukkojen välinen yhteensopivuusrelaatio on nyt seuraava: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 K 9 K 10 K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 K 9 K 10 Graafi G: (a,k 1 ) (b,k 7 ) (a,k 2 ) (a,k 5 ) (c,k 7 ) (b,k 9) (c,k 9) (b,k 10 ) (c,k 10 ) (a,k 3) (a,k 4 ) (a,k 6 ) (b,k 8) (c,k 8 ) G:n ei-triviaalit vahvasti kytketyt komponentit ovat C 1 = { (a, K 1 ), (a,k 5 ) } C 2 = { (a, K 3 ), (a,k 6 ) } C 3 = { (b, K 7),(c,K 7) } C 4 = { (b, K 8 ),(c,k 8 ) } C 5 = { (b, K 9),(c,K 9) } Näistä komponenteista C 2 ja C 5 ovat itsetoteutuvia. On siis tutkittava, onko jompikumpi näistä komponenteista saavutettavissa jostakin graafin solmusta (a, K), missä ( U (U ) ) K. Koska lause ( U (U ) ) kuuluu esimerkiksi joukkoon K 6 ja C 2 on saavutettavissa solmusta (a,k 6 ) (koska (a,k 6 ) C 2 ), seuraa, että M,a = E FG pätee. Siten M, a = AFG ei päe mallissa M. 7 8

9 T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 13 Ratkaisut 1. Aloitetaan lauseen negaatiosta ( ( ( AXA(U) )) ) A(U). Muunnetaan lause positiiviseen normaalimuotoon: ( ( AXA(U) )) A(U) ( ( AXA(U) )) E( B) Muoostetaan taulu. Aloitetaan OR-solmusta {( D 0 = ( AXA(U) )) } E( B), jonka AND-seuraajat ovat {( C 0 = ( AXA(U) )) E( B), ( AXA(U) ),E( B), },, EXE( B), {( C 1 = ( AXA(U) )) E( B), ( AXA(U) ),E( B), },, EXE( B), EXE( B) {( C 2 = ( AXA(U) )) E( B), ( AXA(U) ),E( B), AXA(U),,AXA(U),, } EXE( B), {( C 3 = ( AXA(U) )) E( B), ( AXA(U) ),E( B), AXA(U),,AXA(U),, } EXE( B), EXE( B) 1 Solmut C 0, C 1 ja C 2 voiaan karsia pois, koska ne sisältävät jonkin lauseen ja sen negaation. (Ristiriitaisten AND-solmujen karsintasääntöjä voiaan siis työmäärän vähentämiseksi soveltaa jo AND-solmuja muoostettaessa; voiaan osoittaa, että millään solmulla, joka saataisiin eelleen generoimalla täyellisesti kaikki solmujen C 0, C 1 tai C 2 OR-seuraajat, näien AND-seuraajat jne., ei ole merkitystä tutkittavana n lauseen toteutuvuustarkistuksen kannalta lopullisessa taulussa. Tämä johtuu siitä, että mikään näin syntyvistä solmuista ei sisällä tutkittavana a lausetta, eikä mikään jostakin muusta ANDsolmusta lähtevä tulevaisuuspolku voi kulkea ristiriitaisen AND-solmun kautta.) Koska solmu C 3 sisältää lauseet AXA(U) ja EXE( B), solmulle C 3 saaaan OR-seuraaja D 1 = { A(U),E( B) }. D 1 :n AND-seuraajat: C 4 = D 1 {,, EXE( B), } C 5 = D 1 {,, EXE( B),EXE( B) } C 6 = D 1 { AXA(U),,AXA(U),, EXE( B), } C 7 = D 1 { AXA(U),,AXA(U),, EXE( B),EXE( B) } Koska solmut C 4, C 5 ja C 6 ovat ristiriitaisia, ne voiaan karsia pois. Jäljelle jää solmu C 7, jolle saaaan OR-seuraaja { A(U),E( B) } = D 1. AND-solmu C 7 karsitaan pois, sillä tämä solmu sisältää tulevaisuuslauseen A(U), joka ei toteuu solmussa. Tämä johtuu siitä, että taulusta ei voia erottaa solmusta C 7 lähtevää luentokalvoissa esitetyt ehot täyttävää asyklistä aligraafia, jonka kaikki lehtisolmut sisältäisivät lauseen, ja lause olisi mukana kaikissa muissa aligraafin AND-solmuissa. Solmun C 7 poistamisen jälkeen voiaan karsintasääntöjen perusteella poistaa järjestyksessä solmut D 1, C 3 ja D 0. Koska jäljelle jäävässä taulussa ei ole yhtään AND-solmua, joka sisältäisi lauseen ( ( AXA(U) )) E( B), seuraa, että lause on toteutumaton. Siten lauseen negaatio (alkuperäinen lause) on pätevä. 2

10 2. Muunnetaan lause ensin positiiviseen normaalimuotoon. GF GF GF GF FG GF Korvataan sitten lauseessa esiintyvät LTL:n konnektiivit F ja G CTL:n konnektiiveilla AF ja AG, jolloin saaaan CTL-lause AFAG AGAF. Tämä CTL-lause on toteutuva, jos ja vain, jos alkuperäinen LTL-lause on toteutuva. Tutkitaan siis taulumenetelmällä, onko CTL-lause toteutuva. Taulun juurena on OR-solmu D 0 :n AND-seuraajat: D 0 = {AFAG AGAF }. C 0 = { AFAG AGAF,AFAG,AG,,AXAG } C 1 = { AFAG AGAF,AFAG,AXAFAG } C 2 = { AFAG AGAF,AGAF,AF, AXAGAF, } C 3 = { AFAG AGAF,AGAF,AF, AXAGAF,AXAF } C 0 :n OR-seuraaja: D 1 = {AG } C 1 :n OR-seuraaja: D 2 = {AFAG } C 2 :n OR-seuraaja: D 3 = {AGAF } C 3 :n OR-seuraaja: D 4 = {AGAF,AF } D 1 :n AND-seuraaja: C 4 = {AG,,AXAG } D 2 :n AND-seuraajat: D 3 :n AND-seuraajat: C 5 = {AFAG,AG,,AXAG } C 6 = {AFAG,AXAFAG } C 7 = {AGAF,AF,AXAGAF, } C 8 = {AGAF,AF,AXAGAF,AXAF } 3 D 4 :n AND-seuraajat: C 9 = {AGAF,AF,AXAGAF, } = C 7 C 10 = {AGAF,AF,AXAGAF,AXAF } = C 8 C 4 :n OR-seuraaja: D 5 = {AG } = D 1 C 5 :n OR-seuraaja: D 6 = {AG } = D 1 C 6 :n OR-seuraaja: D 7 = {AFAG } = D 2 C 7 :n OR-seuraaja: D 8 = {AGAF } = D 3 C 8 :n OR-seuraaja: D 9 = {AGAF,AF } = D 4 Huomaa, että mikään yllä syntyvistä AND-solmuista ei ole ristiriitainen, joten solmujen karsinta ristiriitaisuuen perusteella ei tässä tehtävässä ole mahollista. Alustava taulu T 0 : C0 D1 C4 C5 D0 C1 C2 C3 D2 C6 Koska solmu C 4 ei sisällä keskenään ristiriitaisia lauseita eikä myöskään yhtään tulevaisuuslausetta, solmu C 4 jää myös lopulliseen tauluun. Tällöin OR-solmulle D 1 jää tauluun seuraaja, joten solmua D 1 ei myöskään karsita. Kaikki solmun C 0 seuraajat jäävät siis myös lopulliseen tauluun. Solmua C 0 ei karsita, koska se ei sisällä keskenään ristiriitaisia lauseita ja koska sen kaikki tulevaisuuslauseet (tässä tapauksessa vain yksi, AFAG ) toteutuvat alustavassa taulussa. 4 D3 C7 C8 D4

11 Seuraa, että T 0 :sta saatava lopullinen taulu sisältää AND-solmun C 0, joka sisältää lauseen AFAG AGAF. Toetaan, että tämä CTL-lause on toteutuva. Solmujen C 0 ja C 4 avulla voiaan nyt muoostaa CTL-lauseelle malli C 0 C 4 Koska CTL-lause AFAG AGAF on toteutuva, seuraa, että myös LTL-lause FG GF GF GF on toteutuva. 5

T Kevät 2003 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Laskuharjoitus 11 Ratkaisut

T Kevät 2003 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Laskuharjoitus 11 Ratkaisut T-79.146 Kevät 2003 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a P P f Q, R Q e P a) M, a = A(P UQ), sillä (esim.) (a,,,,,...) on tilasta a alkava täysi polku, joka

Lisätiedot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot T-79.5101 kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan

Lisätiedot

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen

Lisätiedot

Mallintarkastus. Mallin generointi. Esimerkki mallin SMV-kuvauksesta. Tila-avaruuden symbolinen esitys (I)

Mallintarkastus. Mallin generointi. Esimerkki mallin SMV-kuvauksesta. Tila-avaruuden symbolinen esitys (I) / Kevät 2005 ML-10 1 Mallintarkastus / Kevät 2005 ML-10 3 Esimerkki mallin SMV-kuvauksesta Onko annettu lause P tosi annetussa mallissa M? Malli M: järjestelmän malli Saadaan järjestelmän kuvauksesta,

Lisätiedot

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut T-79.146 Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden

Lisätiedot

T Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A

Lisätiedot

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C. T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Dynaaminen ohjelmointi ja vaikutuskaaviot

Dynaaminen ohjelmointi ja vaikutuskaaviot Teknillinen Korkeakoulu / Ssteemianalsin laboratorio Mat-2.42 Optimointiopin seminaari / Referaatti esitelmästä Sami Mllmäki Dnaaminen ohjelmointi ja vaikutuskaaviot OHDANTO Dnaamiset ohjelmointitehtävät

Lisätiedot

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi: 1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,

Lisätiedot

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että: Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään

Lisätiedot

Taulumenetelmä modaalilogiikalle K

Taulumenetelmä modaalilogiikalle K / Kevät 2004 ML-6 1 Taulumenetelmä modaalilogiikalle On vaikeaa löytää Hilbert-tyylisiä todistuksia: Käytössä Modus Ponens -sääntö: jotta voidaan johtaa Q, täytyy johtaa P ja P Q. Mutta mikä on sopiva

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

ja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten

ja s S : ϕ Υ : M,s ϕ, mutta M,s Q. Erityisesti M, t P kaikilla t S, joten T-79.50 kevät 007 Laskuharjoitus 4. Vastaesimerkiksi kelpaa malli M = S, R,v, missä S = {s}, R = { s,s }, ja v(s,p) = false. P s M = P P pätee (koska M,s P), ja M,s P pätee myös, koska s,s R, M,s P, eikä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli

Lisätiedot

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin

Lisätiedot

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa.

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Datatähti 2019 loppu

Datatähti 2019 loppu Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio

Lisätiedot

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon 12 laskareihin

Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon 12 laskareihin Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon laskareiin (a) Oletetaan seuraavan kuvan mukainen verkko ja etsitään lyyimpiä polkuja solmusta Ensimmäiseksi käsitellään solmu B, jonka etäisyys on kolme Seuraavaksi

Lisätiedot

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6) Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Ratkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle

Ratkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.

Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko

Lisätiedot

Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2

Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2 Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015 ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx

a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa

Lisätiedot

f (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain

f (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste

Lisätiedot

Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan

Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa

Lisätiedot

T Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut

T Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut T-79.1001 Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut Lemma (Säännöllisten kielten pumppauslemma). Olkoon A säännöllinen kieli. Tällöin on olemassa n 1

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 25.4.2017 Timo Männikkö Luento 11 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Pelipuut Pelipuun läpikäynti Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti 25.4.2017 2/29

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja 1. Tarkastellaan yhteydetöntä kielioppia S SAB ε A aa a B bb ε Esitä merkkijonolle aa kaksi erilaista jäsennyspuuta ja kummallekin siitä vastaava

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa

Lisätiedot

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R

Lisätiedot

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Aikalogiikka

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Aikalogiikka T-79.179 Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Aikalogiikka 24. helmikuuta 2003 T-79.179: Aikalogiikka 5-1 Aikalogiikka Yksinkertaisiltakin näyttävien järjestelmien saavutettavuusgraafeissa

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 7 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 Olkoot G ja H äärellisiä verkkoja, joilla kummallakin on l yhtenäistä komponenttia Olkoot G i, i {0,,l 1}, verkon G ja H i,

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,

Lisätiedot

S BAB ABA A aas bba B bbs c

S BAB ABA A aas bba B bbs c T-79.148 Kevät 2003 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S) tuottama

Lisätiedot

Silmukkaoptimoinnista

Silmukkaoptimoinnista sta TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale

Lisätiedot

Algoritmit 1. Demot Timo Männikkö

Algoritmit 1. Demot Timo Männikkö Algoritmit 1 Demot 1 31.1.-1.2.2018 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka tutkii onko kokonaisluku tasan jaollinen jollain toisella kokonaisluvulla siten, että ei käytetä lainkaan jakolaskuja Jaettava

Lisätiedot

Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon 12 laskareihin

Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon 12 laskareihin Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon laskareiin (a) Oletetaan seuraavan kuvan mukainen verkko ja etsitään lyyimpiä polkuja solmusta Ensimmäiseksi käsitellään solmu B, jonka etäisyys on kolme Seuraavaksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia

Lisätiedot

πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,

πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m, Lisäyksiä Muutamia lisäyksiä laskuharjoitusten 9 tehtävien ratkaisuihin. Sarjan n n cos4 n π termeittäin erivoituvuus Sarjan n n cos4 n πtermeittäinerivoitavuusonhiukkasenhankalaasia tutkia. Olkoon a n

Lisätiedot

LOGIIKKA johdantoa

LOGIIKKA johdantoa LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 10 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 10 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 10 To 19.4.2018 Timo Männikkö Luento 10 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Verkon 3-väritys Pelipuut Pelipuun läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 10 To 19.4.2018 2/34 Algoritmien

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Bisimulaatio modaalilogiikassa

Bisimulaatio modaalilogiikassa Bisimulaatio modaalilogiikassa Tuomo Lempiäinen Kandidaatintutkielma Maaliskuu 2013 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Sisältö 1 Johdanto 2 2 Modaalilogiikan perusteet 3 2.1 Syntaksi..............................

Lisätiedot

Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5)

Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (2/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (3/5) Alkuarvot ja tyyppimuunnokset (1/5) Aiemmin olemme jo antaneet muuttujille alkuarvoja, esimerkiksi: int luku = 123; Alkuarvon on oltava muuttujan tietotyypin mukainen, esimerkiksi int-muuttujilla kokonaisluku,

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot