Pienalue-estimointi (78189) Kevät 2011 Risto Lehtonen
|
|
- Raimo Sala
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Helsingin yliopisto Sosiaalitieteien laitos 1 Pienalue-estimointi (78189) Kevät 2011 Risto Lehtonen OSA 1 Estimaattorin tyyppi Mallin valinta Asetelmaperusteinen estimointi Horvitz-Thompson (HT) Malliavusteinen estimointi Yleistetyt regressioestimaattorit Generalize Regression Estimator (GREG) Malliperusteinen estimointi Synteettiset estimaattorit (SYN) Esimerejä
2 ESTIMAATTORIN TYYPPI 2 Päätyypit 1. Asetelmaperusteiset estimaattorit Desig-base estimators a) Estimaattorit, joissa ei äytetä lisäinformaatiota HT-estimaattori Háje-estimaattori b) Malliavusteiset estimaattorit Moel assiste estimators Yleistetyt regressioestimaattorit Generalize regression (GREG) Mallialibrointiestimaattorit (MC) Moel calibration estimators c) Kalibrointiestimaattorit Moel-free calibration estimators 2. Malliperusteiset estimaattorit Moel base estimators a) Synteettiset (SYN) estimaattorit Synthetic estimators b) EBLUP-estimaattorit Empirical best linear unbiase preictor
3 Table 1. Malliavusteisten ja malliperusteisten estimaattoreien ominaisuusia (Lehtonen an Pahinen 2004) 3 Harha Bias Taruus Precision (Varianssi) Täsmällisyys Accuracy (MSE) Luottamusvälit Confience intervals Asetelmaperusteiset HT GREG Harhaton (ainain liimain) Varianssi voi olla suuri pienissä osajouoissa Varianssi pienenee osajouon otosoon asvaessa MSE = Variance (liimain) Asetelmaperusteiset luottamusvälit OK Malliperusteiset Syntettiset SYN EBLUP Harhainen Harha ei välttämättä lähene nollaa osajouon otosoon asvaessa Varianssi voi olla pieni myös pienissä osajouoissa Varianssi pienenee osajouon otosoon asvaessa MSE = Variance + square Bias Täsmällisyys voi olla huono jos harha on suuri Asetelmaperusteiset luottamusvälit ei välttämättä OK
4 Estimaattoreien teoreettisia ominaisuusia voiaan tutia empiirisesti simulointioeien avulla: 4 Harha Bias Bias( tˆ) E(ˆ t ) T Taruus Precision Var( tˆ) E(ˆ t E(ˆ)) t 2 Täsmällisyys Accuracy MSE(ˆ) t E(ˆ t T) 2 Var(ˆ) t Bias 2 (ˆ) t
5 MALLIN VALINTA 5 Kasi näöulmaa Mallin matemaattinen muoto Mallin parametrisointi ESIMERKKI: Matemaattinen muoto Jatuva tulosmuuttuja Lineaarinen malli Binäärinen tulosmuuttuja Binominen logistinen malli Moniluoainen tulosmuuttuja Multinomiaalinen logistinen malli Luumäärämuuttuja Poisson-regressiomalli HUOM: Mallit ovat yleistettyjen lineaaristen seamallien (Generalize Linear Mixe Moels GLMM) erioistapausia (McCulloch an Searle 2001)
6 6 Tilastolliset mallit matemaattisen muoon, tulosmuuttujan tyypin ja selittäjien tyypin muaan Epälineaariset mallit Lineaariset mallit Logistiset Logaritmiset (Poisson) -mallit Selittäjämuuttujat Tulosmuuttuja jatuva Tulosmuuttuja binäärinen tai moniluoainen Tulosmuuttuja luumäärämuuttuja Disreettejä Lineaarinen ANOVA Logit-ANOVA Logaritminen (Poisson) ANOVA Jatuvia Lineaarinen regressio Logit-regressio Logaritminen (Poisson) regressio Disreettejä ja jatuvia Lineaarinen ANCOVA Logit-ANCOVA Logaritminen (Poisson) ANCOVA
7 MALLIN PARAMETRISOINTI 7 Kasi perustyyppiä: Kiinteien teijöien malli Fixe-effects moel formulation Esimerisi: Lineaarinen malli y z Kiinteät teijät 0 ja 1 Seamalli / Hierarinen malli / Monitasomalli Mixe moel / Hierarchical moel / Multilevel moel formulation Esimerisi: Lineaarinen malli y u z Domain-ohtaiset satunnaistermit u 0 HUOM: Kutain mallia vastaava malliavusteinen (GREG; MC) ja malliperusteinen (SYN, EBLUP) estimaattori voiaan onstruoia
8 ESIMERKKI (Lehtonen, Särnal an Veijanen 2003) Table 3. Estimaattoreien luoittelu mallin valinnan ja estimaattorin tyypin muaan 8 Kiinteien teijöien mallit MALLIN VALINTA Aggregoinnin taso Population moels Mallin parametrisointi Matemaattinen muoto ESTIMAATTORIN TYYPPI 1. Lineaarinen SYN-P GREG-P 2. Logistinen LSYN-P LGREG-P Domain moels 3. Lineaarinen SYN-D GREG-D 4. Logistinen LSYN-D LGREG-D Seamallit Domain moels 5. Lineaarinen MSYN-D MGREG-D 6. Logistinen MLSYN-D Malliperusteinen Asetelmaperusteinen malliavusteinen MLGREG- D P-mallit (Perusjouon tasoinen): Kiinteien teijöien mallit, parametrisointi populaatiotasoisena D-mallit (Domain-tasoinen): Mallissa omain-ohtaisia parametreja (iinteitä tai satunnaisia)
9 TARKASTELUKEHIKKO JA PERUSTEITA 9 Notaatio Äärellinen perusjouo U 1,2,...,,..., N Toisensa poissulevat perusjouon osajouot (omains) U,..., U,..., U 1 Oletetaan ensin että aliotasoinen (unit-level) perusjouo U on äytettävissä ehioperusjouon muoossa Tilastoreisteri Väestöreisteri Yritysreisteri D Oletetaan että U sisältää joaiselle aliolle muuttujat: U Ientifiaatiomuuttuja (ID) Osajouoon uulumisiniaattorit Ositeiniaattorit Ryväsiniaattorit Apumuuttujatieot (z-muuttujat)
10 Tulosmuuttuja: y Y Tulosmuutujan (tuntematon) arvo aliolle 10 Koheparametrit: Osajouototaalit (Domain totals) Apumuuttujat: T Y, 1,..., D U z imensio J 1 ( z 1,..., z,..., z ) j J Domain-iniaattorivetori: δ ( 1,...,,..., ) D muulloin : Ositeiniaattorivetori: τ : = 1 un U, nolla τ h 1 un U h, h 1,..., H, nolla muulloin, missä U h viittaa ositteeseen h ja H on ositteien luumäärä.
11 HUOM: Vetori z oletetaan tunnetusi aiille alioille U 11 ESIMERKKI Henilötutimus: Vetori z sisältää muuttujat iä, suupuoli, verotustieot, oulutustieot, työllisyystieot ym. jatuvia ja isreettejä muuttujia henilölle Yritystutimus: Vetori z sisältää muuttujat liievaihto ja henilöstön luumäärä yrityselle Misi apumuuttujavetori z oletetaan tunnetusi? Joustavuusperiaate. Data voiaan tarvittaessa aggregoia osajouo- tai ositetasolle. Parhaat mallit saaaan aliotasoisina. HUOM: Ysinertaisimmissa tapausissa riittää että tunnetaan aggregaatteja, uten osajouojen totaalit T,..., apumuuttujille z j z T 1 z J Mallinnusvaiheessa tavallisesti oletetaan että vaio 1 on vetorin z ensimmäinen alio
12 Otanta ja tieoneruu 12 Satunnaisotos s ooa n poimitaan perusjouosta U äyttämällä otanta-asetelmaa p(s) jossa sisältymistoennäöisyys iinnitetään aliolle U Asetelmapaino: w 1/ Tulosmuuttujan arvot y mitataan otosalioilta s Vastausaon ajustointi Ysiöato (unit nonresponse): Uuelleenpainotus tarvittaessa Eräato (item nonresponse): Imputointi tarvittaessa
13 KAKSI VAIHTOEHTOISTA DOMAIN- RAKENNETTA 13 Osajouojen otoset: s U s, 1,..., D Ei-suunniteltu (unplanne) omain-raenne: Ósajouojen otosooja n s ei ole iinnitetty otanta-asetelmassa Otosoot n s ovat satunnaismuuttujia Suunniteltu (planne) omain-raenne: Osajouojen otosoot n on iinnitetty otanta-asetelmassa (ositettu otanta) Osajouojen otosoot n ovat iinteitä Ositettu otanta ja sopiva iintiöintimenetelmä Optimaalinen (Neyman) -iintiöinti Banier-iintiöinti Tasaiintiöinti
14 14 Table 4. Planne an unplanne omain structures in a stratifie sample of n elements, Lehtonen an Pahinen (2004) Unplanne omains 1 s11 2 s21... s 1... D s D 1 Strata (planne omains) 1 2 h H Sum n n s 12 ns 1 n h s 1 n H s 1 n n s 22 ns 2 n h s 2 n H s 2 n n s 2 n s n h s n H s n Sum 1 n 2 n s D 2 n s n Dh sdh n n h n H n n s D Stratum sample sizes n h, h = 1,,H, are fixe in the sampling esign. Thus, the strata are efine as planne omains. Sample sizes n, = 1,,D, for unplanne omains are not fixe s in avance an thus are ranom variables. Cell sample sizes n are ranom variables in both cases. s h
15 ESIMERKKI 15 Ei-suunniteltu raenne: Ootettu otosoo osajouossa, otanta-asetelmana SRSWOR: E( n ) n( N / N) s Suunniteltu raenne: Osajouot on määritelty ositteisi Oletetaan että tulosmuuttujan y variaatioertoimet C.Vy S y / Y tunnetaan aiissa osajouoissa, missä S y ja Y ovat perusjouon esihajonta ja esiarvo omainissa Banier-iintiöinti: Domain-otosoot ovat n, pow T C.V a z y n, D a 1 T C.V z y Vaio a = 0 tässä tapausessa.
16 Perusjouo: Occupational Health Care Survey (OHC), N 7841 henilöä 16 Parametrit: Domain-totaalit T Y, 1,..., D U Pitäaiaisesti sairaien luumäärä osajouoissa D 30 osajouoa Otos: SRSWOR, otosoo n 392 Horvitz-Thompson-estimaattori: tˆ HT w y, 1,..., D s missä w 1/ Laatuiniaattori: Estimaattorin variaatioerrtoin coefficient of variation C.V( t ˆ ) S.E(ˆ t ) / T HT HT
17 Table 5. HT-estimaattoreien CV (%) ei-suunnitellussa ja suunnitellussa omain-raenteessa (Lehtonen an Pahinen 2004). 17 Domain D N Domain-otosoo HT-estimaattoreien C.V (%) Eisuunniteltu raenne SRSWOR E ( n s ) Suunniteltu raenne Banieriintiöinti n Eisuunniteltu raenne SRSWOR C.V HT (ˆ t ) Suunniteltu raenne Banieriintiöinti C.V HT Sum (ˆ t )
18 HT (SRSWOR) HT (Power) Size of population omain Figure 1. (Lehtonen an Pahinen 2004) Horvitz-Thompson-estimaattorin variaatioerroin (%) SRSWOR-otannan tilanteessa (vastaa unplanne-raennetta) ja ositetun SRSWORotannan tilanteessa (Banier-iintiöinti, a = 0) (vastaa planne-raennetta).
19 BOX 1. Estimointiproseuurin operationaaliset vaiheet 19 Vaihe 1: Kehioperusjouon onstruointi. Muoostetaan N alion perusjouo U, joa sisältää seuraavat muuttujat: ID-tieto, omain-iniaattorit, ositeiniaattorit, sisältymistoennäöisyyet n alion otosta varten asetelmalla p(s), ja apumuuttujavetorit aiille alioille U. Vaihe2: Otanta ja mittaus. Poimitaan otos asetelmalla p(s) ja erätään tieot tulosmuuttujasta y. Muoostetaan otostieosto s(y), joa sisältää seuraavat muuttujat: ID-tieto, havaittu y-muuttujan arvo ja asetelmapainot aiille alioille s. Vaihe 3: Yhistetään U ja s(y). Muoostetaan yhistetty tieosto mirolinaamalla (merge) avaimen ID avulla ehiopj U ja otosaineisto s(y). Vaihe 4: Mallin valinta ja mallin sovitus. Mallin matemaattisen muoon valinta, parametrisointi ja sovittaminen otosaineistolle. Mallin iagnostiia. Lasetaan sovitetun mallin avulla tulosmuuttujan y sovitteet aiille pj:n alioille U seä resiuaalit aiille otosalioille s. Vaihe 5. Domain-estimaattoreien valinta ja estimointi. Käyttämällä sovitteita, resiuaaleja ja asetelmapainoja lasetaan estimaatit ullein osajouolle. Vaihe 6: Estimaattoreien laatuiniaattorit. Domainestimaattoreien varianssien, esivirheien ja variaatioertoimien estimointi. (Lehtonen an Pahinen 2004)
20 Table 6. Vaiheien 1, 3 ja 4 havainnollistaminen. 20 Vaihe 1: Kehioperusjouon U onstruointi Vaihe 3: Yhistetään U ja s(y) Vaihe 4: Lasetaan sovitteet ja resiuaalit Alio ID Domain δ Osite τ π Otos- Ini. I Apumuuttujat z Asetelmapainot w Tulosmuuttuja y Sovitteet ŷ Resiuaalit ê δ 1 τ π 1 1 z δ 2 τ π 2 2 z δ 3 τ 3 3 π 3 z w 1 3 δ 4 τ π 4 4 z δ 5 τ π 5 5 z 5 w 1 5 ŷ... 1 ŷ... 2 y 3 ŷ 3 ê 3 ŷ... 4 ê y 5 ŷ δ τ π z w 1 y ŷ ê N δ N τ N π N z N ŷ... N Non-sample element
21 HUOM: 21 Apumuuttujavetorit z ( 1,..., ) z zj oletetaan tunnetusi aiille pj:n alioille Tällöin apumuuttujien totaalien vetori T (,..., ) z Tz T 1 z missä T J z j U z j, j 1,..., J, on tunnettu Kosa omain-iniaattorit tunnetaan, voiaan lasea apumuuttujien omain-totaalit T z z j, 1,..., D ja j 1,..., J j U Mallin sovitusvaiheessa lasetaan sovitteet yˆ aiille N aliolle U Resiuaalit eˆ y yˆ voiaan lasea vain otoshavainnoille s Sovitteet yˆ, U vaihtelevat spesifioiusta mallista riippuen.
22 DOMAIN-TOTAALIEN ESTIMAATTORIT 22 Osajouototaalien päätyypit: T y estimaattoreien U Horvitz-Thompson estimaattori HT t ˆ w y y / HT s s Synteettinen estimaattori SYN tˆ SYN yˆ (1) U Yleistetty regressioestimaattori GREG (Generalize regression estimator) (2) t ˆ y ˆ w ( y y ˆ ) GREG U s Yhistelmäestimaattori (Composite estimator) missä t ˆ y ˆ ˆ a ( y y ˆ ) w COMP U s 1/, s s U ja 1,..., D COMP-estimaattorissa ˆ on omain-spesifi paino, 0 ˆ 1, jota tarvitaan erityisesti EBLUPestimaattorin yhteyessä
23 23 ESTIMAATTOREIDEN KONSTRUOINTI JA MALLIN SPESIFIOINTI Työvaiheet: (1) Estimoiaan valitun mallin parametrit äyttämällä otosaineistoa s( y) ( y, z ); s. (2) Mallin parametriestimaattien ja apumuuttujavetoreien z avulla lasetaan sovitteet yˆ aiille perusjouon alioille (otosaliot ja otosen ulopuoliset aliot) (3) Domain-totaalin T estimaattia tˆ varten omainissa sijoitetaan sovitteetyˆ ; U ja otoshavainnot y ; s vastaaviin estimaattoriaavoihin (GREG, SYN, COMP tai EBLUP).
24 ESIMERKKI 24 a) Kiinteien teijöien lineaarinen malli: y z β missä β on mallin tuntematon parametrivetori ja resiuaalit ovat Sovitetaan malli, saaaan estimaatti βˆ Lasetaan sovitteet yˆ = z βˆ aiille b) Lineaarinen seamalli: y z ( β u ) U missä u on omain-spesifien satunnaistermien vetori Estimoiaan mallin parametrit ja lasetaan sovitteet yˆ z (ˆ β uˆ ) aiille U
25 MALLIN SPESIFIOINTI 25 Oloon (J+1)-imensioinen apumuuttujavetori z = ( 1, z 1,..., z,..., z ), j 1,..., J j J Vetoria tarvitaan sovitteien yˆ, varten U lasentaa (1) Kiinteien teijöien P-mallit Estimaattorit SYN-P ja GREG-P perustuvat lineaariseen malliin y 0 1z1... J zj zβ (3) U, missä β (, 1,..., J ) on iinteien teijöien vetori joa on määritelty oo populaatiolle 0 Malli (3) on iinteien teijöien P-malli
26 Mallin parametrien estimointi 26 Perusjouon tasolla: Vetorin β PNS-estimaattori: 1 B z z z y (4) U U Käytettävissä otosaineisto: Painotettu PNS (Weighte least-squares, WLS) estimaattori parametrille (4) lasetaan äyttämällä otoshavaintoja: 1 bˆ w z w y z z (5) s s missä w 1/ on alion asetelmapaino Sovitteet ovat: yˆ zbˆ, U (6)
27 HUOM: Epäsuora omain-estimaattori 27 Kun äytetään P-mallia ositteelle, myös muien osajouojen y-arvot vaiuttavat osajouon totaaliestimaattoreihin SYN-P ja GREG-P sijoitettaviin sovitteisiin y ˆ Tästä syystä iinteien teijöien P-malliin perustuvia estimaattoreita tˆ SYN P ja tˆ GREGP utsutaan epäsuorisi (inirect)
28 28 (2) Kiinteien teijöien D-mallit. Estimaattorit SYN-D ja GREG-D perustuvat samaan apumuuttujavetoriin z, mutta malli määritellään omainohtaisesi: y z β (7) U, 1,..., D, tai y D 1 z β (8) U, missä on alion omain-iniaattori: = 1 un U, nolla muulloin, 1,..., D, ja β on omain-ohtainen parametrivetori Malli (7) on iinteien teijöien D-malli PNS-estimaattori parametrille : 1,...,D 1 U B z z z y (9) U
29 Otosataan perustuva WLS estimaaattori: 29 1,...,D Sovitteet ovat: 1 s bˆ w z z w z y (10) s yˆ zbˆ (11) ; 1,..., D U Sijoittamalla sovitteet yˆ aavoihin (1) ja (2) saaaan vastaavat estimaattorit SYN-D ja GREG- D HUOM: Suora omain-estimaattori D-mallien sovitusessa ussain omainissa äytetään vain yseisen omainin y-arvoja Vastaavia estimaattoreita tˆsyn D ja tˆgreg D utsutaan suorisi (irect)
30 HUOM: 30 Estimaattorin (9) täyellisempi muoto on GLSestimaattori (Generalize least squares) 1 U / c B z z z y / c U missä c on muotoa c λz aliolle U ja (J+1)-vetori λ ei riipu arvosta. Käytännössä asetetaan usein c 1 aiille Kosa nyt c λ z 1, seuraa siitä että GREGestimaattorin jäännöstotaalin HT-estimaatti w ( y ˆ y ) 0 s Tästä seuraa että SYN-D ja GREG-D ovat ienttiset, eli tˆ SYN D = tˆ GREG D joaiselle otoselle s, un äytetään iinteien teijöien D-mallia
31 (3) Seamallit. Estimaattorit MSYN-D ja MGREG-D perustuvat lineaariseen asitasomalliin (seamalliin), jota utsumme lineaarisesi D-tyypin seamallisi 31 Mallissa on iinteitä teijöitä ja omainohtaisia satunnaisia teijöitä: y u U 0 0, 1,..., D ( 1 u1 ) z1 = ( β u... ( J u J ) z J z ) (12) Kuin mallin termi voiaan ajatella populaatiotasoisen iinteän teijän ja omainohtaisen satunnaisteijän summasi: 0 u0 vaiotermille (intercept) u, j = 1,..., J ulmaertoimille (slopes) j j Termit u ( u, u1,..., uj ) eustavat poieamia mallin iinteän osan parametreista 0 y z... z z β (13) J J =
32 HUOM: 32 Käytännössä vai osa termeistä määritellään satunnaisisi, jolloin joillein j, u j 0 aiissa omaineissa Erioistapaus, jota äytetään paljon äytännön sovellusissa, on malli jossa on vain omainohtaiset satunnaiset vaiotermit u 0 : y ( u ) z... z J J Sovitteet lasetaan aavalla yˆ z (ˆ β uˆ ) (14) Saaaan estimaattorit MSYN-D ja MGREG-D (Lehtonen an Veijanen 1999) D-malli (12) voiaan sovittaa esimerisi estimoimalla varianssiomponentit suurimman usottavuuen (ML) tai rajoitetulla suurimman usottavuuen (restricte maximum lielihoo REML) menetelmällä ja iinteät teijät GLSmenetelmällä eholla varianssiomponentit (esim. Golstein 2003 tai McCulloch an Searle 2001).
33 Yleistettyjen lineaaristen seamallien GLMM ehiossa voiaan irjoittaa malli: 33 E ( y u ) g( z ( βu )) m Erioistapausia: Lineaarinen malli (jatuva tulosmuuttuja): E ( y u ) z ( βu ) m Multinomiaalinen logistinen seamalli (moniluoainen tulosmuuttuja): E ( y u ) m i m exp( z ( βi ui )) 1 exp( z ( β u )) r2 r r (Lehtonen, Särnal an Veijanen 2003)
34 ESIMERKKI 34 Jatuvatyyppinen y, jona totaali T estimoiaan omaineille U, 1,..., D Oletetaan ysi jatuvatyyppinen apumuuttuja z Avustavat mallit: (1) Kiinteien teijöien P-mallit y, U : (1a) y 0 (1b) y 1 z (1c) z y 0 1 (2) Kiinteien teijöien D-mallit y, U, 1,..., D: (2a) y 0 (2b) y z 1 (2c) y 0 1 z (3) Seamallit y, U, 1,..., D: (3a) y 0 0 u0 (3b) z u y z
35 HUOM: 35 Mallit (1b) ja (2b): Suhetehosteinen estimointi (Ratio estimation) osajouoille Mallit (1c) ja (2c): Regressioestimointi osajouoille HUOM: Mallit (1) ja (3): Epäsuorat (Inirect) estimaattorit SYN ja GREG Malli (2): Suorat (Direct) estimaattorit SYN ja GREG
36 ESIMERKKI 36 P-malli (1b) SYN-estimaattori (1) totaaleille T : 1,..., D tˆ yˆ bˆ z SYN P U U 1 T bˆ T tˆ / tˆ z 1 z HT zht (18) Parametrin (slope) B 1 estimaattori on: b ˆ1 s s w w y z tˆ tˆ HT zht Ono tämä estimaattori suora (irect) vai epäsuora (inirect)? Estimaattori (18) on epäsuora. Misi? Estimaattori tˆ SYN P osajouolle äyttää y- muuttujan arvoja oo otosesta ja pyrii siten lainaamaan voimaa (borrowing strength) myös muista omaineista
37 HUOM: 37 SYN-estimaattorin (18) harha Estimaattorin aavalla tˆ harhaa approsimoiaan SYN P BIAS(ˆ tsyn P) E(ˆ tsyn P) T Tz ( B 1 B1 ) missä B 1 U y / U z on omain-ohtainen parametri (slope), 1,..., D B 1 U y / U z on perusjouotasoinen parametri Domainille harha on pieni, jos perusjouotasoinen parametri B 1 approsimoi hyvin osajouoohtaista parametria B 1 Merittävä harha seuraa jos ehto ei ole voimassa.
38 Vastaava epäsuora GREG-estimaattori (2) omain-totaaleille T : 38 tˆ GREGP U yˆ s w ( y yˆ ) t ˆ z ) ˆSYN P w ( y b1 s tˆ ˆ HT t ( ˆ HT Tz tzht ) (19) tˆ zht HUOM: Yritys lainata voimaa pätee myös tälle estimaattorille
39 39 Suorat estimaattorit SYN ja GREG tyyppiä (2b) äyttävät y-arvoja vain yseisestä omainista Korvataan ˆb 1 aavassa (18) omain-ohtaisella estimaattorilla bˆ 1 : b ˆ1 s s w w y z tˆ tˆ HT zht, 1,..., D, missä tˆ HT ja tˆ zht ovat totaalien T ja T z omainohtaisia HT-estimaattoreita Suora estimaattori SYN tˆ SYN D ˆ yˆ b z Tz tˆ HT / tˆ zht tsyn D U 1 U ˆ, 1,...,D. (20) Tässä tapausessa suora GREG-estimaattori tˆ GREG D on ienttinen suoran SYN-estimaattorin anssa, osa GREG-estimaattorin harhanorjaustermi on tällöin nolla.
Pienalue-estimointi (78189) Kevät 2011 Risto Lehtonen
Helsingin yliopisto Sosiaalitieteien laitos 1 Pienalue-estimointi (78189) Kevät 2011 Risto Lehtonen OSA 4 Laajennettu GREG-estimaattoreien perhe Avustavat mallit Yleistetty lineaarinen malli Lineaarinen
LisätiedotPienalue-estimointi (78189) Kevät 2011 Risto Lehtonen
Helsingin yliopisto Sosiaalitieteien laitos 1 Pienalue-estimointi (78189) Kevät 2011 Risto Lehtonen OSA 3 GREG-estimaattori Yleinen tilanne (unequal probability sampling) Komposiittiestimaattorit (Composite
LisätiedotOtantamenetelmät. Syksy
Otantamenetelmät (78143) Sysy 2009 TEEMA 2 risto.lehtonen@helsini.fi Teema 2 LISÄTIEDON KÄYTTÖ ESTIMOINTIASETELMASSA: MALLIAVUSTEINEN ESTIMOINTI 2 Lisätiedon äyttö estimointiasetelmassa i t Malliavusteiset
LisätiedotOtantamenetelmät (78143) Syksy 2008 OSA 2: Malliavusteinen estimointi. Risto Lehtonen
Otantamenetelmät (78143) Sysy 2008 OSA 2: Malliavusteinen estimointi Risto Lehtonen risto.lehtonen@helsini.fi Lisätiedon äyttö estimointiasetelmassa Tavoitteena estimoinnin tehostaminen poimitulle otoselle
LisätiedotOtanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 4: Asetelmaperusteinen monimuuttuja-analyysi
Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 4: Asetelmaperusteinen monimuuttuja-analyysi Risto Lehtonen risto.lehtonen@helsini.fi Analyysimenetelmiä ja työaluja Lineaariset mallit Regressioanalyysi
LisätiedotPienalue-estimointi (78189) Kevät 2011. Risto Lehtonen Helsingin yliopisto
Pienalue-estimointi (78189) Kevät 2011 Risto Lehtonen Helsingin yliopisto Pienalue-estimointi Kurssin kotisivu http://wiki.helsinki.fi/pages/viewpage.action?pagei=62430039 2 Hyöyllisiä taustatietoja Otantamenetelmät
LisätiedotLISÄTIEDON KÄYTTÖ ESTIMOINTIASETELMASSA: MALLIAVUSTEINEN ESTIMOINTI
Otatameetelmät (78143 Sysy 2010 TEEMA 2 risto.lehtoe@helsii.fi Teema 2 LISÄTIEDON KÄYTTÖ ESTIMOINTIASETELMASSA: MALLIAVUSTEINEN ESTIMOINTI 2 1 Lisätiedo äyttö estimoitiasetelmassa Malliavusteiset strategiat
Lisätiedot(78143) Syksy 2009 TEEMAT 3 & 4. Risto Lehtonen Teema 3 ERITYISKYSYMYKSIÄ. Risto Lehtonen 2
Otantamenetelmät (78143) Syksy 2009 TEEMAT 3 & 4 Risto Lehtonen risto.lehtonen@helsinki.fi Teema 3 ERITYISKYSYMYKSIÄ Risto Lehtonen 2 1 Otannan erityiskysymyksiä Ryväsotanta Survey sampling reference guidelines
LisätiedotOtanta-aineistojen analyysi
Helsingin yliopisto Otanta-aineistojen analyysi Kevät 2010 Periodi III Risto Lehtonen Teema 2 Estimaattoreiden varianssien estimointi Survey-analyysin lähestymistavat Kuvaileva survey Descriptive survey
Lisätiedot, sanotaan niiden sääntöjen ja menetelmien kokonaisuutta, joilla otos poimitaan määritellystä perusjoukosta.
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) TEKIE YTEEVETO I Otata-asetelmat ja estimoitiasetelmat Perusjouo ja muuttujat Äärellie perusjouo U = {,...,,..., } Tulosmuuttuja y tutemattomat arvot Y,,Y,,Y
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotKulutustutkimuksen alue-estimointi Pienalue-estimointimenetelmien vertailu Kulutustutkimus aineistossa
Kulutustutkimuksen alue-estimointi Pienalue-estimointimenetelmien vertailu Kulutustutkimus 2006 -aineistossa Pauliina Maria Peltonen Helsingin yliopisto Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Tilastotiede
LisätiedotUudelleenpainotus ja imputointi Perusteita
Heisigi yliopisto Matematiia ja tilastotietee laitos Otatameetelmät Sysy 008 Uudelleepaiotus ja imputoiti Perusteita Prof. Risto Lehtoe, Helsigi yliopisto.1.008 Uudelleepaiotus Otostasoise tiedo äyttö
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotOtanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita
Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita risto.lehtonen@helsinki.fi OHC Survey Tilastollinen analyysi Kysymys: Millä
LisätiedotPIENALUE-ESTIMOINTIMENETELMÄT:
Pro gradu -tutkielma Tilastotiede PIENALUE-ESTIMOINTIMENETELMÄT: SOVELLUSKOHTEENA SUOMALAISTEN KOETTU TOIMEENTULO VUONNA 2009 Nico Maunula Toukokuu 2012 Ohjaaja: Risto Lehtonen HELSINGIN YLIOPISTO Matematiikan
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotOtanta-aineistojen analyysi Kevät 2010 TEEMA 5: Tilastollinen mallinnus II Mallit, analyysimenetelmiä ja ohjelmia, PISA-esimerkki
Otanta-aineistojen analyysi Kevät 2010 TEEMA 5: Tilastollinen mallinnus II Mallit, analyysimenetelmiä ja ohjelmia, PISA-esimerkki risto.lehtonen@helsinki.fi Korreloituneiden havaintojen analyysi Lineaariset
LisätiedotEstimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4
Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelymenetelmät Lasuharjoitus 4 Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, un prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotTilastollisten menetelmien käyttö Kelan tutkimustoiminnassa
Tilastollisten menetelmien käyttö Kelan tutkimustoiminnassa Risto Lehtonen Helsingin yliopisto Kela 1 Tilastokeskuksen SAS-seminaari 16.11.2009 Aiheita Kelan tutkimustoiminta SAS-sovellukset vaativien
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Logistinen regressioanalyysi Vastemuuttuja Y on luokiteltu muuttuja Pyritään mallittamaan havaintoyksikön todennäköisyyttä kuulua
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotSTOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
LisätiedotJY / METODIFESTIVAALI 2013 PRE-KURSSI: KYSELYTUTKIMUS DEMOT
JY / METODIFESTIVAALI 2013 PRE-KURSSI: KYSELYTUTKIMUS DEMOT SPSS-ohjelmiston Complex Samples- toiminto otoksen poiminnassa ja estimaattien laskennassa Mauno Keto, lehtori Mikkelin AMK / Liiketalouden laitos
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotOtanta-aineistojen analyysi
Helsingin yliopisto Otanta-aineistojen analyysi Kevät 2010 Periodi III Risto Lehtonen Teema 4 Asetelmaperusteinen monimuuttujaanalyysi Logistinen ANOVA ja GWLS-estimointi Binäärinen tulosmuuttuja Diskreetit
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotHierarkkisen aineiston mallintaminen ja otanta/pre-kurssi
Hierarkkisen aineiston mallintaminen ja otanta/pre-kurssi Risto Lehtonen, Helsingin yliopisto Metodifestivaali Jyväskylän yliopisto 27.5.2009 Keskiviikko 27.5 10-12 Hierarkkisuus otanta- asetelmaperusteisessa
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
Lisätiedot4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotSYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
Lisätiedotr = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P
Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
LisätiedotMTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä
23.11.2017/1 MTTTP5, luento 23.11.2017 Luottamusväli, määritelmä Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos P(A
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotMAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Lisätiedot5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
LisätiedotATH-aineiston tilastolliset analyysit SPSS/PASW SPSS analyysit / Risto Sippola 1
ATH-aineiston tilastolliset analyysit SPSS/PASW 16.2.2011 SPSS analyysit / Risto Sippola 1 Aineiston avaaminen Aineisto on saatu SPSS-muotoon ja tallennettu koneelle sijaintiin, josta sitä voidaan käyttää
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Usea selittää lieaarie regressiomalli Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, evät 007 8. lueto: Usea selittää lieaarie regressiomalli Selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu halutaa selittää selittävie
Lisätiedot