Riskiteoria. Harri Nyrhinen, Helsingin yliopisto. Syksy 2009

Transkriptio

1 Riskiteoria Harri Nyrhinen, Helsingin yliopisto Syksy 29 1 Johdanto Tarkastellaan lyhyesti vakuutustoiminnan luonnetta ja vakuuttamisen motiivia. Ajatellaan esimerkkinä joukkoa samankaltaisia omakotitaloja ja näiden tulipaloriskiä. Yksittäiselle talon omistajalle tulipalo merkitsee suurta taloudellista menetystä. Suojautuminen tällaista riskiä vastaan omin voimin esimerkiksi vararahaston avulla ei ole realistista. Tavallisesti ongelma ratkaistaan ottamalla palovakuutus. Tällöin kukin talon omistaja suorittaa vakuutusyhtiölle vakuutusmaksun, joka vastaa likimain keskimääräistä yhdelle talolle syntyvää taloudellisten menetysten määrää esimerkiksi yhden vuoden aikana. Vakuutusyhtiö sitoutuu korvaamaan tulipalojen aiheuttamat menetykset saamaansa vakuutusmaksua vastaan. Tällä tavalla riski on siirtynyt vakuutusyhtiölle ja talojen omistajat ovat suojautuneet satunnaisia suuria menetyksiä vastaan kohtuullisella deterministisellä vakuutusmaksulla. Vakuutusyhtiöllä puolestaan on suuri joukko riskejä vastattavanaan. Suurten lukujen lain avulla voidaan perustella sitä, että yhtiö selviää riskeistä kohtuullisen vakuutusmaksuihin sisältyvän marginaalin avulla. Edellä on jo esitetty kaksi merkittävää vakuutustoimintaan liittyvää rahavirtaa, nimittäin korvaukset ja vakuutusmaksut. Toimintaan sisältyy monia muitakin rahavirtoja. Näitä havainnollistaa seuraava kaavio. 1

2 VAKUUTUS- MAKSUT SIJOITUS- TOIMINNAN TUOTOT UUSI PÄÄOMA VAKUUTUS- YHTIÖ VAHINGON- KORVAUKSET HALLINTO- KULUT OSINGOT VEROT yms. Kurssi painottuu vahingonkorvausten tarkasteluun. mm. seuraaviin kysymyksiin: - millainen on vahinkojen korvausprosessi - miten arvioidaan yhtiön vakavaraisuutta. Tavoitteena on antaa vastauksia Luonteeltaan ja painotuksiltaan kurssi sopii parhaiten vahinkovakuutuksen tarpeisiin. Henki- ja eläkevakuutuksen erityispiirteitä ei tarkastella. Kurssin päälähde on osa I kirjasta DPP: Daykin, C., Pentikäinen, T. and Pesonen, M Practical Risk Theory for Actuaries. Chapman & Hall, London. 2

3 2 Kertausta todennäköisyyslaskennasta Kurssin keskeisin tarkastelukohde on edellä esitelty vahinkojen korvausprosessi tai lyhyemmin, vahinkoprosessi. Tämä on luontevaa mallintaa satunnaissuureeksi. Korvauksia tullaan jatkossa tarkastelemaan tilanteesta riippuen satunnaismuuttujana tai stokastisena prosessina. Esitetään kertauksena eräitä todennäköisyysteorian käsitteitä ja tuloksia. 1. Todennäköisyyskenttä Todennäköisyyskenttä on kolmikko Ω, S, P, missä Ω on perusjoukko alkeistapaukset. S on sigma-algebra Ω:lla tietyt vaatimukset täyttävä kokoelma Ω:n osajoukkoja. S:n joukkoja kutsutaan tapahtumiksi. P on todennäköisyysmitta liittää todennäköisyyden jokaiseen S:n joukkoon. 2. Satunnaismuuttuja Mitallista kuvausta ξ : Ω, S R, B kutsutaan satunnaismuuttujaksi, missä B tarkoittaa R:n Borel-joukkoja. Jatkossa reaaliarvoisen funktion mitallisuudesta puhuttaessa R varustetaan aina Borel-sigma-algebralla B. 3. Jakauma Satunnaismuuttujan ξ jakauma P on todennäköisyysmitta R, B:llä, joka määräytyy ehdosta P B = Pξ 1 B = Pω Ω ξω B kaikilla B B. Jos satunnaismuuttujilla ξ ja η on sama jakauma, merkitään ξ = L η. 4. Kertymäfunktio, tiheysfunktio ja pistetodennäköisyysfunktio Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F : R R määritellään ehdosta Funktio f : R R on ξ:n tiheysfunktio, jos F x = Pξ x = P, x]. F x = x ftdt kaikilla x R. Tällöin ξ:n jakaumaa sanotaan jatkuvaksi. Jakauma on diskreetti, jos ξ keskittyy korkeintaan numeroituvaan joukkoon ts. jos on olemassa sellaiset reaaliluvut x 1, x 2,... että Pξ {x 1, x 2,...} = 1. Tällöin jakauman pistetodennäköisyysfunktio g : R R määritellään ehdosta gx = Pξ = x. Jatkossa esiintyy usein jatkuvan ja diskreetin jakauman sekoituksia. Tällöin kertymäfunktio on muotoa F x = x ftdt + x i x 3 Pξ = x i. 2.1

4 kaikilla x R. 5. Odotusarvo, varianssi ja muut momentit Satunnaismuuttujan ξ odotusarvo on Eξ = Ω ξωdpω edellyttäen, että E ξ on äärellinen. Jos ξ melkein varmasti, sallitaan myös + odotusarvoksi. Tällöin Eξ on määritelty kaikille ei-negatiivisille satunnaismuuttujille. Olkoon h : R R mielivaltainen mitallinen funktio. äärellinen ja F on ξ:n kertymäfunktio, niin Ehξ = Jos lisäksi ξ:llä on tiheysfunktio f, niin Ehξ = hxdf x. fxhxdx. Jos ξ:n jakauma on diskreetti ja g on ξ:n todennäköisyysfunktio, niin Ehξ = gx i hx i, i=1 Jos odotusarvo E hξ on missä oletetaan, että i=1 gx i = 1. Jatkuvan ja diskreetin jakauman sekoitukselle 2.1 pätee Ehξ = fxhxdx + Pξ = x i hx i. Satunnaismuuttujan ξ n. origomomentti a n on a n = Eξ n = i=1 x n df x edellyttäen, että E ξ n on äärellinen, n = 1, 2,.... Erityisesti a 1 = Eξ. Tätä merkitään usein myös symbolilla µ tai µ ξ. Vastaavasti n. keskusmomentti µ n on Erityisesti ξ:n varianssi on µ n = Eξ a 1 n, n 2. σ 2 ξ = Varξ = µ 2 ja keskihajonta σ ξ = µ 2. Vinous γ ξ määritellään ehdosta 6. Momentit generoiva funktio γ ξ = Eξ a 1 3 /σ 3 = µ 3 /σ 3. Satunnaismuuttujan ξ momentit generoiva funktio M = M ξ on kuvaus R R {+ }, joka määräytyy ehdosta M ξ s = Ee sξ. 4

5 Kumulantit generoiva funktio c = c ξ on kuvaus R R {+ }, joka määräytyy ehdosta c ξ s = log M ξ s. Molemmat funktiot ovat aina määriteltyjä. Seuraavat tulokset pätevät. a Jos satunnaismuuttujien ξ ja η momentit generoivat funktiot ovat äärellisiä ja yhtyvät jossain R:n avoimessa joukossa, niin niiden jakaumat yhtyvät. b Olkoot ξ ja η riippumattomia satunnaismuuttujia ts. kaikilla A, B B, merkitään ξ η. Tällöin ja kaikilla s R. Pξ A, η B = Pξ APη B M ξ+η s = M ξ sm η s c ξ+η s = c ξ s + c η s c Oletetaan, että M ξ on äärellinen eräässä origon ympäristössä. Tällöin M ξ on äärettömän monta kertaa derivoituva pisteessä s = ja M n ξ = Eξ n kaikilla n N vasemmalla puolella on n. derivaatta. Lisäksi ja 7. Ehdollinen odotusarvo c ξ = Eξ c n ξ = Eξ a 1 n = µ n, n = 2, 3. Olkoot ξ ja η satunnaismuuttujia ja Eξ äärellisenä olemassa. Olkoon ση η:n generoima sigma-algebra ts. suppein S:n alisigma-algebra, jonka suhteen η on mitallinen. Satunnaismuuttujan ξ ehdollinen odotusarvo η:n suhteen on sellainen satunnaismuuttuja Eξ η, että i Eξ η on ση mitallinen iie{eξ η1η B} = Eξ1η B kaikilla B B. Kohdassa ii 1 tarkoittaa indikaattorifunktiota ts. 1η Bω = 1, kun ηω B ja muuten. Voidaan osoittaa, että Eξ η on olemassa ja yksikäsitteinen m.v. melkein varmasti, nollamittaisessa joukossa Eξ η voidaan määritellä vapaasti. Lisäksi on olemassa sellainen mitallinen kuvaus h : R R, että Eξ η = hη. Intuitiivisesti, hy edustaa ξ:n keskimäärää, kun η:lla on arvo y. Usein käytetään merkintää Eξ η = y = hy. Ehdollisella odotusarvolla on seuraavat ominaisuudet oletetaan, että tarpeelliset odotusarvot ovat äärellisenä olemassa. a Eaξ 1 + bξ 2 η = aeξ 1 η + beξ 2 η kaikilla a, b R b E{Eξ η} = Eξ c Jos f : R R on mitallinen, niin Efηξ η = fηeξ η d Jos ξ η, niin Eξ η = Eξ 5

6 e Jos ξ 1 ξ 2, niin Eξ 1 η Eξ 2 η. Kaikki mainitut tulokset pätevät vain melkein varmasti. Ehdollinen todennäköisyys η:n suhteen annetulle joukolle B B määritellään ehdosta Pξ B η = E1ξ B η. Merkitään myös Pξ B η = y = ky, jos Pξ B η = kη. Olkoon F η satunnaismuuttujan η kertymäfunktio. Tällöin on olemassa sellainen perhe kertymäfunktioita {F ξ η y y R}, ns. ξ:n säännöllinen ehdollinen kertymäfunktio tai säännöllinen ehdollinen jakauma η:n suhteen, että i F ξ η y on kertymäfunktio kaikilla y R ii F ξ η x on mitallinen kaikilla x R iii Pξ x, η y = u y F ξ ηx udf η u kaikilla x, y R. Jos g : R R on mitallinen ja gξ L, niin Egξ η = y = x= gxdf ξ η x y. Yksinkertaisissa tapauksissa ehdollinen odotusarvo ja todennäköisyys voidaan määrätä elementaarisesti. Jos esimerkiksi ξ ja η ovat molemmat diskreettejä ja ξ keskittyy joukkoon {x 1, x 2,...} ja η joukkoon {y 1, y 2,...}, niin Pξ = x i η = y j = Pξ = x i, η = y j /Pη = y j, F ξ η x y j = Pξ x η = y j = Pξ x, η = y j /Pη = y j ja kaikilla i, j = 1, 2,... ja x R. Egξ η = y j = Pξ = x i η = y j gx i i=1 Ehdollisen odotusarvon käsite voidaan laajentaa suoraviivaisesti koskemaan ehdollistusta satunnaismuuttujajoukon suhteen tai vielä yleisemmin, mielivaltaisen S:n alisigmaalgebran suhteen. Olkoon nimittäin F tällainen. Satunnaismuuttuja Eξ F on ξ:n ehdollinen odotusarvo sigma-algebran F suhteen, jos i Eξ F on F mitallinen ii E{Eξ F1A} = Eξ1A kaikilla A F. Tämä yleistää edellä esitetyn ehdollisen odotusarvon satunnaismuuttujan suhteen, sillä ση = {η 1 B B B}. Yleinen ehdollinen odotusarvo on myös olemassa ja yksikäsitteinen, jos Eξ on äärellinen. Edellä esitetyt ominaisuudet a, b ja e pätevät myös. Jos F on G:n alisigma-algebra, niin lisäksi Eξ F = EEξ G F. Kohta c pätee muodossa c Jos ζ on F-mitallinen satunnaismuuttuja, niin Eζξ F = ζeξ F. 6

7 Jos erityisesti η 1,..., η N ovat satunnaismuuttujia ja F = ση 1,..., η N on näiden generoima S:n alisigma-algebra suppein sigma-algebra, jonka suhteen kaikki kyseiset muuttujat ovat mitallisia, niin on olemassa sellainen mitallinen kuvaus h : R N R, että Eξ ση 1,..., η N = hη 1,..., η N. Tässä siis R N varustetaan myös Borel-joukoilla. Säännöllinen ehdollinen kertymäfunktio on myös tällöin olemassa. Merkitään jatkossa lyhyesti Eξ ση 1,..., η N = Eξ η 1,..., η N. 8. Suurten lukujen lait Olkoot ξ 1, ξ 2,... riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia ja a 1 = Eξ 1 äärellinen. Silloin ξ ξ n P lim = a 1 = 1. n n Tulosta kutsutaan vahvaksi suurten lukujen laiksi. Lisäksi mielivaltaiselle ε > pätee lim P ξ ξ n a 1 ε =. n n Tätä kutsutaan heikoksi suurten lukujen laiksi. 9. Keskeinen raja-arvolause Olkoot ξ 1, ξ 2,... kuten kohdassa 8. Oletetaan lisäksi, että σ 2 = Varξ 1 <. Silloin lim P ξ1 + + ξ n na 1 n σ x = φx n kaikilla x R, missä φ on standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio, φx = x 1 2π e t2 /2 dt. 7

8 3 Vahinkojen lukumäärä Vahinkojen lukumäärä annetulla aikavälillä on luontevaa mallintaa ei-negatiiviseksi kokonaislukuarvoiseksi satunnaismuuttujaksi. Hyödyllistä on myös tarkastella kehitystä ajan suhteen, jolloin mallina on sopivat ehdot täyttävä stokastinen prosessi. Olkoon Kt aikavälillä, t] sattuneiden vahinkojen lukumäärä tarkasteltavassa vakuutuskannassa tällä tarkoitetaan kiinteää vakuutussopimusten joukkoa. Olkoon lisäksi Kt, u aikavälillä t, u] sattuneiden vahinkojen lukumäärä, missä t < u. Tällöin Kt, u = Ku Kt. Satunnaismuuttujaa K kutsutaan lukumäärämuuttujaksi, jos PK {, 1, 2,...} = 1. Stokastinen prosessi {Kt t } on laskuriprosessi, jos Kt on satunnaismuuttuja annetulla t:stä riippumattomalla todennäköisyysavaruudella Ω, S, P ja, t, seuraavat ehdot on täytetty: i K = m.v. ii Kt on lukumäärämuuttuja iii prosessin realisaatiot ovat oikealta jatkuvia ja niillä on vasemmanpuoleiset rajaarvot ts. kuvaus f ω : [, R, f ω t = Ktω on oikealta jatkuva ja sillä on vasemmanpuoleiset raja-arvot kaikilla ω Ω iv PKt Kt = tai 1, t > = 1, missä Kt = lim h + Kt h. Vaatimus iii on teknisluontoinen. Oleellista on, että Kt on aina kokonaislukuarvoinen ja että hypyt ovat ykkösen suuruisia kohdat ii ja iv. Nämä ominaisuudet ovat luonnollisia mallinnettaessa vahinkojen lukumäärän kehitystä ajassa f ω t t aika Esimerkkirealisaatio Mallissa siis vahinkojen sattumishetket ovat satunnaisia. Kunakin hetkenä sattuu korkeintaan yksi vahinko. Viimeksi mainittua ominaisuutta voidaan kritisoida esimerkiksi kahden auton kolarin tapauksessa. Tällöinhän vahinko sattuu yhtäaikaisesti kummallekin osapuolelle. Ongelma voidaan kiertää katsomalla kukin kolari yhdeksi vahingoksi riippumatta osallisten määrästä. Tällä tavalla mallin soveltuvuutta voidaan parantaa. 8

9 3.1 Poisson-jakauma ja Poisson-prosessit Satunnaismuuttuja K on Poisson-jakautunut parametrilla λ, jos PK = k = e λ λk, k =, 1, 2,.... k! Jos λ =, sovitaan, että PK = = 1. Stokastinen prosessi {Kt t } on Poissonprosessi intensiteetillä λ, jos {Kt} on laskuriprosessi ja a Kt, u on Poisson-jakautunut parametrilla λu t kaikilla t < u b mielivaltaisille ajanhetkille t 1 < u 1 t 2 < u 2 t n < u n lisäykset Kt 1, u 1,..., Kt n, u n ovat riippumattomia. Poisson-prosessi on ehkä yksinkertaisin malli vahinkojen lukumäärän kehitykselle ajassa. Joustavuutta saadaan epähomogeenisen Poisson-prosessin avulla. Tämä määritellään seuraavasti. Olkoon Λ : [, [, kasvava funktio ja Λ =. Prosessi {Kt t } on Poisson-prosessi intensiteettifunktiolla Λ, jos {Kt} on laskuriprosessi ja a Kt, u on Poisson-jakautunut parametrilla Λu Λt kaikilla t < u b lisäysten riippumattomuusvaatimus b toteutuu. Tavallinen Poisson-prosessi saadaan, kun valitaan Λt = λt kaikilla t. Poisson-prosessien käytölle mallinnuksessa esitetään jatkossa teoreettisia perusteluja. Kootaan aluksi lauseeksi eräitä Poisson-jakauman ominaisuuksia. Lause Olkoon K Poisson-jakautunut parametrilla λ. Silloin momentit generoivalle funktiolle M K, odotusarvolle EK, varianssille VarK ja vinoudelle γ K pätee ja M K s = e λes 1, s R, EK = VarK = λ γ K = 1/ λ Todistus. Momentteja koskevien tulosten todistukset jätetään harjoitustehtäväksi. Määrätään M K. Olkoon s R mielivaltainen. Silloin M K s = PK = ke sk = k= k= k= λ λk e k! esk = e λ λe s k = e λ e λes = e λes 1. k! Poisson-jakauma on binomijakauman rajajakauma seuraavassa mielessä. Lemma Olkoon ξ n :llä Binn, p n -jakauma ts. n Pξ n = k = p k k n1 p n n k, k =, 1, 2,..., n Oletetaan, että lim n np n = λ. Silloin lim Pξ n = k = e n λ λk 9, k =, 1, 2,... k!

10 Todistus. Selvästi Pξ n = k = nn 1 n k + 1 k! λ + o1 n k 1 λ + o1 n k, n n missä o1, kun n. Väite seuraa tästä, sillä lim n 1 λ+o1 = e λ.. Tarkastellaan nyt laskuriprosesseja. Lause Olkoon {Kt} laskuriprosessi, joka toteuttaa ehdot i lisäysten riippumattomuus: mielivaltaisille t 1 < u 1 t 2 < u 2 t n < u n lisäykset Kt 1, u 1,..., Kt n, u n ovat riippumattomia ii lisäysten stationaarisuus: mielivaltaisille t, r Kr ja Kt+r Kt ovat samoin jakautuneita. Silloin on olemassa sellainen λ, että {Kt t } on Poisson-prosessi intensiteetillä λ. Lauseen ehdot ovat sopivia ajatellen Poisson-prosessin käyttöä mallinuksessa. Jatkoa ajatellen on mukavampi todistaa seuraava vahvempi tulos. Lause Olkoon {Kt} laskuriprosessi, joka toteuttaa lauseen lisäysten riippumattomuusvaatimuksen i sekä ehdon ii PKr = = PKt + r Kt = kaikilla t, r. Silloin {Kt t } on Poisson-prosessi intensiteetillä λ = log PK1 =. Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä p k t = PKt = k, t, k =, 1, 2,..., kun kyseessä olevasta laskuriprosessista {Kt} ei ole epäselvyyttä. Lauseen todistus. Olkoot r, t mielivaltaisia. Oletusten i ja ii nojalla p t + r = PKt + r = = PKt =, Kt, t + r = = PKt = PKt, t + r = = p tp r. Olkoot m ja n positiivisia kokonaislukuja. Tällöin m p = n [ 1 m p = [p n n] n] 1 m/n = [p 1] m/n. n Koska p t on vähenevä t:n suhteen, on välttämättä p t = [p 1] t kaikilla t. Jos nyt p 1 = 1, niin PKt = = 1 kaikilla t. Tällöin {Kt} on Poisson-prosessi intensiteetti on λ =. Voidaan siis olettaa, että p 1 < 1. Oletetaan, että olisi p 1 =. Olkoot a < b 1 mielivaltaisia. Tällöin olisi PKa, b 1 = PKb Ka 1 = 1 PKb Ka = = 1 p b a = 1 [p 1] b a = 1. 1

11 Jakamalla väli [, 1] äärettömän moneksi erilliseksi väliksi nähdään, että olisi Saatiin ristiriita. PK1 < =. Edellä esitetyn nojalla voidaan olettaa, että p 1, 1. Merkitään λ = logp 1, jolloin p t = e λt kaikilla t. Olkoon nyt t > ja k mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Tarkastellaan todennäköisyyttä p k t. Olkoon n > k kokonaisluku. Välit ν 1 Iν n = n t, ν ] n t, ν = 1,..., n, muodostavat välin, t] osituksen ts. ovat alkiovieraita ja, t] = I1 n In n. Olkoon A n k niiden realisaatioiden joukko, joilla on hyppy tarkalleen k välillä Iν n ts. A n k = k νi 1 K n t, ν i n t ν 1 > K n t, ν n t =. 1 ν 1 <...<ν k n i=1 ν {ν 1,...,ν k } Olkoon edelleen B n niiden realisaatioiden joukko, joilla on vähintään kaksi hyppyä jollakin välillä Iν n eli n [ ν 1 B n = K n t, ν ] n t 2. ν=1 Oletusten i ja ii nojalla P A n k on binomitodennäköisyys, P A n k = Pξ n = k, missä ξ n :llä on Binn, 1 e λt/n -jakauma. Lemman nojalla lim P n An λtk k = e λt k! Tarkastellaan nyt joukon B n todennäköisyyttä, kun n. Laskuriprosessin realisaatioilla on äärellisellä välillä vain äärellinen määrä hyppyjä ja hypyt ovat ykkösen suuruisia. Koska realisaatiot ovat oikealta jatkuvia, ei tällainen realisaatio ole B n :ssä, kun n on riittävän suuri. Dominoidun konvergenssin lauseen nojalla Selvästi joten Tulosten ja nojalla lim P n Bn = A n k \ Bn {Kt = k} A n k Bn, PA n k PBn p k t PA n k + PBn. p k t = lim P n An λtk k = e λt. k! 11

12 Olkoon nyt t < u. Osoitetaan, että Ku Kt on Poisson-jakautunut parametrilla λu t. Tämä todistaa lauseen. Olkoon s R mielivaltainen. Oletuksen i nojalla M Ku s = M Kt+Ku Kt s = M Kt sm Ku Kt s. Lauseen ja todistuksen alkuosan nojalla M Ku Kt s = M Kus M Kt s = eλues 1 e λtes 1 = e λu tes 1. Siis Ku Kt on Poisson-jakautunut parametrilla λu t. Esitetään seuraavaksi vaihtoehtoinen Poisson-prosessin määritelmä ilman todistusta. Lause Olkoot ξ, ξ 1, ξ 2,... riippumattomia eksponenttijakautuneita satunnaismuuttujia parametrilla λ >. Toisin sanoen Pξ x = 1 e λx, x. Määritellään prosessi {Kt; t } ehdosta { sup{k ξ ξ k t}, Kt =, jos ξ 1 > t. Silloin {Kt; t } on Poisson-prosessi intensiteetillä λ. Kääntäen, jos {Kt; t } on Poisson-prosessi intensiteetillä λ ja T k = inf{t Kt k}, k = 1, 2,..., niin T 1, T 2 T 1, T 3 T 2,... ovat riippumattomia eksponenttijakautuneita satunnaismuuttujia parametrilla λ >. Tarkastellaan lopuksi lauseen yleistystä heikentämällä stationaarisuusvaatimusta ii. Lause Olkoon {Kt} laskuriprosessi ja p k t kaavan mukainen. Oletetaan, että {Kt} toteuttaa lauseen lisäysten riippumattomuusvaatimuksen i. Oletetaan lisäksi, että p t, 1] kaikilla t ja että p : [,, 1] on jatkuva. Silloin {Kt} on Poisson-prosessi intensiteettifunktiolla Λ, missä kaikilla t. Λt = log p t Todettakoon, että jos p :lla on epäjatkuvuuspiste kohdassa t, niin hetkellä t sattuu vahinko positiivisella todennäköisyydellä. Tämä ei ole kovin luonnollista vahinkovakuutuksessa. Lauseen todistus. Merkitään p = lim t p t ja C = p, 1]. Olkoon p 1 t = sup{u p u = t} kaikilla t C. Jatkuvuuden nojalla p 1 on hyvin määritelty. Lisäksi p 1 on vasemmalta jatkuva ja aidosti vähenevä funktio sekä p p 1 t = t kaikilla t C. Okoon µ > kiinteä ja τt = p 1 e µt, 12

13 kaikilla t C, missä C = {t e µt C} = [, µ 1 log p. Tällöin τ on oikealta jatkuva ja aidosti kasvava. Määritellään laskuriprosessi {K t t C } ehdosta K t = Kτt kaikilla t C. Selvästi {K t} toteuttaa lauseen riippumattomuusvaatimuksen i. Osoitetaan, että myös lauseen vaatimus ii toteutuu. Koska p τt = e µt, niin Toisaalta mielivaltaisille t, r pätee joten PK t = = PKτt = = e µt. PK t + r = = PK t = PK t + r K t =, PK t + r K t = = PK t + r = PK t = = e µr = PK r =. Tämä on juuri ii. Lauseen nojalla {K t} on Poisson-prosessi intensiteetillä log PK 1 = = µ merkitystä ei ole sillä, että K t on määritelty vain alueessa t C. Jos nyt t on sellainen, että τu = t jollain u C, niin Kt = Kτu = K u, joten Kt on Poisson-jakautunut parametrilla µu. Toisaalta p t = e µu, joten µu = log p t = Λt. Olkoon nyt t sellainen, että τu t kaikilla u C. Olkoon v t = inf{v t τu = v jollain u C }. Oletetaan ensin, että v t <. Osoitetaan, että p t = p v t. Jos t 1, t 2 ovat sellaisia, että p t 1 > p t 2, niin voidaan määrätä sellainen t t 1, t 2, että p 1 p t = t. Esimerkiksi valitaan u p t 2, p t 1 ja t = p 1 u. Jos olisi p t > p v t, voitaisiin siis määrätä sellainen t t, v t, että τ µ 1 log p t = t. Tämä on vastoin v t :n minimaalisuusominaisuutta. Siis p t = p v t. Selvästi p v t = PKv t = = PKt =, Kv t Kt = = PKt = PKv t Kt = = p t PKv t Kt =. 13

14 Siis PKv t Kt = = 1. Selvästi τu t = v t eräälle u t C, joten alkuosan nojalla Kv t on Poisson-jakautunut parametrilla Λv t. Saadaan PKv t = k = = k PKv t = k, Kt = h h= k PKt = hpkv t Kt = k h = PKt = k. h= Siis Kt on Poisson-jakautunut parametrilla Olkoon nyt v t =. Ilmeisesti Λv t = log p v t = log p t = Λt. lim τu = sup{t p t p, 1]}. u µ 1 log p Nähdään, että välttämättä p t = p jostain t:n arvosta lähtien. Olkoon t minimaalinen tällainen t. Tällöin p 1 :n määrittelyjoukko voidaan laajentaa suljetuksi väliksi [p, 1] asettamalla p 1 p = t. Määrittelemällä τ alkuperäisellä kaavalla saadaan τ µ 1 log p = t. Tällöin p τt = e µt aina, kun vasen puoli on määritelty. Alkuosan nojalla Kt on Poisson-jakautunut parametrilla Λt kaikilla t t. Jos t > t, niin p t = p t = p. Nähdään kuten alkuosassa, että PKt Kt = = 1 ja että Kt on Poisson-jakautunut parametrilla Λt = Λt. On siis todistettu, että Kt on Poisson-jakautunut parametrilla Λt kaikilla t. Tarkastelemalla generoivia funktioita kuten lauseen todistuksen lopussa nähdään, että Kt, u on Poisson-jakautunut parametrilla Λu Λt kaikilla t < u. Arvioitaessa Poisson-prosessin sopivuutta vahinkojen lukumäärien kuvaamiseen on lauseen nojalla tarkasteltava lisäysten riippumattomuutta ja stationaarisuutta. Lauseen nojalla stationaarisuusoletuksesta voidaan pitkälle luopua ja silti prosessi pystytään kuvaamaan yksityiskohtaisesti. Riippumattomuusoletuksen heikentäminen on vaikeampi tehtävä. Voidaan kuitenkin perustellusti väittää, että oletus ei aina ole sovelluksessa täytetty. Esimerkkinä mainittakoon epidemiat. Tällöin suuri sairastuneiden määrä antaa aiheen olettaa, että sairastuvuus on jatkossakin korkea. Myös taloudellinen taantuma aiheuttaa yleensä runsaasti vahinkoja useana peräkkäisenä vuotena esimerkiksi takausvakuutuksessa. Seuraavassa kappaleessa tarkastellaan Poisson-jakauman ja Poisson-prosessin modifikaatioita, jotka sallivat suurempia vaihteluita vahinkojen lukumäärissä ja lisäyksille tietynlaista riippuvuutta. 14

15 3.2 Painotettu Poisson-muuttuja Tarkastellaan vahinkojen lukumäärää kiinteällä ajanjaksolla, esimerkiksi yhden vuoden aikana. Oleellinen piirre seuraavassa tarkasteltavassa mallissa on, että se pystyy kuvaamaan Poisson-oletukseen verrattuna suurempia heilahteluja vahinkojen lukumäärässä. Olkoon Q ei-negatiivinen satunnaismuuttuja ja λ > vakio. Oletetaan, että EQ = 1. Lukumäärämuuttujaa K kutsutaan painotetuksi Poisson-muuttujaksi parametrilla λ, Q engl. mixed Poisson variable, jos F K Q k q = PK k Q = q = e λq k λq h kaikilla q ja k =, 1, 2,.... Muuttujaa Q kutsutaan jakauman struktuurimuuttujaksi. Heuristisesti voidaan ajatella, että vuoden alussa arvotaan struktuurimuuttujan arvo, joka sitten määrää Poisson-parametrin seuraavalle vuodelle. Struktuurimuuttujan vaihteluiden voidaan katsoa selittävän esimerkiksi liukkaiden kelien määrän vuosivaihteluja liikennevakuutuksessa tai hellepäivien määrän vaihteluja metsäpalovakuutuksessa. Merkitään struktuurimuuttujan kertymäfunktiota symbolilla H ts. Hq = PQ q, q R. Lukumäärämuuttujan K pistetodennäköisyydet ovat mallissa PK = k = PK = k Q = qdhq = k =, 1, 2,.... Momentit generoivaksi funktioksi saadaan Nähdään, että M K s = E{E{e sk Q}} = E e λqes 1 = h= h! λq λqk e dhq, k! e λqes 1 dhq M K s = M Q λe s 1 = M Q cs, missä c on Poisson-jakautuneen satunnaismuuttujan kumulantit generoiva funktio Poissonparametri = λ. Lause Olkoon K painotettu Poisson-muuttuja parametrilla λ, Q. Oletetaan, että M Q on äärellinen eräässä origon ympäristössä. Silloin EK = λ, ja σ 2 K = λ + λ 2 σ 2 Q γ K = λ + 3λ 2 σ 2 Q + λ 3 γ 3 Q/σ 3 K. Lauseen todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Usein on hyödyllistä tarkastella erikseen vahinkojen lukumääriä sopivissa vakuutuskannan osissa. Tällöin herää kysymys, mitä tapahtuu, kun osat yhdistetään. Seuraavassa 15

16 osoitetaan, että tietyin ehdoin painotettujen Poisson-muuttujien summa on edelleen painotettu Poisson-muuttuja. Olkoon K i painotettu Poisson-muuttuja parametrilla λ i, Q i, i = 1, 2. Riippuvuutta osien välillä sallitaan seuraavassa struktuurimuuttujien välityksellä. Tarkemmin, oletetaan että PK 1 = k 1, K 2 = k 2 Q 1, Q 2 = PK 1 = k 1 Q 1 PK 2 = k 2 Q kaikilla k 1, k 2 =, 1, 2,.... Olkoon H muuttujien Q 1 ja Q 2 yhteiskertymäfunktio. Jos B 1 ja B 2 ovat mielivaltaisia Borel-joukkoja, niin PK 1 = k 1, K 2 = k 2, Q 1 B 1, Q 2 B 2 = e λ 1q 1 λ 1 q 1 k1 e λ 2q 2 λ 2 q 2 k 2 dhq 1, q 2. B 1 B 2 k 1! k 2! Lause Olkoon K i painotettu Poisson-muuttuja parametrilla λ i, Q i, i = 1, 2, sekä K = K 1 + K 2. Oletetaan, että ehto toteutuu kaikilla k 1, k 2 =, 1, 2,.... Silloin K on painotettu Poisson-muuttuja parametrilla λ 1 + λ 2, Q, missä Todistus. Oletuksen nojalla M K s = E{E{e sk Q 1, Q 2 }} = E Väite seuraa tästä ja 3.2.3:sta. Q = λ 1Q 1 + λ 2 Q 2 λ 1 + λ 2. e λ 1Q 1 e s 1 e λ 2Q 2 e s 1 = E e λ 1+λ 2 Qe s 1. Usein struktuurimuuttujasta ei saada suoria havaintoja, joten jakauman estimointi ei ole aivan suoraviivaista. Käytännössä jakauma voitaisiin valita sopivasta parametrisoidusta perheestä. Toisinaan on riittävää tuntea vain alimmat momentit, jolloin estimointitehtävä on helpompi. Suosittu ehdokas struktuurimuuttujan jakaumaksi on gamma-jakauma, jota tarkastellaan seuraavassa esimerkissä. Lukumäärämuuttujalla tulee tällöin olemaan yleistetty negatiivinen binomijakauma. Tätä kutsutaan myös Polya-jakaumaksi. Esimerkki Olkoon struktuurimuuttujalla Q gamma-r, α-jakauma, missä α ja r ovat positiivisia vakioita. Tällöin Q:n tiheysfunktio on fx = αr Γr e αx x r 1 alueessa x, missä Γ on Eulerin gammafunktio, Γr = e u u r 1 du. Ehdon EQ = 1 täyttämiseksi on valittava α = r. Tällöin Q:n kertymäfunktio on Hq = q alueessa q. Osoitetaan, että PK = k = r r Γr e rx x r 1 dx = 1 Γr rq e x x r 1 dx Γr + k r r λ k, ΓrΓk + 1 r + λ r + λ 16

17 kun k =, 1, 2,.... Jos tässä r N ja merkitään p = r/r + λ, saadaan tavallinen negatiivinen binomijakauma r + k 1 PK = k = k p r 1 p k. Väite todistetaan suoraviivaisella laskulla lähtien esityksestä 3.2.1: PK = k = λq λqk e dhq = k! = rr λ k k!γr e r+λq q r+k 1 dq. λq λqk r r e k! Γr e rq q r 1 dq Viimeinen integrandi on vakiokerrointa vaille gamma-r + k, r + λ-jakauman tiheysfunktio. Koska tiheysfunktio integroituu ykköseksi ja Γk + 1 = k!, saadaan PK = k = Γr + k Γr + k = k!γr r + λ r+k ΓrΓk + 1 rr λ k r r λ k. r + λ r + λ Tämä on juuri Yksittäisen vakuutetun vahinkojen lukumäärä Sovelluksissa syntyy usein tarve tarkastella yksittäisten vakuutettujen vahinkoprosesseja. Näin on esimerkiksi vakuutusten hinnoittelussa. Painotettu Poisson-muuttuja osoittautuu myös tässä hyödylliseksi. Tarkastellaan kiinteää vakuutuskantaa. Poisson-prosessi saattaa olla perusteltu malli kunkin vakuutetun vahinkojen lukumäärälle tai Poisson-jakauma kiinteällä aikavälillä. Tehdään tämä oletus. Poisson-parametria ei kuitenkaan voi pitää samana kaikilla vakuutetuilla. Esimerkiksi liikennevakuutuksessa eroja syntyy erilaisesta ajokilometrien määrästä ja kuljettajien erilaisesta ajokokemuksesta ja -taidosta. Mallinnetaan tilanne seuraavasti: Vakuutettu N Poisson-parametri λq 1 λq 2... λq N. Tässä λ kuvaa keskimääräistä vahinkojen lukumäärän odotusarvoa vakuutuskannassa. Kertoimet q i kuvaavat vakuutettujen odotusarvoja suhteessa koko kannan odotusarvoon. Oletetaan λ valituksi siten, että q-kertoimien keskiarvo on yksi eli q q N /N = 1. Olkoon L umpimähkään kannasta valittu vakuutettu ja K tällaisen vahinkojen lukumäärä. Toisin sanoen L = i todennäköisyydellä 1/N, i = 1,..., N. Valitun vakuutetun vahinkojen lukumäärän jakauma on kokonaistodennäköisyysteoreeman nojalla PK = k = N PL = i PK = k L = i = i=1 17 N 1 λq N e λq i i k. k! i=1

18 Määritellään satunnaismuuttuja Q tai sen jakauma ehdosta kaikilla q R. Tällöin Hq := PQ q = #{i q i q} N PK = k = λq λqk e dhq, k! k =, 1, 2,.... Kyseessä on siis painotettu Poisson-muuttuja. Struktuurimuuttuja Q kuvaa tässä kannan heterogeenisuutta. Edellä on ajateltu, että todelliset q-kertoimet ovat tiedossa ja Q:n jakauma kuvaa näiden suhteellisia osuuksia kannassa. Yleensä kertoimet eivät ole tarkasti tiedossa, mutta Poissonparametrin jakaumasta on kuitenkin jonkinlainen käsitys. Tällöin Q voisi olla sopiva approksimaatio tästä jakaumasta. 3.4 Painotettu Poisson-prosessi Edellä esitetty painotettu Poisson-jakauma on hyödyllinen myös tarkasteltaessa vahinkojen sattumista jatkuva-aikaisesti. Erityisesti voidaan laatia malleja, joissa lukumäärien lisäykset eivät ole riippumattomia. Otetaan lähtökohdaksi Poisson-prosessi, mutta sallitaan intensiteetin olla stokastinen. Olkoot vuotuiset struktuurimuuttujat Q 1, Q 2,.... Oletetaan, että nämä ovat toisistaan riippumattomia ja samoin jakautuneita. Olkoon keskimääräinen Poisson-parametri λ ja struktuurimuuttujien yhteinen kertymäfunktio H kuten aiemminkin. Olkoon edelleen Q samoin jakautunut kuin Q 1 ja N positiivinen kokonaisluku. Rajoitetaan määritelmä koskemaan vain äärellistä aikajännettä [, N]. Edellä esitetyin merkinnöin ja oletuksin laskuriprosessi {Kt t [, N]} on painotettu Poisson-prosessi parametrina λ, Q, jos ehdolla Q 1 = q 1,..., Q N = q N, prosessi {Kt t [, N]} on Poisson-prosessi intensiteettifunktiolla t Λt = λq n + t t λq t +1, t [, N], n=1 missä t tarkoittaa t:n kokonaisosaa. Ehdollinen intensiteetti Λ kasvaa mallissa lineaarisesti vuosien sisällä. Kasvunopeuden sallitaan vaihdella vuosittain. Tarkastelemalla mutkikkaampia intensiteettifunktioita päästäisiin huomattavasti laajempaan laskuriprosessiluokkaan. Kurssilla rajoitutaan kuitenkin kaavan mukaisiin malleihin. Prosessin äärellisulotteisia jakaumia havainnollistaa seuraava esimerkki. Olkoot k 1 k 2 k 3 ei-negatiivisia kokonaislukuja ja t 1, t 2, 1 ja t 3 1, 2. Silloin PKt 1 = k 1, Kt 2 = k 2, Kt 3 = k 3 = PKt 1 = k 1, Kt 2 Kt 1 = k 2 k 1, Kt 3 Kt 2 = k 3 k 2 = q 1 = q 2 = e λq 1t 1 λq 1 t 1 k 1 e λq 1t 2 t 1 λq 1t 2 t 1 k 2 k 1 k 1! k 2 k 1! 18

19 e λq 11 t 2 +q 2 t 3 1 λq 11 t 2 + q 2 t 3 1 k 3 k 2 dhq 1 dhq 2. k 3 k 2! Äärellisulotteiset jakaumat puolestaan määräävät koko prosessin ainakin, jos rajoitutaan minimaaliseen kyseeseen tulevaan sigma-algebraan prosessin määrittelyssä. On helppo nähdä, että prosessin lisäykset eri vuosina ovat riippumattomia esimerkiksi K1 K1/2 ja K5/3 K4/3 ovat riippumattomia. Riippuvuutta sen sijaan on vuosien sisällä. Osoitetaan, että painotetun Poisson-prosessin {Kt} lisäykset ovat riippumattomia lauseen kohdan i mielessä vain, jos {Kt} on homogeeninen Poissonprosessi. Olkoon t < u 1. Ilmeisesti Ku Kt on painotettu Poisson-muuttuja parametrilla λu t, Q. Lauseen nojalla VarKu Kt = λu t + λ 2 u t 2 VarQ. Erityisesti VarK1 = λ + λ 2 VarQ, Var K1/2 = 1 2 λ λ2 VarQ ja VarK1 K1/2 = 1 2 λ λ2 VarQ. Jos lisäykset ovat riippumattomia, pätee VarK1 = VarK1/2 + VarK1 K1/2. Näin on vain, jos VarQ =. Tällöin PQ = 1 = 1 ja siis {Kt} on Poisson-prosessi. 19

20 4 Kokonaisvahinkomuuttuja Vahingon sattuessa vakuutusyhtiö suorittaa korvauksen esimerkiksi tulipalon tai kolarin aiheuttamista taloudellisista menetyksistä. Yksittäisen korvauksen määrä on luontevaa mallintaa ei-negatiivisia arvoja saavaksi satunnaismuuttujaksi. Tarkastellaan seuraavassa näiden yhteismäärää vuodessa, ns. kokonaisvahinkomäärää vuodessa. Merkitään i. vahingon suuruutta symbolilla Z i. Jos vahinkojen lukumäärä tarkasteluvuotena on K, on kokonaisvahinkomäärä X = Z Z K. 4.1 Siis sekä vahinkojen lukumäärä että niiden suuruudet ovat satunnaismuuttujia. Kutsutaan X:ää myös kokonaisvahinkomuuttujaksi. Z-muuttujia kutsutaan yksittäisten vahinkojen suuruuksiksi. Kokonaisvahinkomuuttujan selvittäminen ja arvioiminen on eräs riskiteorian keskeisistä tehtävistä. Olkoon S kertymäfunktio. Kaavan 4.1 mukaista muuttujaa kutsutaan yhdistetyksi muuttujaksi parametrilla K, S, jos K, Z 1, Z 2,... ovat riippumattomia 4.2 ja muuttujien Z 1, Z 2,... kertymäfunktio on S. 4.3 Sovelluksessa vaatimukset 4.2 ja 4.3 ovat yleensä vain likimain täytetyt. Esimerkiksi inflaatio saattaa muuttaa yksittäisen vahingon suuruusjakaumaa. Oletetaan tässä luvussa kuitenkin aina, että X on yhdistetty muuttuja. Olkoon Z geneerinen S-jakautunut satunnaismuuttuja. Siis PZ z = PZ i z = Sz kaikilla z R ja i = 1, 2,.... Oletetaan jatkossa, että S = PZ < =. Negatiivisia vahinkojen suuruuksia ei siis sallita. Tällöin myös X on aina ei-negatiivinen. Merkitään vielä p k = PK = k, k =, 1, 2,.... Olkoon X yhdistetty muuttuja parametrilla K, S. Jos K on Poisson-jakautunut parametrilla λ, niin X:ää kutsutaan yhdistetyksi Poisson-muuttujaksi parametrilla λ, S. Vastaavasti jos K noudattaa painotettua Poisson-jakaumaa parametrilla λ, Q, niin X:ää kutsutaan yhdistetyksi painotetuksi Poisson-muuttujaksi parametrilla λ, Q, S. Kokonaisvahinkomuuttujan X analysointi onnistuu yleensä parhaiten tutkimalla erikseen vahinkojen lukumäärää ja yksittäisten vahinkojen suuruuksia. Tämän perustelemiseksi tarkastellaan X:n kertymäfunktion arvioimista historiatietojen valossa. Luonnollinen vaatimus tällöin on, että havaitut kokonaisvahinkomäärät ovat kaikki peräisin samasta jakaumasta. Käyttökelpoisia havaintoja X:stä on yleensä niukasti, koska ympäristö muuttuu ajan kuluessa. Vahinkojen suuruuksista on sen sijaan usein paljon havaintoja. Vahinkojen lukumäärän osalta estimointi taas on muuten yksinkertaisempaa. Esimerkiksi Poissonjakauma määräytyy yhdestä parametrista. Yhteenvetona voidaan todeta, että perusteltu malli on suureksi hyödyksi estimointitehtävässä. 2

21 Olkoon X:n kertymäfunktio F. Yhdistetyn muuttujan ominaisuuksien perusteella missä S k on S:n k. konvoluutio S k x = F x = PX x = S x = p k S k x, 4.4 k= {, jos x < 1, jos x, S k 1 x ydsy, k = 1, 2,.... Periaatteessa F pystytään määräämään näistä yhtälöistä, kunhan pistetodennäköisyydet p k ja kertymäfunktio S tunnetaan. Teknisesti tämä on työlästä varsinkin, jos vahinkojen lukumäärän odotusarvo on suuri. Todetaan vielä, että joten PX x, K = k = S k xp k, F X K x k = S k x, x R, k =, 1, 2,.... Momentit generoivassa funktiossa vahinkojen lukumäärä ja vahinkojen suuruudet ovat selkeästi eristettyjä. Lause 4.1. Olkoon X yhdistetty muuttuja parametrilla K, S ja Z S-jakautunut satunnaismuuttuja. Olkoon edelleen M K muuttujan K momentit generoiva funktio ja c Z muuttujan Z kumulantit generoiva funktio. Silloin X:n momentit generoiva funktio M X määräytyy ehdosta M X s = M K c Z s, s R, missä sovitaan, että M X s =, jos c Z s =. Todistus. Oletusten 4.2 ja 4.3 nojalla M X s = = Ee sx 1K = k = p k Ee sz 1+ +Z k k= p k M Z s k = k= k= k= p k e kczs = M K c Z s. Jos erityisesti X on yhdistetty Poisson-muuttuja parametrilla λ, S, niin M X s = e λm Zs ja jos X on yhdistetty painotettu Poisson-muuttuja parametrilla λ, Q, S, niin M X s = M Q λm Z s Yhdistetyn muuttujan alimmat momentit voidaan selvittää yleensä momentit generoivan funktion avulla. Olkoon a i Z:n i. origomomentti, a i = EZ i = 21 z i dsz. 4.7

22 Lause 4.2. Olkoon X yhdistetty painotettu Poisson-muuttuja parametrilla λ, Q, S. Silloin X:n odotusarvo, varianssi ja vinous ovet ja µ X = EX = λa 1 σ 2 X = VarX = λa 2 + λ 2 a 2 1σ 2 Q γ X = [λa 3 + 3λ 2 a 1 a 2 σ 2 Q + λ 3 a 3 1γ Q σ 3 Q]/σ 3 X edellyttäen, että oikealla puolella esiintyvät momentit ovat äärellisinä olemassa. Lauseen todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Jos erityisesti X on yhdistetty Poisson-muuttuja parametrilla λ, S, niin µ X = λa 1, 4.8 σ 2 X = λa 2, 4.9 µ 3 = EX µ X 3 = λa ja γ X = µ 3 /σx 3 = a λ a 3/2 2 Todistetaan lopuksi yhdistetyn Poisson-jakauman additiivisuusominaisuus. Valitsemalla Z 1 seuraavassa lauseessa nähdään, että kahden riippumattoman Poisson-jakautuneen satunnaismuuttujan summa on myös Poisson-jakautunut. Lause 4.3. Olkoon X i :llä yhdistetty Poisson-jakauma parametrilla λ i, S i, i = 1, 2. Oletetaan, että X 1 ja X 2 ovat riippumattomia. Silloin muuttujalla X = X 1 + X 2 on yhdistetty Poisson-jakauma parametrilla λ 1 + λ 2, S, missä Sz = λ 1S 1 z + λ 2 S 2 z λ 1 + λ 2, z R Todistus. Merkitään symbolilla M i muuttujaan X i liittyvää yksittäisen vahingon suuruuden momentit generoivaa funktiota, i = 1, 2. Siis M i s = Riippumattomuuden ja lauseen 4.1 nojalla Siis e sz ds i z, s R. M X s = Ee sx = Ee sx 1 Ee sx 2 M X s = e λ 1+λ 2 = e λ 1M 1 s 1 e λ 2M 2 s 1. λ 1 M λ 1 +λ 1 s+ λ 2 2 λ 1 +λ 2 M 2 s Suoraviivaisesti nähdään, että kertymäfunktioon 4.12 liittyvä momentit generoiva funktio on λ 1 M 1 s + λ 2 M 2 s, s R. λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 22

23 Väite seuraa 4.13:sta ja lauseesta 4.1. Myös kokonaisvahinkomäärää on tarpeen tarkastella jatkuva-aikaisesti. Olkoon {Kt t } lukumääräprosessi ja Z 1, Z 2,... yksittäisten vahinkojen suuruuksia kuvaavia satunnaismuuttujia kuten aiemminkin. Oletetaan, että Z 1, Z 2,... ovat riippumattomia ja samoin jakautuneita ja että ne ovat riippumattomia lukumääräprosessista {Kt}. Määritellään kokonaisvahinkoprosessi {Xt t } ehdosta Xt = Z Z Kt Jos {Kt} on Poisson-prosessi intensiteetillä λ ja yksittäisen vahingon suuruuden kertymäfunktio on S, niin {Xt}:tä kutsutaan yhdistetyksi Poisson-prosessiksi parametrilla λ, S. Selvää on, että yhdistetyn Poisson-prosessin lisäykset ovat riippumattomia ja stationaarisia kyseessä on ns. Levy-prosessi. Vastaavasti jos {Kt} on painotettu Poissonprosessi parametrilla λ, Q, niin {Xt}:tä kutsutaan yhdistetyksi painotetuksi Poissonprosessiksi parametrilla λ, Q, S. 23

24 5 Yksittäisen vahingon suuruusjakauman arvioimisesta Tarkastellaan yksittäisen vahingon suuruusjakaumaan liittyviä arviointimenetelmiä ja tähän liittyviä ongelmia. Lähtökohdaksi otetaan tilastoaineisto, joka sisältää havaitut vahinkojen suuruudet esimerkiksi yhdestä vakuutuslajista palovakuutus, liikennevakuutus jne. Inflaatio ja muut vastaavat trendit ajatellaan eliminoiduksi aineistosta. Lähdetään liikkeelle oletuksesta, että näin muodostettu aineisto koostuu riippumattomista havainnoista Z 1, Z 2,... ja että näiden yhteinen kertymäfunktio on S. Tehtävänä on estimoida S. Olkoon Z geneerinen satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on S. 5.1 Taulukointimenetelmä Suuren tilastoaineiston tapauksessa voidaan toisinaan tyytyä empiiriseen jakaumaan S:n estimaattina. Merkitään tätä vastaavaa kertymäfunktiota symbolilla S e. Olkoon N havaintojen Z i lukumäärä. Tällöin määritelmän mukaan kaikilla z. S e z = #{i N Z i z}/n 5.1 Usein suuria havaintoja on vähän, mistä johtuen oikeaa häntää koskevat estimaatit jäävät menettelyssä epävarmoiksi. 5.2 Analyyttiset menetelmät Usein on mukavampaa käsitellä analyyttisia jakaumia taulukoidun empiirisen jakauman S e sijaan vaikka tilastoaineistoa voitaisiinkin pitää riittävänä empiirisen jakauman käytölle. Tällöin pyritään sovittamaan S e johonkin matemaattisessa muodossa annettuun jakaumaan. Tilastoaineiston pienuus antaa lisämotivaatiota menettelylle. Suosittuja analyyttisia jakaumia approksimoimaan yksittäisen vahingon suuruutta ovat: - Gamma-jakauma parametreilla r, α, missä r >, α > Tiheysfunktio on sz = αr Γr e αz z r 1 alueessa z, missä Γr = e u u r 1 du. - Log-normaalijakauma parametreilla µ, σ, missä µ R, σ > Tiheysfunktio on 1 sz = σz 1 2π e 2σ2 log z µ2 alueessa z. On helppo nähdä, että jos Y on Nµ, σ 2 -jakautunut normaalijakauma, odotusarvo = µ, varianssi = σ 2, niin Z = e Y on lognormaalisti jakautunut parametreilla µ ja σ. - Pareto-jakauma parametreilla α, r, missä α >, r > Tiheysfunktio on sz = α z α 1 r α 24

25 alueessa z > r. Kertymäfunktio on alueessa z r. z α Sz = 1 r Jakaumien parametrit määrätään yleensä jollain tilastollisella menetelmällä nojautuen empiiriseen aineistoon esimerkiksi suurimman uskottavuuden menetelmällä tai momenttimenetelmällä. Todettakoon, että edellä esitetyt esimerkit edustavat oikean hännän osalta kolmea eri tyyppiä. Gamma-jakauma on kevythäntäinen, mikä määritelmän mukaan tarkoittaa sitä, että momentit generoiva funktio M Z on äärellinen jollain positiivisella argumentin arvolla. Lognormaalijakauman kaikki momentit ovat äärellisiä, mutta se ei ole kevythäntäinen vaan paksuhäntäinen. Pareto-jakauma on myös paksuhäntäinen. Jakauman origomomentti a n on äärellinen vain, jos n < α. Sovelluksen näkökulmasta Pareto-jakauma on vaarallisin ja gamma-jakauma vähiten vaarallinen mainituista kolmesta esimerkistä. Pareto-jakaumien tyyppisiä potenssihäntiä voidaan tuottaa seuraavasti. Määritelmän mukaan kuvaus f :,, on säännöllisesti vaiheteleva indeksillä α R, jos kaikilla z >, ftz lim t ft = zα. Jos edellä α =, niin f on hitaasti vaihteleva. Ilmeisesti f on säännöllisesti vaihteleva indeksillä α, jos ja vain jos fz = z α f z, z >, missä f on hitaasti vaihteleva. Lause 5.1. Kuvaus f :,, on hitaasti vaihteleva jos ja vain jos se on muotoa z ey fz = az exp y dy, missä ez ja az c, kun z ja c on positiivinen vakio. Todistus on esitetty esimerkiksi lähteessä Feller 1971, kohta VIII.9. Seuraava tulos on lauseen välitön seuraus. Seuraus 5.1. Jos f :,, on hitaasti vaihteleva, niin kaikilla ε > on olemassa sellainen z ε >, että z ε fz z ε, z z ε. Merkitään lyhyesti Sz = 1 Sz, z R. Olkoon α. Sanotaan, että Z:lla on säännöllisesti vaihteleva oikea häntä indeksillä α, jos S rajoitettuna välille, on säännöllisesti vaihteleva funktio indeksillä α. Seurauksen 5.1 nojalla tälöin Sz muistuttaa potenssia z α, kun z on suuri. Näin syntyvä jakaumaperhe on suhteellisen laaja ja teoreettisesti paljon tutkittu. Vaarallisuutta laadullisella tasolla voidaan kuvata häntään liittyvillä tunnusluvuilla seuraavasti. Olkoon α S [, ] sellainen, että 1 Sz e α Sz, 25

26 kun z on suuri. Täsmällinen määritelmä on lim sup z 1 log Sz = α S. z Siis α S kuvaa häntätodennäköisyyksien eksponentiaalista häviämisvauhtia z:n kasvaessa. Selvästi α S = esimerkiksi kaikilla Pareto-jakaumilla. Hyödyllisempi tunnusluku tällaisissa tilanteissa onkin polynomiaalinen häviämisvauhti β S [, ], kun z on suuri. Tarkemmin, määritellään Sz z β S, lim suplog z 1 log Sz = β S. z Lemma 5.1. Olkoon Z:n kertymäfunktio S ja Z + = maxz,. Silloin α S = sup { s ; E e sz < } 5.2 ja Todistus. Merkitään β S = sup { s ; E Z + s < }. 5.3 κ = sup { s ; E e sz < }. On osoitettava, että α S = κ. Todistetaan ensin, että α S κ. Voidaan olettaa, että κ >. Olkoon s, κ, jolloin siis Ee sz <. Tsebysevin epäyhtälön nojalla Siis E e sz E e sz 1Z > z e sz Sz. α S = lim sup z 1 log Sz s, z joten α S s. Siispä α S κ. Epäyhtälön kääntämiseksi oletetaan, että κ < muuten asia on selvä. Olkoot s > κ ja ε > mielivaltaisia. Tällöin + = E e sz = On siis olemassa sellainen jono z n, että z n ja Olkoon y n = s 1 log z n. Nähdään, että P e sz > z dz. P e sz > z n z 1 ε n, n = 1, 2,.... α S lim sup n yn 1 log Sy n 1 + εs, joten α S 1 + εs ja edelleen α S κ. Lemman ensimmäinen väite on todistettu. Toinen tulos seuraa tästä. Sopivia jakaumaperheitä vahinkojen suuruuksien estimoimiseen on tietysti muitakin kuin edellä esitetyt, kts. DPP, kohta

27 5.3 Jakauman hännän arvioinnista Suurten vahinkojen esiintymistiheys on tyypillisesti pieni, jolloin empiirinen jakauma jää harvaksi oikean hännän osalta. Suurvahingoilla on toisaalta oleellinen vaikutus vakuutusyhtiön talouteen. Häntään liittyvää ongelmaa voidaan lähestyä esimerkiksi seuraavin tavoin. - käytetään laajennettua tilastoaineistoa suurvahingoille esimerkiksi kerätään suurvahinkoja pitkältä aikaväliltä - arvioidaan riskejä yksilöllisesti vakuutuskannasta voidaan arvioida suurin mahdollinen yksittäinen vahinko jne. - lisätään aineistoon haamuvahinkoja arvioidaan esimerkiksi, millainen vahinko voisi sattua kerran 1 tai 1 vuodessa. Mikäli jakauman häntä arvioidaan erikseen, syntyy tarve yhdistää jakauman alkupää ja häntä yhdeksi jakaumaksi. Olkoon M > ja S 1 jakauman alkupäätä ja S 2 loppupäätä kuvaava kertymäfunktio. Oletetaan, että S 1 M = 1 ja S 2 M =. Tulkitaan S 1 yksittäisen vahingon suuruuden ehdolliseksi kertymäfunktioksi ehdolla Z M. Vastaavasti S 2 tulkitaan ehdolliseksi kertymäfunktioksi ehdolla Z > M. Yhdistetään nämä yhdeksi kertymäfunktioksi S asettamalla Sz = p M S 1 z + 1 p M S 2 z kaikilla z. Parametri p M edustaa todennäköisyyttä SM = PZ M ja se on siis myös estimoitava. Olkoon Z satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on S ja B, M] Borel-joukko. Silloin PZ B Z M = dsz/sm B B = p MdS 1 z = p M S 1 M Vastaavasti jos B M, on Borel-joukko, niin PZ B Z > M = B ds 1 z. B ds 2 z. Tällä tavalla S vastaa kertymäfunktiota S 1 alueessa z M ja kertymäfunktiota S 2 alueessa z > M. Oletetaan esimerkkinä, että S 2 valitaan Pareto-jakaumaksi parametreilla α ja r. Tällöin luonnollinen valinta on M = r. Parametrin α estimointi voi perustua osaksi aineistoon ja osaksi arvioihin. Kertymäfunktioksi S 1 voitaisiin valita esimerkiksi kaavaa 5.1 vastaava empiirinen ehdollinen jakauma ehdolla Z M. Jos valitaan p M = S e M, niin Sz = S e z alueessa z M. 27

28 6 Kokonaisvahinkomäärän jakauman laskeminen ja arviointi Yhdistetyn muuttujan kertymäfunktion laskeminen on ongelmallista, vaikka vahinkojen lukumäärän ja yksittäisen vahingon suuruuden jakaumat olisivatkin tiedossa. Periaatteessa tämä on mahdollista konvoluutiosumman 4.4 avulla tai muuntamalla lauseen 4.1 momentit generoiva funktio jakaumaksi tai karakteristinen funktio, joka on esitettävissä lukumäärämuuttujan ja yksittäisen vahingon suuruuden karakterististen funktioiden avulla. Tekninen laskenta saattaa kuitenkin osoittautua työlääksi. Tarkastellaan seuraavassa kolmea muuta lähestymistapaa, nimittäin rekursiivista algoritmia, approksimaatiomenetelmiä ja simulointia. Lisäksi esitetään eräitä yläraja-arvioita yhdistetyn muuttujan kertymäfunktiolle. Tarkastelut rajoitetaan pääosiltaan koskemaan vain yhdistettyä ja yhdistettyä painotettua Poisson-muuttujaa. 6.1 Panjerin menetelmä Johdetaan aluksi rekursiivinen laskenta-algoritmi yhdistetyn muuttujan kertymäfunktion määräämiseksi. Menetelmässä oletetaan, että vahingon suuruus keskittyy äärelliseen pistejoukkoon. Tätä oletusta voitaisiin tosin lieventää. Lukumäärämuuttuja voi olla esimerkiksi Poisson- tai Polya-jakautunut. Olkoon X yhdistetty muuttuja, johon liittyvä lukumäärämuuttuja on K ja olkoot yksittäisten vahinkojen suuruudet Z, Z 1, Z 2,.... Merkitään p k = PK = k. Algoritmissa oletetaan, että nämä toteuttavat rekursion p k = a + b p k 1, k =, 1, 2,..., k 6.1 missä a ja b ovat vakioita. Luonnollisesti oletetaan, että p >. Yksittäisen vahingon suuruuden kertymäfunktio olkoon S. Oletetaan että on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku r ja sellaiset ei-negatiiviset reaaliluvut s, s 1,..., s r sekä vakio c >, että { r i= s i = 1 s i = PZ = ic, i =, 1,..., r. Muunnoksella Sz Scz päästään tilanteeseen, jossa c = 1. Tätä vastaavan yhdistetyn muuttujan kertymäfunktion G ja alkuperäisen muuttujan kertymäfunktion F välillä vallitsee yhteys Gz = F cz. Tästä syystä oletetaan seuraavassa yleisyyttä rajoittamatta, että c = 1. Tällöin X saa ainoastaan ei-negatiivisia kokonaislukuarvoja. Merkitään f j = PX = j, j =, 1, 2, Lause Panjerin menetelmä. Edellä esitettyjen oletusten ollessa täytetyt todennäköisyydet f j saadaan rekursiivisesti yhtälöistä f = f j = { p, jos s = i= p is i, jos s >, 1 1 as minj,r i=1 a + ib s i f j i, j = 1, 2,.... j 28

29 Todistus. Selvästi f = PX =. Olkoon s = 1, s j =, j = 1, 2,..., ja s k j = PZ Z k = j, j =, 1, 2,..., k = 1, 2,.... Olkoon k 1. Z-muuttujien riippumattomuudesta seuraa, että s k j = j PZ 1 = i, Z Z k = j i = i= j i= s i s k 1 j i. 6.4 Tarkastellaan aluksi tilannetta, jossa s k j E Z 1 >. Symmetrian nojalla k k Z i = j = 1 k E Z i i=1 i=1 k Z i = j = j k. i=1 Toisaalta E Z 1 k Z i = j i=1 = = j m P Z 1 = m m=1 k Z i = j i=1 j m=1 Z m P 1 = m, k i=2 Z i = j m k P i=1 Z i = j = j m=1 ms ms k 1 j m s k. j Yhdistämällä tulokset saadaan s k j = k j j i=1 is i s k 1 j i. 6.5 Tulos pätee myös, kun s k j =, sillä tällöin oikealla puolella kaikki summan termit ovat nollia. Olkoon nyt j >. Silloin f j = = k=1 p k s k j = ap k 1 k=1 i= = as k=1 = as f j + k=1 j a + b p k 1 s k j k s i s k 1 j i + p k 1 s k 1 j + j i=1 a + ib j j i=1 k=1 b j p k 1 a + ib j s i f j i. 29 j i=1 s i k=1 is i s k 1 j i p k 1 s k 1 j i

30 Kertymäfunktio F saadaan nyt kaavasta F j = j f i. Lauseen 6.1 tulos antaa tarkan kertymäfunktion arvon kaikkialla. Tyydyttäviä likiarvoja saadaan yleiselläkin vahingon suuruusjakaumalla suorittamalla sopiva diskretisointi. Tarvittava laskentakapasiteetti tulee kuitenkin suureksi r:n kasvaessa. i= 6.2 Yhdistetyn jakauman approksimointi Edellä esitetty rekursiokaava antaa periaatteessa tarkan menetelmän yhdistetyn muuttujan kertymäfunktion laskemiseksi. Käyttökelpoisuutta rajoittaa tarvittava laskentakapasiteetti erityisesti suurissa vakuutuskannoissa. Tästä näkökulmasta on perusteltua tarkastella myös likimääräismenettelyjä. Nämä antavat mahdollisuuden pika-arvioiden tekemiseen ja myös eräiden laadullisten seikkojen esiin tuomiseen Yhdistetyn muuttujan rajakäyttäytyminen Tarkastellaan kokonaisvahinkomäärän rajakäyttäytymistä vahinkojen lukumäärän odotusarvon kasvaessa. Yksittäisen vahingon suuruuden ja struktuurimuuttujan jakauma pidetään rajankäynnissä kiinteänä. Tulokset sopivat parhaiten suuren vakuutusyhtiön kokonaisvahinkomäärien hahmottamiseen. Todennäköisyyden PX x normaaliapproksimaatio määritellään ehdosta X EX PX x = P x EX x EX φ, σ X σ X σ X missä φ on standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio. Seuraava lause osoittaa, että approksimaatio on perusteltu yhdistetylle Poisson-muuttujalle. Lause Olkoon X = X λ yhdistetty Poisson-muuttuja parametrilla λ, S. Oletetaan, että a 2 = Silloin mielivaltaiselle x R pätee lim P Xλ EX λ λ z 2 dsz,. σ Xλ Todistus. Lauseen 4.3 nojalla voidaan kirjoittaa missä ξ λ ja X λ ovat riippumattomia ja X λ = L X λ + ξ λ, ξ λ = L X λ λ. x = φx. Siis X λ EX λ σ Xλ X λ E X λ = L σ X λ σx λ σ Xλ + ξ λ Eξ λ σ Xλ

31 Lauseen 4.3 nojalla voidaan kirjoittaa X λ = η η λ, missä η 1,..., η λ ovat riippumattomia yhdistettyä Poisson-jakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia parametrilla 1, S. Keskeisen raja-arvolauseen nojalla X λ E X λ lim P λ σ X λ x = φx Toisaalta ja σ X λ lim λ σ Xλ ξλ lim E Eξ λ 2 λ σ Xλ λ = lim λ λ = λ λ a 2 = lim = λ λa 2 Yleisesti, jos B, B λ, C λ ja D λ ovat satunnaismuuttujia ja c ja d vakioita sekä B λ i.d. B jakaumaltaan suppeneminen, C λ P c todennäköisyyden suhteen suppeneminen, D λ P d, niin C λ B λ + D λ i.d. cb + d. Lauseen väite seuraa tästä ja raja-arvoista , sillä tuloksen L 2 -suppenemisesta seuraa suppeneminen todennäköisyyden suhteen. Yhdistetylle painotetulle Poisson-muuttujalle lauseen tulos ei päde. Raja-arvo on kyllä yleensä olemassa, mutta rajajakauma ei ole normaali. Lause Olkoon X = X λ yhdistetty painotettu Poisson-muuttuja parametrilla λ, Q, S ja H struktuurimuuttujan kertymäfunktio. Oletetaan, että VarQ < ja että a 2,. Silloin lim P Xλ λ EX λ x = Hx kaikissa H:n jatkuvuuspisteissä x. Toisin sanoen X λ /EX λ i.d. Q. Todistus. Olkoon VarX λ Q muutujan X λ ehdollinen varianssi ehdolla Q, VarX λ Q := E X λ EX λ Q 2 Q. Ilmeisesti X λ :n ehdollinen kertymäfunktio ehdolla Q = q on yhdistetty Poisson-jakauma parametrilla λq, S. Lauseen 4.2 nojalla VarX λ Q = λa 2 Q. Olkoon a 1 = EZ = zdsz. 31