3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa

Transkriptio

1 3. Useamman selittäajäan regressiomalli p-selittäaväaäa muuttujaa Y i = + 1 X i p X ip + u i i = 1,...,n (> p), missäa n = havaintojen lukumäaäaräa otoksessa. Oletukset kuten aiemmin: (1) E(u i )=0, i (2) Var(u i )=u, 2 i (3) Cov(u i,u j )=0, i = j (4) Cov(X ij,u i )=0, i, j (5) X-muuttujat eiväat saa olla lineaarisesti riippuvia Derivoimalla yhtäaläo X ij :n suhteen saadaan Y i = j, X ij j =1,...,p,joten j :n tulkinta on: Y i muuttuu j :n verran X ij :n muuttuessa yhdelläa yksikäolläa ja muiden muuttujien arvojen pysyessäa ennallaan. Example. In June 1978, California voters approved what is known as Proposition 13 limiting property taxes. This led to substantial and di erential reduction in property taxes, which led to an increase in housing prices. Rosen (1982) (Journal of Political Economy, pp. 191{200) studied the impact of reduction in property taxes on housing prices in San Francisco Bay Area. Besides property taxes, there are other factors that determine housing prices and these have to be taken into account in the study. Rosen therefore included other characteristics of the house. The variables determining the housing prices were speci ed as x 1 = change (decrease) in post-proposition 13 mean house taxes x 2 = (mean) square footage of house x 3 = median income of families in the area x 4 = mean age of house x 5 = transportation time to San Francisco x 6 = housing-quality index as computed by real estate appraisers The dependent variable was y = change in the post-proportion 13 mean house prices n = 64. The estimated model was ^y = x x x x 4 (2.97) (2.32) (1.34) (3.26) x x 6 (2.24) (1.80) R 2 =0.897, tvalues in parentheses

2 All the coe±cients have the expected signs. The coe±cient of x 1 indicates that each $1 decrease in property taxes increases property values of $7. The question is whether this is about the right magnitude. Assuming that the property tax reduction is expected to be at the same level in the future years, the present value of a $1 return per year is 1/r, wherer is the rate of interest (also expected to remain the same). This is equalto $7ifr = 14.29%. The interest rates at that time were around this level and Rosen concludes: The capitalization rate implied by this equation is about 7 which is precisely the magnitude that one would expect with an interest rate of 12{15%. Esimointi tapahtuu OLS:llÄa, jossa minimoidaan residuaalien neliäosumma SSE = n i=1 ^e 2 i = n i=1 kertoimien ^, ^ 1,...,^ p suhteen. (Y i ^^ 1 X i1 ^ p X ip ) 2 Asettamalla osittaisderivaatat nolliksi ja ratkaisemalla saadaan normaaliyhtäaläot. Yi = n^ + ^ 1 Xi1 + + ^ p Xip Yi X i1 = ^ X i1 + ^ 1 X 2 i1 + + ^ p Xi1 X ip. Yi X ip = ^ X ip + ^ 1 Xi1 X ip + + ^ p X 2 ip jossa on p +1 yhtäaläoäa jap + 1 tuntematonta (regressiokertoimet)

3 Esitys saadaan huomattavasti kompaktimpaan muotoon kun otetaan käayttäoäon matriisilaskennan merkinnäat Y 1 = + 1 X p X 1p + u 1 Y 2 = + 1 X p X 2p + u 2. Y n = + 1 X n1 + + p X np + u n, joka voidaan koota matriisiesitykseksi eli Y 1 Y 2. Y n = 1 X 11 X X 1p 1. X 21. X X 2p. 1 X n1 X n2... X np 1. p + u 1 u 2. u n NormaaliyhtÄalÄot: X y =(X X)ˆ josta :n OLS-estimaattoriksi saadaan jossa ˆ =(X X) 1 X y, ^ = ^ ^ 1 ^ 2. ^ p on p + 1 komponentin vektori. y = X + u

4 3.1 Standardoidut regressiokertoimet RegressioyhtÄalÄossÄa Y i = + 1 X i1 + + p X ip + u i kerroin j edustaa muuttujan X j marginaaliefektiäa. YleensÄa muuttujat ovat erilaisissa mittayksikäoissäa, joten regressiokertoimet eiväat ole suoraan vertailukelpoisia keskenäaäan. Jotta vertailua voitaisiin tehdäa, on kertoimet standardoitava. Standardoimalla muuttujat ensin y i = Y i ¹Y s y x ij = X ij ¹X j, s j jossa s y on Y :n keskihajonta ja s j on X j :n keskihajonta (j = 1,...,p). Estimoimalla kertoimet standardoitujen muuttujien yhtäaläostäa y i = 1 x i1 + 2 x i2 + + px ip + u i, jossa siis j = s j s y j saadaan standardodut kertoimet joita kutsutaan beeta-kertoimiksi. NÄamÄa ovat vertailukelpoisia keskenäaäan

5 Esim. Price ($ 1 000) SQFT BEDRMS BATHS i (Y ) (X 1 ) (X 2 ) (X 3 ) Standardoimattomaton regressiomalli P i = SQ i BE i BA i. Standardoitu regressiomalli p i = sq i be i ba i. Excel tulostus SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Standard E Observatio 14 ANOVA df SS MS F P-value Regression Residual Total Coeff Std Err t Stat P-value Intercept SQFT BEDRMS Ei tilastollisesti merkitsevä! BATHS Ei tilastollisesti merkitsevä! Coefficients SQFT BEDRMS BATHS DATA Price Price SQFT BEDRMS BATHS i ($1000) SQFTEDRMSBATHS Mean Standard E Median Mode Standard D Kurtosis Skewness Range Minimum Maximum Sum Count

6 3.2 Yhteensopivuus 3.3 Hypoteesien testaus Y i = + 1 X i1 + + p X ip + u i R 2 = SSR SST =1 SSE SST. R 2 :n kasvaa tai ei ainakaan pienene, kun malliin lisäatäaäan muuttujia, on niilläa todellista merkitystäa taiei. Haluttaessa "rangaista" turhien muuttujien lisäaäamistäa malliin voidaan käaytäaäa niin sanottuakorjattuaselitysastetta(adjustedr-square, ¹R 2 ) ¹R 2 SSE/(n p 1) =1 SST/(n 1) eli =1 n 1 n p 1 (1R2 ) YksittÄaisten kertoimien testaus t-testisuure: t j = missäa j =1,...,p ja j 0 (usein j 0 =0). Hypoteesit: tai ^ j 0 j s^ j, H 0 : j = j 0 H 1 : j = j 0. on jokin annettu luku jossa s 2 u = 1 n p 1 Esim. (Housing data) ¹R 2 =1 s2 u s 2, y (Yi ^Y i ) 2 ja s 2 y = 1 n 1 (Yi ¹Y ) 2. tai H 0 : j 0 j H 1 : j > 0 j. H 0 : j 0 j H 1 : j < 0 j

7 Esim. (Jatkoa) H 0 : 3 0 H 1 : 3 > 0 t = < = t.05 (10), joten H 0 jäaäa voimaan ja päaäattelemme, ettäa kylpyhuoneiden lukumäaäaräalläa ei ainakaan täamäan aineiston perusteella ole tilastollisesti merkitseväaäa vaikutusta asunnon hintaan. Samoin on makuuhuoneiden lukumäaäaräan kanssa (etumerkkikin on vastoin oletusta!). Useamman kertoimen samanaikainen testaus (R) Y = + 1 X p X p + u (U) Y = + 1 X p X p + p+1 X p p+m X p+m + v H 0 : p+1 = = p+m =0 H 1 :jokin p+k =0(k =1,...m) Testisuure: F = (SSE R SSE U )/m SSE U /(n p m 1) = SSE R SSE U n p m 1, SSE U m joka noudattaa F -jakaumaa vapausasteilla f 1 = m ja f 2 = n p m 1, jos H 0 on tosi. Huom. Erikoistapauksena on ANOVA-taulun F -testi, joka siis testaa onko milläaäan X-muuttujalla vaikutusta Y -muuttujaan

8 Kertoimien lineaarikombinaatioiden testaus Usein mallin parametrien väalille voidaan mielekkäaäalläa tavalla asettaa rajoitteita. Esim. Kulutusfunktio (makrotalous) C t = W t + 2 P t + u t, jossa C on kokonaiskulutus, W palkkatulot ja P muut tulot (päaäaomatulot etc). Parametri 1 on palkkatulojen rajakulutusalttius ja 2 muiden tulojen rajakulutusalttius. Samoja? ErÄas tapa: (R) C t = (W t + P t )+u t = Y t + u t (U) C t = W t + 2 P t + u t, jossa Y t = W t + P t. Testisuure F = (SSE R SSE U )/(df R df U ), SSE U /df U joka on nollahypoteesin vallitessa F -jakautunut vapausasteilla df R df U ja df U. H 0 : 1 = 2 H 1 : 1 = 2 Testaus voidaan toteuttaa useammalla eri tavalla, jotka kuitenkin johtavat samaan lopputulokseen

9 Esim. USA Data. CONS (C t ): Real consumption expenditures in billions of 1982 dollars GNP (Y t ): Real gross national product in billions of 1982 dollars WAGES: Total compensation of employees (wages, salaries, and supplements) in billions of current dollars. PRDEFL: Implicit price de ator for consumption, 1982 = 100 (this is a price index for consumption goods) Reaalipalkat ja muut tulot: W t = 100 WAGES t PRDEFL t P t = Y t W t. USA Consumption Data Annual Data on Consumption, GNP, Wage Bill, and Prices Ramu Ramanathan (1992). Introductory Econometrics with Applications, 2nd Edition, pp Year CONS GNP WAGES PRDEFL W P

10 Scatter Plots Regression Results Scatter plotofconsum ption vs W Consum ption (C) UNRESTRICTED MODEL Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error 36.8 Observations 42 ANOVA df SS MS F Significance F Regression Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept W P Consum ption (C) Wage (W ) Scatter PlotofConsum ption on P RESTRICTED MODEL Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error 36.7 Observations 42 ANOVA df SS MS F Significance F Regression E-50 Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept E-10 GNP E-50 Test for H 0 : 1 = 2 F df p-value , Ei ole tilastollisesti merkitsevä, täten H 0 jää voimaan eli kulutusalttiudet eivät poikkea toisistaan Other incom e (P)

11 Regressioestimaatit: (R) (U) ^C t = Y t ^C t = W t P t SSE R = SSE U = ( )/1 F = /39 F -jakauman taulukosta F 1,39 (.05) = 4.09 > 0.88 = F, joten H 0 : 1 = 2 (samat rajakulutusalttiudet) hyväaksytäaäan. TÄaten päaäadymme tulokseen, ettäa päaäaomatulojen ja palkkatuilojen rajakulutusalttiudet ovat samat. Sama SAS-ohjelman Reg-proceduurilla SAS-Ajojono options ls = 80 ps = 80; data usacons; infile d:\rawdata\usaconsu.dat firstobs=5; input Year CONS GNP WAGES PRDEFL W P; proc reg; model cons = w p; equality: test w-p=0; run; Tulokset: Model: MODEL1 Dependent Variable: CONS Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model Error C Total Root MSE R-square Dep Mean Adj R-sq C.V Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > T INTERCEP W P Test: EQUALITY Numerator: DF: 1 F value: Denominator: DF: 39 Prob>F:

12 Yleistys: y = X + u. Parametrien väalille asetetut (lineaariset) rajoitteet voidaan esittäaäa yleisessäa muodossa H 0 : C =0, jossa C on r (p +1) matriisi, missäa r on rajoitteiden lukumäaäaräa. Esim. EdellÄa Huom. df 1 = r =0. Esim. Cobb-Douglas tuotantofunktio Q t = ckt L t, jossa Q on tuotanto, K päaäaoma käayttäotunteina ja L tyäovoima tyäotunteina. Logaritmoimalla ja lisäaäamäalläa residuaalitermi saadaan lineaarinen ekonometrinen malli ln Q t = 0 + ln K t + ln L t + u t. Parametrit ja voidaan osoittautuvat joustoiksi, silläa = K Q ln Q = Q K ln K ja = L Q Q L = ln Q ln L

13 Havaitaan, esim. jos K 2K ja L 2L, niin Q 1 = c(2k) (2L) =2 + Q. (a) + =1 vakiot skaalatutot + < 1 laskevat skaalatutot + > 1 kasvavat skaalatuotot (b) = sama rajattuottavuus päaäaomallajatyäovoimalla. Vakioiden skaalatuottojen ( + = 1) testaamiseksi malli voidaan kirjoittaa muotoon ln Q t = 0 + (ln K t ln L t )+( + )lnl t + u t eli merkitsemäalläa Y t =lnq t, X 1t =lnk t ln L t, X 2t = ln L t ja 2 = +, saadaan Y t = 0 + X 1t + 2 X 2t + u 2. Vakioiden skaalatuottojen testaamiseksi testataan siis hypoteesia H 0 : 2 = 1 (vastahypoteesina H 1 : 2 =1). Testaus t-testilläa t = ^ 2 1 t(n 3), s^ 2 kun H 0 on tosi

14 Yhdysvaikutus 3.4 Mallin täasmennysvirhe (Spesi ointivirhe) Esim. Kulutusfunktio C t = + Y t + u t. Joskus oletetaan, ettäa rajakulutusalttius riippuu varallisuudesta. Esimerkiksi, jos riippuvuus on lineaarista, siten ettäa = A, jossa A ilmaisee varallisuutta. Silloin C t = + Y t + u t = + 1 Y t + 2 (Y t A t )+u t Testattava hypoteesi täalläoin on Mallin täasmennysvirheen syitäa voivatolla: muuttujien valinta funktion muoto jäaäannäostermin jakaumaominaisuudet H 0 : 2 =0. Jos H 0 hyläatäaäan on saatu evidenssiäa, ettäa varallisuus vaikuttaa rajakulutusalttiuteen

15 Tarkastellaan täassäa vain muuttujien valintaa Oletetaan, ettäa oikea malli on muotoa Y i = X i1 + 2 X i2 + u i, mutta estimoidaankin "liian lyhyt" malli Y i = X i1 + v i, jossa itse asiassa v i = u i + 2 X i2 (i =1,...,n). TÄallÄoin voidaan helposti osoittaa, ettäa jossa ja s 12 = 1 n 1 s E(^ 1 )= s 2, 2 s 2 2 = 1 n 1 n (X i1 ¹X 1 )(X i2 ¹X 2 ) i=1 n (X i2 ¹X 2 ) 2. i=1 TÄaten, jos s 12 =0on ^ 1 harhainen, eikäa se enäaäa kuvaax 1 :n marginaaliefektiäa, vaan X 1 suoraajaepäasuoraa vaikutusta (X 2 :n kautta). Jos taas estimoidaan "liian pitkäa" malli Y i = X i1 + 2 X i2 + 3 X i3 + u i, jossa siis todellisuudessa 3 = 0, niin E (^ 1 )= 1, E(^ 2 )= 2 ja E (^ 3 ) = 0. Estimaattorit ovat siis harhattomia, mutta voidaan kuitenkin osoittaa, ettäa estimaattoreiden varianssit ovat suurempia kuin oikein täasmennetyn mallin. SiispÄa estimoinnin tarkkuus käarsii

16 3.5 ViivÄastetyt muuttujat 3.6 Dummy muuttujat Taloudessa vaikutukset näakyväat usein viipeelläa Kaksi luokkaa Esim. Y t = + 1 G t + 2 G t1 + 3 M t + 4 M t1 + 5 T t + 6 T t1 + 7 X t + 8 X t1 + u t jossa Y on kansantulo, G julkinen kulutus, T verot, M rahan tarjonta ja X vienti. Estimointivaiheessa käaytettäavissäa on havainnot t =2, 3,... Viivemalleissa selittäajäanäa voi olla myäos selitetty muuttuja viiväastettynäa, esim. Y t = + 1 Y t1 + 2 X t + u t. Dummy- eli keinomuuttujien avulla voidaan selittäaviksi muutujiksi valita myäos kvalitatiivisia tekijäoitäa. Esim. Housing Data 1, asunnossa on uima-allas D = 0, asunnossa ei ole uima-allasta. Aiemmin esitimoitu parhaiten sopiva malli oli muotoa PRICE = + ln(sqft) + u. Jos uima-allas vaikuttaa vain hintatasoon, niin = D. TÄallÄoin PRICE = D + ln(sqft) + u

17 Jos altaallisten hinnan ja pinta-alan suhde on erilainen kuin altaattomien, niin = D,jolloin PRICE = + 1 ln(sqft)+ 1 (D ln(sqft))+u. Kolmas vaihtoehto on, ettäa se vaikuttaa molempiin, jolloin = D ja = D. PRICE = D + 1 ln(sqft) + 2 (D ln(sqft)) + u. Huom. Viimeinen malli on itse asiassa kaksi erillistäa regressiota. SillÄa erotuksella kuitenkin, ettäa jäaäannäostermienvarianssitovatsamat! Esim. House price data. Price ($1 000) SQFT BEDRMS BATHS POOL i (Y ) (X 1 ) (X 2 ) (X 3 ) (X 4 )

18 Tarkastellaan malleja Estimointitulokset PRICE = D + SQFT + u ja PRICE = D + ln(sqft) + u. Saadaan PRICE = D SQFT + u (0.898) (2.486) (3.951) R 2 =0.720 s = F (2, 11) = PRICE = D LNSQFT + u (3.388) (2.480) (4.854) R 2 =0.731 s = F (2, 11) = Price i ($1000) POOL SQFT DSQFT SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Squ Standard Error Observations 14 ANOVA df SS MS F P-Value Regression Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept POOL SQFT SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Squ Standard Error Observations 14 ANOVA df SS MS F P-Value Regression Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept SQFT DSQFT

19 Havaitaan Useampiluokkaiset kvalitatiiviset muuttujat Selitysaste paranee molemmissa tapauksissa huomattavasti Dummy muuttujat ovat tilastollisesti merkitseviäa Perusmallissa tarkoittaa, ettäa uimaallas nostaa asunnon hintaa keskimäaäarin $ (kallis!!) Log-mallissa tilanne on likipitäain sama, eli uima-allas nostaa asunnon hintaa keskimäaäarin $ Kotitalouksien säaäastäamiskäayttäaytyminen S = + X + u, jossa S =säaäastäaminen ja X = tulot. Ilmeisesti kotitalouden ikäa vaikuttaa myäos. Oletetaan, ettäa käaytettäavissäa onperheenpäaäan ikäaluokka alle 25, 25{55 ja yli 55. IkÄa korvataan täalläoin dummy-muuttujilla siten, ettäa yksi luokista otetaan referenssiluokaksi ja mäaäaritelläaäan dummy muuttujat kahdelle muulle luokalle

20 Esimerkiksi 1 Jos ikäaluokka on 25{55 D 1 = 0 muuten 1 Jos ikäaluokka on yli 55 D 2 = 0 muuten KontrolliryhmÄassÄa ovat kaikki alle 25 vuotiaat, jolloin siis D 1 = D 2 = 0. Malli on tulee muotoon S = D D 2 + X + u. Struktuurimuutoksen testaus SelitettÄavÄan ja selittäaväan muuttujan väalisessäa riippuvuudessa voi tapahtua tietylläa hetkelläa muutos Esim. Autojen polttoaineen kulutus. ÄOljykriisit 1974 ja Muuttuiko kulutusrakenne? Perusmalli ln C = + ln P + ln Y + u, jossa C on polttoaineen kulutus, P hinta ja Y tulot neljäanneksestäa alkaen D 1 = 0 muuten neljäanneksestäa alkaen D 2 = 0 muuten

21 Tarkastelussa on siis kolmea periodia: {1973/4, 1974/1{ ja 1979/1{. Jos on eroja, niin = D D 2 = D D 2 = D D 2 Rajoittamaton malli on siis muotoa ln C = D D ln P + 1 Z Z ln Y + 1 Z Z 4 + u jossa Z 1 = D 1 ln P, Z 2 = D 2 ln P, Z 3 = D 1 ln Y ja Z 4 = D 2 ln Y. Testaus: H 0 : 1 = 2 = 1 = 2 = 1 = 2 =0. Testisuureena F -testi kuten aiemmin. MyÄos muita hypoteeseja voidaan helposti johtaa. 125