Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika.
|
|
- Reino Hänninen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika Son height (cm) Father height (cm) Kuvio. IsÄan ja pojan pituus. 32
2 2.1 Malli ja parametrien estimointi Malli: Y i = α + βx i + u i, i =1,...,n Y Riippuva (dependent) SelitettÄavÄa (explained) (predictand) (regressand) vaste (respond) X Riippumaton (independent) SelittÄavÄa (explanatory) (predictor) (regressor) (stimulus) (control variable) Oletukset: 1. E(u i )=0 tai E(Y i X i )=α + βx i 2. Var(u i )=σ 2 Var(Y i X i )=σ 2 3. Cov(u i,u j )=0,i= j Cov(Y i,y j )=0,i= j 4. Cov(X i,u i )=0, i 5. (X i ¹X) 2 > 0 Huom. Usein oletetaan, ettäa X on kiinteäa (ei-stokastinen) 33
3 u i : Virhetermi on yhdistelmäa eritekijäoistäa, kuten (Ramanathan 1998, p. 84{85) 1. (PoisjÄatetyt muuttujat) It accounts the e ects of variables omitted from the model 2. (EpÄalineaarisuudet) It captures the e ects of nonlinearities in the relationship between Y and X. Thus,ifthetruemodel were Y i = α + βx i + γx 2 i + v i,andweassume that it was Y i = α + βx i + u i,then the e ect of X 2 i wouldbeabsorbedbyu i. 3. (Mittausvirheet) Errors in measuring X and Y arealsoabsorbedinu i. 4. (Ennakoimattomat tekijäat, unpredictable e ect) u i also includes inherently unpredictable random e ects. 34
4 Estimointi: Price $1 000 (Y ) Area (X) Price (USD) Square feet Kuvio. NeliÄomÄaÄarÄa (square feet) vs hinta (dollareina) 35
5 PienimmÄan neliäosumman estimointi (PNS) OLS = Ordinary Least Squares. Sovitetaan aineistoon suora ^Y = ^α + ^βx siten, ettäa neliäosumma f(^α, ^β) = n e 2 i = i=1 minimoituus. n (Y i ^Y i ) 2 = i=1 n (Y i ^α ^βx i ) 2 i=1 Derivoimalla ja ratkaisemalla derivaattojen nollakohdat, saadaan normaaliyhtäaläot n^α + ^β X i = Y i ^α X i + ^β X 2 i = X i Y i josta ratkaisemalla saadaan OLS-estimaattorit ^β = (Xi ¹X)(Y i ¹Y ) ^α = ¹Y ^β ¹X (Xi ¹X) 2 Huom. Otoksesta laskettua virhetermiäa = s y s x r xy e i = Y i (^α + ^βx i ) = u i = Y i (α + βx i ) sanotaan residuaaliksi eli jäaäannäostermiksi (ks. tarkemmin Doughert kalvot). 36
6 Esim. Asunnon hinnan ja pinta-alan väalinen suhde. Parametrien tulkinnasta: Nyt ^Y i = X i, (46.8) (0.024) R 2 =0.563,s=37.48 jossa ^Y = estimoitu hinta ja X = pinta-ala. Estimaattoreiden keskivirheet on esitetty suluissa kertoimien alla. Kulmakerroin ilmaisee yksikkäomuutoksen, silläa d ^Y/dX = ^β. TÄaten yhden neliäojalan lisäays pinta-alassa lisäaäa keskimäaäarin asunnon hintaa ^β = 94 dollarilla. Kun X = 0 on ^Y = ^α, joka voidaan tulkita rakentamattoman tonttimaan keskihinnaksi. TÄaten rakentamattoman tonttimaan keskihinnaksi tulisi $
7 Usein on myäos mielenkiintoista tarkastella joustoja. Esim. EdellÄa olevan esimerkin tapauksessa E = X^Y d^y dx = ^β X^Y, joka riippuu sekäa hinnastaettäa pinta-alasta. Price $1 000 (Y ) Area (X) X^Y
8 Huomioita: Hinnan pinta-alajousto on alle ykkäosen, ts. pinta-alan kasvaessa hinta kasvaa prosentuaalisesti väahemmäan kuin prosentuaalinen pinta-ala. Toisaalta jousto kasvaa pinta-alan kasvun myäotäa, eli suhteellisesti lisäapinta-ala on kalliimpi isoissa asunnoissa kuin pienissäa. TÄamÄa on tietysti selväa, koska pintaalalla on täassäa mallissa vakiohinta! Kuitenkin tulokset ilmaisevat, ettäa esimerkiksi 10 prosentin pinta-alan lisäays isossa asunnossa tulee täamäan mallin mukaan suhteellisesti kalliimmaksi kuin vastaava prosentuaalinen lisäays pienessäa asunnossa. (HyÄoty!) Onko jäarkeväa!? KÄaytÄannÄossÄa lienee niin, ettäa neliäohinta on isoissa asunnoissa pienempi! Palataan täahäan tuonnempana. 39
9 2.2 MittayksikÄon muutoksen vaikutus estimaatteihin Esim. $1 = 0.82Eur ja 1ft = m. MerkitÄaÄan H = 0.82 P ja NM = (0.3048) 2 SQFT = SQFT. SelittÄavÄan muuttujan skaalaus vaikuttaa vain vastaavan regressiokertoimen suuruuteen, silläa jos Z = ax (a >0), niin βx = βz/a = β Z, jossa β = β/a. SelitettÄavÄan muuttujan skaalauksessa on kerrottava yhtäaläon molemmat puolet, joten kaikki regressiokertoimet ja residuaalitermi muuttuvat. Esim. EdellÄa (1 000) euroina P = α + βsqft + u H = α + β NM + u, jossa α = 0.82α, β = 0.82β/ ja u =0.82u. 40
10 Estimoitu malli muunnetuissa mittayksikäoissäa onsiis ^H = NM = NM dh =0.83 dnm. Jos ala kasvaa neliäometrilläa, niin hinta muuttuu keskimäaäarin 820 Eurolla. 41
11 2.3 OLS Estimaattoreiden ominaisuuksia Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) eli paras lineaarinen harhaton estimaattori (PLHE) Estimaattoria, joka on havaintojen lineaarikombinaatio, eli muotoa ^β = n i=1 a i Y i sanotaan lineaariseksi estimaattoriksi. LisÄaksi, jos sille päatee: harhaton varianssi on pienin tarkasteltavan parametrin lineaaristen ja harhattomien estimaattoreiden joukossa niin kyseinen estimaattori on BLUE. 42
12 Voidaan helposti osoittaa, ettäa aiemmin tehtyjen (klassisten) oletusten vallitessa OLS estimaattori on BLUE (ns. Gauss-Markov teoreema ). LisÄaksi päatee, ettäa OLS-estimaattori on tarkentuva (Consistent) tehokas, jos residuaalitermit u i ovat normaalisti jakutuneita. Huom. BLUE pitäaäa sisäalläaäan sen, ettäa OLS estimaattorit ovat harhattomia. Gauss-Markov Theorem: Parametrien α ja β lineaarisista harhattomista estimattoreista OLS estimaattoreiden ^α ja ^β varianssit ovat pienimmäat 43
13 2.4 Estimoinnin tarkkuus Estimaattorin tarkkuutta mitataan estimaattorin keskivirheelläa (standard error). σ^β = σ 2^β = var(^β) = σ 2 u (Xi ¹X) 2, jossa σ 2 u =var(u i ). Korvaamalla σ 2 u sen estimaattorilla s 2 u = 1 n 2 n i=1 (Y i ^Y i ) 2 ja ottamalla neliäojuuri saadan ^β:n keskivirheestimaattori s^β = s u (Xi ¹X) 2. Vastaavalla tavalla leikkaustemin ^α keskivirheestimaattoriksi tulee s^α = s u X 2 i n (X i ¹X) 2 = s 1 u n + ¹X 2 (Xi ¹X) 2. 44
14 HT: Miten muuttujien skaalaus vaikuttaa keskivirheisiin? Huom. Kuten aiemmin on todettu, Gauss- Markov teoreeman mukaan, jos lineaarisen regression oletukset 1{5 ovat voimassa, niin OLS estimaattorit ovat BLUE eli niilläa on lineaarisista harhattomista estimaattoreista pienin varianssi. Jos residuaalitermi on likipitäain normaalijakautunut, saadaan keskivirheiden avulla muodostettua mm. luottamusväalit. 100(1 p)-prosentin luottamusväalit β : ^β ± t 12 p s^β α : ^α ± t 12 p s^α, jossa t p on t-jakauman taulukkoarvo vapausasteilla n 2 (havaintojen lkm - estimoitujen parametrin lkm). 45
15 Esim. (NeliÄohintadata) df =14 2=12, s^α =46.84 ja s^β = prosentin luottamusväaleiksi saadaan, kun t.025 (12) = ^α ± t.025 s^α =22.60 ± eli ( 79.46, ) Vastaavasti β:n 95 prosentin luottamusväaliksi saadaan (0.042, 0.146). HT: Laske luottamusväalit, kun rahayksikkäonäa on euro ja pinta-alana neliäometri. Huom. Leikkaustermin luottamusväali sisäaltäaäa nollan. LuottamusvÄaleistÄa enemmäan tuonnempana. 46
16 2.5 Selitysaste e i =^u i = Y i ^Y i Y i ¹Y =(^Y i ¹Y )+(Y i ^Y i )=(^Y i ¹Y )+e i Korotetaan neliäoäon ja summataan (Yi ¹Y ) 2 = (^Y i ¹Y ) 2 + e 2 i +2 (^Y i ¹Y )e i =0 = (^Y i ¹Y ) 2 + (Y i ^Y i ) 2 SST = SSR + SSE Selitysaste R 2 = SSR SST =1 SSE SST. Voidaan osoittaa, ettäa r 2 xy = R 2 täassäa yhden selittäajäan regressiomallissa. 47
17 Yleistys: usean selittäajäan regressioanalyysissäa yhteiskorrelaatiokertoimen (multiple correlation) neliäo (R 2 = r 2 y^y ). Huom. Vain yksi, joskin ehkäa käaytetyin mallin (teknisen) hyvyyden mitta. Esim. (jatkoa) R 2 = HT: Vaikuttaako muuttujien skaalaus selitysasteeseen? Osoita todeksi väaittäamäasi. Saattaa esimerkiksi olla, ettäa kahdella mallilla virhetermin suuruuta kuvaava hajonta (s u ) on sama, mutta selitysasteet ovat eri suuria. TÄallÄoin mallien hyvyydet absoluuttisella tarkkuudella mitattuna ovat samat vaikka selitysaste toisessa onkin korkeampi. 48
18 Esim. Selitysaste ja residuaalihajonta. y x z u Y z y = a + b x + e X z = c + d x + e x y = a + b x + e SUMMARY OUTPUT ANOVA df SS MS F P-val Regression Statistics Regression Multiple R 0.86 Residual R Square 0.75 Total Adj R Squa 0.74 Std Err 1.40 Coeff Std Err t Stat P-value Observatio 29 Intercept X Variable z = c + d x + e SUMMARY OUTPUT ANOVA df SS MS F P-val Regression Statistics Regression Multiple R 0.46 Residual R Square 0.21 Total Adj R Squa 0.18 Std Err 1.40 Coeff Std Err t Stat P-value Observatio 29 Intercept x
19 2.6 Normaalisuusoletus LisÄatÄaÄan oletuksiin (1{5) 6. u i N(0, σ 2 u). Normaalisuusoletus on usein perusteltavissa keskeisen raja-arvolauseen kautta. JÄaÄannÄostemin jakaumaoletuksesta seuraa estimaattoreiden jakaumaominaisuudet! X 2 ^α N α, i n (X i ¹X) 2σ2 u σ ^β 2 u N β, (Xi ¹X) 2 ^Y X N α + βx, σ 2^y, jossa σ 2^y = 1 n + (X ¹X) 2 (Xi ¹X) 2 σ 2 u. 50
20 Esimerkiksi ^β β z = (Xi N(0, 1). σ u / ¹X) 2 Kun σ u korvataan estimaattorillaan s u, niin jossa t = ^β β (Xi s u / ¹X) t n 2, 2 s 2 u = 1 n 2 e 2 i. SiispÄa: Residuaalin jakaumasta seuraa estimaattoreiden jakaumat. NÄaille puolestaan perustuvat luottamusväalien laskeminen ja tilstollisten testien muodostaminen. NÄaistÄa syistäa on täarkeäaäa, ettäa tarkistetaan residuaalitermin normaalisuusoletuksen paikkansapitäavyys, jotta testien ja luottamusväalien antamat tuloksetolisivatkäayttäokelpoisia. HT: Miten muuttujien skaalaus vaikuttaa t- ja z-testisuureisiin? Osoita todeksi väaittäamäasi. 51
21 2.7 Kertoimien luottamusväalit LuottamusvÄali β:lle eli P ( Y = α + βx + u. s^β ^β β <t 1 ) =1 p, 2 p P (^β t 12 p s^β < β < ^β + t 12 p s^β ) =1 p. β:n 100(1 p) prosentin luottamusväaliksi saadaan siis Tulkinta! (ks. kuvio) ^β ± t 12 p s^β. 52
22 2.8 Kertoimien testaus Tilastolliset hypoteesivaihtoehdot: tai tai Esim. SQFT-data H 0 : β = β 0 H 1 : β = β 0 H 0 : β β 0 H 1 : β > β 0 H 0 : β β 0 H 1 : β < β 0 H 0 : β 0 H 1 : β > 0 t = =3.932, p-val =.002 < 0.01, joten H 0 hyläatäaäan ja β > 0 (eipäa lieneylläatys!) Vastaavalla tavalla saadaan α-parametrin p- arvoksi.638, joten ^α ei ole tilastollisesti merkitseväa! 53
23 p-arvo (p-value): Merkitsevyystaso eli ensimmäaisen lajin virheen todennäakäoisyys p-arvo = P (HylÄatÄaÄan H 0 H 0 on tosi), joka siis ilmaisee todennäakäoisyyden riskille, ettäa hyläatäaäan H 0 vaikka se on tosi (hylkäaysvirhe). Tietokoneen testin yhteydessäa laskemap-arvo ilmaisee pienimmäan merkitsevyystason, jolla H 0 voitaisiin hyläatäa. Tavanomisesti käaytettyjäa merkitsevyystasoja ovat 0.05, 0.01 tai 0.001, joten jos laskettu p-arvo on pienempi kuin esimerkiksi 0.05 hyläatäaäan H 0 viiden prosentin merkitsevyystasolla. 54
24 Esim. SQF-data H 0 : β =0 H 1 : β = 0 Excel-tulostuksesta: p-val = < 0.01, joten todetaan, ettäa kerroin poikkeaa tilastollisesti merkiteväasti nollasta. Sensijaanleikkausterminα tapauksessa p-val = 0.638, joten jos hylkäaäamme nollahypoteesin, ettäa α = 0ot- taisimme 64 prosentin riskin hyläatäa väaäarin perustein kyseinen hypoteesi. Emme kuitenkaan tee niin vaan päaäattelemme, ettäa leikkaustemi on nolla ANOVA-taulu Yleiseksi tavaksi on tullut, ettäa kokonaisneliäosumman SST hajoitelma kootaan varianssianalyysin tauluun (ANOVA ANalysis Of VAriance): 55
25 Source df SS MS F p-value Regression p SSR Residual n p 1 SSE Total n 1 SST SSR p SSE (n p 1) SSR SSE n p 1 p P (F >F obs ) missäa p on selittäavien muuttujien lukumäaäaräa mallissa. Huom. F -testi testaa koko regression merkitsevyyttäa, joka yhden selittäajäan tapauksessa on sama kuin regressiokertoimen t-testi. PÄatee: t 2 = F (1,n 2). Ei kuitenkaan, jos selittäajiäa on useampia. Esim. SQF-data. Housing price data from Ramanathan (1993) Price SQFT SUMMARY OUTPUT Obs Y X 1 Regression Statistics Multiple R R Square Adj R Square Std Err Obs ANOVA df SS MS F Signf F Regression Residual Total Coeff Std Err t Stat P-value Intercept SQFT
26 2.10 Ennustaminen Olkoon X 0 annettu X:n arvo. saadaan ennustearvo Silloin Y :lle ^Y 0 =^α + ^βx 0, joka on mallin systemaattisen osan Y = α + βx + u E(Y )=α + βx paras lineaarinen harhaton estimaattori (BLUE), kun X = X 0. On kuitenkin huomattavaa, ettäa ^Y 0 :aa ei voida pitäaäa Y 0 :n BLUE:na! Se ei ole edes Y 0 :n harhaton estimaattori, silläa E(^Y 0 )=α+βx 0 = Y 0 = α + βx 0 + u 0,josu 0 =0. 57
27 Kuitenkin, koska X:n arvolla X 0 päatee E(u 0 )=E(Y 0 ^Y 0 )=0, niin voidaan ennustetta ^Y 0 pitäaäa siinäa mielessäa Y 0 :n harhattoman estimaattorina, ettäa ennustevirheen odotusarvo on nolla. Voidaan osoittaa, ettäa ennusteella ^Y 0 on täallaisten estimaattoreiden joukossa pienin varianssi. TÄamÄan vuoksi sanotaan, ettäa ^Y 0 on Y 0 :n paras lineaarinen harhaton ennuste (BLUP = Best Linear Unbiased Predictor). 58
28 Ennusteen luottamusväali Yleiseti varianssille Var( ^Y ) päatee 1 Var( ^Y )= n + (X ¹X) 2 (Xi ¹X) 2 σu, 2 jonka estimaattori saadaan korvaamalla tuntematon parametri σu 2 estimaatillaan s 2 u. TÄaten saadaan yleiselläa X:n arvolla odotusarvon E(Y X) eli regressiosuoran luottamusväaliksi E(Y X) : ^Y ± t 12 p s 1 u n + (X ¹X) 2 (Xi ¹X) 2 YksittÄaisen havainnon luottamusväaliksi tulee puolestaan: Y : ^Y ± t 12 p s 1 u 1+ n + (X ¹X) 2 (Xi ¹X) 2 59
29 Esim. SQF-Data Confidence intervals Housing prices per square feets. Price i ($1000) SQFT R Square Adj R Sqr s No of Obs 14 Price Housing prices vs Area Area ANOVA df SS MS F P-value Regression Residual Total Coeff Std err t Stat P-value Intercept X Variable RESIDUAL OUTPUT Prediction intervals E(Y X) Y X Obs Pred Price Residuals L95% U95 L95 U
30 Ennusteiden vertailu: Mean absolute error (MAE): MAE = 1 n Yi ^Y i Mean absolute percentage error (MAPE): MAPE = Y i ^Y i. n Y i Mean Square Error (MSE): MSE = 1 n (Yi ^Y i ) 2. Root Mean Square Error (RMSE): RMSE = MSE. 61
31 Aikasarja-aineistossa (Y t ) Theilin U: U = Tt=1 (Y t ^Y t ) 2 Tt=2 (Y t Y t 1 ) U vertaa ennustetta naiviin menetlemäaäan, jossa seuraavan periodin ennustearvo on sama kuin nykyinen arvo, eli Enn(Y t+1 )=Y t. TÄaten jos U<1, niin ^Y t ennustaa paremmin kuin vakioennuste U =1, sama jos ennustetaan nykyiselläa arvolla U>1, naiivi ennuste on parempi. Huom. U on käayttäokelpoinen vain aikasarjaaineistossa. YleensÄa näaitäa käaytetäaäan vertaamaan eri menetelmilläa saatuja ennusteita keskenäaäan. 62
32 Esim. Cultorin liikevaihto Cultor Oy:n liikevaihto [ ] Cultor Liikevaihto Vuosi Liikevaihto LN(lv) t Trendi ennuste Tasaisen kasvun Regressioestimaatit vuosilta SUMMARY OUTPUT Regression Statistics v t = (1+g ) t v 0 u t Multiple R y t =α + β t + ε t, R Square jossa y t = ln(v t ), α = ln(v 0 ) Adjusted R Square ja β = ln(1+g) ja ε t = ln(u t ) Standard Error Observations 10 ANOVA df SS MS F Signif F Regression Residual Total Coeff Std Error t Stat P-value Intercept t ==> Kasvu % 9.85 RESIDUAL OUTPUT Ennusteet vuosille Year Pred LN(lv) Pred LV Ennuste Virheet Vuosi Tot Trendi Tas-kasv Trendi m Tas kasv LV t -LV t Trendi Tas-kasvu Naiivi MAE MAPE (% MSE RMSE U
33 Esim. Suomen kansantalouden kasvu: year Muutos-% Ennuste-% LCL-50% UCL-50% SAS-estimates from data for Variable Coeff Std Error t Ratio p-val Intercept time A(1) A(2) Maximum Likelihood Estimates SSE DFE MSE Root MSE SBC AIC Reg Rsq Total Rsq Durbin-Wats Tutkimuslaitosten ennusteet ETLA Merita OECD Osuusp 2.5 na Sampo PTT PT VM Average Std Suomen talouskasvun muutokset (%) 10 BKT muutos % Muutos % Kasvuennuste % LCL-50% UCL-50% 64
34 2.11 EpÄalineaariset riippuvuussuhteet Lineaarista regressiomallia voidaan soveltaa kunhan vain malli on muunnettavissa lineaariseen muotoon. Esim. Oletetaan, ettäa muuttuja P t kasvaa ajan funktiona tasaisesti. Eli P t =(1+g) t P 0, jossa P 0 on P :n arvo alkuhetkelläa. Ottamalla logaritmit ln P t = lnp 0 + t ln(1 + g) ja mäaäarittelemäalläa Y t =lnp t, 7α =lnp 0, X t = t ja β =ln(1+g), sekäa lisäaäamäalläa malliin satunnaiskomponentti saadaan Eli lineaarinen malli. Y t = α + βx t + u t. Huom! Logaritmisessa muodossa perusolettamusten mukaan E(u t ) = 0. Kuitenkin siirryttäaessäa alkuperäaisiin havaintoihin on malli muotoa ~P t = (1 + g) t P 0 w t, jossa w t = e u t. Jotta E( ~P t ) = P t olisi oltava E(w t ) = 1. Kuitenkin, voidaan osoittaa, ettäa jos u t N(0, σ 2 ), niin E(w t )=E(e u t )=e 1 2 σ2. TÄamÄan vuoksi ennustettaessa käaytetäaäan korjausta ^P t+1 = exp(^α + ^βt) exp( 1 2 s2 )), jossa s 2 on σ 2 :n estimaattori. 65
35 Muuntamalla takaisin saadaan estimoinnin jäalkeen laskettua ennusteet alkuperäaisille muuttujille. Esim. ^g = e^β 1. Cultor-esimerkissÄa vuosien 1983{92 havaintoihin perustuen ^β =0.094, joten ^g = e = eli 9.9%. Vastaavalla tavalla voidaan linearisoida muitakin epäalineaarisia yhtäaläoitäa. Kaikkia epäalineaarisia malleja ei kuitenkaan voida aina linearisoida. 66
36 Esim. Oletetaan, ettäa asunnon hankinnassa ihmiset arvostavat asuinpinta-alan lisäaystäa suuremmissa asunnoissa väahemmäan kuin pienissäa. ErÄas mahdollinen malli on silloin Parametrin β tulkinta? Nyt eli P i = α + β ln(sqf) + u i. dp dsqf = β 1 SQF P = β (SQF) SQF. Toisin sanoen β ilmaisee hinnan muutoksen (satoina tuhansina dollareina), kun asuinpinta-ala muttuu yhdelläa prosentilla 67
37 Muita mallivaihtoehtoja: (1) P i = α + β SQFT i + u i (linear model) (2) P i = α + β ln SQFT i + u i (linear-log model) (3) ln P i = α + β SQFT i + u i (linear-log model) (4) ln P i = α + β ln SQFT i + u i (log model) (5) P i = α + β SQFT i + u i (square root) etc. 68
38 (1) (2) (3) (4) (5) Derivaatta dp dsqft = β dp dsqft = β 1 dp SQFT dsqft = βp dp dsqft = β P SQFT dp dsqft = 1 2 β 1 SQFT Jousto E = βsqft P E = β 1 P E = β SQFT E = β E = 1 2 β SQFT P 69
39 Esim. Linaarinen malli (1) House Prices (Linear model) SUMMARY OUTPUT 300 Housing prices vs Area Regression Statistics 250 Multiple R R Square Adj R Sqr s No of Obs 14 Area 100 ANOVA df SS MS F P-value Regression Residual Total Price Coefficientstandard Err t Stat P-value Intercept X Variable RESIDUAL OUTPUT Obs Pred Price SQF Residuals Elasticity Elasticity Residual plot Residuals Area
40 Esim. Lin-log malli (2) Housing (lin-log model) SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R ln(sqft) Line Fit Plot R Square Adjusted R Standard E Observatio ln(sqft) 0 ANOVA df SS MS F ignificance F Regression Residual Total Coefficientstandard Err t Stat P-value Intercept ln(sqft) Price RESIDUAL OUTPUT PROBABILITY OUTPUT Obs Pred price Resid Elasticity Percentile Price Normal Probability Plot ln(sqft) Residual Plot Price Sample Percentile Residuals ln(sqft) 71
41 Esim. Log-log malli (4) House prices (Log-log model) SUMMARY OUTPUT 300 Line Fit Plot Regression Statistics Orig Data 250 Multiple R R Square Adjusted R Standard E Observatio SQFT 100 ANOVA df SS MS F P-value Regression Residual Total Coefficients Std Error t Stat P-value Intercept ln(sqft) Price Elasticity = RESIDUAL OUTPUT PROBABILITY OUTPUT Observationdicted ln(pr Residuals Pred Price Percentile ln(price) Price Resid ln(sqft) Residual Plot Normal Probability Plot Residuals ln(sqft) ln(price) Sample Percentile 72
42 2.12 Regressioanalyysin tulosten esittäaminen Analyysin tulokset esitetäaäan vaihtelevilla tavoilla. Yksi yleinen tapa on esittäaäa estimoitu regressioyhtäaläo ja laittaa t-tunnusluvut tai keskivirheet (tai p-arvot) kertoimien alle sulkuihin. Esim. ^P = SQFT (0.483) (3.93) R 2 =0.563, df =12, F =15.459, s =37.484, missäa t-arvo suluissa. Toinen, usein jopa käayttäokelpoisempi tapa, on esittäaäa tulokset taulukkossa. NÄain erityisesti, jos tarkastellaan useampia mallivaihtoehtoja tai mallissa on useita selittäaviäa muuttujia. 73
43 Esim. Taulukko. Assunon hinta (1 000$) ja pinta-ala (neliäojalkaa) SelittÄavÄa Kerroin muuttuja estimaatti std err t-arvo p-arvo Vakio Pinta-ala Regressiotunnuslukuja R s F df 12 n 14 74
44 2.13 Eri mallivaihtoehtojen selitysasteiden R 2 vertailu Usein joudutaan punnitsemaan eri funktiomuotoja keskenäaäan valittaessa lopullista mallia. Ei kuitenkaan ole oikein verrata selitysasteita kekenäaäan, jos riippuvat muuttujat ovat eri muuttujia (esim toisessa mallissa ln Y ja toisessa Y ). Jos ne ovat samoja, niin vertailu voidaan tehdäa. Heuristinen tapa: muunnetaan ensin samoiksi ja lasketaan korrelaatiot Y :n ja ^Y :n väalilläa ja verrataan näaiden neliäoitäa kekenäaäan. 75
45 Toinen mahdollisuus on verrata virhevariansseja s 2 u = 1 n 2 keskenäaäan. (Yi ^Y i ) 2 Huom. TÄassÄakin on ensin tehtäaväa muunnos alkuperäaiseen malliin takaisin. Kolmas tapa valita malli eri funktiomuotojen väalilläa on tilastollinen testaus. YleispÄatevÄaÄa tilastollista testiäa ei ole, mutta joissakin erikoistapauksissa testaus käay päainsäa. Usein lineaarisen preusmallin Y i = α 0 + α 1 X i + i vaihtoehtona on logariminen malli (log-lineaarinen malli) y i = β 0 + β i x i + ν i, jossa y i =logy i ja x i =logx i. 76
46 MerkitÄaÄan ja ja olkoon SSE L = SSE LL = n i=1 n i=1 (Y i ^Y i ) 2 (y i ^y i ) 2, ¹Y g =(Y 1 Y 2 Y n ) 1/n Y : n geometrinen keskiarvo, silloin voidaan osoittaa, ettäa n 2 log SSE L/¹Y g 2 SSE LL on asymptoottisesti χ 2 jakautunut vapausasteella 1, jos molemmat mallit sopivat yhtäa hyvin havaintoaineistoon. 77
47 Esim. Asuntojen hintojen geometrinen keskiarvo ¹Y g = $ Lineaarisen mallin SSE L = ja logmallin SSE LL = , joten n 2 SSEL log /¹Y g 2 = 14 SSE LL / log = χ 2 -arvoa vastaava p-arvo yhdelläa vapausasteella on p = 0.180, joten molemmat mallit ovat empiirisesti yhtäa hyviäa. 78
48 Esim. Tarkastellaan auton nopeuden ja jarrutusmatkan väalistäa yhteyttäa. ObservationDistance Speed Distance Speed vs Distance Speed 79
49 Aineistoon voidaan sovittaa useita erilaisia mallivaihtoehtoja, jota ovat tilastollisilta ominaisuuksiltaan likipitäain ekvivalentteja. Kuitenkin täassäa voidaankäaytäaäa hyväaksi myäos teoreettista tietäamystäa: Fysiikan lakien mukaan teoreettinen etäaisyys jarrutushetkestäa on verrannollinen nopeuden neliäoäon. TÄaten teoreettinen jarrutusmatka on β 1 S 2. TÄamÄan lisäaksi matkaan vaikuttaa kuljettajan reaktionopeus ennen kuin häan merkin tultua tajuaa painaa jarrua. TÄanÄa aikana auto ehtii kulkea matkan β 0 S, jossa β 0 on keskimäaäaräainen reaktioaika. Kunkin yksiläon reaktioaika voidaan ajatella olevan β 0 +, jossa kuvaa yksiläon poikkeamaa keskiarvosta ja Var (e) =σ 2 (sama kaikilla yksiläoilläa). 80
50 TÄaten sopiva malli on D = β 0 S + β 1 S 2 + u Huom. Residuaalitermi on muotoa u = S, jossa on reaktioajan residuaali Reaktioaika vaihtelee henkiläostäa toiseen jonkin verran satunnaisesti, odotusarvona β 0 ja varianssina σ 2. TÄaten regressiotermiin se aiheuttaa heteroskedastisuutta. Toisin sanoen edelläa olevan regressiomallin jäaäannäosvarianssi on muotoa S 2 σ 2. 81
51 Estimoidut mallit. Estimates of both models Original data Regression Statistics Multiple R 0.81 R Square 0.65 Adjusted R Square 0.64 Standard Error Observations 50 ANOVA df SS MS F Significance F Regression Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept Speed Transformed data Regression Statistics Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error Observations ANOVA (Transformed data) df SS MS F Significance F Regression Residual Total Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept Speed Coeffisicents for the untransformed model Coefficients Standard Error t Stat P-value Speed Speed Squared
52 Kuvio: Lineaarinen malli. Linear model D = α + β S + e Distance Speed Speed Residual Plot Residuals Speed 83
53 Kuvio: EpÄalineaarinen malli Speed vs Distance Residuas of D = β 0 S + β 1 S 2 + u Residuals Predicted distance 84
2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli. 2.1 Malli ja parametrien estimointi. Malli:
2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika. Son height (cm) 210 200 190 180 170 160
Lisätiedot2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli. 2.1 Malli ja parametrien estimointi. Malli:
2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika. Son height (cm) 21 2 19 18 17 16 15 15
Lisätiedot1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Lisätiedot3. Useamman selittäajäan regressiomalli
3. Useamman selittäajäan regressiomalli p-selittäaväaäa muuttujaa Y i = α + β 1 X i1 +...+ β p X ip + u i i = 1,...,n (> p), missäa n = havaintojen lukumäaäaräa otoksessa. Oletukset kuten aiemmin: (1)
Lisätiedot3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa
3. Useamman selittäajäan regressiomalli p-selittäaväaäa muuttujaa Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i i = 1,...,n (> p), missäa n = havaintojen lukumäaäaräa otoksessa. Oletukset kuten aiemmin: (1) E(u i
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotVARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.
LisätiedotEsim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501
Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662
Lisätiedot3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa. Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i
3. Useamman selittäajäan regressiomalli p-selittäaväaäa muuttujaa Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i i = 1,...,n (> p), missäa n = havaintojen lukumäaäaräa otoksessa. Oletukset kuten aiemmin: (1) E(u i
Lisätiedot[MTTTA] TILASTOMENETELMIEN PERUSTEET, KEVÄT 209 https://coursepages.uta.fi/mttta/kevat-209/ HARJOITUS 5 viikko 8 RYHMÄT: ke 2.5 3.45 ls. C6 Leppälä to 08.30 0.00 ls. C6 Korhonen to 2.5 3.45 ls. C6 Korhonen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
Lisätiedot1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Estimaatti, Estimaattori, Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi,
LisätiedotA250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti
A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti 28.9.2016 Tentissä ei saa käyttää laskinta. Tentistä saa max 80 pistettä. Hyväksytysti suoritetusta harjoitustyöstä saa max 20 pistettä. Huom. Merkitse vastauspaperin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
Lisätiedot54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):
Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotTässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)
R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
Lisätiedot1. REGRESSIOMALLIN SYSTEMAATTISEN OSAN MUOTO
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Regressiodiagnostiikka Cooken etäisyys, Funktionaalinen muoto, Diagnostinen grafiikka, Diagnostiset testit, Heteroskedastisuus,
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
Lisätiedot2. Tietokoneharjoitukset
2. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 2.1 Jatkoa kotitehtävälle. a) Piirrä aineistosta pistediagrammi (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen estimoitu regressiosuora. KULUTUS on selitettävä muuttuja. b) Määrää estimoidusta
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet. Painotettu PNS-menetelmä. Avainsanat:
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Mallin valinta Painotettu PNS-menetelmä Alaspäin askellus, Askellus, Askeltava valikointi, Diagnostinen grafiikka, Diagnostiset
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotUSEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI
TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
Lisätiedot(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.
2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja
LisätiedotResiduaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat
TAMPEREEN YLIOPISTO Tilastollisen mallintamisen harjoitustyö Teemu Kivioja ja Mika Helminen Epätasapainoisen koeasetelman analyysi Worksheet 5 Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Logistinen regressioanalyysi Vastemuuttuja Y on luokiteltu muuttuja Pyritään mallittamaan havaintoyksikön todennäköisyyttä kuulua
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
LisätiedotVirhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.
Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten
LisätiedotTilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä
Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
Lisätiedot5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
LisätiedotHarjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus 24.1.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotPerusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan
Metsämuuronen 2006. TTP Tutkimuksen tekemisen perusteet ihmistieteissä Taulukko.51.1 Analyysiin mukaan tulevat muuttujat Mja selite Merkitys mallissa F1 Ensimmäinen faktoripistemuuttuja Selitettävä muuttuja
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotOpiskelija viipymisaika pistemäärä
806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2012 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOILLA 8 JA 9! 1. Jatkoa harjoituksen 5 tehtävään
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedot