MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi"

Transkriptio

1 M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Otosavaruus ja alkeistapahtumat Todennäköisyysmalliin kuuluu aina lkeistapahtumat: satunnaisilmiöt tulosvaihtoehdot, joita ei voida purkaa alkeellisimpiin tulosvaihtoehtoihin Otosavaruus: kaikkien alkeistapahtumien joukko Esim. Nopan heitto lkeistapahtumat: s 1 = 1, s 2 = 2, s 3 = 3, s 4 = 4, s 5 = 5, s 6 = 6 Otosavaruus: = 1,2,3,4,5,6} Esim. Tietokoneen vikaantuminen Otosavaruus = V,K, lkeistapahtumat: V = viallinen, K = kelvollinen Esim. Huomisen sademäärä x:0 xm Otosavaruus 2 Tapahtumat Tapahtuma on jokin otosavaruuden osajoukko Kun sanomme, että tapahtuma sattuu, tarkoitamme aina sitä, että jokin tapahtumaan kuuluva alkeistapahtuma s sattuu Esim. Nopan heitto: = 1,2,3,4,5,6} Tapahtuma = ilmäluku on parillinen = 2, 4, 6 Tapahtuma B = ilmäluku on suurempi kuin 4 = 5,6 Esim. Huomisen sademäärä = sataa alle 5mm = {x x 5} B = sataa yli 2 ja alle 5mm = {x 2< x 5} Otosavaruus, alkeistapahtumat ja tapahtumat: Esimerkki kahden nopan heitosta lkeistapahtuma: ilmälukupari (i,j), i=1,,6, j=1,,6 Otosavaruus: ilmälukuparien joukko (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1, 5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), B (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) Esimerkkejä tapahtumista: = Kummallakin nopalla sama silmäluku = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) B= ilmälukujen summa on 4 = {(1,3),(2,2),(3,1)} 3 4 Uusien tapahtumien muodostaminen Tapahtuman komplementtitapahtuma: c Mistä tahansa otosavaruuden tapahtumista voidaan muodostaa uusia tapahtumia Nämä uudet tapahtumat voidaan ilmaista sanoin tai kirjoittaa joukko-opin operaatioiden avulla Käytämme Venn-diagrammia kuvaamaan otosavaruuksia ja niihin liittyviä tapahtumia c = ei satu = ei- on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka eivät kuulu joukkoon : c = s s c Tarkastellaan tapahtumista ja B johdettuja tapahtumia: Tapahtuma eisatu Tapahtuma tai B sattuu (eli tai B tai molemmat sattuu) Tapahtuma sattuu ja tapahtuma B sattuu Tapahtuma sattuu, mutta tapahtuma B ei satu Esim. Noppa ={1,2,3,4,5,6} = ilmäluku on suurempi kuin 3 = 4,5,6} c = ilmäluku ei ole suurempi kuin 3 = {1,2,3} 5 6 1

2 Tapahtumien ja B yhdiste: B Tapahtuma B = sattuu tai B sattuu tai molemmat sattuvat on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka kuuluvat joukkoon tai joukkoon Btaimolempiin: B = s s tai s B Esim. Noppa ={1,2,3,4,5,6} = ilmäluku on suurempi kuin 3 = 4,5,6} B = ilmäluku on parillinen = 2,4,6 B = ilmäluku on suurempi kuin 3 tai parillinen = {2,4,5,6} Tapahtumien ja B leikkaus: B Tapahtuma B = ja B sattuvat on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka kuuluvat joukkoon ja joukkoon B: B = s s ja s B Esim. Noppa ={1,2,3,4,5,6} = ilmäluku on suurempi kuin 3 = 4,5,6} B = ilmäluku on parillinen = 2,4,6 B = ilmäluku on suurempi kuin 3 ja parillinen = {4,6} 7 8 Tapahtumien ja B erotus: \B Toisensa poissulkevat tapahtumat Tapahtuma \B = sattuu, mutta B ei satu on niiden alkeistapahtumien joukko, jotka kuuluvat joukkoon, mutta eivät kuulu joukkoon B: \B=s s ja s B=B c Tapahtumat ja B ovat toisensa poissulkevia, jos ja B eivät voi sattua samanaikaisesti. Ne siis ovat otosavaruuden osajoukkoina pistevieraita: B = Esim. Noppa ={1,2,3,4,5,6} = ilmäluku on suurempi kuin 3 = 4,5,6} B = ilmäluku on parillinen = 2,4,6 \ B = ilmäluku on suurempi kuin 3, mutta ei parillinen = {5} Esim. Noppa ={1,2,3,4,5,6} = ilmäluku on suurempi kuin 5 = 6} B = ilmäluku on pariton = 1,3,5 B = ilmäluku on suurempi kuin 5 ja pariton = 9 10 Todennäköisyyden aksiomaattinen määrittely Todennäköisyys: mitta mahdollisuudelle että tapahtuma sattuu elvästi tapahtumat ja alkeistapahtumat täytyy olla hyvin määritelty Matemaattisesti kelvollisen yleisen määritelmän todennäköisyydelle esitti venäläinen matemaatikko. N. Kolmogorov 1930-luvun alussa. Kolmogorovin aksioomien mukaan todennäköisyyslaskenta on matemaattisen mittateorian osa Todennäköisyyden naiivit määritelmät (klassinen, empiirinen todennäköisyys) voidaan nähdä todennäköisyyden tulkintoina Todennäköisyys on Pr kuvaus otosavaruuden osajoukoilta reaaliluvuille, joka toteuttaa (i) Todennäköisyyden aksioomat Pr( ) 1 (ii) Jokaisen tapahtuman reaaliluku välillä [0,1]: 0Pr( ) 1 todennäköisyys Pr() on (iii) Jos ovat toisensa poissulkevia tapahtumia 1, 2, 3,... (eli, ), niin: i j i j Pr(...) Pr( ) Pr( ) Pr( )

3 Klassinen todennäköisyyden määritelmä: lkeistapahtumat yhtä todennäköisiä Tapahtuman = s 1, s 2,, s n, johon kuuluu k alkeistapahtumaa, klassinen todennäköisyys on Pr = = Toteuttaa aksioomat (i)-(iii) Esim. Nopan tapahtuma = ilmäluku on suurempi kuin 4 Pr()=Pr({5,6})=2/6=0.333 Joukkojen kokojen ja laskemisessa tarvitaan usein kombinatoriikkaa (ks. Esimerkkikokoelma 1). Määritelmällä ei voida käsitellä tilanteita, joissa alkeistapahtumat eivät ole yhtä todennäköisiä ja/tai alkeistapahtumia on äärettömän monta Empiirinen todennäköisyyden määritelmä Toistetaan satunnaiskoetta n kertaa Kokeen olosuhteet säilyvät muuttumattomina koetoistosta toiseen. Tapahtuma sattuu koetoistojen aikana f kertaa. Oletetaan että tapahtuma suhteellinen frekvenssi f/n lähestyy (jossakin mielessä) jotakin kiinteätä lukua p koetoistojen lukumäärän n kasvaessa Tapahtuman empiirinen todennäköisyys on p Ongelmat empiirisessä todennäköisyyden määritelmässä: uhteellisen frekvenssin määrääminen vaatii empiirisen kokeen toistamista Ei ole matemaattinen määritelmä Raja-arvon laskeminen vaatisi satunnaiskokeen toistamista äärettömän monta kertaa Mikään ei takaa, että määritelmässä esiintyvä frekvenssin rajaarvo on olemassa Ei voida käsitellä tilanteita, joissa havaintoja ei ole saatavilla Vrt. todennäköisyys että pääset läpi tästä kurssista Empiirinen todennäköisyys on pikemminkin tilastollisesti stabiilisti käyttäytyvän suhteellisen frekvenssin ominaisuus Todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimitukset ja - säännöt Riippumatta todennäköisyyden tulkinnasta, käytämme Kolmogorovin aksioomista johdettuja laskusääntöjä Kaikkia todistuksia ei esitetä, mutta laskusäännöt tehdään ilmeisiksi Venn-diagrammien ja esimerkkien avulla ääntöjen avulla voidaan määrätä joidenkin tapahtumien todennäköisyyksistä joukko-opin operaatioiden avulla johdettujen uusien tapahtumien todennäköisyydet Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille Olkoot 1, 2,, k pareittain toisensa poissulkevia Eli i j =, kun i j Todennäköisyydet Pr( 1 ),, Pr( k ) 1 2 ksiooma (iii): Tapahtuman 1 tai 2 tai tai k sattuu todennäköisyys on Pr( 1 2 k ) = Pr( 1 ) + Pr( 2 ) + + Pr( k ) Esim. Eduskunnassa on n=200 kansanedustajaa, joista n DP =42 ja n Vas = 14 Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja on sosialisti: Pr(osialisti) = Pr(DP) + Pr() = = =0.28 Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys Tapahtuman todennäköisyys on Pr()=0 Todistus. ksiooma (iii) 1=Pr =Pr =Pr +Pr =Pr +1 Pr =0 ksiooma (i) ksiooma (i) Esim. atunnaisesti valittu kansanedustaedustaja on DP:n ja Kokoomuksen jäsen todennäköisyydellä Pr(DP Kok) = Pr()=

4 Komplementtitapahtuman todennäköisyys Tapahtuman komplementtitapahtuma: c = ei satu = s s Todennäköisyys Pr( c ) = 1 Pr() Tod. ksioomien (i) ja (iii) mukaan 1=Pr =Pr =Pr +Pr Pr =1Pr Esim. Heitetään kahta kolikkoa yhtä aikaa: Pr( saadaan vähintään yksi kruuna )= Pr() =1-Pr( c ) =1-Pr(saadaan täsmälleen kaksi klaavaa )= =1-1/4=3/4 c Erotustapahtuman todennäköisyys Määritellään joukkojen ja B erotus \B = s s ja s B = B c Erotustapahtuma \B = sattuu, mutta B ei satu Todennäköisyys: Pr(\B) = Pr() Pr(B) Tod. elvästi =(\B) (B), joten aksiooman (iii) mukaan: Pr() = Pr(\B) + Pr(B Esim. atunnainen kortti 52:n kortin pakasta 13 patakorttia, joista 4 on kuvakortteja = kortti on pata, B = kortti on kuva \B = kortti on pata, mutta ei ole kuva P(\B)=Pr() Pr(B) = 13/52 4/52 = 9/ Yleinen yhteenlaskusääntö tai B sattuu todennäköisyys on Pr(B) = Pr() + Pr(B) Pr(B) \B Tod. elvästi B=(\B) (B) (B\) ksiooman (iii) ja erotussäännön mukaan: Pr =Pr +Pr +Pr \) =Pr Pr +Pr +Pr Pr ) =Pr +Pr Pr Esim. Levikkitutkimus selvitti kuinka moni lukee eura ja pu-lehtiä: eura 20 % pu 16 % eura ja pu 1 % Todennäköisyys että ihminen lukee euraa tai pua on Pr(eura tai pu)=pr(eura)+pr(pu)-pr(eura ja pu) = = 0.35 B\ Tapahtuman B sattumisesta seuraa tapahtuman sattuminen Oletetaan, että jos B sattuu, niin sattuu: B. Tällöin Pr() Pr(B) Tod. elvästi =B\B, joten aksiooma (iii): Pr() = Pr(B) + Pr(\B) Pr(B), sillä Pr(\B) 0 aksiooman (ii) perusteella. Huom! Pr(\B) = Pr() Pr(B), sillä B=B Esim. atunnainen kortti pakasta Jos kortti on pata se on myös musta Pr( kortti on musta ) = 26/52 13/52 =Pr( kortti on pata ) Ehdollinen todennäköisyys Määritelmä: Tapahtuman ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut (Pr(B) 0) on Pr( B) Pr( B) Pr( B) ja B sattuu B sattuu Esim. Heitetään kahta noppaa ={(i,j) i=1,,6,j=1, 6) = ilmälukujen summa on yli 10 B = Ensimmäisen nopan silmäluku on 6 Pr( 6,5, 6,6 ) Pr = Pr({ 6,1, 6,2, 6,3, 6,4, 6,5, 6,6 }) = 2 1/36 6 1/36 = 1 3 Ehdollinen todennäköisyys: Esimerkki Vuoden 2011 eduskunnan 200 kansanedustajasta 86 on naisia. atunnaisesti valittu edustaja on nainen todennäköisyydellä Pr(Nainen)=86/200=0.43 DP:lla on 42 kansanedustajaa, 15 miestä, 27 naista. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu edustaja, joka kuului DP:n ryhmään, oli nainen? Pr(Nainen ja DP) Pr(Nainen DP) Pr(DP) 27 / Pr(Nainen) 42 / Tieto siitä, että satunnaisesti valittu kansanedustaja oli DP:stä muutti todennäköisyyttä, että hän oli nainen

5 Yleinen tulosääntö Mikä on leikkauksen 1 2 k = 1 ja 2 ja ja k sattuvat todennäköisyys? Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä Pr(B)= Pr(B )P() saadaan: Pr( 1 n )=Pr( n 1 n-1 )P( 1 n-1 ) Tätä käyttäen on helppoa todistaa yleinen tulosääntö: Pr( ) 1 2 k Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( k 12 k 1) Yleinen tulosääntö: Esimerkki Nostetaan korttipakasta peräkkäin 3 korttia. Korttipakassa on 52 korttia, joista 13 on patoja, Olkoon tapahtuma i = i. kortti on pata, i = 1, 2, 3. Mikä on todennäköisyys, että ne ovat kaikki patoja, eli 1 ja 2 ja 3 sattuvat? Pr( ) Pr( )Pr( )Pr( ) Huom! Korttien nosto toteutettiin ilman takaisinpanoa Riippumattomuuden määritelmä Määritelmä: Tapahtumat ja B ovat riippumattomia jos Pr(B) = Pr()Pr(B) ymmetrinen ominaisuus: jos on riippumaton B:stä, niin B on riippumaton :sta anomme tavallisesti, että tapahtumat ja B ovat riippumattomia Esimerkkejä tilanteita joissa riippumattomuus on ilmeistä Heitetään toistuvasti kolikkoa heittojen tulokset eivät riipu aikaisemmin tehtyjen heittojen tuloksista Otanta takaisinpanolla: Nostetaan uurnasta toistuvasti arpalippuja niin, että nostettu lippu palautetaan uurnaan ja uurna sekoitetaan huolellisesti nostojen tulokset eivät riipu aikaisemmin tehtyjen nostojen tuloksista Riippumattomuuden yhtäpitävät ehdot Tapahtumat ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos mikä tahansa seuraavista yhtäpitävistä ehdoista pätee: (i) Pr( B) Pr( )Pr( B) (ii) Pr( B) Pr( ) (iii) Pr( B) Pr( B) Tod. ijoittamalla ehdollisen todennäköisyyden määritelmä kaavaan (ii) tai (iii) saadaan (i) Tulkinta: Jos Pr( BPr(), niin tieto siitä, että tapahtuma B on sattunut, sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi tapahtuman todennäköisyyttä määrättäessä (ii) ei päde, joten määritelmän mukaan tapahtumat ovat riippuvia Riippumattomuus: Esimerkkejä Heitetään rahaa kaksi kertaa. Pr(Kruuna) = Pr(Klaava) =1/2 = aadaan kruuna 1. heitolla, B = aadaan kruuna 2. heitolla Voidaan olettaa, että ja B ovat riippumattomia, joten Pr( jab) Valitaan pakasta satunnainen kortti = kortti on pata, Pr() = 13/52 = 1/4 B = kortti on ässä, Pr(B) = 4/52 = 1/13 B = kortti on pataässä, Pr(B)=1/52 Ovatko tapahtumat ja B riippumattomia? Pr()*Pr(B)=1/4 * 1/13 = 1/52 = Pr(B) OVT! Riippumattomuuden seuraukset Jos tapahtumat ja B ovat riippumattomia, niin (i) Tapahtumat ja B c ovat riippumattomia. (ii) Tapahtumat c ja B ovat riippumattomia. (iii) Tapahtumat c ja B c ovat riippumattomia. Todistetaan (i) malliksi: Pr( B c ) = Pr( \ B) =Pr()Pr(B) (erotustapahtuma) =Pr() Pr()Pr(B) ( ja B riippumattomia) =Pr()[1 Pr(B)] =Pr()Pr(B c ) (komplementtitapahtuma) Riippumattomuus siis leviää komplementtitapahtumiin

6 Useiden tapahtumien riippumattomuus Määritelmä: Tapahtumat 1, 2,, k ovat riippumattomia, jos Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) i1 i2 im i1 i2 im pätee kaikille i1, i2,, im 1,2,, k Intuitiivisesti: Otetaan mikä tahansa osajoukko tapahtumista 1, 2,, k niin tulosääntö pätee niiden leikkauksen todennäköisyydelle Merkitään: 1, 2,, k Esim. Heitetään rahaa 10 kertaa: Pr(10 kruunaa) Pr(Kruuna 1.heitolla) Pr(Kruuna 10. heitolla) kappaletta Kokonaistodennäköisyyden kaava (1/2) B 1 B 2 Otosavaruuden osajoukot B 1, B 2,, B n muodostavat :n osituksen, jos B 3 B 4 (i) B i, i = 1, 2,, n (ii) B i B j =, i j B 5 (iii) = B 1 B 2 B n B 1 B 2 Joukolle indusoituu ositus (B 1 ), (B 2 ),, (B n ) siten että (i) (B i )(B j ) =, i j (ii) = (B 1 )(B 2 ) (B n ) B 2 B 3 B4 B 3 B Kokonaistodennäköisyyden kaava (2/2) Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille: n Pr( ) Pr( B ) (1) i1 Yleinen tulosääntö: Pr( B) Pr( B) Pr( B) i i i i (2) B 1 B 2 B 2 B 3 B4 ijoittamalla (2) (1) saadaan n B 3 B 4 Pr( ) Pr( Bi) Pr( Bi) i1 Käyttökelpoinen tapahtuman todennäköisyyttä määrättäessä, jos todennäköisyydet Pr(B i ) ja Pr(B i ) ovat tunnettuja. Ei ole hyötyä jos tapahtuma on riippumaton tapahtumista B 1,B 2,,B n Bayesin kaava Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan: Pr = Pr ) = Pr Pr ) Pr) Pr) oveltamalla nimittäjään kokonaistodennäköisyyden kaavaa saadaan Pr = Pr Pr ) Pr ) Pr ) B 1 B 2 B 2 B 3 B4 B 3 B 4 Käyttökelpoinen sellaisissa tilanteissa, joissa todennäköisyydet Pr(B i ) ja Pr(B i ) ovat tunnettuja. Ei ole hyötyä jos tapahtuma on riippumaton tapahtumista B 1, B 2,, B n Bayesin kaava: Kommentteja Pr = Pr Pr ) Pr) = Pr Pr ) Pr ) Pr ) Pr(B i ) kutsutaan priori-todennäköisyydeksi. prior (lat.), edeltävä, aikaisempi Käsityksemme tapahtuman B i todennäköisyydestä ennen kuin saamme tietää onko tapahtuma sattunut vai ei. Pr(B i ) kutsutaan posteriori-todennäköisyydeksi posterior (lat.), jälkeen tuleva, myöhempi Miten ennakkokäsitystämme tapahtuman B i todennäköisyydestä kannattaa korjata, kun saamme tietää, että tapahtuma on sattunut? Bayesin kaava ja kokonaistodennäköisyys: Esimerkki (1/3) Ruuvitehtaalla on kaksi konetta ja B, joilla tehdään samanlaisia ruuveja - ja B-koneen valmistamat ruuvit sekoitetaan ja pakataan laatikoihin suhteessa 3:5 Osa kummankin koneen valmistamista ruuveista on viallisia: 5 % -koneen valmistamista ruuveista on viallisia 8 % B-koneen valmistamista ruuveista on viallisia Valitaan laatikosta satunnaisesti 1 ruuvi tutkittavaksi: Mikä on todennäköisyys, että ruuvin on valmistanut -kone? Jos ruuvi osoittautuu vialliseksi, mikä on todennäköisyys, että sen on valmistanut -kone?

7 Bayesin kaava ja kokonaistodennäköisyys: Esimerkki (2/3) Tapahtumat ja tunnetut todennäköisyydet = Ruuvin on valmistanut -kone, Pr() = 3/8 B = Ruuvin on valmistanut B-kone, Pr(B) = 5/8 V = Ruuvi on viallinen, Pr(V)=0.05, Pr(VB) = 0.08 Tapahtumat ja B muodostavat otosavaruuden osituksen, joka indusoi osituksen tapahtumaan V Kokonaislodennäköisyyden kaavasta saadaan todennäköisyys, että satunnaisesti poimittu ruuvi on viallinen: Pr(V) = Pr()Pr(V) + Pr(B)Pr(VB) = (3/8) (5/8)0.08 = = % V VB V B Bayesin kaava ja kokonaistodennäköisyys: Esimerkki (3/3) VB Tapahtumat ja tunnetut todennäköisyydet = Ruuvin on valmistanut -kone, Pr() = 3/8 V B = Ruuvin on valmistanut B-kone, Pr(B) = 5/8 V = Ruuvi on viallinen, Pr(V)= Pr(V)=0.05, Pr(VB) = 0.08 Todennäköisyys että ruuvin on valmistanut -kone, jos ruuvi osoittautuu vialliseksi Pr( V) saadaan Bayesin kaavasta Pr = Pr Pr ) = Pr ) / V B

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot

Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen

Lisätiedot

A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme

A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt 1. Johdanto 2. Joukko-opin peruskäsitteet 3. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 4. Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Johdanto: Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c)

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyys ja sen määritteleminen Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä

Lisätiedot

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada OTATKO RISKIN? peli 1. Heitä noppaa 20 kertaa. Tavoitteena on saada vähintään 10 kertaa silmäluku 4, 5 tai 6. Jos onnistut, saat 300 pistettä. Jos et onnistu, menetät 2. Heitä noppaa 10 kertaa. Tavoitteena

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat

Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat Kurssin osa 1 keskittyi mittaukseen, tiedonkeruuseen ja kuvailevaan tilastotieteeseen. Osassa 2 painottuu tilastollinen päättely, joka puolestaan rakentuu voimakkaasti

Lisätiedot

A = B. jos ja vain jos. x A x B

A = B. jos ja vain jos. x A x B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 11 4 h) ti 12-14 ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht. 11 2 h)

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot

Lisätiedot

1. Matkalla todennäköisyyteen

1. Matkalla todennäköisyyteen 1. Matkalla todennäköisyyteen Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus 1921) Miten ihmeessä tämä liittyy tähän kurssiin????!?? 1.1

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Tämä kurssi käsittelee sekä todennäköisyyslaskentaa että tilastotiedettä. Uhkapelurien ongelmat inspiroivat todennäköisyyslaskennan uranuurtajien ajattelua,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I

Todennäköisyyslaskenta I Todennäköisyyslaskenta I Ville Hyvönen, Topias Tolonen 1 Kesä 2017 1 Luentomateriaali alun perin Villen käsialaa kesältä 2016, materiaalia muokataan kesän 2017 luentojen mukana ajan tapaa ja luennoitsijan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I. Ville Hyvönen

Todennäköisyyslaskenta I. Ville Hyvönen Todennäköisyyslaskenta I Ville Hyvönen Kesä 2016 Sisältö 1 Todennäköisyys 3 1.1 Klassinen todennäköisyys............................ 3 1.2 Kombinatoriikkaa................................ 6 1.2.1 Tuloperiaate...............................

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449

Todennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet Todennäköisyyslaskenta: Liitteet Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK @ Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet TKK @ Ilkka Mellin (2006) 450 Liitteet Sisällys 1.

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt

Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 12. syyskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 7 4 h) ke 12-14 ja pe 8-10 (ks. tarkemmin Oodista tai Nopasta) Harjoitukset

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat .9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kalle Kytölä, Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede

Matemaattinen tilastotiede Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto 20. 8. 2005 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede.................. 1 1.2

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut 2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Osaamistavoitteet

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä. TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun

Lisätiedot