MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1"

Transkriptio

1 MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Avainsanat: Alkeistapahtuma Alkio Bayesin kaava Binomikaava Binomikerroin Ehdollinen todennäköisyys Ehtotapahtuma Empiirinen todennäköisyys Frekvenssi Frekvenssitulkinta Jono Joukko Kertolaskuperiaate Kertoma Klassinen todennäköisyys Koetoisto Kokonaistodennäköisyyden kaava Kombinaatio Kombinatoriikka Komplementti Komplementtitapahtuma Leikkaus Lukumääräfunktio Mahdoton tapahtuma Mitta Osajono Osajoukko Otanta Otanta palauttaen Otanta palauttamatta Otosavaruus Permutaatio Perusjoukko Pistevieraus Riippumattomuus Sattuma Satunnaisilmiö Satunnaiskoe Satunnaisotanta Suhteellinen frekvenssi Suhteellinen osuus Suotuisa alkeistapahtuma Tapahtuma Todennäköisyys Toisensa poissulkevuus Tyhjä joukko Tulosääntö Unioni Variaatio Varma tapahtuma Yhdiste Yhteenlaskuperiaate Yhteenlaskusääntö Joukko-oppi Joukko ja sen alkiot Joukko voidaan määritellä luettelemalla sen alkiot. Matematiikassa joukko määritellään usein antamalla ehto, jonka joukon alkioiden on toteutettava. Joukkoja on aina syytä tarkastella jonkin hyvin määritellyn perusjoukon osajoukkoina. Jos perusjoukon S alkio x on joukon A alkio eli x kuuluu joukkoon A, niin merkitsemme Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 1/41

2 x A Vastaavasti, jos perusjoukon S alkio x ei ole joukon A alkio eli x ei kuulu joukkoon A, niin merkitsemme x A Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme Ax S P( x) Jos joukko A on äärellinen ja sen alkiot ovat niin merkitsemme Osajoukko a 1, a 2,, a n A = {a 1, a 2,, a n } Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio, joukko A on joukon B osajoukko ja merkitsemme A B. Siten Tyhjä joukko AB, jos ja vain jos xax B Joukko on tyhjä, jos siinä ei ole yhtään alkiota. Merkitsemme tyhjää joukkoa symbolilla Tyhjä joukko on kaikkien joukkojen osajoukko. Jos siis A on perusjoukon S mielivaltainen osajoukko, niin A Joukko-opin perusoperaatiot: yhdiste Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B unioni eli yhdiste AB on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B (tai molempiin): AB xs xatai x B Joukko-opin perusoperaatiot: leikkaus Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B leikkaus AB on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A ja joukkoon B: Jos AB xs xaja x B AB = niin sanomme, että joukot A ja B ovat pistevieraita. Joukko-opin perusoperaatiot: komplementti Olkoon joukko A perusjoukon S osajoukko. Joukon A komplementti A c on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon A: Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 2/41

3 c A xs x A Joukko-opin perusoperaatiot: erotus Olkoot joukot A ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A ja B erotus A\B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon A, mutta eivät kuulu joukkoon B: Selvästi A\B = x xaja x B A\B = AB c Joukko-opin perusoperaatioiden laajennuksia: yhdiste Olkoot A 1, A 2,, A k perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A 1, A 2,, A k unioni eli yhdiste on k i1 1 2 A A A A xs onolemassai 1,2,, k siten, että x A k Olkoot A i, i = 1, 2, perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A i, i = 1, 2, unioni eli yhdiste on i1 A xs onolemassai 1,2, siten, että x Ai Joukko-opin perusoperaatioiden laajennuksia: leikkaus Olkoot A 1, A 2,, A k perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A 1, A 2,, A k leikkaus on k i1 i 1 2 k i A A A A xs xa kaikillei = 1,2,, k Olkoot A i, i = 1, 2, perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen A i, i = 1, 2, leikkaus on i1 A xs xa kaikillei 1,2, i i i Todennäköisyys ja sen määritteleminen Satunnaisilmiö Reaalimaailman ilmiö on stokastinen ilmiö eli satunnaisilmiö, jos sillä on seuraavat ominaisuudet: (i) (ii) Ilmiö voi päätyä alkutilastaan useisiin erilaisiin lopputiloihin eli ilmiöllä on useita erilaisia vaihtoehtoisia tuloksia. Ilmiön alkutilan perusteella ei voida tarkasti ennustaa ilmiön lopputilaa eli sitä, mikä mahdollisista tulosvaihtoehdoista realisoituu eli toteutuu. (iii) Vaikka ilmiön lopputilaa ei voida ennustaa tarkasti, tulosvaihtoehtojen suhteellisten frekvenssien eli osuuksien nähdään ilmiön toistuessa käyttäytyvän säännönmukaisesti. Kutsumme satunnaisilmiötä usein satunnaiskokeeksi ja satunnaisilmiön esiintymiskertaa koetoistoksi. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet ovat otosavaruus, tapahtuma ja alkeistapahtuma: Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 3/41

4 (i) (ii) Sanomme, että satunnaisilmiön tulosvaihtoehto on alkeistapahtuma, jos satunnaisilmiötä ei voida purkaa sitä alkeellisempiin tulosvaihtoehtoihin Kutsumme satunnaisilmiön kaikkien alkeistapahtumien muodostamaa joukkoa otosavaruudeksi. (iii) Satunnaisilmiön tapahtumat ovat satunnaisilmiön alkeistapahtumien muodostamia otosavaruuden osajoukkoja. Kun sanomme, että jokin tapahtuma sattuu, tarkoitamme aina sitä, että jokin tapahtumaan liittyvistä alkeistapahtumista sattuu. Todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin peruskäsitteet vastaavat seuraavalla tavalla toisiaan: Otosavaruus Perusjoukko Alkeistapahtuma Perusjoukon alkio Tapahtuma Perusjoukon osajoukko Todennäköisyys ja sen perusominaisuudet Olkoon A jokin otosavaruuden S tapahtuma eli olkoon A S Todennäköisyys Pr() on joukkofunktio, joka liittää tapahtumaan A reaaliluvun: Pr( A) Todennäköisyyden perusominaisuudet: (i) (ii) Olkoon tapahtuma A jokin otosavaruuden S tapahtuma. Tällöin 0 Pr(A) 1 Tyhjä joukko on mahdoton tapahtuma ja Pr() = 0 (iii) Otosavaruus S on varma tapahtuma ja Lukumääräfunktio Olkoon Pr(S) = 1 na n( A) funktio, joka kertoo joukon A alkioiden lukumäärän. Jos siis A a1 a2 a k {,,, } on äärellinen joukko, jonka alkioiden lukumäärä on k, niin n n( A) k A Kutsumme funktiota n() lukumääräfunktioksi. Klassinen todennäköisyys Oletetaan, että äärellisen otosavaruuden Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 4/41

5 alkeistapahtumat S = {s 1, s 2,, s n } s i, i = 1, 2,, n ovat symmetrisiä eli yhtä todennäköisiä ja olkoon tapahtuma A otosavaruuden S osajoukko. Tällöin tapahtuman A klassinen todennäköisyys Pr(A) saadaan määräämällä tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikkien alkeistapahtumien joukossa eli jossa ja na ( ) Pr( A) ns ( ) Empiirinen todennäköisyys n(a) = tapahtumalle A suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä = joukkoon A kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä n(s) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä = otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä Tarkastellaan satunnaiskoetta, jota voidaan toistaa siten, että seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Kokeen olosuhteet säilyvät muuttumattomina koetoistosta toiseen. Koetoistot ovat riippumattomia siinä mielessä, että yhdenkään koetoiston tulos ei riipu siitä mitä tuloksia muista koetoistoista saadaan. Tarkkaillaan tapahtuman A esiintymistä koetoistojen aikana. Jos tapahtuman A suhteellinen frekvenssi eli osuus koetoistoista käyttäytyy stabiilisti eli lähestyy (jossakin mielessä) jotakin kiinteätä lukua koetoistojen lukumäärän kasvaessa rajatta, lukua kutsutaan tapahtuman A empiiriseksi todennäköisyydeksi. Oletetaan siis, että satunnaiskoetta toistetaan n kertaa ja olkoon f A tapahtuman A frekvenssi eli lukumäärä koetoistojen joukossa. Tällöin f A n on tapahtuman A suhteellinen frekvenssi eli suhteellinen osuus koetoistojen joukossa. Jos koetoistojen lukumäärän n annetaan kasvaa rajatta ja tällöin (jossakin mielessä) f A n p A niin sanomme, että luku p A on tapahtuman A empiirinen todennäköisyys. Todennäköisyys mittana Todennäköisyys on mitta, joka mittaa satunnaisilmiön tapahtumavaihtoehtojen sattumisen mahdollisuutta. Todennäköisyyden aksiomaattinen määrittely Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 5/41

6 Yksikään näistä todennäköisyyden naiiveista määritelmistä ei täytä hyvän matemaattisen määritelmän tunnusmerkkejä. Matemaattisesti kelvollisen yleisen määritelmän todennäköisyydelle esitti venäläinen matemaatikko A. N. Kolmogorov 1930-luvun alussa. Kolmogorovin aksioomien mukaan todennäköisyyslaskenta on matemaattisen mittateorian osa. Todennäköisyyden naiivit määritelmät voidaan sijoittaa sopivasti muotoiltuina Kolmogorovin aksioomajärjestelmään todennäköisyyden käsitteen tulkintoina tai kuvauksina. Todennäköisyyden aksioomat Olkoon S otosavaruus, jossa satunnaisilmiötä tarkastellaan. (i) Pr( S) 1 (ii) Jokaisen tapahtuman A S todennäköisyys Pr(A) on reaaliluku välillä [0,1]: 0Pr( A) 1 (iii) Jos tapahtumat A1, A2, A 3,... ovat toisensa poissulkevia, A, A, A, S ja A A, i j, sitten Pr( Ai) Pr( Ai) i1 i1 i j Todennäköisyyden frekvenssitulkinta Oletetaan, että toistamme jotakin satunnaiskoetta ja tarkkailemme jonkin tapahtuman suhteellisen frekvenssin käyttäytymistä koetoistojen aikana. Todennäköisyyden frekvenssitulkinnan mukaan ko. tapahtuman koetoistoista määrätty suhteellinen frekvenssi vaihtelee satunnaisesti koetoistosta toiseen, mutta saa keskimäärin ko. tapahtuman todennäköisyyttä lähellä olevia arvoja. Vahvistavatko havainnot tämän on empiirinen kysymys. Olkoon tapahtuman A todennäköisyys Pr(A) = p Oletetaan, että sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtona tapahtuma A on, toistetaan n kertaa. Tällöin todennäköisyyden frekvenssitulkinnasta seuraa, että on odotettavissa, että tapahtuman A frekvenssi f A on lähellä lukua np Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Todennäköisyyslaskennan perusoperaatiot Tarkoitamme johdetulla tapahtumalla tapahtumaa, joka saadaan joukko-opin operaatioilla toisista tapahtumista. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöillä tarkoitetaan laskusääntöjä, joilla jonkin johdetun tapahtuman todennäköisyys saadaan määrätyksi toisten tapahtumien todennäköisyyksien avulla. Todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin perusoperaatiot vastaavat seuraavalla tavalla toisiaan: Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 6/41

7 Tapahtuma A ei satu eli tapahtuman A komplementtitapahtuma sattuu Joukon A komplementti A c Tapahtuma A sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat Joukkojen A ja B unioni eli yhdiste AB Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu Joukkojen A ja B leikkaus AB Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B ei satu Joukkojen A ja B erotus A\B Komplementtitapahtuman todennäköisyys Olkoon tapahtuma A otosavaruuden S osajoukko. Joukon A komplementtitapahtuman todennäköisyys on c A xs x A Pr(A c ) = 1 Pr(A) Yhdisteen todennäköisyys Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin Pr(AB) on todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu tai tapahtuma B sattuu tai molemmat sattuvat. Leikkauksen todennäköisyys. Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin Pr(AB) on todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu. Yleinen yhteenlaskusääntö Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntö Jos tapahtumat A ja B eivät voi sattua samanaikaisesti eli ovat toisensa poissulkevia, niin AB = Siten toisensa poissulkevat tapahtumat ovat joukkoina pistevieraita. Jos tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia eli AB =, niin pätee toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntö Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Olkoot A 1, A 2,, A k pareittain toisensa poissulkevia, jolloin A i A j =, kun i j. Tällöin yhdisteen A 1 A 2 A k = A 1 tai A 2 tai tai A k sattuu Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 7/41

8 todennäköisyys on Ehdollinen todennäköisyys Pr(A 1 A 2 A k ) = Pr(A 1 ) + Pr(A 2 ) + + Pr(A k ) Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Tällöin tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma B on sattunut, saadaan kaavalla Pr( A B) Pr( A B) Pr( B) jossa Pr(AB) on todennäköisyys, että tapahtuma A ja tapahtuma B ovat sattuneet eli Pr(AB) on tapahtumien A ja B leikkauksen todennäköisyys. Yleinen tulosääntö Yleisen tulosäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A B)Pr(B) Tarkastellaan tapahtumia A 1, A 2,, A k. Tällöin leikkauksen todennäköisyys on A 1 A 2 A k = A 1 ja A 2 ja ja A k sattuvat Pr( A A A ) 1 2 k Pr( A1) Pr( A2 A1) Pr( A3 A1A2) Pr( Ak A1A2 Ak 1) Riippumattomuus ja riippumattomien tapahtumien tulosääntö Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos riippumattomien tapahtumien tulosääntö Pr( AB) Pr( A)Pr( B) pätee. Riippumattomien tapahtumien tulosääntö on yhtäpitävä sen kanssa, että Pr( A B) Pr( A) Tarkastellaan tapahtumia A 1, A 2,, A k. Jos tapahtumat A 1, A 2,, A k ovat riippumattomia, niin pätee riippumattomien tapahtumien tulosäännön yleistys Satunnaisotanta ja tulosääntö Pr( A A A ) Pr( A)Pr( A )Pr( A) Pr( A ) 1 2 k Olkoon perusjoukko S äärellinen. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa perusjoukosta S poimitaan osajoukko B arpomalla perusjoukosta alkioita osajoukkoon B yksi alkio kerrallaan. Osajoukkoa B kutsutaan otokseksi ja arvonnassa käytettyä menetelmää otantamenetelmäksi. Tarkastellaan todennäköisyyttä saada otokseen B alkioita perusjoukon S osajoukosta A: k (i) (ii) Jos otanta tehdään ilman takaisinpanoa eli palauttamatta poimittua alkiota takaisin perusjoukkoon, poimintatodennäköisyyksiä määrättäessä on sovellettava yleistä tulosääntöä. Jos otanta tehdään takaisinpanolla eli palauttamalla poimittu alkio aina takaisin perusjoukkoon, poimintatodennäköisyyksiä määrättäessä on sovellettava riippumattomien tapahtumien tulosääntöä. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 8/41

9 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Satunnaiskokeen tulosvaihtoehtojen lukumäärien laskeminen on usein epätriviaali tehtävä ja apuna tarvitaan kombinatoriikaksi kutsuttua matematiikan osa-aluetta. Kombinatoriikan perusperiaatteet Tässä esitettävät kombinatoriikan kaavat voidaan johtaa käyttäen kahta perusperiaatetta, kertolaskuperiaatetta ja yhteenlaskuperiaatetta. (i) (ii) Joukko Kertolaskuperiaate Oletetaan, että operaatio M voidaan suorittaa m eri tavalla ja operaatio N voidaan suorittaa n eri tavalla ja oletetaan lisäksi, että operaatiot M ja N voidaan suorittaa toisistaan riippumatta. Tällöin yhdistetty operaatio Suoritetaan operaatio M ja operaatio N voidaan suorittaa mn eri tavalla. Yhteenlaskuperiaate Oletetaan, että operaatio M voidaan suorittaa m eri tavalla ja operaatio N voidaan suorittaa n eri tavalla ja oletetaan lisäksi, että operaatiot M ja N ovat toisensa poissulkevia. Tällöin yhdistetty operaatio Suoritetaan operaatio M tai operaatio N voidaan suorittaa (m + n) eri tavalla. Joukko on täysin määrätty, jos sen alkiot tunnetaan. Olkoot äärellisen joukon S (erilaiset) alkiot Tällöin merkitään: s 1, s 2,, s n S = {s 1, s 2,, s n } Joukot A ja B ovat samat, jos niissä on samat alkiot: jos ja vain jos Jono A = B x A x B Jono on täysin määrätty, jos sen alkiot ja niiden järjestys tunnetaan. Olkoon äärellisen jonon s i. alkio Tällöin merkitään: tai usein myös s i, i = 1, 2,, n s = (s 1, s 2,, s n ) s = s 1 s 2 s n Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 9/41

10 Jonot a = (a 1, a 2,, a n ) ja b = (b 1, b 2,, b n ) ovat samat, jos niissä on samat alkiot samassa järjestyksessä: jos ja vain jos a = b a i = b i, i = 1, 2,, n Kombinatoriikan perusongelmat Olkoon S äärellinen joukko, jonka (erilaisten) alkioiden lukumäärä on n = n(s) Kombinatoriikan perusongelmat: (1a) Kuinka monella eri tavalla joukon S alkiot voidaan järjestää jonoon? (1b) Kuinka monella eri tavalla joukon S alkioista voidaan muodostaa k:n alkion osajono? (2) Kuinka monella eri tavalla joukon S alkioista voidaan muodostaa k:n alkion osajoukko? Kombinatoriikan perusongelmien ratkaisut Olkoon S äärellinen joukko, jonka (erilaisten) alkioiden lukumäärä on n = n(s) Kombinatoriikan perusongelmien ratkaisut: (1a) Kutsumme joukon S kaikkien alkioiden jonoja joukon S alkioiden permutaatioiksi. Joukon S alkioiden kaikkien mahdollisten permutaatioiden lukumäärä on n!, jossa on n-kertoma. n! = n(n 1) 21 (1b) Kutsumme joukon S k:n alkion osajonoja joukon S alkioiden k-permutaatioiksi eli variaatioiksi. Joukon S alkioiden kaikkien mahdollisten k-permutaatioiden lukumäärä on n! P( nk, ) n ( n 1) ( n k 1) ( n k)! (2) Kutsumme joukon S k:n alkion osajoukkoja joukon S alkioiden k alkiota sisältäviksi kombinaatioiksi. Joukon S alkioiden kaikkien mahdollisten k alkiota sisältävien kombinaatioiden lukumäärä on jossa n C( nk, ) k on binomikerroin. n n! k k!( n k)! Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 10/41

11 Binomikaava Binomikaavan mukaan binomin x + y n. potenssi voidaan esittää muodossa n n ( x y) x y k0 k n n k k Äärellisen joukon osajoukkojen lukumäärä Olkoon joukon S alkioiden lukumäärä n = n(s). Tällöin joukon S osajoukkojen lukumäärä on n n n n n n N n1 n Multinomikerroin Olkoon joukon S alkioiden lukumäärä n = n(s). Oletetaan, että positiiviset kokonaisluvut n i, i = 1, 2,, k toteuttavat ehdon n 1 + n n k = n Oletetaan, että joukko S ositetaan pistevieraisiin osajoukkoihin A i, i = 1, 2,, k niin, että joukossa A i on n i = n(a i ) alkiota. Kuinka monella erilaisella tavalla yllä määritelty ositus voidaan tehdä? Vastauksen antaa multinomikerroin n n! nn 1 2 nk n1! n2! nk! jossa siis n 1 + n n k = n Huomaa, että jos k = 2, saadaan binomikerroin jossa n 1 + n 2 = n n n! n n nn n! n! n n Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 11/41

12 Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ositus Joukon S osajoukot B 1, B 2,, B n muodostavat joukon S osituksen, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) B, i 1,2,, n i (ii) B B, i j i (iii) S B1B2 Bn Kokonaistodennäköisyyden kaava Olkoon A epätyhjä otosavaruuden S osajoukko: Oletetaan, että joukot j AS, A B 1, B 2,, B n muodostavat otosavaruuden S osituksen. Tällöin pätee kokonaistodennäköisyyden kaava Bayesin kaava n Pr( A) Pr( Bi) Pr( A Bi) i1 Olkoon A epätyhjä otosavaruuden S osajoukko: Oletetaan, että joukot AS, A B 1, B 2,, B n muodostavat otosavaruuden S osituksen. Tällöin pätee Bayesin kaava Pr( Bi) Pr( A Bi) Pr( Bi A) n, i1,2,, n Pr( B) Pr( A B) i1 i i Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 12/41

13 Esimerkki 1.1. Virheetöntä noppaa heitettäessä jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, kaikkien mahdollisten heittotulosten muodostama perusjoukko voidaan määritellä kaavalla S = (x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Perusjoukkoa S voidaan kuvata seuraavalla lukukaaviolla: 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Oletetaan, että 1. ja 2. heiton tulokset ovat siinä mielessä riippumattomia, että 1. heiton tulos ei vaikuta siihen, mikä tulee tukokseksi 2. heitosta. Tällöin voimme olettaa, että jokaisella heittotulosten parilla (x, y) on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Määritellään joukot A = (x, y) S y = 3 B = (x, y) S x 5 C = (x, y) S x + y = 6 D = (x, y) S x y = 3 E = (x, y) S y x 3 Merkitse perusjoukkoa S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot: A, B, C, D, E A C = Joukkojen A ja C yhdiste B E = Joukkojen B ja E leikkaus Esimerkki 1.1. Mitä opimme? Esimerkissä 1.1. tarkastellaan joukkojen määrittelemistä ja havainnollistamista sekä joukko-opin perusoperaatioita yhdiste ja leikkaus. Esimerkki 1.1. Ratkaisu: Esimerkin 1.1. joukot on varjostettu perusjoukkoa S kuvaaviin lukukaavioihin alla. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 13/41

14 A = (x, y) S y = 3 2. heiton tulos y (x, y) B = (x, y) S x 5 2. heiton tulos y (x, y) C = (x, y) S x + y = 6 2. heiton tulos y (x, y) D = (x, y) S x y = 3 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 14/41

15 E = (x, y) S y x 3 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) A C = (x, y) S (x, y) A tai (x, y) C 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) B E = (x, y) S (x, y) B ja (x, y) E = 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Esimerkki 1.2. Esimerkki 1.2. on jatkoa esimerkille 1.1. Merkitse perusjoukkoa S kuvaavaan kaavioon seuraavat joukot: D c = Joukon D komplementti B \ C = Joukkojen B ja C erotus C \ B = Joukkojen C ja B erotus Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 15/41

16 Esimerkki 1.2. Mitä opimme? Esimerkki 1.2. on jatkoa esimerkille 1.1. ja siinä tarkastellaan joukkojen määrittelemistä ja havainnollistamista sekä joukko-opin perusoperaatioita komplementti ja erotus. Esimerkki 1.2. Ratkaisu: Esimerkissä 1.2. määritellyt joukot on merkitty alla varjostettuina perusjoukkoa S kuvaaviin lukukaavioihin. D c = (x, y) S (x, y) D 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) B \ C = (x, y) S (x, y) B ja (x, y) C 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) C \ B = (x, y) S (x, y) C ja (x, y) B 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 16/41

17 Esimerkki 1.3. Esimerkki 1.3. on jatkoa esimerkille 1.1. Määrää todennäköisyydet esimerkin 1.1. kohdissa määritellyille tapahtumille. Esimerkki 1.3. Mitä opimme? Esimerkki 1.3. on jatkoa esimerkille 1.1. ja siinä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin peruskäsiteiden ja -operaatioiden vastaavuutta sekä klassisen todennäköisyyden käsitettä. Esimerkki 1.3. Ratkaisu: Jos virheetöntä noppaa heitetään yhden kerran, jokaisella silmäluvulla 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Siten silmälukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 muodostamat alkeistapahtumat ovat symmetrisiä. Jos siis x on nopanheiton tulos, niin virheettömän nopan tapauksessa Pr(x) = 1/6, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jos virheetöntä noppaa heitetään kaksi kertaa, on järkevää ajatella, että jokaisella silmälukujen parilla jossa (x, y), x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 x = tulos 1. nopan heitosta y = tulos 2. nopan heitosta on sama todennäköisyys tulla tulokseksi. Tämä johtuu siitä, että voimme olettaa, että 1. heiton tulos ei vaikuta 2. heiton tulokseen ja sen todennäköisyyteen (tämä voidaan täsmentää käyttämällä riippumattomien tapahtumien tulosääntöä). Siten voimme pitää silmälukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 muodostamia alkeistapahtumien pareja (x, y) ovat symmetrisinä, jolloin Pr(x, y) = 1/36, x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Klassisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtuman M todennäköisyys Pr(M) saadaan määräämällä tapahtumalle M suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista. Siten jossa nm ( ) Pr( M ) ns ( ) n(m) = tapahtumalle M suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä = joukkoon M kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä n(s) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkin 1.1. otosavaruus on = otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä S = (x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 17/41

18 jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten n(s) = 36 Koska n(a) = 6, niin Pr(A) = n(a)/n(s) = 6/36 = 1/6 Koska n(b) = 12, niin Pr(B) = n(b)/n(s) = 12/36 = 1/3 Koska n(c) = 5, niin Pr(C) = n(c)/n(s) = 5/36 Koska n(d) = 3, niin Pr(D) = n(d)/n(s) = 3/36 = 1/12 Koska n(e) = 6, niin Pr(E) = n(e)/n(s) = 6/36 = 1/6 Koska n(ac) = 10, niin Pr(AC) = n(ac)/n(s) = 10/36 = 5/18 Sama tulos saadaan tietysti myös yleisen yhteenlaskusäännön Pr(AC) = Pr(A) + Pr(C) Pr(AC) avulla: Kohdan mukaan Pr(A) = 6/36 Pr(C) = 5/36 ja koska AC = {(3,3)} niin Pr(AC) = 1/36 Siten Pr(AC) = Pr(A) + Pr(C) Pr(AC) = 6/36 + 5/36 1/36 = 10/36 Koska B E =, niin Pr(B E) = 0 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 18/41

19 Esimerkki 1.4. Esimerkki 1.4. on jatkoa esimerkille 1.2. Määrää todennäköisyydet esimerkin 1.2. kohdissa määritellyille tapahtumille. Esimerkki 1.4. Mitä opimme? Esimerkki 1.4. on jatkoa esimerkille 1.2. ja siinä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan ja joukko-opin peruskäsiteiden ja -operaatioiden vastaavuutta sekä klassisen todennäköisyyden käsitettä; ks. myös esimerkkiä 1.3. Esimerkki 1.4. Ratkaisu: Klassisen todennäköisyyden määritelmän mukaan tapahtuman M todennäköisyys Pr(M) saadaan määräämällä tapahtumalle M suotuisien alkeistapahtumien suhteellinen osuus kaikista alkeistapahtumista. Siten jossa nm ( ) Pr( M ) ns ( ) n(m) = tapahtumalle M suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä = joukkoon M kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä n(s) = kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkin 1.1. otosavaruus on = otosavaruuteen S kuuluvien alkeistapahtumien lukumäärä S = (x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Otosavaruudessa S on 36 alkiota, joten n(s) = 36 Koska n(d c ) = 33, niin Pr(D c ) = n(d c )/n(s) = 33/36 = 11/12 Sama tulos saadaan tietysti myös komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan Pr(D c ) = 1 Pr(D) avulla: Koska Pr(D) = 3/36 = 1/12 niin Pr(D c ) = 1 Pr(D) = 1 1/12 = 11/12 Koska n(b \ C) = 11, niin Pr(B \ C) = 11/36 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 19/41

20 Esimerkki 1.5. Koska n(c \ B) = 4, niin Pr(C \ B) = 4/36 = 1/9 Esimerkki 1.5. on jatkoa esimerkille 1.1. Tarkastellaan 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen erotusta z = x y jossa x = 1. heiton tulos ja y = 2. heiton tulos. Määritellään lisäksi tapahtumat (d) A = {1. nopalla saadaan 5} B = {2. nopalla saadaan 5} C = {Erotus on 4} Määrää silmälukujen erotuksen z = x y otosavaruus. Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(A B) ja vertaa sitä tapahtuman A todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia? Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C A ) ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja A riippumattomia? Määrää ehdollinen todennäköisyys Pr(C B ) ja vertaa sitä tapahtuman C todennäköisyyteen. Ovatko tapahtumat C ja B riippumattomia? Esimerkki 1.5. Mitä opimme? Esimerkki 1.5. on jatkoa esimerkille 1.1. ja siinä tarkastellaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteitä. Esimerkki 1.5. Ratkaisu: 1. nopanheiton tulokseen x liittyvä otosavaruus: 1, 2, 3, 4, 5, 6 2. nopanheiton tulokseen y liittyvä otosavaruus: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 20/41

21 Muodostetaan silmälukujen x ja y mahdollisia erotuksia z = x y kuvaava aputaulukko: 2. heiton tulos y z = x y 1. heiton tulos x Aputaulukosta nähdään, että kahden nopanheiton silmälukujen erotuksen z = x y otosavaruus on 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 Klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla (ks. esimerkki 1.3.) aputaulukosta saadaan erotuksille z = x y seuraavat todennäköisyydet: z Pr 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Jos käytämme apuna esimerkin 1.1. otosavaruutta S = (x, y) x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 kuvaavaa taulukkoa 2. heiton tulos y (x, y) 1. heiton tulos x (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) niin klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla on helppo nähdä, että Pr(A) = Pr({1. nopalla saadaan 5}) = 6/36 = 1/6 Pr(B) = Pr({2. nopalla saadaan 5}) = 6/36 = 1/6 Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 21/41

22 Koska AB = {1. nopalla saadaan 5 ja 2. nopalla saadaan 5} niin klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla Pr(AB) = 1/36 Siten ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella nähdään, että Koska Pr(A B) = Pr(AB)/Pr(B) = (1/36)/(1/6) = 1/6 Pr(A B) = Pr(A) = 1/6 tapahtumat A ja B ovat riippumattomia. Tehtävän voi ratkaista myös käyttämällä apuna ennen -kohdan ratkaisua esitettyä aputaulukkoa rajoittumalla tarkastelemaan niitä soluja, joissa 2. nopalla saadaan 5. Näitä soluja on 6 ja täsmälleen yksi niistä vastaa sitä, että 1. nopalla on saatu 5. Siten suoraan klassisen todennäköisyyden määritelmän nojalla nähdään, että Huomautus: Pr(A B) = 1/6 Vaikka tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä ym. aputaulukkoa, on syytä oppia käyttämään ehdollisen todennäköisyyden kaavaa. Alkeistapahtumien taulukointi ja niiden lukumäärien laskeminen on hankalaa, jos otosavaruus on iso ja se on jopa mahdotonta, jos otosavaruus on ääretön. Kohdassa kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle C = (x, y) S z = x y = 4 kun tapahtuma A = {x = 5} on sattunut. Kohdan otosavaruutta S kuvaavasta taulukosta on helppo nähdä seuraavaa: Jos A on sattunut, jäljellä on 6 vaihtoehtoa, joista erotus z = x y voi saada arvon 4 vain yhdellä tavalla, jos y saanut arvon 1. Siten Pr(C A) = 1/6 Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella: Koska Pr(C A) = Pr(CA)/Pr(A) = (1/36)/(1/6) = 1/6 Pr(C) = 2/36 Pr(C A) tapahtumat C ja A eivät ole riippumattomia. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 22/41

23 (d) Kohdassa (d) kysytään ehdollista todennäköisyyttä tapahtumalle C = (x, y) S z = x y = 4 kun tapahtuma B = {y = 4} on sattunut. Kohdan otosavaruutta S kuvaavasta taulukosta on helppo nähdä seuraavaa: Jos B on sattunut, erotus z = x y ei voi saada arvoa 4. Siten Pr(C B) = 0 Sama tulos saadaan myös ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella: Pr(C B) = Pr(CB)/Pr(B) = (0/36)/(1/6) = 0/6 = 0 Esimerkki 1.6. Olkoot Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6. Määrää tapahtuman AB todennäköisyys, kun Pr(AB) = 0.1 A ja B ovat toisensa poissulkevia Esimerkki 1.6. Mitä opimme? Esimerkissä 1.6. tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntöä. Esimerkki 1.6. Ratkaisu: Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) Tiedämme, että Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6. Jos Pr(AB) = 0.1, niin Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = = 0.7 Tiedämme, että Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin Pr(AB) = Pr() = 0 koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siten Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = = 0.8 Esimerkki 1.7. Olkoot Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6 kuten esimerkissä 1.6. Määrää tapahtuman AB todennäköisyys, kun A ja B ovat riippumattomia Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 23/41

24 Pr(A B) = 0.1 Esimerkki 1.7. Mitä opimme? Esimerkissä 1.7. tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä, ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteitä sekä yleistä tulosääntöä ja riippumattomien tapahtumien tulosääntöä. Esimerkki 1.7. Ratkaisu: Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) Tiedämme, että Pr(A) = 0.2 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan Siten Pr(AB) = Pr(A)Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A)Pr(B) = = 0.68 Tiedämme, että Pr(A) = 0.2, Pr(B) = 0.6 ja Pr(AB) = 0.1. Yleisen tulosäännön mukaan Pr(AB) = Pr(AB)Pr(B) Siten Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B)Pr(B) = = 0.74 Esimerkki 1.8. Olkoot Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yritä määrätä tapahtuman AB todennäköisyys, kun Pr(AB) = 0.1 A ja B ovat toisensa poissulkevia A ja B ovat riippumattomia (d) Pr(AB) = 0.1 Milloin tämä on mahdollista? Esimerkki 1.8. Mitä opimme? Esimerkissä 1.8. tarkastellaan yleistä yhteenlaskusääntöä, toisensa poissulkevuuden ja riippumattomuuden käsitteitä sekä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää; ks. myös esimerkkejä 1.6. ja 1.7. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 24/41

25 Esimerkki 1.8. Ratkaisu: Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruuden S osajoukkoja. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos Pr(AB) = 0.1, niin Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = = 1 Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin AB =. Tällöin Pr(AB) = Pr() = 0 koska mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Siten Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = = 1.1 > 1 mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat siten ristiriitaisia. Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Jos A ja B ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtuman tulosäännön mukaan Siten Pr(AB) = Pr(A)Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A)Pr(B) = = 0.8 (d) Tiedämme, että Pr(A) = 0.5 ja Pr(B) = 0.6. Yleisen tulosäännön mukaan Pr(AB) = Pr(AB)Pr(B). Siten Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AB)Pr(B) = = 1.04 > 1 mikä on mahdotonta. Annetut tiedot ovat siten ristiriitaisia. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 25/41

26 Esimerkki 1.9. Uurnassa on 8 keltaista ja 4 sinistä palloa. Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa takaisinpanolla eli palauttaen. Tällöin uurnasta nostetaan palloja yksi pallo kerrallaan ja jokainen nostettu pallo palautetaan ennen seuraavan pallon nostoa takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme sinistä palloa? Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa eli palauttamatta. Tällöin uurnasta nostettuja palloja ei palauteta takaisin uurnaan. Mikä on todennäköisyys, että saat kolme sinistä palloa? Poimitaan uurnasta satunnaisesti kolme palloa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että viimeisenä poimittu pallo on sininen, jos kaksi edellistä ovat olleet keltaisia? Ohje: Sovella -kohdassa riippumattomien tapahtumien tulosääntöä ja -kohdassa yleistä tulosääntöä. Esimerkki 1.9. Mitä opimme? Esimerkissä 1.9. havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteitä sekä yleisen tulosäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön soveltamista satunnaisotantaan. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa poiminta takaisinpanolla eli palauttaen tapahtuu niin, että jokainen poimittu objekti palautetaan poimimisen jälkeen välittömästi takaisin poimittavien joukkoon, jolloin sama objekti voi tulla poimituksi otokseen useita kertoja. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa poiminta ilman takaisinpanoa eli palauttamatta tapahtuu niin, että poimittua objektia ei palauteta takaisin poimittavien joukkoon, jolloin sama objekti voi tulla poimituksi otokseen vain kerran. Esimerkki 1.9. Ratkaisu: Poimitaan kolme palloa uurnasta, jossa on 8 keltaista ja 4 sinistä palloa. Merkitään A i = {i. pallo on sininen} A i c = {i. pallo on keltainen} Kysytty todennäköisyys on Pr(A 1 A 2 A 3 ) Koska pallojen poiminta tapahtuu takaisinpanolla, niin tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 ovat riippumattomia. Siten riippumattomien tapahtumien tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 )Pr(A 3 ) = (4/12) 3 = 1/27 = koska poiminnan jokaisessa vaiheessa uurnassa on 12 palloa, joista 4 on sinistä. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 26/41

27 Kysytty todennäköisyys on Pr(A 1 A 2 A 3 ) Koska pallojen poiminta tapahtuu ilman takaisinpanoa, niin tapahtumat A 1, A 2 ja A 3 eivät ole riippumattomia. Siten yleisen tulosäännön perusteella Pr(A 1 A 2 A 3 ) = Pr(A 1 )Pr(A 2 A 1 )Pr(A 3 A 1 A 2 ) = (4/12)(3/11)(2/10) = 1/55 = Laskutoimituksen perustelu: (i) (ii) Ensimmäistä palloa poimittaessa uurnassa on 12 palloa, joista 4 on sinistä. Jos ensimmäisenä poimittu pallo oli sininen, toista palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 11 palloa, joista 3 on sinistä. (iii) Jos ensimmäisenä ja toisena poimitut pallot olivat sinisiä, kolmatta palloa poimittaessa uurnassa on jäljellä 10 palloa, joista 2 on sinistä. Kysytty todennäköisyys on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) Jos uurnassa on aluksi 8 keltaista ja 4 sinistä palloa ja 2 keltaisista palloista otetaan pois, niin jäljelle jää 6 keltaista ja 4 sinistä palloa. Siten todennäköisyys saada sininen pallo kolmantena on Pr(A 3 A 1 c A 2 c ) = 4/10 = 0.4 Esimerkki Erään liikeyrityksen johto on harkinnut sulautumista toiseen yritykseen. Johto on selvittänyt osakkaiden mielipiteet sulautumisesta ja luokitellut osakkaat kolmeen luokkaan omistettujen osakkeiden lukumäärän ja mielipiteen mukaan. Luokittelun tuloksena saadut frekvenssit on annettu alla olevassa taulukossa. Määrää todennäköisyydet seuraaville tapahtumille: (d) Satunnaisesti valitulla osakkaalla on alle 200 osaketta. Satunnaisesti valittu osakas on sulautumista vastaan. Satunnaisesti valitulla osakkaalla on osaketta ja hän on sulautumisen puolesta. Satunnaisesti valitulla osakkaalla on osaketta tai hän on sulautumisen puolesta. (e) Satunnaisesti valittu osakas on sulautumista vastaan ehdolla että hänellä on alle 200 osaketta. Kysymys: Ovatko se, että osakkaalla on alle 200 osaketta ja se, että osakas on sulautumista vastaan tapahtumina riippumattomia? (f) Satunnaisesti valitulla osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ehdolla että hän on sulautumisen puolesta. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 27/41

28 Osakkeiden lukumäärä Osakkaiden lukumäärä Puolesta Mielipide sulautumisesta Ei mielipidettä Vastaan < < Esimerkki Mitä opimme? Esimerkissä havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden ja riippumattomuuden käsitteitä. Esimerkki Ratkaisu: Määrätään ensin taulukon solujen rivi- ja sarakesummat sekä kokonaissumma: Osakkeiden lukumäärä Osakkaiden lukumäärä Puolesta Mielipide sulautumisesta Ei mielipidettä Vastaan Yhteensä < < Yhteensä Vastaavat todennäköisyydet saadaan jakamalla kaikki taulukon luvut osakkaiden kokonaislukumäärällä 250. Tuloksena saadaan seuraava taulukko: Osakkeiden lukumäärä Osakkaiden lukumäärä Puolesta Mielipide sulautumisesta Ei mielipidettä Vastaan Yhteensä < < Yhteensä Esimerkiksi: Pr(Osakkaalla osaketta) = Pr(Osakas on sulautumisen puolesta ja osakkaalla on yli 1000 osaketta) = Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 28/41

29 Edellä määrätystä todennäköisyyksien taulukosta saadaan: Pr(Osakkaalla on alle 200 osaketta) = Pr(Osakas on sulautumista vastaan) = 0.52 Pr(Osakkaalla on osaketta ja osakas on sulautumisen puolesta) = (d) Yleisen yhteenlaskusäännön nojalla: Pr(Osakkaalla on osaketta tai osakas on sulautumisen puolesta) = Pr(Osakkaalla on osaketta) + Pr(Osakas on sulautumisen puolesta) Pr(Osakkaalla on osaketta ja osakas on sulautumisen puolesta) = = (e) Käyttämällä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää saadaan: Pr(Osakas on sulautumista vastaan ehdolla, että osakkaalla on alle 200 osaketta) = Pr(Osakas on sulautumista vastaan ja osakkaalla on alle 200 osaketta) /Pr(Osakkaalla on alle 200 osaketta) = 0.116/0.304 = kohdan mukaan Koska Pr(Osakas on sulautumista vastaan) = 0.52 Pr(Osakas on sulautumista vastaan ehdolla, että osakkaalla on alle 200 osaketta) = Pr(Osakas on sulautumista vastaan) = 0.52 tapahtumat Osakas on sulautumista vastaan ja Osakkaalla on alle 200 osaketta eivät ole riippumattomia. Siten tieto siitä, että ehtotapahtuma Osakkaalla on alle 200 osaketta on sattunut sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi, kun määräämme tapahtuman Osakas on sulautumista vastaan todennäköisyyttä. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 29/41

30 (f) Käyttämällä ehdollisen todennäköisyyden määritelmää saadaan: Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ehdolla, että osakas on sulautumisen puolesta) = Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ja osakas on sulautumisen puolesta) /Pr(Osakas on sulautumisen puolella) = ( )/0.400 = Huomaa, että Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän ehdolla, että osakas on sulautumisen puolesta) = Pr(Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän) = Siten tieto siitä, että ehtotapahtuma Osakas on sulautumisen puolesta on sattunut sisältää informaatiota, jota voidaan käyttää hyväksi, kun määräämme tapahtuman Osakkaalla on 200 osaketta tai enemmän todennäköisyyttä. Esimerkki Potilaan ikä saattaa vaikuttaa siihen millaista hoitoa hän saa. Eräässä USA:ssa tehdyssä tutkimuksessa verrattiin eri-ikäisten naisten pääsemistä mammografiaan (rintojen röntgentutkimus rintasyövän toteamiseksi), kun heidän rinnoissaan oli havaittu kyhmyjä. Tulokset on annettu taulukossa alla. Taulukon solut ovat todennäköisyyksiä, että kumpikin tapahtumista sattuu; esim on todennäköisyys, että potilas on alle 65-vuotias ja hänelle on tehty mammografia. Todennäköisyys Ikä Mammografia tehty Mammografiaa ei ole tehty alle tai yli Määrää seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: A = potilas on alle 65-vuotias B = potilas on 65-vuotias tai yli C = potilaalle on tehty mammografia D = potilaalle ei ole tehty mammografiaa Ovatko tapahtumat B ja C riippumattomia? Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 30/41

31 Määrää todennäköisyys sille, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut alle 65-vuotias ja vertaa sitä todennäköisyyteen, että potilaalle on tehty mammografia, jos hän on ollut 65-vuotias tai yli. Esimerkki Mitä opimme? Esimerkissä havainnollistetaan ehdollisen todennäköisyyden käsitettä. Esimerkki Ratkaisu: Kysytyt todennäköisyydet saadaan laskemalla tehtävän taulukosta ns. reunatodennäköisyydet eli rivi- ja sarakesummat: Todennäköisyys Ikä Mammografia tehty Mammografiaa ei ole tehty Summa alle Pr(A) = tai yli Pr(B) = Summa Pr(C) = Pr(D) = Jos tapahtumat B ja C ovat riippumattomia, niin riippumattomien tapahtumien tulosäännöstä seuraa, että Pr(BC) = Pr(B)Pr(C) Taulukosta saadaan Pr(BC) = Pr(B)Pr(C) = Koska Pr(BC) Pr(B)Pr(C) tapahtumat B ja C eivät ole riippumattomia. Ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan Pr(CA) = Pr(CA)/Pr(A) = 0.321/0.445 = Pr(CB) = Pr(CB)/Pr(B) = 0.365/0.555 = Tämän perusteella nuoremmilla potilailla todennäköisyys päästä mammografiaan on jonkin verran suurempi kuin vanhemmilla potilailla. Esimerkki 2.1. Tarkastellaan kirjainten a, e, i, k, l, m, p (7 kpl) muodostamaa joukkoa S = {a, e, i, k, l, m, p}. Kuinka monta erilaista jonoa joukon S kirjaimista voidaan muodostaa? Kuinka monta erilaista 3:n alkion osajonoa joukon S kirjaimista voidaan muodostaa? Kuinka monta erilaista 3:n alkion osajoukkoa joukon S kirjaimista voidaan muodostaa? Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 31/41

32 Esimerkki 2.1. Mitä opimme? Esimerkissä 2.1. tarkastellaan esimerkkejä kombinatoriikan perusongelmista sekä niiden ratkaisemista kombinatoriikan perusperiaatteiden avulla. Esimerkki 2.1. Ratkaisu: Joukossa S = {a, e, i, k, l, m, p} on n(s) = 7 erilaista alkiota. Siten joukon S alkioista voidaan muodostaa 7! = = 5040 erilaista jonoa eli permutaatiota. Tulos voidaan perustella käyttämällä ns. lokeromallia: Koska joukossa S on 7 erilaista alkiota, muodostetaan lokerikko, jossa on 7 lokeroa. Ideana on täyttää lokerikko joukon S alkioilla vaiheittain. Kirjainten a, e, i, k, l, m, p muodostamien jonojen lukumäärä on sama kuin erilaisten järjestysten lukumäärä, joissa kirjaimet a, e, i, k, l, m, p voidaan asettaa ko. 7:ään lokeroon. Alla olevan taulukon varjostetut solut kuvaavat ko. lokerikkoa. Jokaiseen lokeroon on merkitty luvulla n kuinka monella tavalla lokeron täyttö voidaan tehdä. Lokeron nro n lokero: Lokero voidaan täyttää 7:llä eri tavalla kirjaimilla a, e, i, k, l, m, p 2. lokero: Lokero voidaan täyttää 6:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 1 kirjaimista on käytetty. 3. lokero: Lokero voidaan täyttää 5:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 2 kirjaimista on käytetty. 4. lokero: Lokero voidaan täyttää 4:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 3 kirjaimista on käytetty. 5. lokero: Lokero voidaan täyttää 3:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 4 kirjaimista on käytetty. 6. lokero: Lokero voidaan täyttää 2:lla eri tavalla jäljelle jääneellä kirjaimella, koska 5 kirjaimista on käytetty 7. lokero: Lokero voidaan täyttää 1:llä eri tavalla jäljelle jääneellä kirjaimella, koska 6 kirjaimista on käytetty. Koska jokainen täyttöoperaatio voidaan tehdä riippumatta aikaisemmin suoritetuista täyttöoperaatioista, niin kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan koko lokerikko voidaan täyttää = 7! = 5040 erilaisella tavalla. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 32/41

33 Joukon S = {a, e, i, k, l, m, p} alkioista voidaan muodostaa 7! 7! P(7,3) (7 3)! 4! 4321 erilaista 3:n alkion osajonoa eli variaatiota. Tulos voidaan perustella käyttämällä ns. lokeromallia: Muodostetaan lokerikko, jossa on 3 lokeroa. Ideana on täyttää lokerikko joukon S alkioilla vaiheittain. Kirjainten a, e, i, k, l, m, p muodostamien 3:n alkion osajonojen lukumäärä on sama kuin erilaisten järjestysten lukumäärä, joissa 3 kirjaimista a, e, i, k, l, m, p voidaan asettaa lokeroihin. Alla olevan taulukon varjostetut solut kuvaavat ko. lokerikkoa. Jokaiseen lokeroon on merkitty luvulla n kuinka monella tavalla lokeron täyttö voidaan tehdä. Lokeron nro n lokero: Lokero voidaan täyttää 7:llä eri tavalla kirjaimilla a, e, i, k, l, m, p 2. lokero: Lokero voidaan täyttää 6:lla eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 1 kirjaimista on käytetty. 3. lokero: Lokero voidaan täyttää 5:llä eri tavalla jäljelle jääneillä kirjaimilla, koska 2 kirjaimista on käytetty. Koska jokainen täyttöoperaatio voidaan tehdä riippumatta aikaisemmin suoritetuista täyttöoperaatioista, niin kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan koko lokerikko voidaan täyttää ! 7! ! (7 3)! erilaisella tavalla. Tulos seuraa myös -kohdassa esitetystä tarkastelusta pysäyttämällä lokeroiden täyttö sen jälkeen, kun 3. lokero on saatu täytetyksi. Joukon S = {a, e, i, k, l, m, p} alkioista voidaan muodostaa 7 7! 7! C(7,3) !(7 3)! 3!4! erilaista 3:n alkion osajoukkoa eli kombinaatiota. Tulos voidaan perustella seuraavalla tavalla: Olkoon joukon S alkioiden 3:n alkion osajoukkojen lukumäärä x, jossa x on vielä toistaiseksi tuntematon luku. -kohdan mukaan joukon S alkioiden 3:n alkion osajonojen lukumäärää on 7! P(7,3) (7 3)! Joukon S alkioiden 3:n alkion osajonot voidaan muodostaa kahdessa vaiheessa: Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 33/41

34 (i) (ii) Valitaan joukon S alkioiden joukosta 3:n alkion osajoukko. Tämä voidaan tehdä x eri tavalla, jossa x on vielä toistaiseksi tuntematon luku. Järjestetään kohdassa (i) valitut 3 alkiota jonoksi. Tämä voidaan tehdä -kohdan mukaan 3! eri tavalla. Koska operaatiot (i) ja (ii) voidaan suorittaa toisistaan riippumatta, niin joukon S alkioiden 3:n alkion osajonot voidaan muodostaa kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen mukaan x 3! eri tavalla. Olemme määränneet joukon S alkioiden 3:n alkion osajonojen lukumäärän kahdella eri tavalla ja saamme siten x:n ratkaisemiseksi yhtälön Siten 7! P(7,3) x3! (7 3)! P(7,3) 7! 7 x C(7,3) 3! 3!(7 3)! 3 Esimerkki 2.2. Olkoot tietokoneen salasanat muotoa XXXXX, jossa X on jokin vokaaleista a, e, i, o, u (5 kpl). Laske erilaisten sanojen lukumäärä, kun sanojen muodostamista rajoittavat seuraavat ehdot: (d) Kaikkien kirjainten on oltava salasanassa erilaisia. Salasanassa on oltava yksi pari eli täsmälleen kaksi samaa vokaalia (esim. eaioe). Salasanassa on oltava kolmoset eli täsmälleen kolme samaa vokaalia (esim. aaoea). Salasanassa on oltava täyskäsi eli kolmoset ja pari (esim. ioioo). Esimerkki 2.2. Mitä opimme? Esimerkissä 2.2. tarkastellaan esimerkkejä kombinatoriikan perusongelmista sekä niiden ratkaisemista kombinatoriikan perusperiaatteiden avulla. Ks. myös esimerkkiä 2.1. Esimerkki 2.2. Ratkaisu: Kaikki muodostettavat salasanat ovat muotoa XXXXX, jossa X = a, e, i, o, u (5 kpl) Kohdat (d) eroavat toisistaan siten, että salasanojen muodostamista rajoittavat niissä erilaiset ehdot. Sovellamme tunnusten muodostamisessa ns. lokeromallia: Salasanaa asetetaan vastaamaan lokerikko, jossa on 5 lokeroa. Kaikkien kirjainten on oltava salasanassa erilaisia. Milla Kibble ja Ilkka Mellin (2013) 34/41

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme

A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

A = B. jos ja vain jos. x A x B

A = B. jos ja vain jos. x A x B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot

Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt 1. Johdanto 2. Joukko-opin peruskäsitteet 3. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet 4. Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot

Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyys ja sen määritteleminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyys ja sen määritteleminen Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Johdanto: Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c)

Lisätiedot

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut 2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta >> Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa:

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Verkot ja todennäköisyyslaskenta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Verkot ja todennäköisyyslaskenta Puudiagrammit todennäköisyyslaskennassa: Johdatteleva esimerkki Todennäköisyyslaskenta

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

1. Matkalla todennäköisyyteen

1. Matkalla todennäköisyyteen 1. Matkalla todennäköisyyteen Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus 1921) Miten ihmeessä tämä liittyy tähän kurssiin????!?? 1.1

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449

Todennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet Todennäköisyyslaskenta: Liitteet Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK @ Ilkka Mellin (2006) 449 Liitteet TKK @ Ilkka Mellin (2006) 450 Liitteet Sisällys 1.

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat

Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat Kurssin puoliväli ja osan 2 teemat Kurssin osa 1 keskittyi mittaukseen, tiedonkeruuseen ja kuvailevaan tilastotieteeseen. Osassa 2 painottuu tilastollinen päättely, joka puolestaan rakentuu voimakkaasti

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot T (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan T (c) Ilkka Mellin (2004) 2 : Mitä oimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa,

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I. Ville Hyvönen

Todennäköisyyslaskenta I. Ville Hyvönen Todennäköisyyslaskenta I Ville Hyvönen Kesä 2016 Sisältö 1 Todennäköisyys 3 1.1 Klassinen todennäköisyys............................ 3 1.2 Kombinatoriikkaa................................ 6 1.2.1 Tuloperiaate...............................

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Syksy 2017 Kerkko Luosto 3. lokakuuta 2017 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta 2017 1 / 33 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä Hämärätorilla

Lisätiedot

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Tämä kurssi käsittelee sekä todennäköisyyslaskentaa että tilastotiedettä. Uhkapelurien ongelmat inspiroivat todennäköisyyslaskennan uranuurtajien ajattelua,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Syksy 2017 Kerkko Luosto 14. syyskuuta 2017 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 14. syyskuuta 2017 1 / 26 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I

Todennäköisyyslaskenta I Todennäköisyyslaskenta I Ville Hyvönen, Topias Tolonen 1 Kesä 2017 1 Luentomateriaali alun perin Villen käsialaa kesältä 2016, materiaalia muokataan kesän 2017 luentojen mukana ajan tapaa ja luennoitsijan

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 11 4 h) ti 12-14 ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht. 11 2 h)

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Otanta ilman takaisinpanoa

Otanta ilman takaisinpanoa Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot