TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010"

Transkriptio

1 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

2 Tasaväliset PO pisteet? Painokerroinmenetelmä: muutetaan painoja systemaattisesti Kuvan tilanteessa POratkaisut painottuvat PO joukon toiseen päähän Miten saada tasavälinen jako? f 2, min f 1, min

3 Biokemiallisen reaktorin optimointi Putkimainen, vaipallinen reaktori (jacketed tubular reactor) Eksoterminen 1. asteen (palautumaton) reaktio Optimisäätötehtävä tehtävänä on löytää optimaalinen profiili vaipan nesteen lämpötilalle ja sitä vastaava optimaalinen säätö ei optimoida muuttujien, vaan säätöprofiilin (= funktio) suhteen jatkuva profiili täytyy diskretisoida suuri optimointitehtävä

4 Biokemiallisen reaktorin optimointi Logist et al., Chemical Engineering Science, 64, 2009 Tavoitteet minimoi lähtöaineen määrä reaktorin ulostulossa (= maksimoi reaktion konversio) maksimoi lämmön talteenotto (vaikuttaa energiankulutukseen) minimoi reaktorin pituus ( m) Mitä enemmän lämpöä käytetään, sitä parempi konversio; mitä lyhyempi reaktori, sitä huonompi konversio

5 Biokemiallisen reaktorin optimointi Tuotetaan approksimaatio PO joukosta 3 tavoitetta; voidaan visualisoida ja saadaan käsitys koko rintamasta Monitavoiteoptimointimenetelmä: Normal Boundary Intersection ideana tuottaa tasaisesti jakautunut Paretooptimaalinen pisteistö

6 Biokemiallisen reaktorin optimointi

7 Normal Boundary Intersection (NBI) Etsitään PO-joukon ääripisteet Muodostetaan niiden virittämä taso ja siihen tasavälinen pisteistö Etsitään tasoa vastaan kohtisuorassa f 2, min f 1, min

8 Normal Boundary Intersection (NBI) Ideana tuottaa tasaisesti jakautunut pisteistö PO joukosta Pisteet tuotetaan ratkaisemalla yksitavoitteisia optimointi tehtäviä Das & Dennis, SIAM Journal of Optimization, 8, 1998

9 Normal Boundary Intersection (NBI) Ominaisuuksia tasaisesti jakautunut pisteistö PO-joukkoon laskenta-aika lisääntyy merkittävästi useammille tavoitteille voi tuottaa ei-paretooptimaalisia pisteitä epäkonvekseille tehtäville f 2, min f 1, min

10 Tasaväliset PO pisteet? Painokerroinmenetelmä Normal Boundary Intersection f 2, min f 2, min f 1, min NBI antaa tasaisemmin jakaantuneen pisteistön f 1, min

11 Paremmuussuhteiden ennaltamääräämiseen perustuvat menetelmät Idea: kysytään ensin DM:ltä preferenssejä, optimoidaan sen jälkeen Pyritään tuottamaan vain sellaisia PO ratkaisuja, jotka kiinnostavat DM:ää Hyvät puolet Lasketut PO ratkaisut perustuvat DM:n preferensseihin (ei turhia ratkaisuja) Huonot puolet DM:n hankala antaa preferenssejä ennen kuin on nähnyt yhtään ratkaisua

12 Jalostamon tuoton herkkyyden optimointi Bensiinin tuotto eri öljyjen sekoituksesta Tavoitteena tuottaa 3 laatua: premium, korkea- ja matalaoktaaninen Kapasiteetti barrelia /päivä

13 Jalostamon tuoton herkkyyden Tavoitteet optimointi maksimoi jalostamon tuotto minimoi tuoton herkkyys (jalostamon toimintaolosuhteiden suhteen) Tuotto lineaarinen Herkkyys: minimoidaan tuoton osittaisderivaatat epälineaarinen optimointitehtävä Seinfeld & McBride, Ind. Eng. Chem. Process Des. Develop., Vol. 9, No. 1, 1970

14 Jalostamon tuoton herkkyyden optimointi 2 menetelmää painokertoimet järjestetään tavoitteet tärkeyden mukaan: 1. tuotto, 2. herkkyys Strategia ottamalla herkkyys huomioon saadaan pienempi tuotto, jos muutoksia olosuhteissa ei tapahdu toisaalta jos olosuhteet muuttuvat, niin tuotto ei putoa niin paljoa, kuin ilman herkkyyksien huomioimista

15 Leksikografinen optimointi Järjestetään objektifunktiot tärkeysjärjestykseen Optimoidaan ensin tärkeimmän suhteen ja jatketaan optimointia saatujen optimiratkaisujen joukossa seuraavaksi tärkeimmän suhteen jne. Vaatii DM:ltä tärkeysjärjestyksen ennen optimointia Saatu ratkaisu on Pareto-optimaalinen

16 Leksikografinen optimointi 2 tavoitetta: 1. tärkeämpi Optimoidaan 1. suhteen, saadaan z 1 ja z 2 Optimoidaan 2. suhteen: valitaan parempi z 1 Käytännössä jokin toleranssi optimaalisille arvoille

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 PO pisteiden määräämismenetelmät Idea: tuotetaan erilaisia PO ratkaisuita, joista

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla

Lisätiedot

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Yleistä https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=96762 Sisältö Johdanto yksitavoitteiseen

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen

Lisätiedot

Monitavoiteoptimointi

Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

TIES483 Epälineaarinen optimointi. Monitavoiteoptimointi Syksy 2012

TIES483 Epälineaarinen optimointi. Monitavoiteoptimointi Syksy 2012 TIES483 Epälineaarinen optimointi Monitavoiteoptimointi jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2012 Sisältö Johdanto monitavoiteoptimointiin Monitavoiteoptimoinnin käsitteitä Menetelmätyypit Käytännön sovellusesimerkkejä

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Evoluutiopohjainen monitavoiteoptimointi MCDM ja EMO Monitavoiteoptimointi kuuluu

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

Yhden muuttujan funktion minimointi

Yhden muuttujan funktion minimointi Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai

Lisätiedot

TIES483 Epälineaarinen optimointi

TIES483 Epälineaarinen optimointi TIES483 Epälineaarinen optimointi Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2012 Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen Käytännössä tulee kiinnittää huomiota ainakin seuraaviin

Lisätiedot

Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely)

Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Stokastinen optimointi taktisessa toimitusketjujen riskienhallinnassa (valmiin työn esittely) Esitelmöijä Olli Rentola päivämäärä 21.1.2013 Ohjaaja: TkL Anssi Käki Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin

Lisätiedot

Mat Optimointiopin seminaari kevät Monitavoiteoptimointi. Tavoitteet

Mat Optimointiopin seminaari kevät Monitavoiteoptimointi. Tavoitteet Mat-2.142 Optimointiopin seminaari kevät 2000 Monitavoiteoptimointi Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 1 Tavoitteet Monitavoitteisten optimointitehtävien ratkaisukäsitteet ja soveltamismahdollisuudet

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen

Lisätiedot

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

Mat Optimointiopin seminaari

Mat Optimointiopin seminaari Lähde: Preferenssi-informaatio DEA-malleissa: Value Efficiency Analysis (VEA) -menetelmä Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari 23.3.2011 Halme, M., Joro, T., Korhonen, P., Wallenius, J., 1999. A Value Efficiency

Lisätiedot

FCP=Massavirta*Ominais- lämpökapasitetti. Lämpöteho= FCP*(Tin-Tout) Lisäksi tarvitaan kunkin virran lämmönsiirtokerroin h 40 C 40 C 100 C FCP=1 FCP=1

FCP=Massavirta*Ominais- lämpökapasitetti. Lämpöteho= FCP*(Tin-Tout) Lisäksi tarvitaan kunkin virran lämmönsiirtokerroin h 40 C 40 C 100 C FCP=1 FCP=1 Lämmönsiirtoverkkojen monitavoiteoptimointi virtojen ryhmittelyyn perustuvalla kaksitaso- optimointimenetelmällä TkL Timo Laukkanen TKK Energiatekniikan laitos LÄMMÖNSIIRTOVERKOT Lämmönsiirtoverkkojen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

TRV Nordic. Termostaattianturit Joka sisältää tuntoelimen Pohjoismainen muotoilu

TRV Nordic. Termostaattianturit Joka sisältää tuntoelimen Pohjoismainen muotoilu TRV Nordic Termostaattianturit Joka sisältää tuntoelimen Pohjoismainen muotoilu IMI TA / Termostaatit ja patteriventtiilit / TRV Nordic TRV Nordic Nämä omavoimaiset patteriventtiileiden termostaattianturit

Lisätiedot

Optimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi

Optimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi Optimointi Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa Ongelman mallintaminen Mallin ratkaiseminen Ratkaisun analysointi 1 Peruskäsitteitä Muuttujat: Sallittu alue: x = (x 1, x 2,...,

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Luvut 20 ja 21 Marita Laukkanen November 3, 2016 Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 1 / 17 Kustannusten minimointiongelma

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen

Lisätiedot

Valikoima, laatu ja mainonta

Valikoima, laatu ja mainonta Valikoima, laatu ja mainonta Sami Niemelä 5.2.2003 Sisältö Tuoteavaruus Käsite ja erottelutapoja Valikoiman muodostaminen Laatu ja laajuus Laatu Tyypit ja ongelmia Mainonta Käytetyt symbolit määrä s laatu

Lisätiedot

Aircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization

Aircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization Aircraft Maintenance Scheduling with Multi- Objective Simulation- Optimization 7.5.2011 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Raimo Hämäläinen Tausta Ilmavoimilla tärkeä rooli maanpuolustuksessa Rauhan aikana

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

Toimitusjohtajan katsaus. Matti Lievonen. 3.4.2014 Yhtiökokous 1

Toimitusjohtajan katsaus. Matti Lievonen. 3.4.2014 Yhtiökokous 1 Toimitusjohtajan katsaus Matti Lievonen 1 Neste Oilin johtoryhmä Toimitusjohtaja: Matti Lievonen Yhteiset toiminnot Liiketoiminta-alueet Tuotanto ja logistiikka Ilkka Poranen Henkilöstö Hannele Jakosuo-Jansson

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS)

Pienimmän Neliösumman menetelmä (PNS) neliösumman Perusongelman kuvaus 1 Tarkastellaan neljää pitkää aikasarjaa q 1 = (q 11,q 21,...,q 10,1 ) T, q 2 = (q 12,q 22,...,q 10,2 ) T, q 3 = (q 13,q 23,...,q 10,3 ) T, ja p 1 = (p 11,p 21,...,p 10,1

Lisätiedot

TRV Nordic sl. Termostaattit ENGINEERING ADVANTAGE

TRV Nordic sl. Termostaattit ENGINEERING ADVANTAGE Termostaattianturit - M 30 x 1,5 liitännällä TRV Nordic sl Termostaattit Paineistus & Veden laatu Virtausten säätö Huonelämpötilan säätö ENGINEERING ADVANTAGE Nämä omavoimaiset patteriventtiileiden termostaattianturit

Lisätiedot

2. Prosessikaavioiden yksityiskohtainen tarkastelu

2. Prosessikaavioiden yksityiskohtainen tarkastelu 2. Prosessikaavioiden yksityiskohtainen tarkastelu 2.1 Reaktorit Teolliset reaktorit voidaan toimintansa perusteella jakaa seuraavasti: panosreaktorit (batch) panosreaktorit (batch) 1 virtausreaktorit

Lisätiedot

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 (1) Yritys Valmistaa kuukaudessa q tuotetta. Kysyntäfunktio on p = 15 0, 05q ja kustannusfunktio on C(q) = 350 + 2q + 0, 05q 2. a) Yritys valmistaa nyt tuotteita kuukaudessa

Lisätiedot

Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39

Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5 (Exercise 3.1.) 1 3.1. Find the (a) standard form, (b) slack form of the

Lisätiedot

Experiment on psychophysiological responses in an economic game (valmiin työn esittely) Juulia Happonen

Experiment on psychophysiological responses in an economic game (valmiin työn esittely) Juulia Happonen Experiment on psychophysiological responses in an economic game (valmiin työn esittely) Juulia Happonen 13.01.2014 Ohjaaja: DI Ilkka Leppänen Valvoja: Prof. Raimo P. Hämäläinen Työn saa tallentaa ja julkistaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

REAKTIONOPEUS IHMISKEHOSSA TUTKIMUKSELLINEN TYÖ YLÄKOULULAISILLE

REAKTIONOPEUS IHMISKEHOSSA TUTKIMUKSELLINEN TYÖ YLÄKOULULAISILLE REAKTIONOPEUS IHMISKEHOSSA TUTKIMUKSELLINEN TYÖ YLÄKOULULAISILLE Essi Purhonen 1, Krista Iltanen 1 & Sini Hänninen 1 1 Kemian opettajankoulutusyksikkö, Helsingin yliopisto Oppilaan ohje 1.1 LÄMPÖTILAN

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 28.11. ja tiistai 29.11. Kotitentti Julkaistaan to 8.12., palautus viim. to 22.12.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.

Lisätiedot

Istukkaventtiilit (PN 16) VS 2 2-tieventtiili, ulkokierre

Istukkaventtiilit (PN 16) VS 2 2-tieventtiili, ulkokierre Tekninen esite Istukkaventtiilit (PN 16) VS 2 2-tieventtiili, ulkokierre Kuvaus Ominaisuudet: Jaettu ominaiskäyrä kehitetty vaativimpiin sovelluksiin (DN 20 ja DN 25) Useita k VS -arvoja Painantaliitännän

Lisätiedot

MARKO KESTI. Strateginen henkilöstötuottavuuden johtaminen

MARKO KESTI. Strateginen henkilöstötuottavuuden johtaminen MARKO KESTI Strateginen henkilöstötuottavuuden johtaminen TALENTUM Helsinki 2010 Copyright 2010 Talentum Media Oy ja tekijä Kansi: Ea Söderberg Taitto: NotePad ISBN: 978-952-14-1508-1 Kariston Kirjapaino

Lisätiedot

Algoritmien suunnittelu ja analyysi (kevät 2004) 1. välikoe, ratkaisuja

Algoritmien suunnittelu ja analyysi (kevät 2004) 1. välikoe, ratkaisuja 58053-7 Algoritmien suunnittelu ja analyysi (kevät 2004) 1. välikoe, ratkaisuja Malliratkaisut ja pisteytysohje: Jyrki Kivinen Tentin arvostelu: Jouni Siren (tehtävät 1 ja 2) ja Jyrki Kivinen (tehtävät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku

Lisätiedot

Miksi kompromissi on parempi kuin optimi? Uusia monitavoiteoptimoinnin menetelmiä päätöksentekoon

Miksi kompromissi on parempi kuin optimi? Uusia monitavoiteoptimoinnin menetelmiä päätöksentekoon Miksi kompromissi on parempi kuin optimi? Uusia monitavoiteoptimoinnin menetelmiä päätöksentekoon Kaisa Miettinen Johdantoa optimointiin Optimointi tarkoittaa systemaattisia tapoja taata parhaan mahdollisen

Lisätiedot

Osakkeiden tuottojakaumia koskevien markkinaja asiantuntijanäkemysten yhdistely copulafunktioilla

Osakkeiden tuottojakaumia koskevien markkinaja asiantuntijanäkemysten yhdistely copulafunktioilla Osakkeiden tuottojakaumia koskevien markkinaja asiantuntijanäkemysten yhdistely copulafunktioilla (valmiin työn esittely) Henri Tuovila 13.01.2014 Ohjaaja: VTM Ville Hemmilä Valvoja: Prof. Ahti Salo Sisältö

Lisätiedot

Kaksiluokkainen tapaus, lineaarinen päätöspinta, lineaarisesti erottuvat luokat

Kaksiluokkainen tapaus, lineaarinen päätöspinta, lineaarisesti erottuvat luokat 1 Tukivektoriluokittelija Tukivektorikoneeseen (support vector machine) perustuva luoikittelija on tilastollisen koneoppimisen teoriaan perustuva lineaarinen luokittelija. Perusajatus on sovittaa kahden

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Rauma Marine Constructions Oy vastaa älykkään liikenteen haasteisiin. Jukka Vasama 17.11.2015

Rauma Marine Constructions Oy vastaa älykkään liikenteen haasteisiin. Jukka Vasama 17.11.2015 Rauma Marine Constructions Oy vastaa älykkään liikenteen haasteisiin Jukka Vasama 17.11.2015 Suomalaisen laivanrakennuksen vahvuudet 2 Suomalaisen laivanrakennuteollisuuden kilpailukykyyn vaikuttaneet

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Jonojen matematiikkaa

Jonojen matematiikkaa Lectio praecursoria Jonojen matematiikkaa Samuli Aalto luento.ppt 1 Sisältö Johdanto Joukkopalveltu jono (batch service queue) Nestevarastomalli (fluid flow storage model) 2 Reaalimaailman ilmiö... ÿþýüûr.u.p.t.

Lisätiedot

LOUHINNAN LAATU AVOLOUHINNASSA

LOUHINNAN LAATU AVOLOUHINNASSA Vuoriteknikot Ry:n jatkokoulutuspäivät Espoossa 26. 27.5.2016 LOUHINNAN LAATU AVOLOUHINNASSA PORAUKSEN OPTIMOINTI AVOKAIVOKSILLA JA MURSKETUOTANNOSSA Jouko Salonen, Louhintaosaaminen, Sandvik Mining &Construction

Lisätiedot

TRV 300. Termostaattianturit Joka sisältää tuntoelimen tai jossa erillinen tuntoelin

TRV 300. Termostaattianturit Joka sisältää tuntoelimen tai jossa erillinen tuntoelin TRV 300 Termostaattianturit Joka sisältää tuntoelimen tai jossa erillinen tuntoelin IMI TA / Termostaatit ja patteriventtiilit / TRV 300 TRV 300 Nämä omavoimaiset patteriventtiileiden termostaattianturit

Lisätiedot

TERADOWEL- ja ULTRADOWELkuormansiirtojärjestelmä

TERADOWEL- ja ULTRADOWELkuormansiirtojärjestelmä TERADOWEL- ja ULTRADOWELkuormansiirtojärjestelmä Vaarnalevyt lattioiden liikuntasaumoihin Versio: FI 6/2014 Tekninen käyttöohje TERADOWEL- ja ULTRADOWELkuormansiirtojärjestelmät Vaarnalevyt lattioiden

Lisätiedot

ABSORBOIVIEN PINTOJEN OPTIMAALINEN SIJOITTELU 1 JOHDANTO 2 TAUSTAA. Kai Saksela 1, Jonathan Botts 1, Lauri Savioja 1

ABSORBOIVIEN PINTOJEN OPTIMAALINEN SIJOITTELU 1 JOHDANTO 2 TAUSTAA. Kai Saksela 1, Jonathan Botts 1, Lauri Savioja 1 Kai Saksela 1, Jonathan Botts 1, Lauri Savioja 1 1 Aalto-yliopiston tietotekniikan laitos PL 15500, 00076 AALTO etunimi.sukunimi@aalto.fi Tiivistelmä Tässä paperissa esitetään menetelmä, jonka avulla absorboivien

Lisätiedot

Voitonmaksimointi, L5

Voitonmaksimointi, L5 , L5 Seuraavassa tullaan systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä q = tuotannon määrä (quantity) (kpl/kk) p = tuotteen hinta (price) (e/kpl) R(q) = tuotto (revenue) R(q) = pq MR(q) = rajatuotto

Lisätiedot

Kuvioton metsäsuunnittelu Paikkatietomarkkinat, Helsinki Tero Heinonen

Kuvioton metsäsuunnittelu Paikkatietomarkkinat, Helsinki Tero Heinonen Paikkatietomarkkinat, Helsinki 3.11.2009 Tero Heinonen Sisältö Kuvioton metsäsuunnittelu Optimointi leimikon suunnittelumenetelmänä Verrataan optimointi lähestymistapaa diffuusiomenetelmään Muuttuvat käsittely-yksiköt

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Kuivikepohja. Lehmän onni vai hoitajan ongelma

Kuivikepohja. Lehmän onni vai hoitajan ongelma Kuivikepohja Lehmän onni vai hoitajan ongelma Aina tilakohtainen vaihtoehto Kuunnellaan asiakasta Tarpeiden tunnistaminen Ulkopuolinen puolueeton näkökulma Nykytilanne ja visio tulevaisuudesta Erilaisten

Lisätiedot

Metsikkötason optimointi metsäsuunnittelussa, esimerkkinä SMA

Metsikkötason optimointi metsäsuunnittelussa, esimerkkinä SMA Metsikkötason optimointi metsäsuunnittelussa, esimerkkinä SMA SIMO-seminaari 2.11.2007 Lauri Valsta Metsäekonomian laitos Sisältö Metsikkötason suunnittelun käyttökohteet Katsaus menetelmiin SMA:n rakenne

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Kansainvälisen tutkimuksen anti Suomen kaukolämpöalan kehittämiselle

Kansainvälisen tutkimuksen anti Suomen kaukolämpöalan kehittämiselle Kansainvälisen tutkimuksen anti Suomen kaukolämpöalan kehittämiselle Leena Sivill, TkT, Head of Business Consulting Kaukolämpöpäivät, Mikkeli 25.8.2016 1 Sisältö 1. Tärkeimmät tutkimusohjelmat 2. Tutkimusten

Lisätiedot

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI 2008-2009 Muutokset on hyväksytty teknillisen tiedekunnan tiedekuntaneuvostossa 13.2.2008 ja 19.3.2008. POISTUVAT OPINTOJAKSOT:

Lisätiedot

Copyright Lasse Karjalainen

Copyright Lasse Karjalainen Ideoista liiketoiminnaksi miten kaupallistan ideani Lasse Karjalainen, Highline Oy (lasse.karjalainen@highline.fi, 0400 716 420) (Sympa Oy, Pulsan Asema Oy, Simulo Oy, Efecon Oy) Kaikki lähtee ideasta

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Ilkka Männistö Esitelmä 10 - Ilkka Männistö Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Kilpailun aste Markkinahinta ei kerro mitään kilpailun asteesta jos kustannusrakennetta

Lisätiedot

JaloJäte Arvoketju, liiketoimintamahdollisuudet ja taloudellinen kestävyys. Professori Markku Virtanen Yrittäjyys Pienyrityskeskus

JaloJäte Arvoketju, liiketoimintamahdollisuudet ja taloudellinen kestävyys. Professori Markku Virtanen Yrittäjyys Pienyrityskeskus JaloJäte 2.12.2010 Arvoketju, liiketoimintamahdollisuudet ja taloudellinen kestävyys Professori Markku Virtanen Yrittäjyys Pienyrityskeskus Toimijat Biomassojen synty ja tuottajat Uusio käyttäjät Palveluntarjoajat

Lisätiedot

Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio

Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio Skedulointi, kuormituksen tasaus, robotin navigaatio Esitelmä algoritmiikan tutkimusseminaarissa 17.2.2003 Kimmo Palin Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto Skedulointi, kuormituksen tasaus,

Lisätiedot

Hiab Multilift Matalat XR -koukkulaitteet

Hiab Multilift Matalat XR -koukkulaitteet Hiab Multilift Matalat XR -koukkulaitteet Tuote-esite Korkea laatu, matala asennuskorkeus ja omapaino Käyttöturvallisuus ja helppokäyttöisyys ovat matalien Hiab Multilift XR-koukkulaitteiden tärkeimmät

Lisätiedot

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea

Lisätiedot