Optimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi

Transkriptio

1 Optimointi Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa Ongelman mallintaminen Mallin ratkaiseminen Ratkaisun analysointi 1

2 Peruskäsitteitä Muuttujat: Sallittu alue: x = (x 1, x 2,..., x n ) T R n S R n Sallittu piste: x S Objektifunktio: f : R n R (myös kohde- tai kustannusfunktio) 2

3 Minimointitehtävä: Etsi sellainen x S, jolla on voimassa f( x) f(x) x S Maksimointitehtävä: Etsi sellainen x S, jolla on voimassa f( x) f(x) x S Optimointitehtävä: Joko minimointitehtävä tai maksimointitehtävä Huomaa, että max f(x) = min ( f(x)) 3

4 Yleensä sallittu alue S määritellään rajoitteiden avulla: Rajoitefunktiot: g i : R n R, i = 1,..., m h j : R n R, j = 1,..., l Epäyhtälörajoitteet: g i (x) 0 i = 1,..., m Yhtälörajoitteet: h j (x) = 0 i = j,..., l Piste x on sallittu, jos se toteuttaa kaikki rajoitteet Jos g i (x ) = 0, niin rajoite g i on aktiivinen pisteessä x 4

5 Yleinen minimointitehtävä: min f(x) kun g i (x) 0 i = 1,..., m (Y) h j (x) = 0 j = 1,..., l Lineaarinen tehtävä: Objektifunktio ja rajoitefunktiot lineaarisia Epälineaarinen tehtävä: Ainakin yksi funktioista epälineaarinen 5

6 Globaali optimi: Piste x on tehtävän (Y) globaali optimi (minimi), jos f(x ) f(x) x S. Lokaali optimi: Piste x on tehtävän (Y) lokaali optimi (minimi), jos on olemassa δ > 0 siten, että f(x ) f(x) x S, joilla x x δ. 6

7 f(x) globaali minimi lokaali minimi lokaali minimi lokaali maksimi lokaali maksimi globaali maksimi lokaali minimi x 7

8 Jos objektifunktio on jatkuva ja sallittu alue kompakti, niin optimointitehtävällä on ainakin yksi ratkaisu (R n :ssä kompakti = suljettu ja rajoitettu) Jos objektifunktio on jatkuvasti differentioituva ja sallittu alue on koko R n, niin ratkaisut löytyvät objektifunktion gradientin nollakohtien joukosta (Jos S R n, niin ratkaisu voi olla myös S:n reunalla) 8

9 Erilaisia optimointitehtäviä Lineaarinen optimointi: Kaikki funktiot lineaarisia min c T x kun Ax b x 0 c = c 1 c 2. x = x 1 x 2. b = b 1 b 2. A = a 11 a a 1n a 21. a a 2n. c n x n b m a m1 a m2... a mn 9

10 Epälineaarinen optimointi: Ainakin yksi funktio epälineaarinen Rajoitteeton: min f(x) kun x R n Laatikkorajoitteilla: min f(x) kun x l x x u 10

11 Lineaarisilla rajoitteilla: min f(x) kun Ax b Epälineaarisilla rajoitteilla: min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l 11

12 Kvadraattinen optimointi: Objektifunktio kvadraattinen (eli neliöllinen), rajoitteet lineaarisia min 1 2 xt Qx + c T x kun Ax b x 0 12

13 Geometrinen optimointi: Objektifunktio ja rajoitteet ovat n.s. posynomeja eli muotoa k n c i i=1 j=1 x p ij j 13

14 Kokonaislukuoptimointi: Muuttujat voivat saada vain kokonaislukuarvoja Kombinatorinen optimointi: Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Monitavoiteoptimointi: Useita objektifunktioita, joita optimoidaan samanaikaisesti 14

15 Epäsileä optimointi: Ainakin yksi funktio ei ole differentioituva Globaali optimointi: Etsitään lokaalin (eli paikallisen) optimin sijaan globaalia optimia Stokastinen optimointi: Jokin muuttuja, parametri tai funktio sisältää satunnaisuutta Dynaaminen optimointi: Yleisnimitys ratkaisuperiaatteelle. Soveltuu monivaiheisiin päätöksentekoprosesseihin, joissa sama rakenne toistuu eri vaiheissa. 15

16 Optimisäätö: Tehtävää kuvataan kahdenlaisilla muuttujilla; säätömuuttujilla u ja tilamuuttujilla x. Säätömuuttuja hallitsee systeemin kulkua vaiheesta toiseen ja tilamuuttuja kuvaa systeemin käyttäytymistä eri vaiheissa. Nyt muuttujat ovat funktioita, jotka diskretisoinnin jälkeen saadaan normaaliin muuttujamuotoon. min J(u(t)) kun G(u(t),x(t)) = 0 Esim. kuvaus G voi olla jokin differentiaalioperaattori. x(t) = F(x(t),u(t), t) 16

17 Esimerkki optimointitehtävästä Tehtävän kuvaus: Olkoon tehtävänä valmistaa 5 dl limsatölkki, johon kuluu mahdollisimman vähän materiaalia. Matemaattinen mallitus: Olkoon r tölkin säde ja h korkeus. Tällöin tilavuus on πr 2 h ja pinta-ala on 2πr 2 + 2πrh. 17

18 Valitaan muuttujiksi x 1 = r cm ja x 2 = h cm. Nyt optimointitehtävä saadaan muotoon min f(x 1, x 2 ) = 2πx πx 1x 2 kun πx 2 1 x 2 = 500, x 1, x

19 Kirjallisuutta Haataja: Optimointitehtävien ratkaiseminen, 2004 Gill, Murray & Wright: Practical Optimization, 1981 Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, 1984 Fletcher: Practical Methods of Optimization, 1987 (1980) Bazaraa, Sherali & Shetty: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, 1993 Bertsekas: Nonlinear Programming, 1995 Nocedal & Wright: Numerical Optimization,