Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen"

Transkriptio

1 Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista Ei ole olemassa ratkaisumenetelmää, joka toimisi aina hyvin ja tehokkasti kaikille kokonaislukuoptimointitehtäville (vrt. simplex lineaarisille jatkuville tehtäville) 1

2 Yleinen ratkaisuperiaate: Muodostetaan vastaava jatkuva optimointitehtävä: x j N = x j 0 ja x j = 0 tai 1 = 0 x j 1 Ratkaistaan jatkuva tehtävä ja jatketaan sen optimoimista Lisätään tehtävään erityisrajoituksia, jotka pakottavat iteratiivisesti kokonaislukurajoitteet voimaan Erityisrajoitusten päätyypit: leikkaustaso (cutting plane) haarautuminen (branch-and-bound) 2

3 Täysin unimodulaarinen kerroinmatriisi Matriisi A on täysin unimodulaarinen, jos sen jokaisen neliöalimatriisin determinantti on 0, +1 tai 1 = Täysin unimodulaarisen matriisin alkioina voi olla vain 0, +1 tai 1 3

4 Yhtälörajoitteet matriisimuodossa: Ax = b Olkoon A = [B, N], missä B sisältää perusmuuttujien joukkoa B vastaavat sarakkeet ja N muut sarakkeet Olkoon x = [x B,x N ] = Ax = b Bx B + Nx N = b x B = B 1 b B 1 Nx N 4

5 = Perusmuoto: x B = B 1 b B 1 Nx N Vastaava perusratkaisu: x B = B 1 b x N = 0 5

6 Cramerin sääntö: B 1 = B / B, missä B on B:n liittomatriisi ja B on B:n determinatti Jos A on täysin unimodulaarinen ja kaikki b:n alkiot ovat kokonaislukuja = Kaikki B :n alkiot ovat joko 0, +1 tai 1 ja B on joko +1 tai 1 = Kaikki B 1 :n alkiot ovat joko 0, +1 tai 1 = Kaikki x B :n alkiot ovat kokonaislukuja = Kokonaislukuoptimointitehtävällä ja vastaavalla jatkuvalla tehtävällä on sama optimiratkaisu 6

7 Esimerkki: Kolmen henkilön ja kolmen työn kohdistusongelma Jokainen henkilö suorittaa yhden työn, ja jokaisen työn suorittaa yksi henkilö Kun henkilö i suorittaa työn j, siitä aiheutuu kustannus c ij Tavoite: Kohdista henkilöt töihin siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat 7

8 x ij = 1, jos henkilö i suorittaa työn j 0, muuten min c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 23 x 23 + c 31 x 31 + c 32 x 32 + c 33 x 33 kun x 11 + x 12 + x 13 = 1 x 21 + x 22 + x 23 = 1 x 31 + x 32 + x 33 = 1 x 11 + x 21 + x 31 = 1 x 12 + x 22 + x 32 = 1 x 13 + x 23 + x 33 = 1 x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23, x 31, x 32, x 33 = 0 tai 1 8

9 = A = Induktio = Matriisi A on täysin unimodulaarinen 9

10 Ratkaisun pyöristäminen Esimerkki: Kapsäkkiongelma max 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 kun 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 6 x 1, x 2, x 3 = 0 tai 1 Vastaavan jatkuvan tehtävän ratkaisu: (x 1, x 2, x 3 ) = (1,1,1/4) Kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaisu: (x 1, x 2, x 3 ) = (1,1,0) = Tässä tapauksessa pyöristäminen toimii 10

11 Sijoitusongelma Olkoon m paikkaa, joihin voidaan perustaa tuotantolaitos, ja olkoon n asiakasta Asiakas j tarvitsee tuotetta määrän d j Paikkaan i perustettavasta tuotantolaitoksesta aiheutuu kiinteä kustannus f i Tuotantolaitoksen i kapasiteetti on M i Jos paikassa i valmistettu tuote kuljetetaan asiakkaalle j, siitä aiheutuu kustannus c ij Tavoite: Määrää ne paikat, joihin laitos perustetaan sekä tuotteen kuljetusmäärät asiakkaille siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat 11

12 x ij = laitoksesta i asiakkaalle j kuljetettava määrä x i = 1, jos paikkaan i perustetaan laitos 0, jos paikkaan i ei perusteta laitosta min kun m n i=1 j=1 m i=1 n j=1 c ij x ij + x ij = d j x ij M i x i m i=1 f i x i j = 1,..., n i = 1,..., m x ij 0 i = 1,..., m, j = 1,..., n x i = 0 tai 1 i = 1,..., m 12

13 Esimerkki: Sijoitusongelma max 93x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 55 kun x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 = 1 x 15 + x 25 + x 35 + x 45 + x 55 = 1 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 2x 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 3x 2 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 2x 3 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 + x 45 = 3x 4 x 51 + x 52 + x 53 + x 54 + x 55 = 2x 5 x ij N, x i = 0 tai 1 i = 1,...,5, j = 1,...,5 13

14 Vastaavan jatkuvan tehtävän ratkaisu: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (1/2,1/3,1/2,1/3,1/2) Kokonaislukuoptimointitehtävän sallitut ratkaisut: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (1,1,0,0,0) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (1,0,0,1,0) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (0,1,1,0,0) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (0,1,0,0,1) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (0,0,1,1,0) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (0,0,0,1,1) = Tässä tapauksessa pyöristäminen ei toimi 14

15 Leikkaustasomenetelmä Ratkaistaan vastaava jatkuva tehtävä Jos ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, lopetetaan Muuten lisätään tehtävään leikkaustasorajoite siten, että se pienentää sallittua aluetta, mutta säilyttää siinä kokonaislukupisteet Ratkaistaan saatu uusi tehtävä Näin jatketaan kunnes saadaan kokonaislukuratkaisu (tai kunnes ratkaisu osoittautuu rajoittamattomaksi) 15

16 Oletetaan, että jatkuva tehtävä on ratkaistu simplex-algoritmilla, jolloin ratkaisu on perusmuodossa x j + a jk x k = b j j B k/ B Pyöritys alaspäin: Olkoon y suurin kokonaisluku siten, että se on y Koska x j 0 kaikilla j = x j + k/ B a jk x k b j Koska x j kokonaisluku kaikilla j = x j + a jk x k b j k/ B 16

17 Vähennetään yhtälöt toisistaan: x j + = k/ B x j + k/ B a jk x k = b j a jk x k b j ( ajk a jk ) x k b j b j k/ B Merkitään f jk = a jk a jk ja f j = b j b j, jolloin 0 f jk < 1 ja 0 f j < 1 17

18 Saadaan leikkaustasorajoite k/ B f jk x k f j Tämä lisätään tehtävään muodossa missä s on puutemuuttuja k/ B f jk x k + s = f j Koska f j 0, perusratkaisu ei ole sallittu (paitsi jos f j = 0) = tarvitaan duaali-simplex-iteraatioita 18

19 Esimerkki: max x 2 kun 3x 1 + 2x 2 6 3x 1 + 2x 2 0 x 1, x 2 N Vastaava jatkuva tehtävä: max x 2 kun 3x 1 + 2x 2 6 3x 1 + 2x 2 0 x 1, x

20 Muunnetaan minimointitehtäväksi ja lisätään puutemuuttujat: min x 2 kun 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 3x 1 + 2x 2 + x 4 = 0 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Aloitusperusmuodon simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x

21 Simplex-iteraatiot: / / / / /4 1/4 3/ /6 1/ /4 1/4 3/2 21

22 Optimaalinen simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x /4 1/4 3/ /6 1/ /4 1/4 3/2 Ratkaisu: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (1,3/2,0,0) Objektifunktion arvo: 3/2 22

23 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten lisätään leikkaustasorajoite: Objektifunktioriviltä saadaan z x x 4 = 3 2 = 1 4 x x Lisätään tämä simplex-taulukkoon muodossa 1 4 x x 4 + s 1 =

24 = x 1 x 2 x 3 x 4 s /4 1/4 0 3/ /6 1/ /4 1/4 0 3/ /4 1/4 1 1/2 Taulukon perusratkaisu muunnetaan sallituksi duaali-simplex-algoritmilla 24

25 Yksi duaali-simplex-iteraatio: 0 0 1/4 1/4 0 3/ /6 1/ /4 1/4 0 3/ /4 1/4 1 1/ /3 2/3 2/

26 Optimaalinen simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x 4 s /3 2/3 2/ Ratkaisu: (x 1, x 2, x 3, x 4, s 1 ) = (2/3,1,2,0,0) Objektifunktion arvo: 1 26

27 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten lisätään leikkaustasorajoite: Ensimmäiseltä rajoiteriviltä saadaan x x s 1 = 2 3 = 2 3 x s Lisätään tämä simplex-taulukkoon muodossa 2 3 x s 1 + s 2 =

28 = x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s /3 2/3 0 2/ /3 2/3 1 2/3 Taulukon perusratkaisu muunnetaan sallituksi duaali-simplex-algoritmilla 28

29 Yksi duaali-simplex-iteraatio: /3 2/3 0 2/ /3 2/3 1 2/ / / /2 1 29

30 Optimaalinen simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s / / /2 1 Ratkaisu: (x 1, x 2, x 3, x 4, s 1, s 2 ) = (1,1,1,1,0,0) Objektifunktion arvo: 1 30

31 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu = Alkuperäisen maksimointitehtävän ratkaisu on (x 1, x 2 ) = (1,1), jossa objektifunktion arvo on 1 31

32 Haarautumismenetelmä Ratkaistaan vastaava jatkuva tehtävä Jos ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, lopetetaan Muuten jaetaan sallittu alue uusilla rajoitteilla kahteen osaan siten, että jatkuva ratkaisu ei kuulu kumpaankaan Saadaan kaksi uutta tehtävää, jotka ratkaistaan Näin jatketaan kunnes uusia ratkaistavia tehtäviä ei enää ole 32

33 Maksimointitehtävä: Jos löydetään sallittu kokonaislukuratkaisu, saadaan alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle = Niitä tehtäviä, joissa objektifunktion arvo on pienempi, ei enää tarvitse jakaa uusiksi tehtäviksi Minimointitehtävä: Jos löydetään sallittu kokonaislukuratkaisu, saadaan yläraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle = Niitä tehtäviä, joissa objektifunktion arvo on suurempi, ei enää tarvitse jakaa uusiksi tehtäviksi 33

34 Esimerkki: max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x 2 45 x 1, x 2 N Vastaava jatkuva tehtävä, tehtävä 0 : max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x 2 45 x 1, x

35 Tehtävän 0 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (9/4,15/4) = (2.25,3.75) Objektifunktion arvo: 165/4 = Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan x 2 suhteen = x 2 3 ja x 2 4 Saadaan kaksi uutta tehtävää, tehtävät 1 ja 2 : max 5x 1 + 8x 2 max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x x 1 + 9x 2 45 x 2 3 x 2 4 x 1, x 2 0 x 1, x

36 Tehtävän 1 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (3,3) Objektifunktion arvo: 39 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle on 39 Tehtävän 2 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (9/5,4) = (1.8,4) Objektifunktion arvo: 41 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, ja objektifunktion arvo on suurempi kuin alaraja 39, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan x 1 suhteen = x 1 1 ja x

37 Tehtävä 0: x 1 = 9/4 x 2 = 15/4 z = 165/4 x 2 3 x 2 4 Tehtävä 1: x 1 = 3 x 2 = 3 z = 39 Tehtävä 2: x 1 = 9/5 x 2 = 4 z = 41 x 1 1 x

38 Jaetaan tehtävä 2 tehtäviksi 3 ja 4 : max 5x 1 + 8x 2 max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x x 1 + 9x 2 45 x 2 4 x 2 4 x 1 1 x 1 2 x 1, x 2 0 x 1, x 2 0 Tehtävän 3 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (1,40/9) (1,4.44) Objektifunktion arvo: 365/ Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, ja objektifunktion arvo on suurempi kuin alaraja 39, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan x 2 suhteen = x 2 4 ja x 2 5 Tehtävällä 4 ei ole ratkaisua, joten tätä tehtävää ei enää jaeta 38

39 Tehtävä 2: x 1 = 9/5 x 2 = 4 z = 41 x 1 1 x 1 2 Tehtävä 3: x 1 = 1 x 2 = 40/9 z = 365/9 Tehtävä 4: Ei ratkaisua x 2 4 x

40 Jaetaan tehtävä 3 tehtäviksi 5 ja 6 : max 5x 1 + 8x 2 max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x x 1 + 9x 2 45 x 2 4 x 2 4 x 1 1 x 1 1 x 2 4 x 2 5 x 1, x 2 0 x 1, x

41 Tehtävän 5 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (1,4) Objektifunktion arvo: 37 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Objektifunktion arvo on pienempi kuin alaraja 39, joten tämä ratkaisu ei ole optimaalinen Tehtävän 6 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (0,5) Objektifunktion arvo: 40 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Uusi alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle on 40 41

42 Tehtävä 3: x 1 = 1 x 2 = 40/9 z = 365/9 x 2 4 x 2 5 Tehtävä 5: x 1 = 1 x 2 = 4 z = 37 Tehtävä 6: x 1 = 0 x 2 = 5 z = 40 42

43 Ratkaistavia tehtäviä ei enää ole = lopetetaan Paras löydetty kokonaislukuratkaisu on alkuperäisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaisu: Tehtävä 6 = Ratkaisu on (x 1, x 2 ) = (0,5), jossa objektifunktion arvo on 40 43

44 Huomautuksia haarautumismenetelmästä Selvästi algoritmi konvergoi: Pahimmassa tapauksessa kaikille kokonaislukumuuttujille tulee rajoitteet x j a j ja x j a j Se, missä järjestyksessä uudet tehtävät käsitellään, vaikuttaa menetelmän nopeuteen ja muistitilan tarpeeseen Seuraavaksi jaettavan tehtävän valinta: Valitaan esimerkiksi se, jossa objektifunktion arvo on paras (maksimointitehtävässä suurin, minimointitehtävässä pienin) Haaroittavan muuttujan valinta: Valitaan esimerkiksi se, jonka murto-osa on kauimpana kokonaislukuarvosta Tehtävät voidaan jakaa myös useammaksi kuin kahdeksi uudeksi tehtäväksi 44

45 Kapsäkkiongelman ratkaisu haarautumismenetelmällä Esimerkki: max 12x x 2 + 9x x x x x 7 kun 3x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x x x x 7 35 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 = 0 tai 1 Numeroidaan muuttujat uudelleen siten, että ne ovat suhteen c j /a j mukaan laskevassa järjestyksessä: max 112y y y y 4 + 9y y y 7 kun 16y y 2 + 3y 3 + 3y 4 + 3y 5 + 4y y 7 35 y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 = 0 tai 1 45

46 Kun muuttujat on numeroitu tällä tavoin, vastaavan jatkuvan tehtävän (missä 0 y j 1 kaikilla j) ratkaisu löytyy seuraavasti: Asetetaan järjestyksessä y 1 = = y k 1 = 1 niin pitkälle kuin rajoitteen takia on mahdollista Asetetaan seuraavan muuttujan y k arvoksi sellainen murtoluku, että rajoite toteutuu yhtäsuurudella Asetetaan loput muuttujat y k+1 = = y n = 0 46

47 Tehtävä 1: max 112y y y y 4 + 9y y y 7 kun 16y y 2 + 3y 3 + 3y 4 + 3y 5 + 4y y y j 1 j = 1,...,7 Tehtävän 1 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,1/3,0,0,0) Objektifunktion arvo: 221 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 4 suhteen = y 4 = 0 ja y 4 = 1 47

48 Saadaan kaksi uutta tehtävää, tehtävä 2... : max 112y y y y 4 + 9y y y 7 kun 16y y 2 + 3y 3 + 3y 4 + 3y 5 + 4y y 7 35 y 4 = 0 0 y j 1 j = 1,...,7 Tehtävän 2 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,1/3,0,0) Objektifunktion arvo: 220 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 5 suhteen = y 5 = 0 ja y 5 = 1 48

49 ... ja tehtävä 3 : max 112y y y y 4 + 9y y y 7 kun 16y y 2 + 3y 3 + 3y 4 + 3y 5 + 4y y 7 35 y 4 = 1 0 y j 1 j = 1,...,7 Tehtävän 3 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1/3,1,0,0,0) Objektifunktion arvo: 219 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 3 suhteen = y 3 = 0 ja y 3 = 1 49

50 Tehtävä 1: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 4 = 1/3 z = 221 y 4 = 0 y 4 = 1 Tehtävä 2: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 5 = 1/3 z = 220 Tehtävä 3: y 1 = y 2 = y 4 = 1 y 3 = 1/3 z = 219 y 5 = 0 y 5 = 1 y 3 = 0 y 3 = 1 50

51 Jakamatta on tehtävät 2 ja 3, joista tehtävässä 2 on paras objektifunktion arvo = Jaetaan tehtävä 2 tehtäväksi 4 (y 5 = 0) ja tehtäväksi 5 (y 5 = 1) Tehtävän 4 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,0,1/4,0) Objektifunktion arvo: 220 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 6 suhteen = y 6 = 0 ja y 6 = 1 Tehtävän 5 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1/3,0,1,0,0) Objektifunktion arvo: 216 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 3 suhteen = y 3 = 0 ja y 3 = 1 (myöhemmin osoittautuu, että tätä jakoa ei tarvitse tehdä) 51

52 Tehtävä 2: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 5 = 1/3 z = 220 y 5 = 0 y 5 = 1 Tehtävä 4: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 6 = 1/4 z = 220 Tehtävä 5: y 1 = y 2 = y 5 = 1 y 3 = 1/3 z = 216 y 6 = 0 y 6 = 1 52

53 Jakamatta on tehtävät 3, 4 ja 5, joista tehtävässä 4 on paras objektifunktion arvo = Jaetaan tehtävä 4 tehtäväksi 6 (y 6 = 0) ja tehtäväksi 7 (y 6 = 1) Tehtävän 6 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,0,0,1/13) Objektifunktion arvo: 219 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 7 suhteen = y 7 = 0 ja y 7 = 1 Tehtävän 7 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,0,0,0,1,0) Objektifunktion arvo: 214 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle on

54 Tehtävä 4: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 6 = 1/4 z = 220 y 6 = 0 y 6 = 1 Tehtävä 6: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 7 = 1/13 z = 219 Tehtävä 7: y 1 = y 2 = y 6 = 1 z = 214 y 7 = 0 y 7 = 1 54

55 Jakamatta on tehtävät 3, 5 ja 6, joista tehtävässä 6 on paras objektifunktion arvo = Jaetaan tehtävä 6 tehtäväksi 8 (y 7 = 0) ja tehtäväksi 9 (y 7 = 1) Tehtävän 8 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,0,0,0) Objektifunktion arvo: 217 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Uusi alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle on 217 = Tehtävää 5 ei jaeta, koska siinä objektifunktion arvo on huonompi Tehtävän 9 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,2/5,0,0,0,0,1) Objektifunktion arvo: 174 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, mutta objektifunktion arvo on huonompi kuin alaraja 217, joten tätä tehtävää ei enää jaeta 55

56 Tehtävä 6: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 7 = 1/13 z = 219 y 7 = 0 y 7 = 1 Tehtävä 8: y 1 = y 2 = y 3 = 1 z = 217 Tehtävä 9: y 1 = y 7 = 1 y 2 = 2/5 z =

57 Jakamatta on tehtävä 3 = Jaetaan tehtävä 3 tehtäväksi 10 (y 3 = 0) ja tehtäväksi 11 (y 3 = 1) Tehtävän 10 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,0,1,1/3,0,0) Objektifunktion arvo: 217 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, mutta objektifunktion arvo on sama kuin alaraja 217, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Tehtävän 11 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,13/15,1,1,0,0,0) Objektifunktion arvo: 217 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, mutta objektifunktion arvo on sama kuin alaraja 217, joten tätä tehtävää ei enää jaeta 57

58 Tehtävä 3: y 1 = y 2 = y 4 = 1 y 3 = 1/3 z = 219 y 3 = 0 y 3 = 1 Tehtävä 10: y 1 = y 2 = y 4 = 1 y 5 = 1/3 z = 217 Tehtävä 11: y 1 = y 3 = y 4 = 1 y 2 = 13/15 z =

59 Ratkaistavia tehtäviä ei enää ole = lopetetaan Paras löydetty kokonaislukuratkaisu on alkuperäisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaisu: Tehtävä 8 = Ratkaisu on (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,0,0,0), jossa objektifunktion arvo on

60 Huomautus rajoitteiden lukumäärästä Optimointiohjelmistoissa, jotka käyttävät haarautumismenetelmää, kannattaa yleensä rajata sallittua aluetta mahdollisimman paljon = Silloin tehtävä ratkeaa yleensä nopeammin Esimerkiksi, jos y on 0 1-kokonaislukumuuttuja, niin rajoite x x n Ty 0 missä T = T T n kannattaa kirjoittaa muodossa x 1 T 1 y 0. x n T n y 0 60

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Optimoinnin sovellukset

Optimoinnin sovellukset Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 11.2.2015 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelman ratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Väliinsijoituslajittelu Valintalajittelu

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto Teknillisen fysiikan koulutusohjelma Marko Heino Verkkokapasiteetin optimaalinen allokointi Työn valvoja Työn ohjaajat professori Harri

Lisätiedot

Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa

Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa Rakenteiden Mekaniikka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 75 82 Muutama huomio momenttimenetelmän käytöstä kehärakenteiden analysoinnissa Reijo Kouhia Tiivistelmä. Momenttimenetelmä on käyttökelpoinen ratkaisutapa

Lisätiedot

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu 832A Tietorakenteet ja algoritmit, 204-205, Harjoitus 7, ratkaisu Hajota ja hallitse-menetelmä: Tehtävä 7.. Muodosta hajota ja hallitse-menetelmää käyttäen algoritmi TULOSTA_PUU_LASKEVA, joka tulostaa

Lisätiedot

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä

Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

Matriisilaskenta. Ville Tilvis

Matriisilaskenta. Ville Tilvis Matriisilaskenta Ville Tilvis 1 joulukuuta 2013 Sisältö Johdanto 1 1 Matriisit ja vektorit 2 11 Nimityksiä 2 12 Peruslaskutoimitukset 4 2 Lineaariset yhtälöryhmät 10 21 Lineaarinen yhtälö ja yhtälöryhmä

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 NSGA-II Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA) Ehkä tunnetuin EMO-menetelmä

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Tasaväliset PO pisteet? Painokerroinmenetelmä: muutetaan painoja systemaattisesti

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

TTY Porin laitoksen optimointipalvelut yrityksille

TTY Porin laitoksen optimointipalvelut yrityksille TTY Porin laitoksen optimointipalvelut yrityksille Timo Ranta, TkT Frank Cameron, TkT timo.ranta@tut.fi frank.cameron@tut.fi Automaation aamukahvit 28.8.2013 Optimointi Tarkoittaa parhaan ratkaisun valintaa

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

Matemaattinen optimointi I

Matemaattinen optimointi I Matemaattinen optimointi I Marko M. Mäkelä Turun yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Sisältö Esipuhe 1 1 Matemaattinen mallinnus ja ongelmien ratkaisu 2 1.1 Sovellutuksista.................................

Lisätiedot

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja. IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

MAT-21241 OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 2013, periodi 4. Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos

MAT-21241 OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 2013, periodi 4. Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos MAT-4 OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 03, periodi 4 Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos SISÄLLYSLUETTELO. Johdantoa ja terminologiaa 3. Lineaarinen optimointi ja graafinen ratkaisu 0 3. Simplex-algoritmi 30

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

PERUSYHTÄLÖ, JOKA OSOITTAA YHTÄÄLTÄ LUOTON JA TOISAALTA LYHENNYSTEN JA MAKSUJEN VASTAAVUUDEN:

PERUSYHTÄLÖ, JOKA OSOITTAA YHTÄÄLTÄ LUOTON JA TOISAALTA LYHENNYSTEN JA MAKSUJEN VASTAAVUUDEN: 6 LIITE PERUSYHTÄLÖ, JOKA OSOITTAA YHTÄÄLTÄ LUOTON JA TOISAALTA LYHENNYSTEN JA MAKSUJEN VASTAAVUUDEN: K m K 1 A K t K m A K K t K ' K 1 Kirjainten ja merkkien selitykset: ' ' K luoton numero K lyhennyksen

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Muita rekisteriallokaatiomenetelmiä

Muita rekisteriallokaatiomenetelmiä TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 23. marraskuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe E tiistai 1.12. klo 10 koodigenerointi (ilman rekisteriallokaatiota)

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka D 2015 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka D 2015 Sisältö 1 Lineaarialgebran peruskäsitteitä............................................... 5 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät..................................................

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n

Lisätiedot

Ohjausrakenteet. Valinta:

Ohjausrakenteet. Valinta: Ohjausrakenteet Luento antaa yleiskuvan siitä kuinka ohjelmassa suorittaan vaihtoehtoisia tehtäviä valintarakenteiden avulla ja kuinka samanlaisia ohjelma-askeleita toistetaan toistorakenteiden avulla

Lisätiedot

TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003

TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003 TMA.111 Matemaattinen analyysi c Matti Laaksonen, 2003 Vaasan Yliopisto, 2003 Teknillinen tiedekunta Matemaattisten tieteiden laitos PL 700 (Wolffintie 34) 65101 VAASA Vaasan yliopisto Matemaattinen analyysi

Lisätiedot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot Logistinen regressio, separoivat hypertasot Topi Sikanen Logistinen regressio Aineisto jakautunut K luokkaan K=2 tärkeä erikoistapaus Halutaan mallintaa luokkien vedonlyöntikertoimia (odds) havaintojen

Lisätiedot

Elementtimenetelmän lineaarisen yhtälösysteemin iteratiivisesta ratkaisusta

Elementtimenetelmän lineaarisen yhtälösysteemin iteratiivisesta ratkaisusta Rakenteiden Mekaniikka Vol. 43, Nro 2, 2010, s. 94 126 Elementtimenetelmän lineaarisen yhtälösysteemin iteratiivisesta ratkaisusta Juha Hartikainen ja Reijo Kouhia Tiivistelmä. Artikkelissa käsitellään

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

Yhtälön ratkaiseminen

Yhtälön ratkaiseminen Yhtälön ratkaiseminen Suora iterointi Kirjoitetaan yhtälö muotoon x = f(x). Ensin päätellään jollakin tavoin jokin alkuarvo x 0 ja sijoitetaan yhtälön oikealle puolelle, jolloin saadaan tarkennettu ratkaisu

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Tilayhtälötekniikasta

Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälötekniikasta Tilayhtälöesityksessä it ä useamman kertaluvun differentiaaliyhtälö esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Jokainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

Lisätiedot

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K

ALGEBRA. Tauno Metsänkylä. K f. id K ALGEBRA Tauno Metsänkylä K f τ K f τ 1 K(α 1 ) K(α 1 ) K id K K SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 MODULI 4 1.1 Moduli; alimoduli................................ 4 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli.......................

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät

Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät Mat-2.2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 11 Ehtamo Demo 1: Sisä- ja ulkopistemenetelmät a) Ratkaise tehtävä min (x 1 2) 4 + (x 1 2x 2 ) 2 s.e. x 2 = x 2 1 käyttäen kvadraattista ulkopuolista sakkofunktiota.

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 25.2.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 25.2.2009 1 / 34 Syötteessä useita lukuja samalla rivillä Seuraavassa esimerkissä käyttäjä antaa useita lukuja samalla

Lisätiedot

7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31

7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31 7. Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä 1 / 31 Johdanto Lukujen esitykset eri lukujärjestelmissä Muunnokset lukujärjestelmien välillä Laskutoimitukset eri lukujärjestelmissä. 2 / 31 7.1. Muunnokset

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

DISKREETTI MATEMATIIKKA

DISKREETTI MATEMATIIKKA DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia

Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian seminaari 0..008 1 Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia Loepp & Wootters, Protecting Information, luvut.4-.5 T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100

1.3 Prosenttilaskuja. pa b = 100 1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl

Lisätiedot

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) 11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan

Lisätiedot

Määrittelydokumentti

Määrittelydokumentti Määrittelydokumentti Aineopintojen harjoitustyö: Tietorakenteet ja algoritmit (alkukesä) Sami Korhonen 014021868 sami.korhonen@helsinki. Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin yliopisto 23. kesäkuuta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. .. Markkinakysyntä ja joustot a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. Markkinoiden kysyntäkäyrä saadaan laskemalla

Lisätiedot

17 BUDJETOINTI. Asiakaskohtainen Budjetti. 17.1 Ylläpito-ohjelma. Dafo Versio 10 BUDJETOINTI. Käyttöohje. BudgCust. 17.1.1 Yleistä

17 BUDJETOINTI. Asiakaskohtainen Budjetti. 17.1 Ylläpito-ohjelma. Dafo Versio 10 BUDJETOINTI. Käyttöohje. BudgCust. 17.1.1 Yleistä 17 Asiakaskohtainen Budjetti 17.1 Ylläpito-ohjelma 17.1.1 Yleistä BudgCust Ohjelmalla avataan järjestelmään asiakaskohtaisia budjetteja, jotka annetaan kuukausitasolla (oletus). 17.1.2 Parametrit Ohjelmaa

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y a + n 1 n a a + 1 a +. On myös helppo tarkastaa, että ratkaisut toteuttavat yhtälön.

x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y a + n 1 n a a + 1 a +. On myös helppo tarkastaa, että ratkaisut toteuttavat yhtälön. Kotitehtävät joulukuu 20 Helpopi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhä x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y reaaliluvuilla x y ja z. Ratkaisu. Jokainen luvuista on puolet kahden neliön suasta ja siten välttäättä

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

Ympäristöasioiden sovittelu

Ympäristöasioiden sovittelu Ympäristöasioiden sovittelu Suomen sovittelufoorumin päämääränä on saattaa sovittelu ratkaisumenetelmäksi konfliktien ja ihmissuhdeongelmien käsittelyssä. SSF / T. Brunila / 2008 1 Sovittelijan rooli Sovittelija

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010 ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen 2010 c Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen Esipuhe Tämä kirja on syntynyt toisen tekijän(t.m.) Turun yliopistossa

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia 1. (a) Päätöspuu on matala, jos mitään sattumasolmua ei välittömästi seuraa sattumasolmu eikä mitään päätössolmua

Lisätiedot

Tasapainotehta via vaakamallin avulla

Tasapainotehta via vaakamallin avulla Tasapainotehta via vaakamallin avulla Aihepiiri Luokka-aste Kesto Tarvittavat materiaalit / välineet Asiasanat Lausekkeet ja yhtälöt 7.-8. luokka 20 30 minuuttia Piirtoheitin, 2 kalvoa, erimuotoisia paloja

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson 3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata

Lisätiedot

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return

Lisätiedot

OPS OPPIMISTAVOITTEET JA OPETUKSEN KESKEISET SISÄLLÖT MATEMATIIKKA

OPS OPPIMISTAVOITTEET JA OPETUKSEN KESKEISET SISÄLLÖT MATEMATIIKKA OPS OPPIMISTAVOITTEET JA OPETUKSEN MATEMATIIKKA 2013 2014 MATEMATIIKKA Matematiikan opetuksen tehtävänä on tarjota mahdollisuuksia matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja matemaattisten käsitteiden sekä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 3. Isto Jokinen 2013 PROSENTTILASKENTA Prosentti on 1/100 tai 0,01. Esimerkki 40. Lukuarvo % 0,42 42 0,013 1,3 1,002 100,2 1/25 100/25=4 23/45 51,1

Lisätiedot

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto

Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto Pääsykoe 2001/Ratkaisut Hallinto 1. Osio 3/Tosi; Organisaatiokenttää ei mainita (s.35). 2. Osiot 1 ja 2/Epätosia; Puppua. Osio 3/Lähellä oikeata kuvion 2.1 mukaan (s.30). Osio 4/Tosi (sivun 30 tekstin

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot