Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen"

Transkriptio

1 Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista Ei ole olemassa ratkaisumenetelmää, joka toimisi aina hyvin ja tehokkasti kaikille kokonaislukuoptimointitehtäville (vrt. simplex lineaarisille jatkuville tehtäville) 1

2 Yleinen ratkaisuperiaate: Muodostetaan vastaava jatkuva optimointitehtävä: x j N = x j 0 ja x j = 0 tai 1 = 0 x j 1 Ratkaistaan jatkuva tehtävä ja jatketaan sen optimoimista Lisätään tehtävään erityisrajoituksia, jotka pakottavat iteratiivisesti kokonaislukurajoitteet voimaan Erityisrajoitusten päätyypit: leikkaustaso (cutting plane) haarautuminen (branch-and-bound) 2

3 Täysin unimodulaarinen kerroinmatriisi Matriisi A on täysin unimodulaarinen, jos sen jokaisen neliöalimatriisin determinantti on 0, +1 tai 1 = Täysin unimodulaarisen matriisin alkioina voi olla vain 0, +1 tai 1 3

4 Yhtälörajoitteet matriisimuodossa: Ax = b Olkoon A = [B, N], missä B sisältää perusmuuttujien joukkoa B vastaavat sarakkeet ja N muut sarakkeet Olkoon x = [x B,x N ] = Ax = b Bx B + Nx N = b x B = B 1 b B 1 Nx N 4

5 = Perusmuoto: x B = B 1 b B 1 Nx N Vastaava perusratkaisu: x B = B 1 b x N = 0 5

6 Cramerin sääntö: B 1 = B / B, missä B on B:n liittomatriisi ja B on B:n determinatti Jos A on täysin unimodulaarinen ja kaikki b:n alkiot ovat kokonaislukuja = Kaikki B :n alkiot ovat joko 0, +1 tai 1 ja B on joko +1 tai 1 = Kaikki B 1 :n alkiot ovat joko 0, +1 tai 1 = Kaikki x B :n alkiot ovat kokonaislukuja = Kokonaislukuoptimointitehtävällä ja vastaavalla jatkuvalla tehtävällä on sama optimiratkaisu 6

7 Esimerkki: Kolmen henkilön ja kolmen työn kohdistusongelma Jokainen henkilö suorittaa yhden työn, ja jokaisen työn suorittaa yksi henkilö Kun henkilö i suorittaa työn j, siitä aiheutuu kustannus c ij Tavoite: Kohdista henkilöt töihin siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat 7

8 x ij = 1, jos henkilö i suorittaa työn j 0, muuten min c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 23 x 23 + c 31 x 31 + c 32 x 32 + c 33 x 33 kun x 11 + x 12 + x 13 = 1 x 21 + x 22 + x 23 = 1 x 31 + x 32 + x 33 = 1 x 11 + x 21 + x 31 = 1 x 12 + x 22 + x 32 = 1 x 13 + x 23 + x 33 = 1 x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23, x 31, x 32, x 33 = 0 tai 1 8

9 = A = Induktio = Matriisi A on täysin unimodulaarinen 9

10 Ratkaisun pyöristäminen Esimerkki: Kapsäkkiongelma max 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 kun 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 6 x 1, x 2, x 3 = 0 tai 1 Vastaavan jatkuvan tehtävän ratkaisu: (x 1, x 2, x 3 ) = (1,1,1/4) Kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaisu: (x 1, x 2, x 3 ) = (1,1,0) = Tässä tapauksessa pyöristäminen toimii 10

11 Sijoitusongelma Olkoon m paikkaa, joihin voidaan perustaa tuotantolaitos, ja olkoon n asiakasta Asiakas j tarvitsee tuotetta määrän d j Paikkaan i perustettavasta tuotantolaitoksesta aiheutuu kiinteä kustannus f i Tuotantolaitoksen i kapasiteetti on M i Jos paikassa i valmistettu tuote kuljetetaan asiakkaalle j, siitä aiheutuu kustannus c ij Tavoite: Määrää ne paikat, joihin laitos perustetaan sekä tuotteen kuljetusmäärät asiakkaille siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat 11

12 x ij = laitoksesta i asiakkaalle j kuljetettava määrä x i = 1, jos paikkaan i perustetaan laitos 0, jos paikkaan i ei perusteta laitosta min kun m n i=1 j=1 m i=1 n j=1 c ij x ij + x ij = d j x ij M i x i m i=1 f i x i j = 1,..., n i = 1,..., m x ij 0 i = 1,..., m, j = 1,..., n x i = 0 tai 1 i = 1,..., m 12

13 Esimerkki: Sijoitusongelma max 93x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 55 kun x 11 + x 21 + x 31 + x 41 + x 51 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 = 1 x 15 + x 25 + x 35 + x 45 + x 55 = 1 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 2x 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 3x 2 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 2x 3 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 + x 45 = 3x 4 x 51 + x 52 + x 53 + x 54 + x 55 = 2x 5 x ij N, x i = 0 tai 1 i = 1,...,5, j = 1,...,5 13

14 Vastaavan jatkuvan tehtävän ratkaisu: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (1/2,1/3,1/2,1/3,1/2) Kokonaislukuoptimointitehtävän sallitut ratkaisut: (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (1,1,0,0,0) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (1,0,0,1,0) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (0,1,1,0,0) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (0,1,0,0,1) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (0,0,1,1,0) (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (0,0,0,1,1) = Tässä tapauksessa pyöristäminen ei toimi 14

15 Leikkaustasomenetelmä Ratkaistaan vastaava jatkuva tehtävä Jos ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, lopetetaan Muuten lisätään tehtävään leikkaustasorajoite siten, että se pienentää sallittua aluetta, mutta säilyttää siinä kokonaislukupisteet Ratkaistaan saatu uusi tehtävä Näin jatketaan kunnes saadaan kokonaislukuratkaisu (tai kunnes ratkaisu osoittautuu rajoittamattomaksi) 15

16 Oletetaan, että jatkuva tehtävä on ratkaistu simplex-algoritmilla, jolloin ratkaisu on perusmuodossa x j + a jk x k = b j j B k/ B Pyöritys alaspäin: Olkoon y suurin kokonaisluku siten, että se on y Koska x j 0 kaikilla j = x j + k/ B a jk x k b j Koska x j kokonaisluku kaikilla j = x j + a jk x k b j k/ B 16

17 Vähennetään yhtälöt toisistaan: x j + = k/ B x j + k/ B a jk x k = b j a jk x k b j ( ajk a jk ) x k b j b j k/ B Merkitään f jk = a jk a jk ja f j = b j b j, jolloin 0 f jk < 1 ja 0 f j < 1 17

18 Saadaan leikkaustasorajoite k/ B f jk x k f j Tämä lisätään tehtävään muodossa missä s on puutemuuttuja k/ B f jk x k + s = f j Koska f j 0, perusratkaisu ei ole sallittu (paitsi jos f j = 0) = tarvitaan duaali-simplex-iteraatioita 18

19 Esimerkki: max x 2 kun 3x 1 + 2x 2 6 3x 1 + 2x 2 0 x 1, x 2 N Vastaava jatkuva tehtävä: max x 2 kun 3x 1 + 2x 2 6 3x 1 + 2x 2 0 x 1, x

20 Muunnetaan minimointitehtäväksi ja lisätään puutemuuttujat: min x 2 kun 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 3x 1 + 2x 2 + x 4 = 0 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Aloitusperusmuodon simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x

21 Simplex-iteraatiot: / / / / /4 1/4 3/ /6 1/ /4 1/4 3/2 21

22 Optimaalinen simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x /4 1/4 3/ /6 1/ /4 1/4 3/2 Ratkaisu: (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (1,3/2,0,0) Objektifunktion arvo: 3/2 22

23 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten lisätään leikkaustasorajoite: Objektifunktioriviltä saadaan z x x 4 = 3 2 = 1 4 x x Lisätään tämä simplex-taulukkoon muodossa 1 4 x x 4 + s 1 =

24 = x 1 x 2 x 3 x 4 s /4 1/4 0 3/ /6 1/ /4 1/4 0 3/ /4 1/4 1 1/2 Taulukon perusratkaisu muunnetaan sallituksi duaali-simplex-algoritmilla 24

25 Yksi duaali-simplex-iteraatio: 0 0 1/4 1/4 0 3/ /6 1/ /4 1/4 0 3/ /4 1/4 1 1/ /3 2/3 2/

26 Optimaalinen simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x 4 s /3 2/3 2/ Ratkaisu: (x 1, x 2, x 3, x 4, s 1 ) = (2/3,1,2,0,0) Objektifunktion arvo: 1 26

27 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten lisätään leikkaustasorajoite: Ensimmäiseltä rajoiteriviltä saadaan x x s 1 = 2 3 = 2 3 x s Lisätään tämä simplex-taulukkoon muodossa 2 3 x s 1 + s 2 =

28 = x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s /3 2/3 0 2/ /3 2/3 1 2/3 Taulukon perusratkaisu muunnetaan sallituksi duaali-simplex-algoritmilla 28

29 Yksi duaali-simplex-iteraatio: /3 2/3 0 2/ /3 2/3 1 2/ / / /2 1 29

30 Optimaalinen simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s / / /2 1 Ratkaisu: (x 1, x 2, x 3, x 4, s 1, s 2 ) = (1,1,1,1,0,0) Objektifunktion arvo: 1 30

31 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu = Alkuperäisen maksimointitehtävän ratkaisu on (x 1, x 2 ) = (1,1), jossa objektifunktion arvo on 1 31

32 Haarautumismenetelmä Ratkaistaan vastaava jatkuva tehtävä Jos ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, lopetetaan Muuten jaetaan sallittu alue uusilla rajoitteilla kahteen osaan siten, että jatkuva ratkaisu ei kuulu kumpaankaan Saadaan kaksi uutta tehtävää, jotka ratkaistaan Näin jatketaan kunnes uusia ratkaistavia tehtäviä ei enää ole 32

33 Maksimointitehtävä: Jos löydetään sallittu kokonaislukuratkaisu, saadaan alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle = Niitä tehtäviä, joissa objektifunktion arvo on pienempi, ei enää tarvitse jakaa uusiksi tehtäviksi Minimointitehtävä: Jos löydetään sallittu kokonaislukuratkaisu, saadaan yläraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle = Niitä tehtäviä, joissa objektifunktion arvo on suurempi, ei enää tarvitse jakaa uusiksi tehtäviksi 33

34 Esimerkki: max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x 2 45 x 1, x 2 N Vastaava jatkuva tehtävä, tehtävä 0 : max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x 2 45 x 1, x

35 Tehtävän 0 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (9/4,15/4) = (2.25,3.75) Objektifunktion arvo: 165/4 = Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan x 2 suhteen = x 2 3 ja x 2 4 Saadaan kaksi uutta tehtävää, tehtävät 1 ja 2 : max 5x 1 + 8x 2 max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x x 1 + 9x 2 45 x 2 3 x 2 4 x 1, x 2 0 x 1, x

36 Tehtävän 1 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (3,3) Objektifunktion arvo: 39 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle on 39 Tehtävän 2 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (9/5,4) = (1.8,4) Objektifunktion arvo: 41 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, ja objektifunktion arvo on suurempi kuin alaraja 39, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan x 1 suhteen = x 1 1 ja x

37 Tehtävä 0: x 1 = 9/4 x 2 = 15/4 z = 165/4 x 2 3 x 2 4 Tehtävä 1: x 1 = 3 x 2 = 3 z = 39 Tehtävä 2: x 1 = 9/5 x 2 = 4 z = 41 x 1 1 x

38 Jaetaan tehtävä 2 tehtäviksi 3 ja 4 : max 5x 1 + 8x 2 max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x x 1 + 9x 2 45 x 2 4 x 2 4 x 1 1 x 1 2 x 1, x 2 0 x 1, x 2 0 Tehtävän 3 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (1,40/9) (1,4.44) Objektifunktion arvo: 365/ Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, ja objektifunktion arvo on suurempi kuin alaraja 39, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan x 2 suhteen = x 2 4 ja x 2 5 Tehtävällä 4 ei ole ratkaisua, joten tätä tehtävää ei enää jaeta 38

39 Tehtävä 2: x 1 = 9/5 x 2 = 4 z = 41 x 1 1 x 1 2 Tehtävä 3: x 1 = 1 x 2 = 40/9 z = 365/9 Tehtävä 4: Ei ratkaisua x 2 4 x

40 Jaetaan tehtävä 3 tehtäviksi 5 ja 6 : max 5x 1 + 8x 2 max 5x 1 + 8x 2 kun x 1 + x 2 6 kun x 1 + x 2 6 5x 1 + 9x x 1 + 9x 2 45 x 2 4 x 2 4 x 1 1 x 1 1 x 2 4 x 2 5 x 1, x 2 0 x 1, x

41 Tehtävän 5 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (1,4) Objektifunktion arvo: 37 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Objektifunktion arvo on pienempi kuin alaraja 39, joten tämä ratkaisu ei ole optimaalinen Tehtävän 6 ratkaisu: (x 1, x 2 ) = (0,5) Objektifunktion arvo: 40 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Uusi alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle on 40 41

42 Tehtävä 3: x 1 = 1 x 2 = 40/9 z = 365/9 x 2 4 x 2 5 Tehtävä 5: x 1 = 1 x 2 = 4 z = 37 Tehtävä 6: x 1 = 0 x 2 = 5 z = 40 42

43 Ratkaistavia tehtäviä ei enää ole = lopetetaan Paras löydetty kokonaislukuratkaisu on alkuperäisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaisu: Tehtävä 6 = Ratkaisu on (x 1, x 2 ) = (0,5), jossa objektifunktion arvo on 40 43

44 Huomautuksia haarautumismenetelmästä Selvästi algoritmi konvergoi: Pahimmassa tapauksessa kaikille kokonaislukumuuttujille tulee rajoitteet x j a j ja x j a j Se, missä järjestyksessä uudet tehtävät käsitellään, vaikuttaa menetelmän nopeuteen ja muistitilan tarpeeseen Seuraavaksi jaettavan tehtävän valinta: Valitaan esimerkiksi se, jossa objektifunktion arvo on paras (maksimointitehtävässä suurin, minimointitehtävässä pienin) Haaroittavan muuttujan valinta: Valitaan esimerkiksi se, jonka murto-osa on kauimpana kokonaislukuarvosta Tehtävät voidaan jakaa myös useammaksi kuin kahdeksi uudeksi tehtäväksi 44

45 Kapsäkkiongelman ratkaisu haarautumismenetelmällä Esimerkki: max 12x x 2 + 9x x x x x 7 kun 3x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x x x x 7 35 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 = 0 tai 1 Numeroidaan muuttujat uudelleen siten, että ne ovat suhteen c j /a j mukaan laskevassa järjestyksessä: max 112y y y y 4 + 9y y y 7 kun 16y y 2 + 3y 3 + 3y 4 + 3y 5 + 4y y 7 35 y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 = 0 tai 1 45

46 Kun muuttujat on numeroitu tällä tavoin, vastaavan jatkuvan tehtävän (missä 0 y j 1 kaikilla j) ratkaisu löytyy seuraavasti: Asetetaan järjestyksessä y 1 = = y k 1 = 1 niin pitkälle kuin rajoitteen takia on mahdollista Asetetaan seuraavan muuttujan y k arvoksi sellainen murtoluku, että rajoite toteutuu yhtäsuurudella Asetetaan loput muuttujat y k+1 = = y n = 0 46

47 Tehtävä 1: max 112y y y y 4 + 9y y y 7 kun 16y y 2 + 3y 3 + 3y 4 + 3y 5 + 4y y y j 1 j = 1,...,7 Tehtävän 1 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,1/3,0,0,0) Objektifunktion arvo: 221 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 4 suhteen = y 4 = 0 ja y 4 = 1 47

48 Saadaan kaksi uutta tehtävää, tehtävä 2... : max 112y y y y 4 + 9y y y 7 kun 16y y 2 + 3y 3 + 3y 4 + 3y 5 + 4y y 7 35 y 4 = 0 0 y j 1 j = 1,...,7 Tehtävän 2 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,1/3,0,0) Objektifunktion arvo: 220 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 5 suhteen = y 5 = 0 ja y 5 = 1 48

49 ... ja tehtävä 3 : max 112y y y y 4 + 9y y y 7 kun 16y y 2 + 3y 3 + 3y 4 + 3y 5 + 4y y 7 35 y 4 = 1 0 y j 1 j = 1,...,7 Tehtävän 3 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1/3,1,0,0,0) Objektifunktion arvo: 219 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 3 suhteen = y 3 = 0 ja y 3 = 1 49

50 Tehtävä 1: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 4 = 1/3 z = 221 y 4 = 0 y 4 = 1 Tehtävä 2: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 5 = 1/3 z = 220 Tehtävä 3: y 1 = y 2 = y 4 = 1 y 3 = 1/3 z = 219 y 5 = 0 y 5 = 1 y 3 = 0 y 3 = 1 50

51 Jakamatta on tehtävät 2 ja 3, joista tehtävässä 2 on paras objektifunktion arvo = Jaetaan tehtävä 2 tehtäväksi 4 (y 5 = 0) ja tehtäväksi 5 (y 5 = 1) Tehtävän 4 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,0,1/4,0) Objektifunktion arvo: 220 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 6 suhteen = y 6 = 0 ja y 6 = 1 Tehtävän 5 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1/3,0,1,0,0) Objektifunktion arvo: 216 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 3 suhteen = y 3 = 0 ja y 3 = 1 (myöhemmin osoittautuu, että tätä jakoa ei tarvitse tehdä) 51

52 Tehtävä 2: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 5 = 1/3 z = 220 y 5 = 0 y 5 = 1 Tehtävä 4: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 6 = 1/4 z = 220 Tehtävä 5: y 1 = y 2 = y 5 = 1 y 3 = 1/3 z = 216 y 6 = 0 y 6 = 1 52

53 Jakamatta on tehtävät 3, 4 ja 5, joista tehtävässä 4 on paras objektifunktion arvo = Jaetaan tehtävä 4 tehtäväksi 6 (y 6 = 0) ja tehtäväksi 7 (y 6 = 1) Tehtävän 6 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,0,0,1/13) Objektifunktion arvo: 219 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, joten jaetaan sallittu alue kahteen osaan muuttujan y 7 suhteen = y 7 = 0 ja y 7 = 1 Tehtävän 7 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,0,0,0,1,0) Objektifunktion arvo: 214 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle on

54 Tehtävä 4: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 6 = 1/4 z = 220 y 6 = 0 y 6 = 1 Tehtävä 6: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 7 = 1/13 z = 219 Tehtävä 7: y 1 = y 2 = y 6 = 1 z = 214 y 7 = 0 y 7 = 1 54

55 Jakamatta on tehtävät 3, 5 ja 6, joista tehtävässä 6 on paras objektifunktion arvo = Jaetaan tehtävä 6 tehtäväksi 8 (y 7 = 0) ja tehtäväksi 9 (y 7 = 1) Tehtävän 8 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,0,0,0) Objektifunktion arvo: 217 Ratkaisu on kokonaislukuratkaisu, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Uusi alaraja kokonaislukuoptimointitehtävän objektifunktion arvolle on 217 = Tehtävää 5 ei jaeta, koska siinä objektifunktion arvo on huonompi Tehtävän 9 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,2/5,0,0,0,0,1) Objektifunktion arvo: 174 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, mutta objektifunktion arvo on huonompi kuin alaraja 217, joten tätä tehtävää ei enää jaeta 55

56 Tehtävä 6: y 1 = y 2 = y 3 = 1 y 7 = 1/13 z = 219 y 7 = 0 y 7 = 1 Tehtävä 8: y 1 = y 2 = y 3 = 1 z = 217 Tehtävä 9: y 1 = y 7 = 1 y 2 = 2/5 z =

57 Jakamatta on tehtävä 3 = Jaetaan tehtävä 3 tehtäväksi 10 (y 3 = 0) ja tehtäväksi 11 (y 3 = 1) Tehtävän 10 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,0,1,1/3,0,0) Objektifunktion arvo: 217 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, mutta objektifunktion arvo on sama kuin alaraja 217, joten tätä tehtävää ei enää jaeta Tehtävän 11 ratkaisu: (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,13/15,1,1,0,0,0) Objektifunktion arvo: 217 Ratkaisu ei ole kokonaislukuratkaisu, mutta objektifunktion arvo on sama kuin alaraja 217, joten tätä tehtävää ei enää jaeta 57

58 Tehtävä 3: y 1 = y 2 = y 4 = 1 y 3 = 1/3 z = 219 y 3 = 0 y 3 = 1 Tehtävä 10: y 1 = y 2 = y 4 = 1 y 5 = 1/3 z = 217 Tehtävä 11: y 1 = y 3 = y 4 = 1 y 2 = 13/15 z =

59 Ratkaistavia tehtäviä ei enää ole = lopetetaan Paras löydetty kokonaislukuratkaisu on alkuperäisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaisu: Tehtävä 8 = Ratkaisu on (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) = (1,1,1,0,0,0,0), jossa objektifunktion arvo on

60 Huomautus rajoitteiden lukumäärästä Optimointiohjelmistoissa, jotka käyttävät haarautumismenetelmää, kannattaa yleensä rajata sallittua aluetta mahdollisimman paljon = Silloin tehtävä ratkeaa yleensä nopeammin Esimerkiksi, jos y on 0 1-kokonaislukumuuttuja, niin rajoite x x n Ty 0 missä T = T T n kannattaa kirjoittaa muodossa x 1 T 1 y 0. x n T n y 0 60

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko

Lisätiedot

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2

Lisätiedot

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat

Lisätiedot

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku 38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:

Lisätiedot

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat

Lisätiedot

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen 4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu

Lisätiedot

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. 5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus

Lisätiedot

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

3 Simplex-menetelmä. c T x = min! Ax = b (x R n ) (3.1) x 0. Tarvittaessa sarakkeiden järjestystä voidaan vaihtaa, joten voidaan oletetaan, että

3 Simplex-menetelmä. c T x = min! Ax = b (x R n ) (3.1) x 0. Tarvittaessa sarakkeiden järjestystä voidaan vaihtaa, joten voidaan oletetaan, että 3 Simplex-menetelmä Lähdetään jostakin annettuun LP-tehtävään liittyvästä käyvästä perusratkaisusta x (0) ja pyritään muodostamaan jono x (1), x (2),... käypiä perusratkaisuja siten, että eräässä vaiheessa

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä

4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä 8 4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä Minkowskin esityslauseen avulla voidaan osoittaa, että jos P on rationaalinen monitahokas ja S sen sisällä olevien kokonaislukupisteiden joukko, niin co(s) on

Lisätiedot

Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä

Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä Vesa Husgafvel 19.11.2012 Ohjaaja: DI Mirko Ruokokoski Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät 21.3.2013 1 / 44 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä

Lisätiedot

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 6,

Malliratkaisut Demot 6, Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Antti Rasila 2016 Matriisihajotelmat 1/2 Usein matriisiyhtälön Ax = y ratkaiseminen on epäkäytännöllistä ja hidasta. Siksi numeerisessa matriisilaskennassa usein

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista

Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista 8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B),

Lisätiedot

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min! Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Kimppu-suodatus-menetelmä

Kimppu-suodatus-menetelmä Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.

Lisätiedot

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2 Uolevin reitti Kuvaus Uolevi on ruudukon vasemmassa ylänurkassa ja haluaisi päästä oikeaan alanurkkaan. Uolevi voi liikkua joka askeleella ruudun verran vasemmalle, oikealle, ylöspäin tai alaspäin. Lisäksi

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys

Lisätiedot

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/

Lisätiedot

Harjoitus 1 (17.3.2015)

Harjoitus 1 (17.3.2015) Harjoitus 1 (17.3.2015) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Helsinki 4 = Kuopio 5 = Joensuu. a) Tehtävänä on ratkaista Bellman

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Yleistä https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=96762 Sisältö Johdanto yksitavoitteiseen

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Sekalukuoptimointi. Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto

Sekalukuoptimointi. Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto Sekalukuoptimointi Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, 2000-10-11 Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto 1 Tiivistelmä Seminaarin aihe käsittelee globaalin optimoinnin erästä

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä

Lisätiedot

Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Ax, y = x, A y. A = A A hermiittinen. Jokainen reaalinen ja symmetrinen matriisi on määritelmän mukaan myös hermiittinen. A =, HARJOITUSTEHTÄVIÄ X.. Matriisialgebra Esimerkki 4 Jos niin x =[i, +i, 2 i ] T C 3, y =[ 2i, 2i, i ] T C 3, x, x = x 2 =+(+)+(4+)=8, y, y =(+4)+4+(+)=, x, y = i( + 2i)+(+i)( 2i)+(2 i)( +i) = +3i. Matriisia A = ĀT sanotaan

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista

Lisätiedot

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

Optimoinnin sovellukset

Optimoinnin sovellukset Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 5,

Malliratkaisut Demot 5, Malliratkaisut Demot 5, 2.2.25 Tehtävä : a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x +x 2 x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x,x 2,x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto,n = 3 jam =. b) Otetaan käyttöön

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 25.4.2017 Timo Männikkö Luento 11 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Pelipuut Pelipuun läpikäynti Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti 25.4.2017 2/29

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot