Lentokoneen ulkoisen kuorman Navier-Stokes -pohjainen pudotussimulointi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lentokoneen ulkoisen kuorman Navier-Stokes -pohjainen pudotussimulointi"

Transkriptio

1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Konetekniikan osasto Juho Ilkko Lentokoneen ulkoisen kuorman Navier-Stokes -pohjainen pudotussimulointi Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin tutkintoa varten Espoossa 2. elokuuta Valvoja: Prof. Jaakko Hoffren Työn ohjaaja: DI Esa Salminen

2 ii TEKNILLINEN KORKEAKOULU Konetekniikan osasto DIPLOMITYÖN TIIVISTELMÄ Tekijä Päiväys Juho Ilkko 2. elokuuta 2007 Työn nimi Sivumäärä Lentokoneen ulkoisen kuorman Navier-Stokes -pohjainen pudotussimulointi Professuuri Lentotekniikka Työn valvoja Professori Jaakko Hoffren Työn ohjaaja Diplomi-insinööri Esa Salminen 109 Koodi Kul-34 Tässä diplomityössä tutkitaan lentokoneeseen kiinnitetyn ulkoisen kuorman pudotussimulointia Navier-Stokes -pohjaisella laskentamenetelmällä. Simuloinnin tarkoituksena on määrittää pudotettavan kuorman lentorata ja asento irrotuksen jälkeen. Laskennassa keskitytään tilanteeseen, jossa pudotettava kuorma on vielä lentokoneen lähellä, jolloin vapaasti lentävä kuorma voi osua lentokoneeseen ja aiheuttaa siihen rakenteellisia vaurioita. Ajallisesti tämä tarkoittaa noin puolen sekunnin pituista ajanjaksoa ulkoisen kuorman irrotushetken jälkeen. Työn teoriaosassa käsitellään pudotustilanteesta aikaisemmin tehtyjä tutkimuksia. Näissä tutkimuksissa pudotustilannetta on simuloitu kokeellisesti ja laskennallisesti. Lisäksi teoriaosassa esitetään laskennalliseen virtausmekaniikkaan (CFD-laskenta) ja lentoratalaskentaan liittyvää perusteoriaa. Työn tutkimusosiossa lasketaan pudotustilannetta ajasta riippumattomaan ja ajan suhteen tarkkaan virtauslaskentaan perustuvilla laskentamenetelmillä. Näitä ennen tehdään yksinkertaistettu pudotussimulointi, jonka perustana ovat ulkoiseen kuormaan vapaassa virtauksessa vaikuttavat aerodynaamiset kertoimet. Virtauslaskennassa käytetään FINFLO-virtausratkaisijaa, jonka avulla voidaan määrittää pudotettavaan kappaleeseen vaikuttavat aerodynaamiset voimat ja momentit pudotuksen aikana. Näistä voimista ja momenteista voidaan laskea lentorata pudotettavalle kappaleelle. Ajan suhteen tarkalla virtauslaskennalla lentorataa laskettaessa FINFLOon lisättiin toiminto, joka määrittää ulkoisen kuorman lentoradan automaattisesti FINFLOn sisällä. Lopputuloksina saatiin simuloitua yksi pudotustilanne kolmella eri simulointimenetelmällä. Lisäksi työn tulokseksi voidaan lukea lentoratalaskentaa suorittavan ominaisuuden alustava implementointi FINFLOon. Kyseisen toiminnon kehitystyötä on jatkettava vielä opinnäytetyön ulkopuolella.

3 iii HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Mechanical Engineering ABSTRACT OF MASTER S THESIS Author Date Juho Ilkko August 2, 2007 Title of thesis Pages Simulation of external store separation from an aircraft using Navier-Stokes method Chair Aeronautical Engineering Supervisor Professor Jaakko Hoffren Instructor Esa Salminen, M.Sc. (Tech.) 109 Chair Code Kul-34 In this thesis, the simulation of an external store separation is studied by using a Navier-Stokes-based calculation method. The goal of the study is to define the trajectory of the external store and its attitude angles after the separation. The calculation concentrates on the time section when the store is in the proximity of the aircraft and there is a possibility that the store hits the aircraft and causes structural damage. The length of this time section is approximately half a second from the separation moment. In a theoretical section of this thesis, research made earlier about the same topic are studied. In these examinations, the store separation has been simulated experimentally and by various calculation methods. In addition to that, the theoretical section contains the basic theory about computational fluid dynamics (CFD) and the basic theory about the trajectory calculation. In the practical part of this thesis, a store separation case is simulated by a quasi-steady and a time-accurate CFD scheme. Before these calculations, one simplified simulation is done. This case is based on free-stream aerodynamic coefficients of the external store. Fluid mechanics is modelled by the FINFLO flow solver in every case. Aerodynamic forces and moments of the external store during the separation phase are calculated by FINFLO and the trajectory can be obtained from these forces and moments. A new implementation for the trajectory calculation was made for FINFLO, when the trajectory was solved applying the time-accurate fluid dynamics. This function calculates the trajectory automatically inside the flow solver. Among the results of this work, one separation case was simulated by three different simulation methods. Also the implementation for trajectory calculation to FINFLO can be counted as an outcome of this study, but there is still a need to develop the implementation outside this thesis.

4 iv Esipuhe Tämän tutkimuksen tilaajana oli Ilmavoimien esikunta ja työ toteutettiin lentotekniikan diplomi-insinöörin tutkintoon kuuluvana diplomityönä Finflo Oy:ssä. Ilmavoimien esikunnassa tähän työhön liittyviä asioita hoitivat diplomi-insinööri Ilpo Paukkeri ja diplomi-insinööri Ari Välikangas. Haluan kiittää heitä molempia työhön liittyvistä ideoista ja kommenteista. Työn valvojana toimi professori Jaakko Hoffren, jota haluan kiittää saamastani ohjauksesta ja opastuksesta. Lisäksi haluan esittää kiitokset työn ohjaajalle diplomi-insinööri Esa Salmiselle, jolta sain paljon neuvoja ja apua työn aikana. Kiitän myös Finflo Oy:n muuta henkilökuntaa professori Timo Siikosta ja diplomi-insinööri Martina Meinanderia työhön liittyvistä neuvoista ja avusta. Tämän työn valmistumisen myötä saan vihdoinkin opinnot päätökseen Otaniemessä. Opiskeluvuosien aikana olen saanut viettää paljon hyviä hetkiä ystävieni kanssa ja haluankin esittää heille lämpimät kiitokset kaikesta. Ystävieni ansiosta opiskeluelämä oli mukavaa ja siitä jäi paljon hyviä muistoja. Suuri kiitos kuuluu myös kotiväelle heiltä saamastani kannustuksesta ja tuesta opintojeni aikana. He jaksoivat ymmärtää minua silloinkin, kun opiskeluasiat olivat täysin kompleksisia ja hyvin voimakkaasti epälineaarisia. Erityisesti haluan osoittaa äärettömän määrän kiitoksia rakkaalle vaimolleni Annille opiskeluhuolieni ymmärtämisestä ja kaikesta muustakin. Vaimoni ansiosta elämisen laatu on noussut merkittävästi ja suunta on edelleenkin vahvasti ylöspäin niin kuin lentokonemiehellä pitää ollakin. Espoo 2. elokuuta 2007 Juho Ilkko

5 v Symboliluettelo C D C L C m C x C y C z C mx C my C mz d e E F F c F v F X, F Y, F Z F c F v ˆF c ˆF v g G c G v H c H v vastuskerroin nostovoimakerroin pituusmomenttikerroin voimakerroin x-akselin suuntaan voimakerroin y-akselin suuntaan voimakerroin z-akselin suuntaan momenttikerroin x-akselin ympäri momenttikerroin y-akselin ympäri momenttikerroin z-akselin ympäri referenssipituus sisäenergia massayksikköä kohti kokonaisenergia massayksikköä kohti kontrollitilavuuden ulkopinnan läpi kulkeva vuo kitkaton vuo x-suuntaan kitkallinen vuo x-suuntaan aerodynaamiset voimat eri koordinaattisuuntiin kitkaton vuo kontrollitilavuuden pintojen läpi kitkallinen vuo kontrollitilavuuden pintojen läpi kitkaton vuo laskentakopissa kitkallinen vuo laskentakopissa maan vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys kitkaton vuo y-suuntaan kitkallinen vuo y-suuntaan kitkaton vuo z-suuntaan kitkallinen vuo z-suuntaan i, j, k hilakoordinaattien arvot eri koordinaattisuuntiin I x, I y, I z kappaleen massahitausmomentteja I xz, I yz, I xy kappaleen massahitaustuloja k turbulenssin kineettinen energia l turbulenssin pyörteiden kokoa kuvaava mitta L, M, N aerodynaamiset momentit eri koordinaattisuuntiin m kappaleen massa n kontrollitilavuuden ulkopinnan yksikkövektori n x, n y, n z laskentakopin pintojen yksikkövektorin komponentit eri koordinaattisuuntiin p staattinen paine

6 vi p, q, r kappaleen kulmanopeudet p rk, q rk, r rk, s rk termejä Runge-Kuttan menetelmässä q kin kineettinen paine Q kontrollitilavuuden lähdetermejä kuvaava vektori, laskentakopin lähdetermejä kuvaava vektori S kontrollitilavuuden ulkopinnan pinta-ala, referenssipinta-ala S j t n, t n+1 t laskentakopin yhden tahkon pinta-ala ajan arvoja Runge-Kuttan menetelmässä fysikaalisen ajan arvo virtauslaskennassa u, v, w virtausnopeudet eri koordinaattisuuntiin, kappaleen nopeudet eri koordinaattisuuntiin U ratkaistavien suureiden muodostama vektori kontrollitilavuudessa U fi V V r V t Chimera-tekniikan interpoloitavat arvot sisältävä vektori kontrollitilavuuden tilavuus suhteellinen virtausnopeus laskentatilavuuden ulkopinnalla laskentakopin hilanopeus x, y, z koordinaattien arvot eri koordinaattisuuntiin y rk α δ ij t ɛ ratkaisuvektori Runge-Kuttan menetelmässä kohtauskulma Kroneckerin deltasymboli aika-askel Runge-Kuttan menetelmässä, fysikaalinen aika-askel ajan suhteen tarkassa virtauslaskennassa turbulenssin dissipaatio µ molekylaarinen viskositeetti µ T turbulenttinen viskositeetti φ koordinaatin (x, y tai z) arvo ψ, θ, φ Eulerin kulmat Ψ, Θ, Φ asentokulmat ρ virtaavan väliaineen tiheys σ k, σ ɛ Schmidtin lukuja jännitystensori, jonka suunta määritetään alaindekseillä τ ij ω turbulenssin ominaisdissipaatio χ i Chimera-tekniikan vaimennustekijä

7 vii Alaindeksit i, j, k eri hilakoordinaattisuuntien indeksit x, y, z eri koordinaattisuuntien indeksit Yläindeksit n + 1 n n 1 ratkaistavaa tilaa vastaava aika-taso ajan suhteen tarkassa virtauslaskennassa ja Runge-Kuttan menetelmässä uusinta tunnettua tilaa vastaava aika-taso ajan suhteen tarkassa virtauslaskennassa ja Runge-Kuttan menetelmässä edellistä tunnettua tilaa vastaava aika-taso ajan suhteen tarkassa virtauslaskennassa

8 viii Sisältö 1 Johdanto 1 2 Ulkoisen kuorman pudotuskokeita ja -simulointeja Ulkoisen kuorman pudotuksen tutkiminen Lentokokeet Suomessa tehtyjä pudotuskokeita Tuulitunnelikokeet Perinteisten laskentamenetelmien käyttö pudotussimuloinneissa Pudotussimulointia hoikan kappaleen teorialla ja pyörrehilamenetelmällä Pudotussimulointia paneelimenetelmällä Suomessa paneelimenetelmällä tehdyt pudotussimuloinnit CFD-laskentamenetelmien käyttö pudotussimuloinneissa Pudotustilanteen laskentaa Euler-yhtälöillä ajan suhteen tarkalla virtaussimuloinnilla Chimera-hilaa käyttäen Pudotustilanteen laskentaa kitkallisilla virtausyhtälöillä ajasta riippumattomalla virtaussimuloinnilla rakenteetonta hilaa käyttäen Pudotustilanteen laskentaa kitkattomilla yhtälöillä ajasta riippumattomalla tai ajan suhteen tarkalla virtaussimuloinnilla karteesista hilaa käyttäen JDAM-tutkimukset Yhteenveto pudotuskokeista ja -simuloinneista Laskennallinen virtausmekaniikka ja lentoratamalli Yleistä laskennallisesta virtausmekaniikasta FINFLO-virtausratkaisija Laskennallisen virtausmekaniikan laskentaperiaatteita Kontrollitilavuusmenetelmä Ratkaisualgoritmit Turbulenssin simulointi k ω SST -turbulenssimalli Päällekkäisten hilojen tekniikka Kuuden vapausasteen liikeratamalli

9 ix Käytetty laskentaohjelma Eulerin liikeyhtälöt Runge-Kuttan menetelmä Pudotussimulointisovellus Tutkittava pudotustilanne ja käytetty koordinaatisto Sovellettava geometria OSKUn geometria OSKUn hila Hawk-suihkuharjoituskoneen hila OSKU vapaassa virtauksessa Laskennan toteuttaminen Laskennan tuloksia Laskentatulosten vertailua tuulitunnelikokeiden tuloksiin Laskentaa lentotilanteen virtausnopeudella Laskentaa harvalla hilalla Lentoradan laskentaa vapaan virtauksen tulosten pohjalta Lentoratalaskennan toteutus Aerodynaamisten kertoimien määrittäminen Lentorata vapaan virtauksen tulosten pohjalta Vapaan virtauksen lentoratalaskennan tulosten arviointia Lentoratasimulointi ajasta riippumattomalla CFD-laskennalla Lentoratasimuloinnin toteutus Lentoratasimuloinnin tuloksia Lentoratasimuloinnin tulosten analysointia Lentoratasimulointi ajan suhteen tarkalla CFD-laskennalla Ajan suhteen tarkan CFD-laskennan teoriaa Hila- ja pintanopeuksien laskenta FINFLOssa Laskettujen nopeuksien kokeilua Lentoratalaskentaohjelma FINFLOssa Lentoratasimuloinnin toteutus Lentoratasimuloinnin tuloksia Lentoratasimuloinnin tulosten analysointia Yhteenveto 98 Lähdeluettelo 100 Liiteet 103

10 1 1 Johdanto Ulkoisen kuorman pudotukseen lentävästä lentokoneesta sisältyy vaaratekijöitä. Lentokoneen ympärillä oleva virtauskenttä voi muuttaa pudotettavan kuorman lentorataa siten, että kuorma osuu lentokoneeseen aiheuttaen rakenteellisia vaurioita. Tämän välttämiseksi on pyritty kehittämään menetelmiä, joilla voitaisiin tutkia pudotettavan kuorman lentorataa lentokoneen läheisyydessä. Tämän diplomityön tavoitteena on suorittaa OSKU-nimisen ulkoisen kuorman pudotussimulointi Hawk-suihkuharjoituskoneesta laskennalliseen virtausmekaniikkaan (CFD-laskentaan) perustuvalla menetelmällä FINFLO-virtausratkaisijaa käyttäen. Ensisijaisena pyrkimyksenä on tutkia ja kehittää pudotussimulointimenetelmää ja sen vaatimaa jälkikäsittelyä. Koska valmiuksien kehittämiseen kuluu melko suuri työpanos, pidetään työtä tärkeänä, vaikka itse tutkittava pudotustilanne ei välttämättä edusta ajankohtaista tarvetta. Pudotussimulointia tarvitaan erityisesti tilanteissa, jossa ulkoisen kuorman integrointia lentokoneeseen ei ole aikaisemmin tositettu. Laskennassa keskitytään välittömästi pudotustilanteen jälkeen vallitsevaan noin puoli sekuntia kestävään ajanjaksoon, jolloin on vaarana, että vapaasti lentokoneen läheisyydessä lentävä kappale voi osua lentokoneeseen. Tässä työssä pudotuksiin liittyvä teoriaosa esitetään luvuissa 2 ja 3. Tämä osio sisältää suppean kirjallisuustutkimuksen pudotussimuloinneista sekä perusasioita CFD-laskennasta ja lentoratalaskennassa käytetystä laskentamenetelmästä. Luvussa 4 esitettävässä varsinaisessa tutkimusosiossa lasketaan pudotettavan kuorman lentorataa kolmella eri tavalla. Ensimmäisessä menetelmässä tehdään ulkoisesta kuormasta eli OSKUsta laskentamalli, jolla tehdään alustavia simulointeja ilman kytkentää lentokoneeseen. Näiden simulointien avulla voidaan määrittää kappaleeseen vaikuttavat aerodynaamiset voimat ja momentit kohtauskulman funktiona. Määritettyjen funktioiden avulla voidaan laskea karkea arvio kappaleen lentoradalle pudotustilanteessa. Toisella tavalla lentorataa laskettaessa määritetään kappaleen rata ajasta riippumattomaan CFDlaskentaan perustuen. Hawkista on käytettävissä virtaussimulointimalli, jolla saadaan laskettua tarkasteltavassa lentotilassa konetta ympäröivä virtauskenttä. Pudotettava kappaleen hila sijoitetaan lentokoneen hilaan ja virtaus-

11 2 simulointi suoritetaan päällekkäisten hilojen tekniikkaa (Chimera-tekniikkaa) käyttäen. Saatujen voima- ja momenttikertoimien pohjalta voidaan laskea lentorata OSKUlle. Kolmannessa ja vaativimmassa vaiheessa suoritetaan lentoratalaskenta ajan suhteen tarkalla virtauslaskennalla Chimera-tekniikkaa käyttäen. Tämän simuloinnin yhteydessä lentoratalaskentamalli implementoitiin FINFLOn sisälle aliohjelmaksi. Lentoradan laskenta tehdään kaikissa kolmessa eri laskentamenetelmässä pienen aika-askeleen aikana tapahtuvien siirtymien perusteella integroimalla Runge-Kuttan menetelmällä Eulerin liikeyhtälöitä. Liikeyhtälöissä tarvittavat aerodynaamiset voimat saadaan määritettyä CFD-laskennalla. Saatuja tuloksia analysoidaan ja kommentoidaan tutkimusosiossa sekä luvussa 5 suoritettavassa yhteenvedossa. Luvussa 5 esitetään myös muita tutkimuksessa havaittuja seikkoja ja syntyneitä ideoita.

12 3 2 Ulkoisen kuorman pudotuskokeita ja -simulointeja 2.1 Ulkoisen kuorman pudotuksen tutkiminen Pudotustilannetta voidaan tutkia kokeellisesti tai laskennallisesti sekä näistä yhdistämällä muodostetuilla menetelmillä. Kokeellisia menetelmiä ovat lentoja tuulitunnelikokeet. Laskentamenetelmänä voidaan käyttää perinteisiä menetelmiä, joissa virtauskenttää ja sen aiheuttamia voimia ja momentteja kuvataan potentiaaliteorian mukaisten lähteiden, nielujen ja pyörteiden avulla. Toinen mahdollinen laskentamenetelmä on laskennallinen virtausmekaniikka eli CFD-laskenta. Kokeellisesti saatuja tuloksia voidaan myös yhdistää laskentamenetelmiin, jolloin puhutaan ns. sekatekniikasta. Pudotustilanteen tutkiminen keskittyy pääasiassa heti pudotuksen jälkeen vallitsevaan tilanteeseen, jolloin pudotettava kuorma on vielä lentokoneen läheisyydessä ja sen osuminen lentokoneeseen on mahdollista. 2.2 Lentokokeet Lentokokeessa tutkitaan pudotustilannetta suorittamalla oikea pudotus. Lentokoe ei varsinaisesti ole tutkimus- vaan kokeilumenetelmä. Ennen lentokoetta olisi hyvä olla muuta tutkimustietoa pudotustilanteesta, jonka pohjalta voidaan muodostaa alustava arvio ulkoisen kuorman irtaantumisesta lentokoneesta. On kuitenkin huomattava, että ennen pudotuskoetta hankittu tutkimustieto voi olla virheellistä ja tutkimustiedon oikeellisuutta on arvioitava kriittisesti. Pudotettavan kuorman lentorata pudotustilanteessa lentokokeen aikana voidaan taltioida kameran tai kameroiden avulla. Kuvauslaitteisto voidaan asentaa pudotettavaa kuormaa kantavaan lentokoneeseen tai kuvaus voidaan suorittaa myös vierellä lentävästä lentokoneesta tai jopa maa-asemalta [1]. Kuvaustulosten analysoinnin helpottamiseksi pudotettavaan kuormaan sekä kuorman pudottavaan lentokoneeseen voidaan maalata merkintäpisteitä, joiden sijainti lentokoneen koordinaatistossa tunnetaan. Pudotettavan kuorman asennon määrittäminen tapahtuu näiden merkintäpisteiden avulla. Toinen tapa taltioida pudotettavan kuorman lentorata lentokokeen aikana on asentaa pudotettavaan kuormaan laitteisto, joka mittaa kiihtyvyyksiä. Kiihty-

13 4 vyyksiä täytyy mitata kuuden vapausasteen mukaan, eli on huomioitava kolme translaatiota ja kolme rotaatiota. Saadut tiedot siirretään telemetrian avulla maa-asemalle, jossa tulokset taltioidaan ja tuloksista voidaan muodostaa pudotettavan kuorman lentorata. Kuvassa 1 näkyy pudotettava kuorma lentokoneeseen kiinnitettynä sekä pudotusta kuvaavat kamerat ja kuvaustulosten analysointia helpottavia merkintäpisteitä. Kuva 1. Ulkoinen kuorma lentokoneeseen kiinnitettynä. Kuvassa näkyy myös lentokoneeseen ja kuormaan maalattuja merkintäpisteitä, joita käytetään pudotustilanteen analysoinnissa. Lisäksi kuvassa näkyvät pudotustilanteen taltioimista varten lentokoneeseen kiinnitetyt kamerat [2]. 2.3 Suomessa tehtyjä pudotuskokeita Suomessa on tehty pudotustutkimukseen liittyviä lentokokeita pudottamalla Hawk-suihkuharjoituskoneesta ilmamaaliammunnoissa maalina käytettävää ulkoista kuormaa [3]. Pudotustilanteessa ei käytetty irrotushetkellä alkunopeuksia antavaa ejektoria ja pudotettava kuorma oli staattisesti stabiili. Kokeen tulokset taltioitiin videokuvaamalla vierellä lentävästä koneesta. Tutkimuksessa havaittiin, että kuorman irrottua lentokoneesta kone kallistuu hyvin nopeasti Tällöin ulkoisen kuorman sijainnin vertaaminen lentokoneen sijaintiin on vaikeaa. Lisäksi ongelmana tutkimuksessa oli videokuvan alhainen resoluutio, jolloin ulkoisen kuorman sijainnin ja asennon määrittäminen tarkasti oli hankalaa. Lentokokeiden lisäksi tässä tutkimuksessa simuloitiin vastaava pudotustilanne laskennallisesti. Tästä kerrotaan luvussa Tuulitunnelikokeet Ulkoisen kuorman pudotustilannetta voidaan tutkia myös tuulitunnelikokeiden avulla. USA:n ilmavoimilla on tutkimuskeskus (Arnold Engineering Developement Center, AEDC) [4], jossa näitä tuulitunnelikokeita voidaan tehdä.

14 5 Esimerkki tämän tutkimuslaitoksen tuulitunnelikokeissa käytettävästä laitteistosta on esitetty kuvassa 2. Kuva 2. Lentokoneen ja pudotettavan kuorman tuulitunnelimallit tuulitunnelin mittatilassa [4]. Lentokoneen tuulitunnelimalli kiinnitetään ylösalaisin mittatilaan ja pudotettavan kuorman tuulitunnelimalli kiinnitetään tietokoneohjattuun liikuteltavaan tukeen. Tuulitunnelikokeen aluksi pudotettavan kuorman tuulitunnelimalli asetetaan hyvin lähelle lentokoneen tuulitunnelimallia eli siihen kohtaan, johon pudotettava kuorma kiinnittyisi oikeassa tilanteessa. Seuraavaksi tuulitunneliin asetetaan virtaustilanne, joka vastaa tutkittavaa pudotustilannetta. Ulkoisen kuorman lentorata voidaan määrittää tietokoneohjatun tuen mittaamien voimien perusteella, kun pudotettavan kuorman tuulitunnelimallia liikutetaan virtauskentässä sen oletetulla lentoradalla. 2.5 Perinteisten laskentamenetelmien käyttö pudotussimuloinneissa Ennen CFD-laskennan kehittymistä ulkoisen kuorman pudotustilannetta tutkittiin perinteisillä laskentamenetelmillä, joissa virtauskenttää ja sen aiheuttamia voimia ja momentteja kuvataan välillisesti potentiaaliteorian mukaisten lähteiden, nielujen ja pyörteiden avulla. Näillä laskentamenetelmillä ei voida laskea kitkallista virtausta, joten kitkan vaikutukset täytyy ottaa huomioon erilaisten approksimaatioiden avulla. Seuraavaksi on esitetty muutamia esimerkkejä näin tehdyistä tutkimuksista.

15 Pudotussimulointia hoikan kappaleen teorialla ja pyörrehilamenetelmällä USA:ssa Albuquerquessa Sandia Laboratories:in tutkimuskeskuksessa on tutkittu ulkoisen kuorman pudotustilanteen laskentaa jo vuonna 1975 [5]. Pudotettavana kappaleena käytettiin canard- sekä takasiivillä varustettua pyörähdyssymmetristä koekappaletta, joka laukaistiin ejektorin avulla irti lentokoneesta. Koekappaleen pituus oli 3,56 metriä, halkaisija 0,38 metriä ja massa 390 kg. Pudotustilanne simuloitiin laskennallisesti ja simuloinnin tuloksia verrattiin lentokokeeseen. Lentokoe suoritettiin jalan korkeudella Machin luvulla 0,70. Lentokokeen tulokset taltioitiin telemetrian ja kuvauslentokoneen avulla. Tutkimuksessa pudotettavalle kuormalle laskettiin aerodynaamiset voimat ja momentit hoikan kappaleen teorian ja pyörrehilamenetelmän avulla. Vapausasteita laskennassa oletettiin olevan kuusi ja pudotettavaa kuormaa käsiteltiin jäykkänä kappaleena. Aerodynaamisten voimien ja momenttien sekä pienen aika-askeleen avulla voitiin määrittää lentorata pudotettavalle kuormalle. Lentorataa tutkimuksessa oli simuloitu noin kahden sekunnin pituiselta ajanjaksolta. Tutkimuksessa laskemalla saatuja tuloksia on verrattu lentokokeiden tuloksiin. Vertailtavina suureina olivat pudotettavan kappaleen sijainti pystysuunnassa sekä pudotettavan kappaleen pituus- ja poikittaissuuntainen heilahtelu. Sijainti pystysuunnassa oli pystytty laskemaan tällä laskentamenetelmällä hyvin. Ejektorin käytöstä johtuen ei aerodynamiikka ennätä vaikuttaa merkittävästi pystysuuntaiseen sijaintiin tutkitun ajan jakson aikana, joten laskentatulokset osuvat lähelle koetuloksia. Nykyisiin laskentamenetelmiin verrattuna pituus- ja poikittaissuuntaiset heilahtelut pystyttiin määrittämään tällä laskentamenetelmällä vain kohtalaisella tarkkuudella Pudotussimulointia paneelimenetelmällä Etelä-Afrikan kansallisessa tutkimuskeskuksessa Pretoriassa (National Institute for Aeronautics and System Technology) 1984 tehdyssä tutkimuksessa simuloitiin ulkoisen kuorman pudotustilannetta paneelimenetelmällä USSAEROtietokoneohjelmalla [6]. Tutkimuksessa kehitettiin tietokoneohjelma, joka laskee paneelimenetelmällä pudotettavaan kuormaan aiheutuvat aerodynaamiset voimat ja momentit. Kuorma oli staattisesti stabiili ja pudotustilanteessa käytettiin ejektoria, jonka avulla kuorma laukaistiin ripustimesta irti. Lentorata laskettiin määritettyjen aerodynaamisten voimien ja momenttien sekä

16 7 pienen aika-askeleen avulla. Laskelmia tehtiin eri Machin luvuilla ja eri kohtauskulmilla. Laskujen tuloksia verrattiin koetuloksiin. Lasketun lentoradan pituus tässä tutkimuksessa oli 0,6 sekuntia. Pudotettavaa kuormaa käsiteltiin jäykkänä kappaleena ja vapausasteita sillä oletettiin olevan kuusi. Pudotettavan kuorman sijainti sekä pituus- ja poikittaissuuntaiset heilahtelut pystyttiin määrittämään tällä laskentamenetelmällä vastaavalla tarkkuudella kuin lähteen [5] tutkimuksessa. Myös tässä tutkimuksessa pudotettavan kappaleen pystysuuntainen sijainti määräytyy pääasiassa ejektorin antaman impulssin ja maan vetovoiman vaikuttamana, eikä aerodynamiikalla ole ratkaisevaa osuutta pudotustilanteen aikana. Simuloitujen lentoratojen pituudet olivat kuitenkin kestoltaan erilaisia lähteiden [5] ja [6] tutkimuksissa, joten näiden tutkimusten tuloksia ei voida verrata keskenään kovin hyvin. Lentoradan simuloinnin lisäksi lähteen [6] tutkimuksessa oli määritetty virtauskentän suunta ulkoisen kuorman ympärillä lentokoneen eri kohtauskulmilla tilanteessa, jossa kuorma oli vielä kiinnitettynä lentokoneeseen. Myös aerodynaamisten kertoimien arvoja ulkoiselle kuormalle oli laskettu tässä tilanteessa. Nykyisiin laskentamenetelmiin verrattuna virtauskentän suunta koetuloksiin nähden oli pystytty määrittämään tässä tutkimuksessa vain kohtalaisella tarkkuudella Suomessa paneelimenetelmällä tehdyt pudotussimuloinnit Suomessa on myös laskettu ulkoisen kuorman pudotustilanteita paneelimenetelmällä. Nämä tutkimukset on tehty Teknillisessä korkeakoulussa Otaniemessä. Aiheesta on tehty useita tutkimuksia. Tutkimuksissa on kehitetty tietokoneohjelmia, jotka pystyvät laskemaan pudotustilannetta paneelimenetelmän avulla. Lähteen [7] tutkimuksessa pudotettavana kuormana oli OSKUniminen kuorma ja lentokone, josta kuorma pudotettiin oli Hawk-suihkuharjoituskone. Aerodynamiikkaa mallinnettiin tässä tutkimuksessa paneelimenetelmällä ja siinä esiintyviä puutteita korjattiin tuulitunnelista saatujen mittaustulosten sekä ESDU:n approksimaatioiden avulla. Lähteen [3] tutkimuksessa pudotettavana kuormana oli ilmamaaliammunnoissa maalina käytetty kappale ja lentokoneena Hawk-suihkuharjoituskone. Aerodynamiikan mallinnus tässäkin tutkimuksessa tehtiin osittain paneelimenetelmän avulla. Paneelimenetelmän laskemia tuloksia korjattiin tuulitunnelituloksilla ja CFD-laskennalla tehdyillä tuloksilla.

17 8 OSKUn tutkimuksessa [7] laskettiin ensiksi paneelimenetelmällä virtauskenttä lentokoneen ympärillä ilman ulkoista kuormaa. Tähän virtauskenttään asetettiin ulkoinen kuorma ja paneelimenetelmällä voitiin virtauskentän perusteella laskea voima- ja momenttikertoimet pudotettavalle kuormalle. Tutkimuksessa oletettiin, että ulkoisen kuorman lisääminen lentokoneen ympärillä olevaan virtauskenttään ei muuta virtauskenttää kuin paikallisesti. Pudotettavan kuorman vastus laskettiin empiirisellä likikaavalla. Paneelimenetelmä ei voi ennustaa järkevästi pudotettavan kuorman aerodynaamisia voimia suurilla kohtausja sivuluisukulmilla. Tämän virheen korjaamiseksi lentorataa laskettiin suurilla kohtauskulmilla tuulitunnelikokeista [8] saatujen aerodynaamisten kertoimien perusteella. Tuulitunnelissa ei puolestaan ollut kyetty mittaamaan kappaleen kokemia kaikkein suurimpia kohtauskulmia, joten näiden tilanteiden aerodynaamiset kertoimet ekstrapoloitiin ESDU:sta saaduilla kaavoilla. Kappaleen translaatio- ja kulmanopeudet otettiin huomioon paikallisten virtauskulmien määrityksessä. Paneelimenetelmälaskujen ja eri korjaustekijöiden jälkeen saaduista voima- ja momenttikertoimista voitiin laskea lentorata pienen aika-askeleen avulla Runge-Kuttan integrointimenetelmällä. Myös tässä tutkimuksessa pudotettavaa kuormaa tutkittiin jäykkänä kappaleena ja vapausasteita sillä oletettiin olevan kuusi. Pudotustilannetta simuloitiin 0,5 sekuntia pitkän ajanjakson ajan. Kokeellisia tuloksia kyseisestä pudotustilanteesta ei ole käytössä. Lähteen [7] tutkimus valittiin referenssitutkimukseksi tähän opinnäytetyöhön. Tässä opinnäytetyössä tutkitaan siis lähteessä [7] määritettyjä tilanteita ja saatuja laskentatuloksia verrataan tähän tutkimukseen. Perustelut tälle esitetään luvussa 4.1. Lähteen [3] laskenta tehtiin paneelimenetelmällä, jonka tuloksia korjattiin tuulitunnelimittaustulosten ja CFD-laskennan avulla. Pudotustilanteen alussa pudotettavan kappaleen aerodynaamiset kertoimet määritettiin FINFLOlla Chimera-tekniikan avulla suoritetulla staattisella virtaussimuloinnilla. Pudotustilanteen edetessä paneelimenetelmä- ja tuulitunnelitulokset alkavat hallita aerodynamiikan mallinnusta. Tuulitunnelissa määritetyt arvot muutetaan tuulitunnelinopeuksista poikkeaville Machin luvuille CFD-laskentatuloksiin perustuvalla korjauksella. Kohtaus- ja sivuluisukulma määritetään aina kappaleen asennon, nopeuden sekä virtauskentän suunnan yhteisvaikutuksen perusteella. Lentoratalaskenta tehtiin pieniä aika-askelia käyttäen Runge-Kuttan menetelmällä. Pudotettavalla kuormalla oletettiin olevan kuusi vapausastetta. Tutkimuksessa laskemalla saatuja tuloksia on verrattu lentokokeiden tu-

18 9 loksiin. Pudotustilanne suoritettiin ilman ejektoria, joten aerodynamiikka vaikuttaa merkittävästi kappaleen lentorataan koko simuloidun pudotustilanteen ajan (0,7 sekuntia). Laskenta- ja koetuloksia on verrattu toisiinsa pituusasentokulman ja pituussuuntaisen translaation osalta. Vertailun perusteella voidaan sanoa, että laskentatulokset ovat hyvin lähellä koetuloksia. 2.6 CFD-laskentamenetelmien käyttö pudotussimuloinneissa Nykyään pudotustilannetta voidaan simuloida laskennallisen virtausmekaniikan eli CFD-laskennan avulla. CFD-laskennasta kerrotaan enemmän myöhemmin kolmannessa luvussa. Journal of Aircraft-lehdistä löytyi useita artikkeleita [9]-[11], jotka käsittelivät CFD-laskennan käyttöä ulkoisen kuorman pudotusten simuloinnissa. Seuraavassa esitetään muutamia esimerkkejä tehdyistä tutkimuksista Pudotustilanteen laskentaa Euler-yhtälöillä ajan suhteen tarkalla virtaussimuloinnilla Chimera-hilaa käyttäen USA:ssa laskettiin siipeen kiinnitetyn ulkoisen kuorman pudotustilannetta CFD-laskennalla vuonna 1994 [9]. Tutkimus tehtiin USA:n ilmavoimien alaisuudessa Wright Laboratoryn ja Calspan Corporationin yhteistyöllä Floridassa ja Tennesseessä. CFD-laskentaa vastaavaa pudotustilannetta tutkittiin myös tuulitunnelissa. Tutkimuksessa Machin luku oli 0,95 ja lentokorkeus jalkaa. Pudotus suoritettiin ejektorin avustamana ja pudotettava kappale oli pyörähdyssymmetrinen ja hoikka. Kuormassa oli neljä siipeä hieman pituusakselin puolivälin etupuolella. Painopiste sijaitsi siipien etupuolella. Pudotustilanteessa kappaleelle annettiin nokkaa ylöspäin kääntävä pituuskulmanopeus. Tästä huolimatta nokkaa alkoi painua lentoradan myöhemmässä vaiheessa alaspäin, joten voidaan olettaa, että tutkittava kappale on staattisesti pituusvakaa. Virtaussimulointi tehtiin ajan suhteen tarkalla virtaussimuloinnilla kitkattoman teorian Eulerin yhtälöitä käyttäen. Lentorata määritettiin pienten aika-askeleiden avulla. Jokaista aika-askelta kohden laskettiin aerodynaamiset voimat CFD-laskennalla. Aika-askeleen ja aerodynaamisten voimien avulla voitiin määrittää lentorata pudotettavalle kuormalle. Pudotettavaa kuormaa tutkittiin jäykkänä kappaleena ja sille oletettiin kuusi vapausastetta. Lasketun lentoradan kokonaiskesto oli 0,45 sekuntia.

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011

MUISTIO No CFD/MECHA pvm 22. kesäkuuta 2011 Aalto yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Virtausmekaniikka / Sovelletun mekaniikan laitos MUISTIO No CFD/MECHA-17-2012 pvm 22. kesäkuuta 2011 OTSIKKO Hilatiheyden määrittäminen ennen simulointia

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet 9. Kitkaton virtaus ja potentiaaliteoria KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten ja millä edellytyksillä virtausongelmaa voidaan yksinkertaistaa? Motivointi: Navier-Stokes yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä

Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Jukka Kiijärvi Virtaus ruiskutusventtiilin reiästä Kaasu- ja polttomoottorin uudet tekniset mahdollisuudet Polttomoottori- ja turbotekniikan seminaari 2014-05-15 Otaniemi Teknillinen tiedekunta, sähkö-

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien

Lisätiedot

LÄSÄ-lämmönsäästäjillä varustettujen kattotuolirakenteiden lämpöhäviön simulointi

LÄSÄ-lämmönsäästäjillä varustettujen kattotuolirakenteiden lämpöhäviön simulointi LÄSÄ-lämmönsäästäjillä varustettujen kattotuolirakenteiden lämpöhäviön simulointi 13.11.2015 TkT Timo Karvinen Comsol Oy Johdanto Raportissa esitetään lämpösimulointi kattotuolirakenteille, joihin on asennettu

Lisätiedot

LENTOTEKNIIKAN JATKO OPINTO OHJE VUODEN 2005 TUTKINTOSÄÄNNÖN MUKAAN OPISKELEVILLE

LENTOTEKNIIKAN JATKO OPINTO OHJE VUODEN 2005 TUTKINTOSÄÄNNÖN MUKAAN OPISKELEVILLE Sivu 1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Konetekniikan osasto 22.10.2006 LENTOTEKNIIKAN JATKO OPINTO OHJE VUODEN 2005 TUTKINTOSÄÄNNÖN MUKAAN OPISKELEVILLE 1. OHJEEN TARKOITUS Ohjeen tarkoituksena on antaa jatko

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Matemaattisesta mallintamisesta

Matemaattisesta mallintamisesta Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Kertaus 3 Putkisto ja häviöt, pyörivät koneet KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Käsitteelliset tehtävät Käsitteelliset tehtävät Ulkopuoliset virtaukset Miten Reynoldsin luku vaikuttaa rajakerrokseen?

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE SMG-4500 Tuulivoima Neljännen luennon aihepiirit Tuulivoimalan rakenne Tuuliturbiinin toiminta Turbiinin teho Nostovoima ja vastusvoima Suhteellinen tuuli Pintasuhde Turbiinin tehonsäätö 1 TUULIVOIMALAN

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

SIMULINK 5.0 Harjoitus. Matti Lähteenmäki 2004 www.tpu.fi/~mlahteen/

SIMULINK 5.0 Harjoitus. Matti Lähteenmäki 2004 www.tpu.fi/~mlahteen/ SIMULINK 5.0 Harjoitus 2004 www.tpu.fi/~mlahteen/ SIMULINK 5.0 Harjoitus 2 Harjoitustehtävä. Tarkastellaan kuvan mukaisen yhden vapausasteen jousi-massa-vaimennin systeemin vaakasuuntaista pakkovärähtelyä,

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

Betonin pitkät käyttöiät todellisissa olosuhteissa

Betonin pitkät käyttöiät todellisissa olosuhteissa Betonin pitkät käyttöiät todellisissa olosuhteissa Projektipäällikkö, TkT Olli-Pekka Kari Rakennustieto Oy Betonitutkimusseminaari 2.11.2016 Tutkimuksen tausta > Betonirakenteiden käyttöiät ovat pidentymässä

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

Julkaisun laji Opinnäytetyö. Sivumäärä 43

Julkaisun laji Opinnäytetyö. Sivumäärä 43 OPINNÄYTETYÖN KUVAILULEHTI Tekijä(t) SUKUNIMI, Etunimi ISOVIITA, Ilari LEHTONEN, Joni PELTOKANGAS, Johanna Työn nimi Julkaisun laji Opinnäytetyö Sivumäärä 43 Luottamuksellisuus ( ) saakka Päivämäärä 12.08.2010

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki

Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simulointiesimerkki Ruiskuvalumuotin jäähdytys, simuloiesimerkki School of Technology and Management, Polytechnic Institute of Leiria Käännös: Tuula Höök - Tampereen Teknillinen Yliopisto Mallinnustyökalut Jäähdytysjärjestelmän

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi

DEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön

Lisätiedot

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004 Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla Ryhmä C Aleksi Mäki 350637 Simo Simolin 354691 Mikko Puustinen 354442 1. Tutkimusongelma ja

Lisätiedot

1.4. VIRIAALITEOREEMA

1.4. VIRIAALITEOREEMA 1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen

Lisätiedot

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio

Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

Tehtävänä on määrittää fysikaalisen heilurin hitausmomentti heilahdusajan avulla.

Tehtävänä on määrittää fysikaalisen heilurin hitausmomentti heilahdusajan avulla. TYÖ 9d. FYSIKAALISEN HEILURIN HITAUSMOMENTTI Tehtävä Välineet Taustatietoja Tehtävänä on määrittää fysikaalisen heilurin hitausmomentti heilahdusajan avulla. Fysikaalisena heilurina on metrin teräsmittana,

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473

Torsioheiluri IIT13S1. Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala. Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G9024 Petteri Viitanen G8473 Torsioheiluri IIT3S Selostuksen laatija: Eerik Kuoppala Ryhmä B3: Eerik Kuoppala G904 Petteri Viitanen G8473 Mittauspäivämäärä:..4 Selostuksen jättöpäivä: 4.3.4 Torsioheilurin mitatuilla neljän jakson

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen Opetusmateriaali Tämän opetusmateriaalin tarkoituksena on opettaa kiihtyvyyttä mallintamisen avulla. Toisena tarkoituksena on hyödyntää pikkuautoa ja lego-ukkoa fysiikkaan liittyvän ahdistuksen vähentämiseksi.

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Fysiikan kurssit. MAOL OPS-koulutus Naantali 21.11.2015 Jukka Hatakka

Fysiikan kurssit. MAOL OPS-koulutus Naantali 21.11.2015 Jukka Hatakka Fysiikan kurssit MAOL OPS-koulutus Naantali 21.11.2015 Jukka Hatakka Valtakunnalliset kurssit 1. Fysiikka luonnontieteenä 2. Lämpö 3. Sähkö 4. Voima ja liike 5. Jaksollinen liike ja aallot 6. Sähkömagnetismi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Toisen luennon aihepiirit VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT TUULET

SMG-4500 Tuulivoima. Toisen luennon aihepiirit VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT TUULET SMG-4500 Tuulivoima Toisen luennon aihepiirit Tuuli luonnonilmiönä: Ilmavirtoihin vaikuttavien voimien yhteisvaikutuksista syntyvät tuulet Globaalit ilmavirtaukset 1 VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO

FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO FYSA210/2 PYÖRIVÄ KOORDINAATISTO Johdanto Inertiaalikoordinaatisto on koordinaatisto, jossa Newtonin mekaniikan lait pätevät. Tällaista koordinaatistoa ei reaalimaailmassa kuitenkaan ole. Epäinertiaalikoordinaatisto

Lisätiedot

Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa

Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa Vertaileva lähestymistapa järven virtauskentän arvioinnissa Sisältö: 1. Virtauksiin vaikuttavat tekijät 2. Tuulen vaikutus 3. Järven syvyyden

Lisätiedot

Tykillä ampuminen 2. missä b on ilmanvastuskerroin, v skalaarinen nopeus, nopeus vektorina ja nopeuden suuntainen yksikkövektori.

Tykillä ampuminen 2. missä b on ilmanvastuskerroin, v skalaarinen nopeus, nopeus vektorina ja nopeuden suuntainen yksikkövektori. Tykillä ampuminen Mallinnettaessa heittoliikettä, kuten esimerkiksi tykillä ampumista, keskeisinä vaikuttavina tekijöinä ovat painovoima sekä ilmanvastuksen aiheuttama nopeuelle vastakkaissuuntainen voima.

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

TASA- JA VAIHTOVIRTAPIIRIEN LABORAATIOTYÖ 5 SUODATINPIIRIT

TASA- JA VAIHTOVIRTAPIIRIEN LABORAATIOTYÖ 5 SUODATINPIIRIT TASA- JA VAIHTOVIRTAPIIRIEN LABORAATIOTYÖ 5 SUODATINPIIRIT Työselostuksen laatija: Tommi Tauriainen Luokka: TTE7SN1 Ohjaaja: Jaakko Kaski Työn tekopvm: 02.12.2008 Selostuksen luovutuspvm: 16.12.2008 Tekniikan

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on

ja J r ovat vektoreita ja että niiden tulee olla otettu saman pyörimisakselin suhteen. Massapisteen hitausmomentti on FYSA210 / K1 HITAUSMOMENTTI Työn tavoitteena on opetella määrittämään kappaleen hitausmomentti kappaletta pyörittämällä ja samalla havainnollistaa kitkan vaikutusta. Massapisteinä toimivat keskipisteestään

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA

VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA Juha Lehtonen 20.3.2002 Joensuun yliopisto Tietojenkäsittelytiede Kandidaatintutkielma ESIPUHE Olen kirjoittanut tämän kandidaatintutkielman Joensuun yliopistossa

Lisätiedot

RAK Statiikka 4 op

RAK Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen 08.09.2014 Ohjaaja: DI Mikko Harju Valvoja: Prof. Kai Virtanen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka

Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka 2006 m@hyl.fi 1 Lämpötila Suure lämpötila kuvaa kappaleen/systeemin lämpimyyttä (huono ilmaisu). Ihmisen aisteilla on hankala tuntea lämpötilaa,

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Yläilmakehän luotaukset Synoptiset säähavainnot antavat tietoa meteorologisista parametrestä vain maan pinnalla Ilmakehän

Lisätiedot

KUITUPUUN KESKUSKIINTOMITTAUKSEN FUNKTIOINTI

KUITUPUUN KESKUSKIINTOMITTAUKSEN FUNKTIOINTI KUITUPUUN KESKUSKIINTOMITTAUKSEN FUNKTIOINTI Asko Poikela Samuli Hujo TULOSKALVOSARJAN SISÄLTÖ I. Vanha mittauskäytäntö -s. 3-5 II. Keskusmuotolukujen funktiointi -s. 6-13 III.Uusi mittauskäytäntö -s.

Lisätiedot

Ratapihaan liittyvien alueiden sekä kaupungintalon tontin asemakaavamuutoksen tärinäselvitys Suonenjoen kaupunki

Ratapihaan liittyvien alueiden sekä kaupungintalon tontin asemakaavamuutoksen tärinäselvitys Suonenjoen kaupunki Ratapihaan liittyvien alueiden sekä kaupungintalon tontin asemakaavamuutoksen tärinäselvitys Suonenjoen kaupunki 27.8.2014 1 Taustatiedot Suonenjoen kaupungin keskustassa on käynnissä asemakaavatyö, jonka

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Pohjajarven vuosilustoisten sedimenttien paleomagneettinen tutkimus: Paleosekulaarivaihtelu Suomessa viimeisten 3200 vuoden aikana

Pohjajarven vuosilustoisten sedimenttien paleomagneettinen tutkimus: Paleosekulaarivaihtelu Suomessa viimeisten 3200 vuoden aikana Raportti Q29.119612 Timo J. Saarinen Geofysiikan osasto Gtk Pohjajarven vuosilustoisten sedimenttien paleomagneettinen tutkimus: Paleosekulaarivaihtelu Suomessa viimeisten 3200 vuoden aikana Paleomagnetic

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

SIMULINK S-funktiot. SIMULINK S-funktiot

SIMULINK S-funktiot. SIMULINK S-funktiot S-funktio on ohjelmointikielellä (Matlab, C, Fortran) laadittu oma algoritmi tai dynaamisen järjestelmän kuvaus, jota voidaan käyttää Simulink-malleissa kuin mitä tahansa valmista lohkoa. S-funktion rakenne

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot