Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen"

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 ja mittaaminen Johdatus tilastotieteeseen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 ja mittaaminen: Mitä opimme? 1/3 Tilastollisen tutkimuksen kaikki mahdolliset kohteet muodostavat tutkimuksen perusjoukon. Tilastollinen tutkimusaineisto muodostuu perusjoukon alkioita koskevista numeerisista tiedoista. Tutkimusta sanotaan kokeeksi, jos tavoitteena on selvittää, miten kohteiden olosuhteiden aktiivinen muuttaminen vaikuttaa kohteisiin. Tutkimus perustuu suoriin havaintoihin, jos tutkimuksessa seurataan kohteiden olosuhteisiin puuttumatta, miten kohteiden olosuhteet ja niiden muuttuminen vaikuttavat kohteisiin. Vain kontrolloidut kokeet mahdollistavat kausaalipäätelmien teon. Jos kaikki perusjoukon alkiot tutkitaan, tutkimusta sanotaan kokonaistutkimukseksi. Jos vain osa perusjoukon alkioista tutkitaan, tutkimusta sanotaan otantatutkimukseksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 3 ja mittaaminen: Mitä opimme? 2/3 Tiedot tutkimuksen kohteista saadaan mittaamalla kohteiden ominaisuudet ja olosuhteet, joissa kohteet ovat. Mittaaminen tarkoittaa numeeristen arvojen liittämistä tutkimuksen kohteiden ominaisuuksiin ja olosuhteisiin. Hyvä mittari on validi ja reliaabeli. Mittaamisessa käytettävä mitta-asteikko kuvaa mittaamisen tarkkuutta. Mitta-asteikot ovat nominaali- eli laatueroasteikko, ordinaali- eli järjestysasteikko, intervalli- eli välimatka-asteikko ja suhdeasteikko. Tutkimuksen kohteiden ominaisuudet ja niitä vastaavat tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kvalitatiivisiin ja kvantitatiivisiin. Tutkimuksen kohteita kuvaavat tilastolliset muuttujat voidaan jakaa diskreetteihin ja jatkuviin. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 4 ja mittaaminen: Mitä opimme? 3/3 Tilastolliset menetelmät voidaan luokitella tutkimuksen kohteena olevien muuttujien mitta-asteikollisten ominaisuuksien suhteen. ja mittaaminen >> TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 6

2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 7 Perusjoukko, tilastollinen aineisto, havainto Avainsanat Havainto Havaintoarvo Havaintoyksikkö Koe Kokonaistutkimus Kontrolloitu koe Otanta Otantamenetelmät Moniasteinen otanta Ositettu otanta Ryväsotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Otantatutkimus Perusjoukko Satunnaisotanta Satunnaistus Suorat havainnot Tilastollinen aineisto Tilastollisten aineistojen kerääminen Tilastollisen tutkimuksen kaikkien mahdollisten kohteet muodostavat tutkimuksen (kohde-) perusjoukon. Tutkimuksen kohteita tarkastellaan aina jonkin perusjoukon muodostamassa kehikossa. Tutkimuksen kohteiksi valittuja perusjoukon alkioita kutsutaan havaintoyksiköiksi. Tilastollinen aineisto koostuu havaintoyksiköiden ominaisuuksia ja olosuhteita kuvaavista numeerisista tai kvantitatiivisista tiedoista. Havaintoyksiköitä koskevia numeerisia tai kvantitatiivisia tietoja kutsutaan havaintoarvoiksi tai havainnoiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 8 Miten tilastollisia aineistoja kerätään? 1/2 Miten tilastollisia aineistoja kerätään? 2/2 Muutetaanko tutkimuksessa aktiivisesti tutkimuksen kohteiden olosuhteita? (i) Tutkimus on koe, jos tutkimuksen tavoitteena on selvittää, miten olosuhteiden aktiivinen muuttaminen vaikuttaa kohteisiin. (ii) Tutkimus perustuu suoriin havaintoihin, jos tutkimuksen tavoitteena on ainoastaan seurata, miten kohteiden olosuhteet ja niiden muutokset vaikuttavat kohteisiin. Kohdistuuko tutkimus kaikkiin perusjoukon alkioihin vai johonkin perusjoukon osaan? (i) Tutkimusta kutsutaan kokonaistutkimukseksi, jos kaikki perusjoukon alkiot tutkitaan. (ii) Tutkimusta kutsutaan otantatutkimukseksi, jos tutkimus kohdistuu johonkin perusjoukon osajoukkoon. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 10 Koe Koeasetelmat Kokeellisessa tutkimuksessa tavoitteena on selvittää, millaisia vaikutuksia tutkimuksen kohteisiin kohdistetuilla erilaisilla käsittelyillä on kohteisiin. Käsittelyllä tarkoitetaan tutkimuksen kohteiden olosuhteiden aktiivista, suunnitelmallista ja järjestelmällistä muuttamista. Tiukasti ottaen vain kokeiden perusteella voidaan tehdä kausaalisia eli syy-yhteyksiä koskevia päätelmiä. Tutkimus perustuu suorien havaintojen tekemiseen, jos havaintojen kohteiden olosuhteisiin ei tutkimuksessa puututa. Koeasetelmalla tarkoitetaan kokeen tekemiseen liittyviä periaatteita ja sääntöjä: (i) Mitä käsittelyitä kokeen kohteisiin sovelletaan? (ii) Miten kokeen kohteet valitaan? (iii) Mikä on tehtävien koetoistojen lukumäärä? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 12

3 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 13 Kontrolloidut kokeet Yksinkertainen kontrolloitu koe Kokeesta ei voida tehdä luotettavia johtopäätöksiä, ellei koe ole kontrolloitu: (i) Koetuloksiin vaikuttavien ulkopuolisten sekoittavien tekijöiden kontrolloimiseksi kokeessa on vertailtava vähintään kahden erilaisen käsittelyn vaikutuksia. (ii) Erilaisten käsittelyiden kohteiksi valittavien perusjoukon alkioiden välisten systemaattisten erojen kontrolloimiseksi käsittelyiden kohdistamisessa on käytettävä satunnaistusta. (iii) Koetuloksiin liittyvän satunnaisvaihtelun kontrolloimiseksi kokeessa on tehtävä riittävästi koetoistoja. Alla oleva kaavio kuvaa yksinkertaista kontrolloitua koetta: (1) Jaetaan kokeen kohteet satunnaisesti kahteen ryhmään. (2) Kohdistetaan ryhmiin erilaiset käsittelyt. (3) Vertaillaan käsittelyiden vaikutuksia. Satunnaistus Ryhmä 1 Ryhmä 2 Käsittely 1 Käsittely 2 Vertailu TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 14 Yksinkertainen kontrolloitu koe: Esimerkki Oletetaan, että haluamme tutkia vastakehitetyn lääkkeen tehoa tautiin, johon aikaisemmin ei ole ollut lääkettä, mutta josta osa potilaista saattaa parantua myös ilman hoitoa. Tällöin lääkkeen tehon selvittämiseksi voidaan järjestää kontrolloitu koe esimerkiksi seuraavalla tavalla: (1) Jaetaan riittävän suuri joukko potilaita satunnaisesti kahteen ryhmään. (2) Annetaan toiselle ryhmälle uutta lääkettä ja toiselle ryhmälle plaseboa eli lumelääkettä. (3) Vertaillaan parantuneiden suhteellisia osuuksia. Pohdi seuraavia kysymyksiä: Miksi potilaita pitää olla riittävästi? Miksi potilaat jaetaan ryhmiin satunnaisesti? Miksi toiselle ryhmälle annetaan plaseboa? Kontrolloidut kokeet: Kommentteja 1/3 Jos koe on kontrolloitu eli kokeessa on käytetty suunnitelmallisesti ja järjestelmällisesti vertailua, satunnaistusta ja koetoistoja niin koetuloksien analysointi tilastotieteen keinoin on mahdollista. Jos koe on kontrolloitu, koetuloksiin liittyvät systemaattiset ja satunnaiset tekijät voidaan erottaa ja kuvata ja kuvauksen luotettavuus voidaan arvioida. Jos koe on kontrolloitu, käsittelyiden vaikutuksista kokeen kohteisiin voidaan tehdä luotettavia johtopäätöksiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 15 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 16 Kontrolloidut kokeet: Kommentteja 2/3 Jos koe ei ole kontrolloitu eli kokeessa ei ole käytetty suunnitelmallisesti ja järjestelmällisesti vertailua, satunnaistusta ja koetoistoja niin koetuloksien analysointi tilastotieteen keinoin ei ole mahdollista. Jos koe ei ole kontrolloitu, koetuloksiin liittyviä systemaattisia ja satunnaisia tekijöitä ei voida erottaa ja kuvata ja kuvauksen luotettavuutta ei voida arvioida. Jos koe ei ole kontrolloitu, käsittelyiden vaikutuksista kokeen kohteisiin ei voida tehdä luotettavia johtopäätöksiä. Kontrolloidut kokeet: Kommentteja 3/3 Jos koe ei ole kontrolloitu, koeasetelma saattaa systemaattisesti suosia joitakin tulosvaihtoehtoja. Jos koeasetelma suosii systemaattisesti joitakin tulosvaihtoehtoja, asetelmaa sanotaan harhaiseksi. Harhaisten koeasetelmien perusteella ei voida tehdä luotettavia johtopäätöksiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 17 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 18

4 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 19 Kontrolloidut kokeet ja satunnaistus 1/2 Kontrolloidut kokeet ja satunnaistus 2/2 Kokeen satunnaistus tarkoittaa sitä, että käsittelyiden kohdistamisessa käytetään arvontaa. Arvonta on ainoa puolueeton tapa kohdistaa käsittelyitä, koska arpominen ei suosi mitään perusjoukon osaa. Satunnaistettujen kokeiden tulosten analysointiin voidaan soveltaa tilastollisia menetelmiä, koska arvonta noudattaa todennäköisyyslaskennan lakeja. Satunnaistus takaa suurella todennäköisyydellä sen, että kokeessa erilaisten käsittelyiden kohteiksi joutuvat perusjoukon osajoukot ovat ennen käsittelyiden soveltamista ominaisuuksiltaan keskimäärin samankaltaisia. Satunnaistus takaa suurella todennäköisyydellä sen, että kokeen tuloksista voidaan tehdä kausaalipäätelmiä: Jos koe on satunnaistettu, kokeen tuloksissa havaitut systemaattisten erojen on johduttava erilaisista käsittelyistä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 20 Suorat havainnot Suorat havainnot ja satunnaisotanta Suoriin havaintoihin perustuvassa tutkimuksessa tavoitteena on saada selville tutkimuksen kohteiden olosuhteisiin puuttumatta, mitä vaikutuksia kohteiden olosuhteilla ja niissä tapahtuvilla muutoksilla on kohteisiin. Tiukasti ottaen suoriin havaintoihin perustuvien tutkimusten perusteella ei voida tehdä kausaalisia eli syy-yhteyksiä koskevia johtopäätöksiä. Tutkimus on koe, jos kohteiden olosuhteita muutetaan aktiivisesti tutkimuksen aikana. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 21 Suoria havaintoja tehtäessä havaintojen tulokset saattavat olla harhaisia. Havaintojen tulokset ovat harhaisia, jos havaintoja tehtäessä suositaan systemaattisesti joitakin tulosvaihtoehtoja. Harhaisten havaintotulosten perusteella ei voida tehdä luotettavia johtopäätöksiä. Harhan välttämiseksi havaintojen kohteet on valittava perusjoukosta satunnaisesti (ellei tavoitteena ole tutkia kaikkia perusjoukon alkioita). Tämä merkitsee satunnaisotannan soveltamista havaintojen kohteiden valintaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 22 Kokonaistutkimus Otantatutkimus Tutkimus on kokonaistutkimus, jos se kohdistuu kaikkiin (kohde-) perusjoukon alkioihin. Huomautuksia: Kokonaistutkimuksen tekeminen on vain harvoin mahdollista. Jos perusjoukko on ääretön, kokonaistutkimuksen tekeminen on jopa periaatteessa mahdotonta. Äärelliseen perusjoukkoon kohdistuvat kokonaistutkimukset voidaan aina tulkita otantatutkimuksiksi: Tällöin tutkimuksen kohteena oleva perusjoukko tulkitaan otokseksi hypoteettisesta äärettömästä perusjoukosta. Tutkimus on otantatutkimus, jos se kohdistuu johonkin perusjoukon osajoukkoon. Otantatutkimuksessa perusjoukon osajoukosta tehdyt johtopäätökset pyritään yleistämään koko perusjoukkoon. Tutkimuksen kohteeksi valittua perusjoukon osajoukkoa kutsutaan otokseksi. Otoksen valitsemista eli poimimista kutsutaan otannaksi. Otoksen poiminnassa käytettyjä menetelmiä kutsutaan otantamenetelmiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 23 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 24

5 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 25 Satunnaisotanta Otantamenetelmät Perusjoukosta voidaan tehdä luotettavia johtopäätöksiä otoksen perustella vain, jos otos muodostaa perusjoukon edustavan pienoiskuvan. Otoksen poimiminen satunnaisesti takaa suurella todennäköisyydellä sen, että otos muodostaa perusjoukon edustavan pienoiskuvan. Otoksen poiminta satunnaisesti merkitsee otokseen poimittavien havaintoyksiköiden arpomista perusjoukon alkioiden joukosta. Arvonta on ainoa puolueeton tapa poimia otos, koska arpominen ei suosi mitään perusjoukon osaa. Arvonta noudattaa todennäköisyyslaskennan lakeja. Tilastollisessa tutkimuksessa sovelletaan tutkimusasetelmasta riippuen erilaisia otantamenetelmiä. Otannan perusmuoto: Yksinkertainen satunnaisotanta Muita otantamenetelmiä: Systemaattinen otanta Ositettu otanta Ryväsotanta Moniasteinen otanta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 26 Yksinkertainen satunnaisotanta 1/2 Yksinkertainen satunnaisotanta on otannan perusmuoto, jossa jokaisella perusjoukon alkiolla on sama todennäköisyys tulla valituksi otokseen. Jos otos poimitaan yksinkertaisella satunnaisotannalla, myös jokaisella perusjoukon samankokoisella osajoukolla on sama todennäköisyys tulla valituksi otokseksi. Yksinkertainen satunnaisotanta voidaan aina tulkita arvonnaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 27 Yksinkertainen satunnaisotanta 2/2 Arvonta yksinkertaisessa satunnaisotannassa: (i) Alkiot arvotaan perusjoukosta otokseen yksi alkio kerrallaan. (ii) Jokaisella perusjoukon alkiolla on arvonnassa yhtä suuri todennäköisyys tulla valituksi otokseen. Huomautuksia: Yksinkertaisessa satunnaisotannassa alkiot poimitaan otokseen palauttaen: Poimittu alkio palautetaan välittömästi takaisin perusjoukkoon, jolloin on mahdollista, että se tulee poimituksi uudelleen. Yksinkertaisessa satunnaisotannassa arvonnat ovat toisistaan riippumattomia: Alkion todennäköisyys tulla valituksi otokseen ei riipu siitä mitä alkiota otokseen on jo poimittu. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 28 Systemaattinen otanta Systemaattisessa otannassa otokseen poimitaan joka k. alkio perusjoukon alkioiden järjestetystä jonosta. Systemaattista otantaa sovelletaan usein yksinkertaisen satunnaisotannan sijasta, jos perusjoukon alkioista on käytettävissä tietorekisteri tai luettelo tai havaintoja kerätään ajassa tai tilassa. Systemaattisen otannan tulos vastaa täysin yksinkertaisen satunnaisotannan tulosta, jos perusjoukon alkioiden järjestys on tutkittavan ilmiön kannalta satunnainen. Ositettu otanta Ositettua otantaa voidaan soveltaa tilanteissa, joissa perusjoukko koostuu jonkin perusjoukon alkioiden ominaisuuden suhteen homogeenisista ryhmistä. Tällöin otos kerätään siten, että jokaisesta ryhmästä eli ositteesta poimitaan osaotos, jotka yhdistetään yhdeksi otokseksi. Esimerkki: Oletetaan, että maassa on useita erikokoisia kieliryhmiä ja tavoitteena on vertailla eri kieliryhmiin kuuluvien taloudellista asemaa. Jokaisesta ryhmästä saadaan otokseen riittävä edustus poimimalla jokaisesta ryhmästä samankokoinen osaotos. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 29 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 30

6 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 31 Ryväsotanta Ryväsotantaa voidaan soveltaa tilanteissa, joissa perusjoukko voidaan jakaa ryppäisiin eli ryhmiin. Tällöin otos kerätään kahdessa vaiheessa: (1) Poimitaan ensin joukko ryppäitä kaikkien ryppäiden joukosta. (2) Poimitaan jokaisesta vaiheessa (1) poimitusta ryppäästä joukko perusjoukon alkioita ja yhdistetään alkiot yhdeksi otokseksi. Vaiheissa (1) ja (2) voidaan soveltaa yksinkertaista satunnaisotantaa tai systemaattista otantaa. Moniasteinen otanta Moniasteista otantaa voidaan soveltaa tilanteissa, joissa perusjoukko voidaan jakaa ryppäisiin eli ryhmiin hierarkkisesti eli perusjoukko voidaan jakaa ryppäisiin, jotka puolestaan voidaan jakaa aliryppäisiin jne. Esimerkki: Läänit, Kunnat, Koulupiirit, Koulut, Luokat Otos kerätään vaiheittain poimimalla 1. asteen ryppäiden joukosta joukko ryppäitä, joista jokaisesta poimitaan joukko aliryppäitä jne. kunnes päästään poimimaan perusjoukon alkioita. Poiminnan eri vaiheissa voidaan soveltaa yksinkertaista satunnaisotantaa tai systemaattista otantaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 32 >> Avainsanat Diskreetit muuttujat Jatkuvat muuttujat Kvalitatiiviset muuttujat Kvantitatiiviset muuttujat Mittaaminen Mitta-asteikot Intervalli- eli välimatka-asteikko Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Suhdeasteikko Mitta-asteikot ja tilastolliset menetelmät Mittarin tarkkuus Mittarin validiteetti Mittarit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 33 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 34 Mittaaminen ja mittari 1/2 Mittaaminen ja mittari 2/2 Tilastollisen tutkimuksen kohteiden ominaisuuksia ja olosuhteita sekä niiden muutoksia kuvaavat numeeriset tai kvantitatiiviset tiedot saadaan mittaamalla. Mittaaminen tarkoittaa numeeristen arvojen liittämistä tutkimuksen kohteiden ominaisuuksiin ja olosuhteisiin. Mittari on funktio, joka liittää numeeriset arvot tutkimuksen kohteiden ominaisuuksiin ja olosuhteisiin. Ominaisuus Mittari Numeerinen arvo Mittauksen tulos voidaan aina ilmaista jonkin tutkimuksen kohteen ominaisuutta tai olosuhdetta kuvaavan muuttujan arvona. Ominaisuus Muuttuja Tutkimuksen kohteiden ominaisuudet ja olosuhteet kuvataan siis mittaustapahtumassa numeerisilla muuttujilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 36

7 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 37 Mittareiden validiteetti ja tarkkuus Mitta-asteikot Mittari on validi, jos se esittää mittauksen kohteena olevaa ominaisuutta tai olosuhdetta oikein, merkityksellisesti ja tarkoituksenmukaisesti. Mittari on tarkka, jos se on harhaton ja reliaabeli: (i) Mittari on harhaton, jos se ei systemaattisesti ali- tai yliarvioi mitattavaa ominaisuuden tai olosuhteen määrää. (ii) Mittari on reliaabeli eli luotettava, jos mittaustulos ei muutu, kun mittausta toistetaan. Mittaamisessa voidaan käyttää seuraavia mitta-asteikoita: (i) Nominaali- eli laatueroasteikko (ii) Ordinaali- eli järjestysasteikko (iii) Intervalli- eli välimatka-asteikko (iv) Suhdeasteikko Jos ominaisuutta voidaan mitata kaikilla neljällä mittaasteikoilla, mittaustuloksen informatiivisuus, mutta samalla myös mittauksen vaativuus kasvaa seuraavassa järjestyksessä: (i) (ii) (iii) (iv) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 38 Nominaaliasteikko ja ordinaaliasteikko Intervalliasteikko ja suhdeasteikko Mittaus on tehty nominaali- eli laatueroasteikolla, jos mittaus kertoo mihin luokkaan mittauksen kohde kuuluu. Esimerkkejä: Sukupuoli, Asuinpaikka, Väri, Viallisuus Mittaus on tehty intervalli- eli välimatka-asteikolla, jos mittaus kertoo kuinka paljon kahden mitattavan kohteen ominaisuudet eroavat toisistaan. Esimerkkejä: Lämpötila Celsius-asteissa Mittaus on tehty ordinaali- eli järjestysasteikolla, jos mittaus kertoo onko mittauksen kohteella mitattavaa ominaisuutta enemmän tai vähemmän kuin jollakin toisella kohteella. Esimerkkejä: Kouluarvosanat, Aineen kovuus Mittaus on tehty suhdeasteikolla, jos mittaus kertoo kuinka monta kertaa enemmän tai vähemmän mittauksen kohteella on mitattavaa ominaisuutta kuin jollakin toisella kohteella. Esimerkkejä: Lukumäärä, Pituus, Pinta-ala, Tilavuus, Paino, Aika, Nopeus, Paine, Rahamäärä, Korko TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 39 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 40 Intervalliasteikko ja suhdeasteikko: Kommentteja Tilastotieteessä ei yleensä ole tarpeen erottaa intervalli- ja suhdeasteikollisia muuttujia. Intervalli- ja suhdeasteikollisten muuttujien mittaasteikoilla on kuitenkin seuraava ero: (i) Intervalliasteikollisten muuttujien mitta-asteikossa ei ole luonnollista nollapistettä. (ii) Suhdeasteikollisten muuttujien mitta-asteikossa on luonnollinen nollapiste, jota pienempiä arvoja muuttuja ei voi saada. Kvalitatiiviset ja kvantitatiiviset muuttujat Ominaisuutta ja sitä kuvaavaa muuttujaa kutsutaan kvalitatiiviseksi, jos mittauksen kohteet voidaan luokitella mittauksen perusteella toisistaan eroaviin kategorioihin tai luokkiin. Kvalitatiivisia ominaisuuksia kuvataan laatueroasteikollisilla muuttujilla. Ominaisuutta ja sitä kuvaavaa muuttujaa kutsutaan kvantitatiiviseksi, jos mittaus tuottaa ominaisuuden määrällisen arvon. Kvantitatiivisia ominaisuuksia kuvataan välimatka-tai suhdeasteikollisilla muuttujilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 41 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 42

8 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 43 Diskreetit ja jatkuvat muuttujat Mitta-asteikot ja tilastolliset menetelmät Mitattavaa ominaisuutta vastaava muuttuja on diskreetti, jos se voi saada vain erillisiä arvoja. Esimerkkejä: Laatueroasteikolliset muuttujat, Järjestysasteikolliset muuttujat, Lukumäärämuuttujat Mitattavaa ominaisuutta vastaava muuttuja on jatkuva, jos se voi saada kaikki arvot joltakin väliltä. Esimerkkejä: Pituus, Pinta-ala, Tilavuus, Paino, Aika, Nopeus, Paine, Rahamäärä, Korko Tilastolliset menetelmät voidaan ryhmitellä tutkimuksen kohteiden ominaisuuksia kuvaavien muuttujien mittaasteikon mukaan. Tutkimuksen kohteiden ominaisuuksia kuvaavien muuttujien mitta-asteikot määräävät sen, mitä tilastollisia menetelmiä tutkimuksessa saa soveltaa ja/tai mitkä menetelmät ovat suositeltavia. Tässä esityksessä tilastolliset tunnusluvut ja tilastolliset testit on ryhmitelty tutkimuksen kohteiden ominaisuuksia kuvaavien muuttujien mitta-asteikon mukaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 44

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen

Lisätiedot

Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu: Johdanto Johdattelevia esimerkkejä Tilastolliset kokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Koesuunnittelu: Johdanto

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

Salkin poliorokotekoe Ryhmän koko Sairastuvuus (per 100000) Hoitoryhmä 200000 28 Vertailuryhmä 200000 71 Ei saanut rokottaa 350000 46

Salkin poliorokotekoe Ryhmän koko Sairastuvuus (per 100000) Hoitoryhmä 200000 28 Vertailuryhmä 200000 71 Ei saanut rokottaa 350000 46 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 suunnittelu: Johdanto Johdattelevia esimerkkejä suunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 suunnittelu: Johdanto Johdattelevia esimerkkejä

Lisätiedot

Otannasta ja mittaamisesta

Otannasta ja mittaamisesta Otannasta ja mittaamisesta Tilastotiede käytännön tutkimuksessa - kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Aineistot Kvantitatiivisen tutkimuksen aineistoksi kelpaa periaatteessa kaikki havaintoihin perustuva informaatio,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku.

Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. 1/11 4 MITTAAMINEN Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. Mittausvirhettä johtuen mittarin tarkkuudesta tai häiriötekijöistä Mittarin

Lisätiedot

1. Johdanto Todennäköisyysotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Ositettu otanta Systemaattinen otanta...

1. Johdanto Todennäköisyysotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Ositettu otanta Systemaattinen otanta... JHS 160 Paikkatiedon laadunhallinta Liite III: Otanta-asetelmat Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Todennäköisyysotanta... 2 2.1 Yksinkertainen satunnaisotanta... 3 2.2 Ositettu otanta... 3 2.3 Systemaattinen

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Poimi yrityksistä i) neljän, ii) kymmenen suuruinen otos. a) yksinkertaisella satunnaisotannalla palauttaen, b) systemaattisella otannalla

Poimi yrityksistä i) neljän, ii) kymmenen suuruinen otos. a) yksinkertaisella satunnaisotannalla palauttaen, b) systemaattisella otannalla 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Harjoitus 2, viikko 38, syksy 2012 1. Tutustu liitteen 1 kuvaukseen Suuresta bränditutkimuksesta v. 2009. Mikä tämän kuvauksen perusteella on ko.

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012

Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU...

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU... SISÄLLYSLUETTELO 1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 1.1 JOHDANTO... 2 1.2 LINKKEJÄ... 2 1.3 LÄHTEET... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 2.1 HAVAINTOAINEISTO... 3 2.2 POPULAATIO... 3 2.3 OTOS... 3 2.4 HAVAINTOAINEISTON

Lisätiedot

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen 1 Metropolia ammattikorkeakoulu Liiketalouden yksikkö Pertti Vilpas Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen Osa 1 Sisältö: 1. Kvantitatiivisen tutkimuksen perusteita.2 2. Määrällisen tutkimusprosessin vaiheet..3

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Kvantitatiivisen aineiston analyysi

Kvantitatiivisen aineiston analyysi Kvantitatiivisen aineiston analyysi Liiketalouden tutkimusmenetelmät SL 2014 Kvantitatiivinen vs. kvalitatiivinen? tutkimuksen lähtökohtana ovat joko tiedostetut tai tiedostamattomat taustaoletukset (tieteenfilosofiset

Lisätiedot

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen 1 Metropolia ammattikorkeakoulu Liiketalouden yksikkö Pertti Vilpas Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen Osa 1 Sisältö: 1. Kvantitatiivisen tutkimuksen perusteita.2 2. Määrällisen tutkimusprosessin vaiheet..3

Lisätiedot

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen

Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen 1 Metropolia ammattikorkeakoulu Liiketalouden yksikkö Pertti Vilpas Ohjeita kvantitatiiviseen tutkimukseen Osa 1 Sisältö: 1. Kvantitatiivisen tutkimuksen perusteita.2 2. Määrällisen tutkimusprosessin vaiheet..3

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Tehtävä 1. Hypoteesi: Liikuntaneuvonta on hyvä keino vaikuttaa terveydentilaan. Onko edellinen hypoteesi hyvä tutkimushypoteesi? Kyllä.

Tehtävä 1. Hypoteesi: Liikuntaneuvonta on hyvä keino vaikuttaa terveydentilaan. Onko edellinen hypoteesi hyvä tutkimushypoteesi? Kyllä. Tehtävä 1 Hypoteesi: Liikuntaneuvonta on hyvä keino vaikuttaa terveydentilaan. Onko edellinen hypoteesi hyvä tutkimushypoteesi? Kyllä Ei Hypoteesi ei ole hyvä tutkimushypoteesi, koska se on liian epämääräinen.

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastotiede tieteenalana

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastotiede tieteenalana Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastotiede tieteenalana TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Tilastotiede tieteenalana >> Mitä tilastotiede on? Tilastotieteen sovellukset TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Tilastotiede tieteenalana. Tilastotiede tieteenalana. Tilastotiede tieteenalana. Tilastotiede tieteenalana: Mitä opimme? Mitä tilastotiede on?

Tilastotiede tieteenalana. Tilastotiede tieteenalana. Tilastotiede tieteenalana. Tilastotiede tieteenalana: Mitä opimme? Mitä tilastotiede on? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Tilastotiede tieteenalana Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen Tilastotiede tieteenalana TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Tilastotiede tieteenalana: Mitä opimme?

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan

Lisätiedot

Viestinnän mentelmät I: sisällön erittely. Sisällönanalyysi/sisällön erittely. Sisällön erittely. Juha Herkman

Viestinnän mentelmät I: sisällön erittely. Sisällönanalyysi/sisällön erittely. Sisällön erittely. Juha Herkman Viestinnän mentelmät I: sisällön erittely Juha Herkman 10.1.008 Helsingin yliopisto, viestinnän laitos Sisällönanalyysi/sisällön erittely Sisällönanalyysi (SA), content analysis Veikko Pietilä: Sisällön

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

7. Tutkimuksen teko. Kevät 2005 Empiirinen ohjelmistotutkimus / Taina. Kevät 2005 Empiirinen ohjelmistotutkimus / Taina

7. Tutkimuksen teko. Kevät 2005 Empiirinen ohjelmistotutkimus / Taina. Kevät 2005 Empiirinen ohjelmistotutkimus / Taina 7. 7.1. Johdanto Tämä luku perustuu kirjaan C. Wohlin et al., Experimentation in Software Engineering, An Introduction, Kluwer Academic Publishers, 2000. ISBN 0-7923-8682-5. Tähän asti olemme käsitelleet

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

Tutkimusasetelma, mittaaminen ja otanta

Tutkimusasetelma, mittaaminen ja otanta Statistical Analysis with Statgraphics This two-day one-credit course is a hands-on introduction to the interactive statistical software Statgraphics for students who have a basic knowledge of statistics.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten muuttujien tunnusluvut

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen >> Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Kvantitatiiviset menetelmät

Kvantitatiiviset menetelmät Kvantitatiiviset menetelmät HUOM! Tentti pidetään tiistaina.. klo 6-8 Vuorikadulla V0 ls Muuttujien muunnokset Usein empiirisen analyysin yhteydessä tulee tarve muuttaa aineiston muuttujia Esim. syntymävuoden

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Monitasomallit koulututkimuksessa

Monitasomallit koulututkimuksessa Metodifestivaali 9.5.009 Monitasomallit koulututkimuksessa Mitä ihmettä? Antero Malin Koulutuksen tutkimuslaitos Jyväskylän yliopisto 009 1 Tilastollisten analyysien lähtökohta: Perusjoukolla on luonnollinen

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

MTTTP1 Tilastotieteen johdantokurssi Luento JOHDANTO

MTTTP1 Tilastotieteen johdantokurssi Luento JOHDANTO 8.9.2016/1 MTTTP1 Tilastotieteen johdantokurssi Luento 8.9.2016 1 JOHDANTO Tilastotiede menetelmätiede, joka käsittelee - tietojen hankinnan suunnittelua otantamenetelmät, koejärjestelyt, kyselylomakkeet

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Sisältö. Perusteiden Kertaus. Tilastollinen analyysi. Peruskäsitteitä. Peruskäsitteitä. Kvantitatiivinen metodologia verkossa

Sisältö. Perusteiden Kertaus. Tilastollinen analyysi. Peruskäsitteitä. Peruskäsitteitä. Kvantitatiivinen metodologia verkossa Sisältö Kvantitatiivinen metodologia verkossa Perusteiden Kertaus Pekka Rantanen Helsingin yliopisto Tilastollinen analyysi Tilastotieteen tavoitteet Kvantitatiivisen tutkimuksen peruskäsitteitä Tilastollisten

Lisätiedot

Viestinnän mentelmät I: sisällön erittely. Sisällönanalyysi/sisällön erittely. Sisällön erittely. Juha Herkman

Viestinnän mentelmät I: sisällön erittely. Sisällönanalyysi/sisällön erittely. Sisällön erittely. Juha Herkman Viestinnän mentelmät I: sisällön erittely Juha Herkman 25.11.2010 Helsingin yliopisto, viestinnän laitos Sisällönanalyysi/sisällön erittely Sisällönanalyysi (SA), content analysis Veikko Pietilä: Sisällön

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Aikasarjat >> Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2 Aikasarjat:

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

KVANTITATIIVINEN TUTKIMUS

KVANTITATIIVINEN TUTKIMUS KVANTITATIIVINEN TUTKIMUS Hanna Vilkka 1 MITÄ KASVATUSTIETEISSÄ HALUTAAN TIETÄÄ, JOS TUTKITAAN KVANTITATIIVISESTI? halutaan ennakoida tulevaa teknisesti ohjata tulevaa strategisesti ja välineellisesti

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot