Tietorakenteet ja algoritmit. Kertaus. Ari Korhonen

Transkriptio

1 Tietorakenteet ja algoritmit Kertaus Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

2 Presemosta: 12. Kertaus» Mitkä tekijät, miten ja miksi vaiku1avat algoritmien nopeuteen» Rekursiohistoriapuut ja yleistä verkoista» luentotehtävän 1, 2 ja 3 kysymykset» Rekursioyhtälöiden ratkaiseminen» Onko olemassa suomenkielistä sanastoa? 17. ja Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

3 Suoritusaikaan vaiku1avia tekijöitä Vakiotekijöitä (käytännössä) SuoriEmen nopeus ja tyyppi, ohjelmoinfkieli (tulka1ava, käänne1ävä), kääntäjä, jne. Suurempi merkitys on valitulla!etorakenteella (esim. haku järjestetystä vs. järjestämä1ömästä taulukosta) valitulla algoritmilla (esim. lisäysjärjestäminen vs. lomitusjärjestäminen) muisfn määrällä (voidaanko laskenta tehdä keskusmuisfssa vs. ulkoisessa muisfssa) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

4 Rekursiohistoriapuut ja rekursioyhtälöiden ratkaiseminen Rekursio Rekursion neljä kultaista sääntöä Rekursiohistoriapuu, rekursiopuu Rekursioyhtälöiden ratkaiseminen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

5 REKURSIO Rekursiivinen ohjelma Kutsuu itseään Rekursiivinen rakenne Rakenne sisältyy itseensä Rekursiivinen funktio On määritelty itsensä avulla Esim. Fibonacci-luvut: X(i) = X(i-1) + X(i-2), X(0) = X(1) = Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

6 Rekursio ei voi jatkua loputtomiin Täytyy löytyä päätösehto jonka toteutuminen lopettaa rekursion Esim. Kertoma: Rekursio: N! = N(N-1)! Päätösehto: 0! = Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

7 Rekursion neljä kultaista sääntöä: 1. Perustapaukset (ratkaistavissa ilman rekursiota) 2. Edistyminen (liikutaan perustapausta kohti) 3. Oletus (kaikki rekursiiviset kutsut toimivat) 4. Vältä turhaa työtä (jokainen tapaus ratkaistaan vain kerran) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

8 Esim. Kertoma rekursiivisena: int factorial(int n) /* n: askeltaja */ { if (n==0) return 1; else return factorial(n-1)*n; } Esim. Kertoma ei-rekursiivisena: int factorial(int n) /* n: kiintoarvo */ { int i,fact; fact = 1; /* fact: kokooja */ for (i=2; i<=n; i++) /* i: askeltaja */ fact = fact*i; return fact; } Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

9 Lähde: Ohjelmointi 1 (Scala MOOC, luku 11) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

10 Esim. Fibonacci-luvut: int fibonacci(int n) { if (n<=1) return 1; else return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); } F5 F6 F4 {Rikkoo neljättä sääntöä} F4 F3 F3 F2 Parempi toteuttaa eirekursiivisena (koostamalla) Mutta: voitaisiin muuntaa lineaarisessa ajassa toimivaksi esim. taulukoinnilla! F1 F Tietorakenteet ja algoritmit - syksy F2 F3 F2 F2 F1 F2 F1 F1 F0 F1 F0 F1 F1 F0 F1 F0

11 Lähde: Ohjelmointi 1 (Scala MOOC, luku 11) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

12 Rekursiohistoriapuu Puurakenne, jossa solmu jokaista rekursiokutsua kohti Solmut aktivoituvat ns. esijärjestyksessä (ks. puiden läpikäynti) Ensimmäistä kutsua vastaa puun juuri Pinokehys aktiivinen, kunnes kaikki alipuut on käyty läpi Pinokehys poistuu, kun rekursio palaa solmusta Esim. Fibonaccin luvut: int fibonacci(int n) { if (n<=1) return 1; else return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); } Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

13 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

14 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

15 Rekursiohistoriapuu Puurakenne, jossa solmu jokaista rekursiokutsua kohti Solmut aktivoituvat ns. esijärjestyksessä (ks. puiden läpikäynti) Ensimmäistä kutsua vastaa puun juuri Pinokehys aktiivinen, kunnes kaikki alipuut on käyty läpi Pinokehys poistuu, kun rekursio palaa solmusta Esim. Fibonaccin luvut: int fibonacci(int n) { if (n<=1) return 1; else return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); } Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

16 Rekursiohistoriapuu Esim. hanoi(3, 1, 2, 3) void hanoi(int N, int mista, int minne, int via) { if (N==1) printf( Siirrä rengas tapista %d tappiin %d kiitos\n, mista, minne); else { hanoi(n-1, mista, via, minne); hanoi(1, mista, minne, via); // printf hanoi(n-1, via, minne, mista); } } h(3,1,2,3) h(2,1,3,2) h(1,1,2,3) h(2,3,2,1) h(1,1,2,3) h(1,1,3,2) h(1,2,3,1) h(1,3,1,2) h(1,3,2,1) h(1,1,2,3) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

17 Rekursioyhtälöt Edellä olisi yhtä hyvin voitu merkitä vrt. s 1 = 1, s N = 2 N - 1 S(1) = 1, S(2) = 3, S(3) = 7 ja S(N) = 2 N 1 tai T(1) = 1, T(N) = 2 N 1 Algoritmianalyysissä useimmiten algoritmin aikakompleksisuu1a merkitään T(N):llä Lisäksi haetaan suuruusluokkaa, eli esim. T(N) = O(2 N ) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

18 5.9 Rekursioyhtälöt Mentaalisen mallin muodostuminen (muna-kana-ongelma) 1. Rekursiohistoriapuut, laskennan etenemisen sisäistäminen 2. Laskennan vaativuuden erottaminen itse laskennen lopputuloksesta 3. Valikoitu arvaus laskennan vaativuudelle 4. Yhteys induktiotodistukseen 5. Rekursioyhtälö mentaalisen mallin ulkoistamisen välineenä Rekursioyhtälöiden ratkaisumenetelmiä (todistus) Aritmeettiset ja geometriset sarjakehitelmät Parametrien muunnokset Lausekkeen manipulointi Näiden yhdistely Master Theorem (Cormen) Induktiotodistus (e-book) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

19 Esimerkki: luentotehtävä T(n) = 2T(n/2) + 1, T(1) = Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

20 Esimerkki: luentotehtävä T(n) = 2T(n/2) + 1, T(1) = Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

21 Esim 1. Linkitetyn listan läpikäynti silmukassa, poista joka kierroksella yksi alkio (ks. aritmeettinen sarja): T(N) = T(N-1) + N, T(1) =1 N T(N) = k = N (N + 1) / 2 k=1 T(N) on noin N 2 / 2 = O(N 2 ) T(N-1) = T((N-1)-1) + (N-1) = T(N-2) + N - 1 T(N-2) = T((N-2)-1) + (N-2) = T(N-3) + N - 2 T(N-k) = T((N-k)-1) + (N-k) = T(N-k-1) + N - k Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

22 Esim 2. Binäärihaku, puolita aineisto vakioajassa: T(N) = T(N/2) + 1, T(1) =1 N = 2 k, k = log 2 N (parametrin muunnos) T(2 k ) = T(2 k-1 ) + 1 = T(2 k-2 ) = T(2 0 ) + k = k +1 T(N) = O(k) = O(log N) Esim 3. Quick select, puolita aineisto lineaarisessa ajassa (geometrinen sarja): T(N) = T(N/2) + N, T(1) = 1 T(N) = N + N/2 + N/4 + N/ = 2N = O(N) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

23 Esim 4. Hajoita ja hallitse : Jaa aineisto kahteen osaan lineaarisessa ajassa, käsittele molemmat puolet rekursiivisesti T(N) = 2T(N/2) + N, T(1) = 1 N = 2 k, k = log 2 N T(2 k ) = 2T(2 k-1 ) + 2 k <=> T(2 k ) / 2 k = T(2 k-1 ) / 2 k <=> T(2 k-1 ) / 2 k-1 = T(2 k-2 ) / 2 k <=> T(2 k-2 ) / 2 k-2 = T(2 k-3 ) / 2 k <=> T(2 2 ) / 2 2 = T(2 1 ) / <=> T(2 1 ) / 2 1 = T(2 0 ) / Lasketaan yhteen (teleskooppi) T(2 k ) / 2 k = k T(N) = T(2 k ) = k 2 k = N log N = O(N log N) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

24 Esim 5. Potenssiinkorotus: Jos laskettaisiin x n = x*x*x*...*x, n-1 kertolaskua => O(n) Mutta voidaan laskea esim. x 9 = (x 2 ) 4 x = ((x 2 ) 2 ) 2 x (vain 4 kertolaskua 8:n sijaan!) integer pow(int x, int n){ switch (n) { case 0: return 1; break; case 1: return x; break; default: if (n&1) return pow(x*x, n/2)*x; else return pow(x*x, n/2); } } T(n) = T(n/2) + 1, T(1) = T(0) = 1 T(n) = O(log n) (Ratkaisu: vrt. Esim. kohta 2 edellä) Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

25 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

26 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

27 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

28 Yleistä verkoista Kurssilla tarkastellut algoritmit DFS, BFS Prim, Kruskal (minimaalinen virityspuu) Dijkstra (lyhimmin poluin viri1ävä puu) Sovelluksia (palautus) verkon yhtenevyyden tutkiminen leikkaussolmujen etsintä lyhin reie kahden pisteen välillä teksfn oikean reunan esteeenen tasaus Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

29 Onko olemassa suomenkielistä sanastoa? Ks. Ohjelmoin! 1 - Syksy 2015 h1ps://greengoblin.cs.hut.fi/o1_s2015/ course/yleista/sanasto.html Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

30 Tietorakenteet ja algoritmit Tenttiinlukuohje Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

31 Tentin pakollinen osuus Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

32 Tentin pakollinen osuus Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

33 Tentin pakollinen osuus Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

34 Tenttitehtäviä ( ) Määrittele lyhyesti seuraavat käsitteet. Anna jokaisesta kohdasta myös esimerkki. (oikea määritelmä 1p, esimerkki 1p) a) Pakka (deque) b) Prioriteettijono c) Hajautusfunktio d) Abstrakti tietotyyppi Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

35 Tenttitehtäviä Joudut valitsemaan algoritmin tehtävään, jossa tulee järjestäa anne1u aineisto. Mita asioita (kriteereita ) huomioit tehdessäsi valintaa? Lue ensin koko tehtävänanto. a) Valitse kolme (3) keskeista kriteeria joiden valossa tarkastelet Flanne1a. Perustele miksi tai miten valitsemasi kriteerit lii1yvät järjestämisongelmaan. b) Nimea jokaisen kriteerin kohdalla erikseen ainakin yksi algoritmi, joka täy1äa ko. kriteerin ja yksi joka ei täyta (algoritmien toimintaperiaa1eita ei tarvitse seli1äa ). c) Nimea algoritmi, joka täy1äa kaikki kriteereistäsi. Nimea myös jokin algoritmi, joka ei täyta ainakaan kahta kriteereistäsi Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

36 Tenttitehtäviä a) Esitä jonkin algoritmin toimintaperiaate, jonka toiminnan kannalta keskeisenä tietorakenteena on prioriteettijono (esim. Huffman-koodaus, prioriteettijonon soveltaminen järjestämisongelmaan tai Dijkstran algoritmi). Esitä algoritmi riittävällä tarkkuudella, jotta prior.jonon käyttötarkoitus selviää. b) Analysoi valitsemasi sovelluksen suoritusaika kahdella eri prioriteettijonon toteutuksella, jotka ovat i) prioriteetin mukaan järjestetty linkitetty lista ja ii) binäärikeko Tietorakenteet ja algoritmit - syksy

37 Keskeiset aihepiirit Perustietorakenteet (pino, jono) Algoritmianalyysi Järjestämismenetelmät Prioriteettijonot Hakurakenteet Hakupuut Hajautus Verkkoalgoritmit Tietorakenteet ja algoritmit - syksy