S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä energi perustiln kokonisenergin Rtkisu: () Käytetään Heisenbergin epätrkkuusperitett suuruusluokk-rvion p p 4A (b) Kineettinen energi sdn liikemärästä seurvsti ( p) ( (4 A) ) k m m 3A Perustiln (klssinen) kokonisenergi on k m ω A, missä sijoitettiin A jousivkio yhtälöstä ω k m sekä mplitudi Toislt perustiln energi on ω ω 4 /, joten sijoittmll sdn 4 3mA m A m A ω 6 6k 6k sku on suuruusluokk-rvio klssisen- j kvnttifysiikn välillä j tulos ei ole trkk HSf- Heilurin, joss on g mss 5 cm pitkän mssttomn lngn päässä, jkson jksi mitttiin,4 s () ske perustiln energi (b) Jos heiluri on setettu heilumn siten, että mss nousee pystysuunnss, mm tspinotiln yläpuolelle, mikä on tiln kvnttiluku? (c) Mikä on tjuus (b) kohdss? Rtkisu: () Heilurin kulmtjuus on ω π f π / T 4,4 rd / s Perustiln energi on,33 (b) Heilurin mplitudi sdn Pythgorn luseell 34 ω J A 5, mm 499,9mm, m, jonk vull voidn rtkist energitil, kun lisäksi tiedetään, että heilurin energi on mω A : ( n + ) ω mω A mω A 8 n,
(c) Tjuus sdn kulmtjuudest f T ω ( π ), 7 Hz Tjuus ei riipu mplitudist HSf-3 Äärettömän syvässä (välillä [, ] sijitsevss) potentilikuopss olevn π i t π hiukksen ltofunktio on Ψ (, t) sin e + sin e oministil hetkinä? Rtkisu: nπ sin / i t /, missä n on vstv energi Mikä on liikemäärän odotusrvo eri jn iikemäärää vstv operttori on pˆ i, joten liikemäärän odotusrvo sdn lskemll operttorin odotusrvo * * pˆ Ψ (, t) pˆ Ψ (, t) d (, t) i (, t) d Ψ Ψ π π π π π π sin sin cos cos + + + it / + it / it / it / i e e e e d π π π π sin cos sin cos + π π i( π π i( + sin cos e + sin cos e d Nyt voidn käyttää kv sin cosb sin( + b) + sin( b) Sdn π i sin sin + π i( π i( + sin + sin e + sin + sin e d Kksi ensimmäisen termin integrlit ovt nolli, kosk sini-funktio integroidn koko jkson monin kerrn yli Jtketn khden viimeisen termin integrointi
π i( π i( pˆ i sin sin e sin sin e d + + + π π e + + e i( i( sin sin sin sin ( ) e + + e 4 4 e + e i t / i t / (( ) ) ( ) (( ) ) (( ) ) π π i t / i t / 4 cos { ( t / ) i sin (( ) + cos (( ) + i sin (( ) } 4 i sin (( ) 3 sin (( ) 5 Tulos trkoitt käytännössä, että hiukknen liikkuu edestkisin potentilikuopss, sillä liikemäärä on vuorotellen positiivinen j negtiivinen d HSf-4 Osoit, että kun fotoni siro vpst elektronist (Compton siront), niin elektronin smlle liike-energille pätee k h cos / cos, missä h / m e c j on elektronin liikemäärävektorin suunt törmäävän fotonin ltovektorin suunnn suhteen Rtkisu: Säilymislit Compton sironnss: ' K () p p' p e () Yhtälöstä () sdn p' p pe p p e p pe ppe cos (3) lektronin kineettiselle ( kokonisenergi - lepoenergi) energille pätee
K c pe m c mc, (4) jost rtkisemll elektronin liikemäärä K pe mc m c c (5) Kerrotn yhtälö (3) c :ll j esitetään liikemäärät energioiden vull ( cp fotoneille) K 4 K ' c mc m c c mc m c cos c c (6) Sijoitetn energin säilymislist ' K j puretn neliöinnit j supistetn: K K ( + mc ) c c + mc m c cosφ (7) Neliöidään j supistetn: 4 4 K K K mc m c mc m c cos (8) j supistetn edelleen j järjestellään termejä: jost lopult rtkistn K : cos K mc mc cos (9) K mc cos mc Jkmll osoittj j nimittäjä m c :llä j sijoittmll / mc j h sdn lopult k h cos / cos cos () () HSf-5 rään hiukksen ltofunktion vruusos on ( ) / ( ) Osoit, että hiukksen liikemäärän keskihjont on ääretön Rtkisu: Tp sketn ltofunktio ltovektorivruudess, kosk p k Altofunktio k-vruudess sdn muunnoksell: ik ik g( k) ( ) e d e d sin k k Suureen g( k) on liikemäärän todennäköisyystiheys (Oikestn tämä jkum pitäisi vielä normitt, mutt tässä normituksell ei ole merkitystä) iikemäärän odotusrvo on sin ( k) p k dk k
iikemäärään neliön odotusrvo on p k sin k dk ( ( k) ) cos dk iikemäärän keskihjonnksi eli epämääräisyydeksi sdn p p p Pikn epämääräisyys on äärellinen: (lsketn ltofunktion vull, huom että ltofunktio on prillinen): d 3 3 Tässäkin tpuksess Heisenbergin epäyhtälö toimii sillä p Tp Käytetään pikkesitystä, jolloin liikemäärän odotusrvo sdn liikemääräoperttorin i odotusrvost Altofunktio on, ψ ( ),, > joten sillä on nollst poikkev derivtt vin khdess pisteessä δ ( + ), ψ ( ) δ ( ),, muulloin sketn siis odotusrvo p ψ ( ) i ψ ( )d i δ ( ) d δ ( ) d + + iikemäärän neliön odotusrvo sdn käyttämällä sääntöä δ ( ) δ ( ) :
p ψ ( ) ψ ( )d ( + ) δ ( ) δ d + + + Sdn siis Pikn epämääräisyys p p p p d d 3 3