= e on Schrödingerin yhtälön ratkaisu. ) on redusoitu massa. Aaltofunktio ψ

Transkriptio

1 S-46, FYSIIKKA IV (EST Kvät, LH4 Rtkisut / LH4- Osoit, ttä vyn ltofunktio ψ = on Schöingin yhtälön tkisu Rtkisu: Schöingin yhtälö llokoointiss on ψ ψ ψ sin θ V ψ Eψ + + =, µ µ sin θ θ θ sin θ φ missä µ = mm /( m + m on usoitu mss Altofunktio ψ iiuu vin :stä, jotn muut ivtt ovt nolli Lsktn ivtt ψ / / = = ψ = / ψ = + / ψ = = / Sijoittmll tulos Schöingin yhtälöön sn V E µ ψ + ψ = ψ Tilll sä on = Potntilingi on Coulombin otntili Lisäksi Bohin sä ( h π m missä usoitu mss on Sijoittn Schöingin yhtlöön: Z V =, kun Z = = / = voin kijoitt usoiun mssn vull muotoon =, µ mm mm µ = = m m + m m

2 V ψ Eψ + = µ ψ ψ = Eψ µ µ ψ ψ = Eψ µ µ µ + E ψ = ψ µ 4 µ ψ = ψ 4 µ µ 6π 4 µ = E 8h = Eψ LH4- Ajst iiumttomn Scöingin ltoyhtälön tkisu on muoto ψ ( = A b, jos b j ψ ( = jos > b Millä tonnäköisyyllä hiukknn on välillä [, b / ]? Rtkisu: Ylissti on tn nomitt ltofunktio sitn, ttä tonnäköisyystihyn intgli yli koko vuun (tässä -kslin = Kosk tässä hitu on joitttu liikkumn lull b smm nomitushoksi ψ ( = Ylisyyttä joittmtt voimm vlit nomitusvkion A lisksi Sijoittmll nnttu ltofunktio sn 4 4 A b = A b b + = A b + = Rtkismll tästä nomitusvkion smm A = 6b Lsktn suvksi tonnäköisyys, ttä hitu on välill [, b / ] tonnäköisyystihys yli tämän osvälin: / / 4 4 6b Intgoin A b = b b + = + =

3 LH4- Rubiinilsin mittoimn vlon llonituus on 694, nm Olttn ttä fotonin missioon tällä llonituull liittyy äättömän otntilikuon lktonin tnsitio n= tsolt n= tsoll, lsk kuon lvys L Rtkisu: Potntilikuon ngitsot ovt h n En =, 8mL jotn tnsitioss tillt n + tiln n vutuu ngi E vn, mikä vst mittoitunn fotonin ngi : h h hc E = En+ En = ( n + n + n = (n + = 8mL 8mL λ Nyt n = Tästä tkistn kuon lvys L j sn sijoittmll lktonin mss j vkiot λh λhc (694, nm(4 V nm L = = = = 79nm 6 8mc 8mc 8( V LH4-4 Äättömän kovss otntililtikoss (-kslin välillä [, ] sijitsvn hiukksn ltofunktio jnhtkllä t = on muoto Ψ (, t = = A( ( Mitä voj hiukksn ngi voi s yksittäisissä mittuksiss (b Lsk ngin ootusvo (tilstollinn kskivo kun ngi mittn usit ktoj (c Millä tonnäköisyyllä hiukksll on ngi π /( m? ( Riiuuko ngin ootusvo jst? ( Annttu ltofunktio i ol otntililtikon oministil Kysssä on siis isttionääinn til j ngin ootusvo on otntililtikon ominisngioin inotttu kskivo Yksittäisssä mittuksss sn jokin otntiliboksin ominisngioist n = π / missä n (,,, E n m Kt kvnttifysiikn ksioomt luvust Ktso ityissti Hmiltonin ottoin määitlmä j ootusvojn lskminn (b Käyttämällä ngin ootusvon määitlmää sn: Osoittjst sn * ˆ * E = ψ Hψ ψ ψ Divointi nt ψ * ˆ H ψ = A ( ( m = = Sijoittmll sn

4 Nimittäjästä sn * ψ Hˆ ψ = A A A m = = m 6m jotn ngin ootusvo on *, ψ ψ = A = A * ˆ * E = ψ Hψ ψ ψ = m (c Jott smm i ngioin siintymistonnäköisyyt, on nnttu i-sttionääinn til nomitttv j sitttävä otntiliboksin sttionääistn tilojn ltofunktioin vull sjkhitlmänä Nomitushto on (b kohn mukn (vlitn A lisksi Sjkhitlmäksi sn yhtälöllä / sin m π A = cn n= / j intgoin yli [ ] otonomlj, sn oikll uolll / A = nπ sin Kotn tämä uolittin, Kosk boin kntfunktiot ovt / / nπ mπ sin sin = δnm ts mπ summst jää jäljll vin tmi n = m Smm A( sin = cm Lskmll intglin smm määätyksi ktoimn sn mittuksss tonnäköisyyllä Intglitulukoist: c / Lsktn siis 6 π c = ( sin 6 / c m Engi E = π / ( m π sin = 4 Sijoittmll sn π 96 c = =,9986 Toisin snon ustiln ngi sn lähs sn osntin 6 π tonnäköisyyllä ( Engin ootusvo i iiu jst Ks lähmmin otusmonistn simkki 7

5 LH4- Potonin sä on sn intglist R m Tonnäköisyys, ttä lktoni on otonin lull, R = P, missä P( ilin tonnäköisyystihysfunktio Lsk tonnäköisyys / ustilll ψ = Rtkisu: vyn Rilinn tonnäköisyystihysfunktio ktoo siis tonnäköissyn, joll lktoni löytyy llokuolt väliltä, + Rilinn tonnäköisyystihysfunktio voin kijoitt muotoon * / 4 / P = ψψ = =, π missä siis tonnäköisyystihysfunktio kotn tilvuuslmntillä Aoksimoin ksonnttitmiä suvsti / R , 78, missä käytttiin sjkhitlmää j sijoitttiin :n suuin vo = R Näin olln j intgli voin lsk hlosti R R 4 4 R 9, = P = = V P = 4 =