FYSA2031 Potentiaalikuoppa

Transkriptio

1 FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK

2 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali Etsitään kymmenen alinta ominaisenergiaa 2 / 14

3 Klassinen mekaniikka vs kvanttimekaniikka Klassinen systeemi: Newtonin lait ja Hamiltonin mekaniikka Eristetty systeemi, E tot = K + V = 1 2 mv 2 + V = p2 2m + V E tot voi saada mitä hyvänsä arvoja Kvanttimekaniikka: Schrödingerin yhtälö E ψ(x) = Ĥψ(x) Kokonaisenergiaoperaattori Ĥ = 2 2 2m x + V (x) 2 E tot voi saada vain tiettyjä arvoja Voidaan mitata vain observaabeleja: energia, pyörimismäärä, spin jne. Aaltofunktiota EI voida mitata 3 / 14

4 Mitä työssä tehdään? Tässä työssä ei mitata mitään. Etsitään eri potentiaalikuoppien energiatiloja tasapohjainen äärettömän syvä potentiaalikuoppa porraspohjainen äärettömän syvä potentiaalikuoppa L L/2 L/2 Esim. porraspotentiaalia ei voida ratkaista analyyttisesti Numeerinen ratkaisu mahdollista tietokoneella Ratkaisua voidaan verrata analyyttisiin approksimaatioihin suurilla ja pienillä energioilla häiriöteoria äärettömän syvä kuoppa 4 / 14

5 Äärettömän syvä tasapohjainen kuoppa Schrödingerin yhtälö Ominaisenergiat 2 2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (1) 2m x 2 {, x L V (x) = 2 0, x < L 2, (2) E n = 2 π 2 2mL 2 (n + 1)2, n N, (3) Ominaistilat ( 2 L ψ n (x) = cos (n+1)π L ( 2 L sin (n+1)π L x ) x, n parillinen ), n pariton. (4) 5 / 14

6 1 kl differentiaaliyhtälön ratkaiseminen, Eulerin menetelmä Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muotoa f (x) = g(x, f (x)). (5) Tiedetään funktion arvo jossain pisteessä f (x 0 ) = y. Taylorin kehitelmästä pisteessä x 1 f (x + x) = n! f (n) (x)( x) n n=0 f (x + x) f (x) + f (x) x Voidaan ratkaista f askel kerrallaan, x n = x 0 + n x f (x 0 ) = y f (x 1 ) = f (x 0 ) + x g(x 0, f (x 0 )) = y + x g(x 0, y) f (x 2 ) = f (x 1 ) + x g(x 1, f (x 1 )). f (x n ) = f (x n 1 ) + x g(x n 1, f (x n 1 )) (6) (7) 6 / 14

7 Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen numeerisesti Asetetaan = 1 ja m = ψ (x) + V (x)ψ = Eψ(x) ψ (x) = 2(V (x) E)ψ(x) (8) Jaetaan edellinen yhtälö kahdeksi 1 kl differentiaaliyhtälöksi ψ (x) φ(x) φ (x) = ψ (x) = 2(V (x) E)ψ(x) = g(x, ψ(x)) (9) laskettava samaan aikaan sekä ψ(x) että ψ (x) Yhtälöryhmän ratkaisemiseksi tarvitaan alkuarvot äärellinen potentiaalikuoppa upotettava äärettömän syvään laatikkopontentiaaliin reunaehdot ψ(x 0 ) = 0, ψ (x 0 ) = a, a 0 tiedetään V (x), iteroidaan E 7 / 14

8 Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen numeerisesti Differentiaaliyhtälöt ovat siis Iteroimalla saadaan φ(x 0 ) = 1 ψ(x 0 ) = 0 ψ (x) = φ(x) φ (x) = 2(V (x) E)ψ(x). (10) φ(x 1 ) = φ(x 0 ) + x φ (x 0 ) = φ(x 0 ) + x 2(V (x 0 ) E)ψ(x 0 ) ψ(x 1 ) = ψ(x 0 ) + x φ(x 0 ) (11). φ(x n ) = φ(x n 1 ) + x 2(V (x n 1 ) E)ψ(x n 1 ) ψ(x n ) = ψ(x n 1 ) + x φ(x n 1 ) 8 / 14

9 Ohjelman ratkaisualgoritmi Ohjelma iteroi E:tä ratkaisee ψ:n jokaisella kerralla E on oikea vain, jos ψ( L 2 ) = 0, eli ψ häviää äärettömän syvän kuopan toisessa reunassa Ohjelmalle annetaan energian ala- ja yläraja E lower ja E upper ohjelma etsii ominaisenergiaa näiden välistä toisella rajoista on oltava ψ( L 2 ) > 0 ja toisella ψ( L 2 ) < 0 ohjelma jatkaa iterointia laskemalla ψ:n energialla E lower +E upper 2 9 / 14

10 Numeerisen ratkaisun virhe DY:n ratkaisun virhe δ h k vaikuttaa ominaisenergian arvoon h = askelkoko k = ratkaisualgoritmin kertaluku Euler: 1. kertaluvun algoritmi Runge Kutta: 4. kertaluvun algoritmi Äärellinen potentiaalikuopan koko voi vääristää sekä aaltofunktioita että ominaisenergioita. Kuva: File:Numerical_integration_ illustration,_h%3d1.png 10 / 14

11 Selkkari Normaali selkkari, paitsi Teoreettiset lähtökohdat Äärettömän syvän potentiaalikuopan ratkaisut Vähintään ensimmäisen kertaluvun korjaus porraspotentiaalille häiriöteoriaa käyttäen Kokeelliset menetelmät Numeeriset menetelmät Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen kahden ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön avulla Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Eulerin menetelmän avulla (Runge Kutta-menetelmän selittämisestä plussaa) Ohjelman toimintaperiaate (iteraatioprosessi) Ohjelman tärkeimmät asetukset ja mihin ne vaikuttavat 11 / 14

12 Selkkari Tulokset Analyyttisten ja numeeristen ratkaisujen vertaaminen äärettömän syvälle potentiaalikuopalle. 1. kertaluvun approksimaation ja numeeristen ratkaisujen vertaaminen porraspotentiaalille kahdella eri kuopan leveyden arvolla (L = 10, L = 20). (Mielikuvituksen käyttö tässä kohtaan sallitaan. Voi tarkastella esim. erikorkuisia portaita yms.) Pohdi, voidaanko porraspotentiaalin tiloja approksimoida yksinkertaisten approksimaatioiden avulla (äärettömän syvä potentiaalikuoppa ja häiriöteoria tai pelkkä äärettömän syvä potentiaalikuoppa)? Miten, miksi ja milloin? Työ mitattu: pp.kk.vvvv Ohjaustilaisuus: pp.kk.vvvv Selkkarin voi palauttaa osoitteeseen laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 12 / 14

13 Ohjelma Kuva: Ohjelman käyttöliittymä 13 / 14

14 Harjoitustehtävä Ohjelma löytyy osoitteesta: laellaul/fysa234/potkuoppa.zip Pura johonkin kansioon Avaa Matlabilla gui.m Tarkastellaan harmonista potentiaalia Sovellus: molekyylien värähtely Energiatilat E n = ω(n ), n = 0, 1, 2, 3,... = 1, ω = 1 Tehtävä: Etsi kymmenen alinta energiatilaa Laatikkopotentiaalin rajat aluksi ±4 Tuleeko ongelmia? Vertaa teoreettisiin arvoihin 14 / 14