Lopputyö FYST321 Suhteellisuusteoia ja aikakoneet Aikakoneen suunnittelusta ja akentamisesta Tekijä: Olli Koskivaaa 18. elokuuta 2014
Tiivistelmä Tämä kijoitelma on lopputyö Makku Lehdon kesällä 2014 luennoimalle teoeettisen fysiikan kussille Suhteellisuusteoia ja aikakoneet. Kussilla käsiteltiin ihmiselle kulkukelpoisen madoneiän akentamista sekä sen hyödyntämistä aikamatkustuksessa menneisyyteen. Tämän työn takoituksena on tiivistää kussin sisältö sekä esitellä aikakoneen akentamisen kannalta olennaisimpia vaiheita. Vaikka matemaattiset välivaiheet ovatkin olennaisia lopputuloksen kannalta, pyitään tässä työssä välttämään teknisiä laskuja ja suosimaan mahdollisimman pitkälti sanallista selitystä; päätavoitteena on kokonaisuuden ymmätäminen. Työ koostuu neljästä osiosta. Ensimmäisessä osiossa johdatellaan aiheeseen sekä esitellään jatkon kannalta täkeitä käsitteitä. Toisessa osiossa käsitellään lyhyesti Einsteinin ja Rosenin hiukkasmallia. Kolmas osio, joka käsittää suuimman osan työstä, on omistettu madoneikien ja niiden kulkukelpoisuuden tutkimiselle. Viimeisessä osiossa esitellään, kuinka ihmiselle kulkukelpoista madoneikää voidaan hyödyntää aikamatkustuksessa menneisyyteen. 1
1 Valmisteluja Ennen siitymistä itse aiheeseen mainittakoon, että tämä työ pohjautuu suuimmilta osin kussin aikana kijoitettuihin muistiinpanoihin. Niiden lisäksi täkeimmät lähteet ovat olleet Mois & Thone (1988) [1] ja Einstein & Rosen (1935) [2]. Tavoitteena on siis akentaa ihmiselle kulkukelpoinen madoneikä; aikamatkustuksen on oltava helppoa ja tuvallista ilman suuempia vaatimuksia matkustajan ominaisuuksista. Lisäksi aikakoneen akentamisen edellytyksenä ei saa olla mielivaltaisen kehittynyt sivilisaatio tai mikään vastaava ajattoman teknisen osaamisen omaava ihmiskunta, sillä tällaisia vaatimuksia sisältävällä suunnitelmalla ei olisi paljoakaan painoavoa käytännön kannalta. Yleisen suhteellisuusteoian kuvaama avauusaika on ajaton kokonaisuus. Palauttaaksemme tietynlaisen käsityksen ajan kulusta, suoitamme niin sanotun 3+1 viipaloinnin. Takemmin sanottuna yleisen suhteellisuusteoian neliulotteinen avauusaika eotellaan kolmiulotteisten paikanluonteisten hypepintojen joukoksi, jota paametisoi mielivaltaisesti valittu koodinaatin x 4 avo. Kukin hypepinta ajatellaan neliulotteiseen Riemannin Einsteinin avauusaikaan upotetuksi kolmiulotteiseksi avauusviipaleeksi, jolloin joukko muodostaa hypeavauuden. Koodinaatti x 4 puolestaan vastaa suppeasta suhteellisuusteoiasta tuttua aikakoodinaattia. Kaiken kaikkiaan 3+1 muotoilu sisältää iittävissä määin sekä yleisen suhteelisuusteoian avauusgeometian että aikakoodinaatin tuoman käytännön ajan, tunteen muutoksesta ja konologian käsitteen. Takastelujen kannalta olennainen invaiantti neliömuoto Q voidaan kijoittaa muodossa ( Q = γ ij dx i dx j + 2N i dx i dx 4 + N i N i N 2) ( dx 4) 2, missä γ ij on hypepinnalle indusoituvaa 3-metiikkaa kuvaava metinen tensoi, N = N(x i, x 4 ) on ajankulkufunktio ja N i = N i (x j, x 4 ) on paikkasiitymävektoi. Laskujen yksinketaistamiseksi otamme takastelun kohteeksi staattisen (ei aikaiippuvuutta) pallosymmetisen avauusajan. Ilman gavitaatiota saadaan tällöin laakeaa Minkowskin Einsteinin avauusaikaa kuvaavaksi 2
neliömuodoksi Q ME = d 2 + 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dφ 2) c 2 dt 2, missä, θ ja φ ovat pallokoodinaatit, ja valon nopeus tyhjiössä c saatiin käyttämällä elaatiota x 4 = ct. Siityminen gavitaation sisältävään Riemannin Einsteinin avauusaikaan tehdään lisäämällä neliömuotoon istitemi cddt sekä ketomalla kukin temi jollakin :n ja t:n funktiolla; selvitettäväksi jää siis 4 mielivaltaista :n ja t:n funktiota. Funktioiden määä saadaan lopulta edusoitua kahteen, jolloin ottamalla huomioon vaatimus avauusajan staattisuudesta saadaan neliömuodoksi Q = γ ()d 2 + 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dφ 2) N 2 ()c 2 dt 2, missä γ ja N 2 ovat kyseiset kaksi funktiota. Funktioita ajoitetaan vaatimalla avauusajan asymptoottinen laakeus: γ () 1 ja N 2 () 1 kun. Funktiot γ ja N 2 ovat kulkukelpoisen madoneiän suunnittelussa pääoolissa. Eilaisilla funktioiden valinnoilla saadaan eilaisia ehdokkaita madoneiäksi; mitä ajoituksia kulkukelpoisuus asettaa funktioille? Eäs esimekki funktioiden γ ja N 2 valinnaksi on ( γ () = 1 ) H 1, N 2 () = 1 H, missä H vastaa avauusajan tapahtumahoisonttia eli sellaista säteen avoa, jolla ajan kulku pysähtyy: N( = H ) = 0. Nämä valinnat vastaavat niin kutsuttua Schwazchildin avauusaikageometiaa. Osoittautuu, että Schwazchildin avauusaikageometia on madoneikää esittävä Einsteinin kenttäyhtälön tyhjiöatkaisu. Toiveet madoneiän kulkukelpoisuudesta ovat kuitenkin tuhia; esimekiksi vuoovesivoimat Schwazchildin madoneiän kaulassa ovat massiivisia, ja lisäksi madoneikä on itse asiassa luonteeltaan dynaaminen kaulan ajun laajentumisen ja supistumisen vuoksi. [1] 2 Einsteinin ja Rosenin hiukkasmalli Tässä osiossa käsittelemme histoiallisesti madoneikien tutkimuksen kannalta täkeää vistanpylvästä, josta voi lisäksi löytää analogioita myöhem- 3
min käsiteltävien madoneikälaskujen kanssa. Vuonna 1935 Albet Einstein ja Nathan Rosen esittivät suhteellisuusteoeettisen geometisen mallin hiukkaselle [2]. Ideana oli kuvata hiukkasta ilman singulaiteetteja eäänlaisena siltana. Ottaen lähtökohdaksi Schwazchildin avauusajan Einstein ja Rosen kehittivät mallin, jossa avauusaikaa esittää kaksi identtistä laakeaa aluetta ja hiukkasta puolestaan näitä alueita yhdistävä silta. Malli sulkee pois negatiivisen massan omaavat sähköisesti neutaalit hiukkaset. Einstein ja Rosen käsittelivät myös sähköisesti vaattua massatonta hiukkasta. Valitsemalla funktiot γ ja N 2 sopivasti he päätyivät takastelemaan niin sanottua Reissnein Nodstömin avauusaikageometiaa. Konstuoidakseen sähköisesti vaattua hiukkasta kuvaavan sillan he joutuivat kuitenkin vaihtamaan enegiatiheyden negatiiviseksi; tämä implikoi niin sanottujen lokaalien enegiaehtojen mahdollista ikkoutumista madoneikien yhteydessä. Meidän kannaltamme Einsteinin ja Rosenin malli on kiinnostava, sillä silta voidaan tulkita hiukkasen sijaan madoneiäksi; kuvan 1 yksinketaistettu visualisointi saatta auttaa tilanteen ymmätämisessä. Alkupeäisessä hiukkasmallissa silta ei kuvaa kulkukelpoista madoneikää, sillä sillan muodostaminen vaatii hoisontin olemassaolon. 1 Seuaavassa osiossa siiymmekin takastelemaan, kuinka Einsteinin ja Rosenin ideoita voitaisiin jalostaa kulkukelpoisen madoneiän tapeisiin. Kuva 1: Vasemmalla kuva kahta laakeaa avauusaikaa yhdistävästä sillasta, oikealla meidän kannaltamme kiinnostava mahdollisuus yhteen ja samaan laakeaan avauusaikaan sijoittuvasta sillasta. Kuva kussin muistiinpanoista. 1 Kulkukelpoinen madoneikä ei voi sisältää hoisontteja, sillä niiden ohittaminen johtaisi väistämättä tuhoisaan kaaevuussingulaiteettiin. 4
3 Kohti kulkukelpoista madoneikää Pitäen Einsteinin ja Rosenin malli mielessä esitetään kulkukelpoisen madoneiän luonteelle seuaavanlainen suunnitelma: kahta laakean avauusajan aluetta yhdistää silta, jonka yli signaali tai ihminen voi kulkea molempiin suuntiin kohtaamatta paljaita singulaiteetteja tai hoisontteja. Vaatimukset kaksisuuntaisesta liikenteestä ja hoisonttien poissaolosta ovat läheisesti yhteydessä toisiinsa; hoisontin sisältävä madoneikä sallii vain yksisuuntaisen liikenteen, johon liittyy lisäksi aiemmin mainittu kaaevuussingulaiteetin eli mustan aukon ongelma [1]. Yllä esitetyt vaatimukset mielessä otetaan Schwazchildin avauusaikageometian yhteydessä valittujen funktioiden γ ja N 2 tilalle yleisemmät vesiot [ γ () = 1 µ() ] 1, N 2 () = 1 µ(), missä µ() on niin sanottu muotofunktio, jolle pätee µ( H ) = H, jos avauusajalla on tapahtumahoisontti säteen avolla H. Tällöin Schwazchildin avauusaikageometia sekä Einsteinin ja Rosenin siltamallit saadaan eikoistapauksina sopivilla funktion µ valinnoilla. Koska hoisontti vastaa ajankulkufunktion N häviämistä jollakin säteen avolla, voidaan mahdollinen hoisontti poistaa esimekiksi vaatimalla että N 2 on muotoa N 2 () = e 2ν(), missä ν() on sellainen funktio, jolle e 2ν() on nollasta poikkeava kaikilla säteen avoilla. Huomaa, että alkupeäiseen takasteluun voidaan jälleen palata valitsemalla ν() = 1 2 ln [ 1 µ() ], jolloin mahdollinen hoisontti vastaa tilannetta ν( H ) =. Takastelemamme neliömuoto päätyy näillä valinnoilla muotoon [ Q = 1 µ() ] 1 ( d 2 + 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ 2) e 2ν() c 2 dt 2. (1) 5
Kiinnostuksen kohteenamme on siis nyt kaksi säteen funktiota, µ ja ν, joille vaatimus madoneiän kulkukelpoisuudesta asettaa ajoituksia. Neliömuodosta näemme, että µ() liittyy paikanluonteisen hypepinnan geometiaan, mikä osaltaan selittää µ:n kutsumisen muotofunktioksi. ν puolestaan liittyy gavitaatioon ja ajankulkuun, ja sille käytetään nimeä punasiitymäfunktio [1]. ν:n ooli ajankulussa aiheuttaa sille vielä yhden lisävaatimuksen: jotta madoneikä olisi käyttökelpoinen, on kellolla mitattavan kulkuajan oltava ääellinen. Näin ollen vaadimme, että funktio ν() on ääellinen kaikilla säteen avoilla. Jatkon kannalta suuessa oolissa tulee olemaan Einsteinin kenttäyhtälö, joka onkin kenties syytä kijoittaa näkyviin kaikessa komeudessaan: G αβ = 8πG c 2 T αβ. Kyseessä on siis tensoiyhtälö, joka liittää toisiinsa avauusajan kaaevuuden sekä mateiasisällön. Madoneiän kulkukelpoisuuden kannalta täkeässä oolissa tulee olemaan yhtälön oikealla puolella esiintyvä jännitysliikemäää-enegia-tensoi T αβ, joka kuvaa sitä, miten mateia ja enegia ovat jakautuneet avauusaikaan. Jotta pääsisimme hyödyntämään yhtälöä madoneikäavauusajan tutkimisessa, on Einsteinin tensoi G αβ syytä esittää funktioiden µ() ja ν() avulla. Tätä vaten on laskettava avauusajan metistä tensoia hyödyntäen Chistoffelin symbolit, Riemannin tensoi sekä Riccin tensoi. Vaikka tensoeiden symmetiaominaisuudet lyhentävätkin uakkaa jonkin vean, vaativat laskut joitakin sivuja. Ymmäyksen kannalta olennaista on laskuteknisten yksityiskohtien sijaan päätös siityä θφt-koodinaattikannasta ei-koodinaattikantaan, niin kutsuttuun tetadikantaan. Tetadifomalismia hyödyntäen on mahdollista siityä käyttämään staattisen havaitsijan (, θ ja φ vakioita) käyttämää otonomitettua kantaa. Kun mittaukset madoneikäavauusajassa suoittaa staattinen havaitsija, saadaan jännitys-liikemäää-enegia-tensoin T αβ komponenteille yksinketaiset fysikaaliset tulkinnat. Riittävän yleiseen tilanteeseen päästään ottamalla takasteltavaksi tensoiksi Hawkingin Ellisin juoksevaa ainetta kuvaava tensoi, joka on tetadikannassa muotoa Tˆα ˆβ = diag(pˆ1, pˆ2, pˆ3, ρ).2 Komponenttien fysikaaliset tulkinnat ovat tällöin seuaavat: 2 Hatullisilla indekseillä viitataan vastedes tetadi- eli ei-koodinaattikantaan, hatuttomilla koodinaattikantaan. 6
τ() = pˆ1 () = adiaalinen paine =, missä τ() = adiaalinen c jännitys pe yksikköpinta-ala, 2 Tˆ1ˆ1 Tˆ2ˆ2 = pˆ2 () = p() c 2 = pˆ3 () = Tˆ3ˆ3, missä p() = poikittainen paine, Tˆ4ˆ4 = ρ() = massatiheys (vastaavasti ρ()c2 = enegiatiheys). Laskemalla Einsteinin tensoin nollasta eoavat komponentit tetadikannassa ja käyttämällä yllä olevia tulkintoja jännitys-liikemäää-enegia-tensoin komponenteille saadaan Einsteinin kenttäyhtälön antamat komponenttiyhtälöt hienoisen pyöittelyn jälkeen lopulta muotoon ρc 2 c = 4 8πG 1 dµ (2a) 2 τ = c 4 8πG d, [ µ 3 2 ( 1 µ [ (ρc p = 2 2 τ ) dν d dτ d ) ] dν d, (2b) ] τ. Voidaan osoittaa, että yhtälöllä (2c) on yhteys neliliikemäään säilymiseen. Sillä on lisäksi myös selkeämpi ja meidän kannaltamme hyödyllisempi fysikaalinen tulkinta. Kijoittamalla yhtälö muotoon dτ ( ) dν d = ρc 2 τ d 2 (p + τ) voidaan todeta, että se kuvaa hydostaattista tasapainoa jännitysgadientin (vasen puoli) ja gavitaation (oikea puoli) välillä. Yhtälöllä onkin täkeä ooli madoneikää auki pitävän mateiaalisisällön tutkimisessa. Todetaan vielä yhteenvetona kuinka yhtälöitä (2a), (2b) ja (2c) voidaan käyttää kulkukelpoisten madoneikien suunnittelussa. Valitsemalla ehdokkaat funktioiksi µ ja ν saadaan yhtälöistä (2a) ja (2b) atkaistua massatiheys ρ sekä jännitys τ koodinaatin funktioina. Näitä hyödyntäen voidaan yhtälön (2c) avulla lopulta määittää paine p(). Madoneikien visualisoinnin helpottamiseksi on syytä nähdä hiukan vaivaa. Takasteltavana on siis neliömuodon (1) kuvaama madoneikäavauusaika. Otetaan madoneikäavauusajan kolmiulotteinen staattinen hypepinta H 3, ja upotetaan se pintana z = z(, θ, φ) neliulotteiseen euklidiseen avauuteen E 4, jota kuvaa neliömuoto Q E 4 = dz 2 + d 2 + 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dφ 2), 7 (2c)
missä (z,, θ, φ) ovat neliulotteiset sylinteikoodinaatit. Etsimällä nyt sellainen E 4 :n kolmiulotteinen aksiaalisymmetinen hypepinta, jolle indusoituu hypepinnan H 3 neliömuodon Q H 3 määäämä kolmimetiikka, saadaan neliömuotoja vetailemalla koodinaattien välille yhtälö [ ] dz 1/2 d = ± µ() 1. (3) Yhtälö (3) esittää euklidiseen avauuteen E 4 upotettua hypepintaa H 3. Viimeistään nyt lienee selvää, miksi funktiota µ = µ() kutsutaan muotofunktioksi; yhtälö (3) ilmaisee, kuinka µ määää madoneiän geometian. Takastellaan seuaavaksi, miten yhtälöä (3) voidaan hyödyntää madoneikien visualisoinnissa. Yksinketaisuuden vuoksi tutkitaan tilannetta, jossa µ() = vakio =. K > 0. Integoimalla yhtälö (3) ja asettamalla z(k) = 0 saadaan atkaistua z säteen :n funktiona. Tuloksena on paaabelihaaa, joka muodostaa maljakon muotoisen pyöähdyspinnan - akselin pyöähtäessä 2π:n vean (φ : 0 2π). Huomioimalla yhtälön (3) molemmat mekit saadaan siis kaksi pyöähdyspintaa: ylöspäin ja alaspäin aukeavat maljakot. Yksinketaistettu visualisointi madoneiästä saadaan liittämällä nämä kaksi pyöähdyspintaa yhteen kapeimmista kohdistaan, siis ympyää = K pitkin. Lopputulos on esitetty kuvassa 2. Huomioimalla myös kieto θ-koodinaatin suhteen, θ : 0 π, kovautuvat -säteiset ympyät kaksiulotteisilla pallopinnoilla. Tämän visualisointi jätettäköön lukijan pohdittavaksi. Kuva 2: Madoneiän visualisointia. Kuva kussin muistiinpanoista. 8
Yhtälöä (3) takastelemalla nähdään, että dz d on divegentti madoneiän kapeimmassa kohdassa eli kaulassa, jossa = K ja µ( K ) = K. Tämän takia ei ole kaulan läheisyydessä mielekäs koodinaatti, ja otammekin käyttöön jo kuvassa 2 esiintyneen koodinaatin l = l(). l on staattisen havaitsijan madoneikää pitkin mittaama adiaalinen etäisyys, joka saadaan yleisen funktion µ() tapauksessa singulaaisesta muunnoksesta l = l(), [ dl 2 = 1 µ() ] 1 d 2. Ennen siitymistä eteenpäin on syytä huomata, että kulkukelpoisen madoneiän muoto ajoittaa funktiota µ(). Jotta madoneikä avautuisi ulospäin kaulassa, on (z):lla oltava minimi pisteessä = K, siis d 2 dz 2 > 0, = K tai l-koodinaatin avulla lausuttuna d 2 dl 2 > 0. l = 0 Tämä vaatimus sovellettuna yhtälöön (3) (tai vastaavasti l-koodinaatille) johtaa (vahvaan) avautumisehtoon dµ d < 1. = K Ilmaistaan seuaavaksi olennaiset tuloksemme l-koodinaatin avulla. Madoneikäavauusajan neliömuodoksi tulee ( Q = dl 2 + 2 (l) dθ 2 + sin 2 θ dφ 2) e 2ν(l) c 2 dt 2, josta näemme että muotofunktiona toimii nyt µ():n sijasta (l). Einsteinin komponenttimuotoiset kenttäyhtälöt (2a), (2b) ja (2c) saadaan puolestaan lopulta muotoon ρc 2 = c 4 8πG { [ 1 2 ( ) ] 2 1 d dl { [ ( ) ] c τ = 4 2 1 8πG 1 d 2 dl { c p = 4 d 2 ν 8πG + dl 2 } 2 d2, (4a) dl 2 } 2 dν dl dl d, (4b) ( ) 2 [ ] } dν dl + 1 dν dl dl d + d2. dl 2 9 (4c)
Nyt yhtälöiden oikealla puolella olevat suueet l, (l) ja ν(l) ovat selkeästi kytköksissä madoneiän geometiaan. Tekemällä muunnos z l kovattiin epäfysikaalinen (ei-mitattava) paameti z fysikaalisella (mitattavalla) paametilla l. Posessissa voi nähdä analogian esimekiksi kvanttikenttäteoiasta tuttuun enomalisaatioon, jossa alkupeäisen teoian paljaat paametit kovataan mitattavilla enomalisoiduilla paameteilla. Takastelemalla yhtälöitä (4a) ja (4b) madoneiän kaulassa (l = 0) ja soveltamalla kulkukelpoisuuden kannalta olennaista avautumisehtoa saadaan epäyhtälö τ(0) > ρ(0)c 2. Epäyhtälön mukaan adiaalinen jännitys on enegiatiheyttä suuempi madoneiän kaulassa. Takastelemalla madoneiän kaulan läpi kulkevaa havaitsijaa ja hyödyntämällä em. epäyhtälöä osoittautuu, että liikkuessaan iittävän suuella nopeudella havaitsija mittaa negatiivisen enegiatiheyden. Kuten aiemmin mainittiin, jo Einstein ja Rosen joutuivat kohtaamaan negatiivisen enegiatiheyden tutkimuksissaan. Negatiivinen enegiatiheys ikkoo yleisen suhteellisuusteoian enegiaehtoja, jotka ovat vaatimuksia jännitys-liikemäää-enegia-tensoille T αβ. Takemmin sanottuna ikkoutuva ehto on niin kutsuttu nolla-enegiaehto, jonka mukaan T αβ :n on toteutettava T αβ k α k β 0 kaikille valonluonteisille vektoeille k α. Fysikaalisesti ehto vaatii gavitaation vaikutuksen olevan lokaalisti attaktiivinen toisiaan lähellä oleville valonluonteisille hiukkasille. Ainetta, jonka jännitys-liikemäää-enegia-tensoi T αβ ei toteuta nollaenegiaehtoa, kutsutaan eksoottiseksi aineeksi. Madoneiän kaulassa ja mahdollisesti kaulan lähiympäistössä havaittavan negatiivisen enegiatiheyden vuoksi tällaista ainetta tavitaan kulkukelpoisen madoneiän akentamiseen. Itse asiassa nolla-enegiaehdon ikkoutuminen on myös välttämätöntä avauusajan topologian vaihtumiselle tiviaalista epätiviaaliksi, siis itse madoneikäavauusajan muodostumiselle. Klassinen (ei-kvanttimekaaninen) aine toteuttaa nolla-enegiaehdon, joten sitä ei voida hyödyntää kulkukelpoisen madoneiän akentamisessa. Kvanttimekaaniset ilmiöt vihjaavat kuitenkin eksoottisen mateiaalin mahdollisesta olemassaolosta; esimekiksi tyhjiön kvanttifluktuaatioiden yhteydessä ilmenee negatiivisia enegiatiheyksiä. Kokeellisesti todennettuna esimekkinä tästä toimii Casimiin ilmiö, jossa tyhjiöön lähekkäin asetetut sähköisesti neutaalit metallilevyt pykivät lähestymään toisiaan vituaalifotonien aiheuttamien enegiatiheyseojen seuauksena. Toinen esimekki kvanttikenttäteoiassa esiintyvästä negatiivisesta enegiatihey- 10
destä on sähkömagneettisen kentän puistettu tila (squeezed state) [1]. Kvantti-ilmiöiden indusoimat enegiaehtojen ikkoutumiset ovat kuitenkin Planckin vakion h kokoluokkaa, siis hyvin pieniä. Toisaalta emme tiedä, kuinka paljon eksoottista ainetta iittää pitämään madoneiän kulkukelpoisena. Tämän takia on syytä kehittää eksoottisuuden määän takastelemiseksi jonkinlainen mitta. Enegiaehdot voidaan esittää myös viivaintegaalimuodoissa. Esimekiksi nolla-enegiaehto voidaan ilmaista muodossa T αβ k α k β dλ 0, C missä C on valonluonteinen käyä, k α sen tangenttivektoi ja λ käyäpaameti. Viivaintegaalimuotoja voidaan käyttää eksoottisuustesteinä. Samaan tapaan esitämme eksoottisuuden mitaksi tilavuusintegaalin T αβ k α k β dv. Tätä yitettä hyödyntäen saadaan eksoottisuuden mitaksi lopulta R K [ (dµ ) ( )] d 1 e 2ν ln 1 µ d. R = J ()d, (5) K missä takastelu on ajattu tilanteeseen, jossa eksoottista ainetta sijaitsee vain alueessa K R. Eksoottisen aineen ongelmallisen luonteen vuoksi on syytä takastella vaihtoehtoja sen määän minimoimiseksi. 3 Integaalia (5) takastelemalla nähdään, että tavittava eksoottisen aineen määä saadaan infinitesimaalisen pieneksi i) minimoimalla alue, jossa eksoottista ainetta esiintyy, lähelle madoneiän kaulaa (R K ), tai ii) minimoimalla integandi J () koko eksoottisuusalueessa. Sopivilla funktioiden µ() ja ν() valinnoilla voidaan siis vaikuttaa kulkukelpoisen madoneiän vaatiman eksoottisen aineen määään. Esimekiksi 3 Moisin ja Thonin sanoin: to minimize the violation of physical easonableness [1]. 11
Home Ellis takastelee vuonna 1973 julkaistussa atikkelissaan tapausta, jossa µ() = 2 K ja ν() = 0. Tässä viemäiaukkomallissa eksoottisen aineen oolissa on skalaaikentän negatiivinen liike-enegiatemi. Ellis tutkii papeissaan mallin soveltamista yleisen suhteellisuusteoian hiukkasmalliksi. [3] Pelkkä eksoottisen aineen läsnäolo ei iitä tekemään madoneikää ihmiselle kulkukelpoiseksi. Koska madoneiän läpi kulkemisen tulee olla ihmiselle helppoa ja tuvallista, eivät gavitaation aiheuttamat vuoovesiefektit saa kasvaa liian suuiksi. Tämä asettaa ajoituksia Riemannin tensoin komponenteille. Takastelemalla ihmisen kehon kahden ei osan (pisteen) suhteellista kiihtyvyyttä ja vaatimalla, että kiihtyvyydet ovat pienempiä tai yhtäsuuia kuin putoamiskiihtyvyys Maan pinnalla (g 9, 8 ms 2 ), saadaan ajoituksia funktion ν() gadientille ja nopeudelle, jolla madoneiässä voi kulkea mukavasti ja tuvallisesti. 4 Madoneiästä aikakoneeksi Olettaen, että käytössämme on ihmiselle kulkukelpoinen madoneikä, takastelemme nyt, kuinka sitä voidaan hyödyntää aikamatkustuksessa menneisyyteen. Itse asiassa osoittautuu, että yleisen suhteellisuusteoian puitteissa madoneiästä muodostuu väistämättä aikakone. Ideana on muodostaa suljettuja ajanluonteisia käyiä niin kutsutun konologiahoisontin tulevaisuuteen. Konologiahoisontiksi kutsutaan sitä avauusajan eunaa (hypepintaa), joka eottaa toisistaan konologisen (ei sisällä suljettuja ajanluonteisia käyiä, kausaliteetti) ja ei-konologisen (sisältää suljettuja ajanluonteisia käyiä) avauusajan. Klassisesti ja kvanttimekaanisesti stabiili konologiahoisontti johtaa väistämättä aikamatkustuksen mahdollisuuteen. Suunnitelmana on, että jokseenkin laakean avauusajan kahta ei aluetta yhdistävän madoneiän (ks. aiemmin esitetyn kuvan 1 oikea puoli) suiden suhteellinen liike aiheuttaa aikamatkustuksen mahdollistavan aikadilataatio-ilmiön. 4 Oletetaan, että madoneiän suut S 1 ja S 2 ovat alkuti- 4 Aikamatkustuksen mahdollistamiseksi on muitakin keinoja, kuten esimekiksi madoneiän suiden vuoovaikutus eilaisten kenttien kanssa. Yksinketaisuuden vuoksi ajoitamme tässä työssä takastelun suppeasta suhteellisuusteoiasta tuttuun aikadilataatioon. 12
lanteessa lähellä toisiaan ja levossa Loentzin inetiaalikoodinaatistossa. Kiihdytetään S 2 suueen nopeuteen kuljettaen sitä suoaviivaisesti poispäin S 1 :sta, minkä jälkeen palautetaan S 2 samaan tapaan lähtöpaikkaansa S 1 :n lähelle. Tällöin ajankulut madoneiän suissa poikkeavat aikadilataation vaikutuksesta toisistaan (vt. suppean suhteellisuusteoian kaksospaadoksi ). Loentzin koodinaatistossa levossa olevan havaitsijan mukaan S 2 :n mukana liikkuneen kuvitteellisen kellon aika on hidastunut veattuna S 1 :ssa olevaan kelloon. Olennaista on, että madoneiän läpi katsottuna molemmat kellot mittaavat kuitenkin samaa aikaa, sillä madoneiän sisäinen geometia ei ole olennaisesti muuttunut. Oletetaan nyt, että tutkija lähtee suun S 1 luota ja siityy eippaasti lähellä olevan suun S 2 luokse. Tutkija astuu kulkukelpoiseen madoneikään suusta S 2 ja tulee ulos suusta S 1. Madoneiän ulkopuolella havaittavasta aikadilataatiosta johtuen tutkija astuu ulos suusta S 1 ennen kuin on lähtenyt sieltä kohti suuta S 2 ; hän on matkustanut madoneiän avulla menneisyyteen. Ihmiselle kulkukelpoista madoneikää voidaan siis hyödyntää aikamatkustuksessa. Aikakoneen käyttöön liittyy kuitenkin ongelmia; esimekiksi vituaalihiukkasten ajattoman kietämisen ja kasautumisen aikakoneen käynnistämisen yhteydessä on esitetty tuhoavan jäjestelyn. Myös aikamatkustuksen yhteydessä esiintyvät kausaliteettiongelmat ovat läsnä. Jo kulkukelpoisen madoneiän muodostaminen heättää myös kysymyksiä: Millä ehdoilla avauusajan topologia saadaan muutettua tiviaalista epätiviaaliksi? Onko tämä ylipäätään mahdollista? Kenties toimiva kvanttigavitaation teoia antaa joskus vastauksia joihinkin aikamatkustusta koskeviin avoituksiin. Todettakoon vielä lopuksi, että edellä esitetyistä kysymyksistä huolimatta mikään tunnettu fysikaalinen efekti ei näytä estävän aikamatkustusta. 13
Viitteet [1] M. S. Mois ja K. S. Thone, Womholes in spacetime and thei use fo intestella tavel: A tool fo teaching geneal elativity, Ameican Jounal of Physics 56 (1988) 395-412, doi: 10.1119/1.15620. [2] A. Einstein ja N. Rosen, The Paticle Poblem in the Geneal Theoy of Relativity, Physical Review 48 (1935) 73-77, doi: 10.1103/PhysRev.48.73. [3] H. Ellis, Ethe flow though a dainhole: A paticle model in geneal elativity, Jounal of Mathematical Physics 14 (1973) 104 118, doi: 10.1063/1.1666161. 14