Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 6

Transkriptio

1 Matemaattiset apuneuvot II, hajoitus 6 K. Tuominen 0. joulukuuta 207 Palauta atkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina.2. kello 0:5 mennessä. Mekitse vastauspapeiin laskuhajoitusyhmäsi assain nimi. Tehtävät S ja S2 ovat ylimäääisiä, ja niistä saa nomaalit laskaipisteet, mutta maksimipisteet on mahdollista saada ilmankin. Kussipalaute: lomake.html. Olkoon f R 2 R 3, f (x, x 2 ) = (x + e x 2, x 2, x x 2 ). Laske deivaatta D f (x). Ratkaisu: Nyt f :n komponentit ovat f (x, x 2 ) = x + e x 2, f 2 (x, x 2 ) = x 2 ja f 3 (x, x 2 ) = x x 2. Aloitetaan laskemalla komponenttien diffeentiaalit. Käytetään viime viikon (viikko 5) laskaeista tuttua mekintää d f (x, x 2 )(u, u 2 ) = f (x, x 2 ) u. Lasketaan ensin f :den diffeentiaali: Ja samoin f 2 ja f 3 d f (x, x 2 )(u, u 2 ) = (, ) f (u, u 2 ) x x 2 = u f + u 2 f x x 2 = x u + e x 2 u 2 d f 2 (x, x 2 )(u, u 2 ) = u f 2 + u 2 f 2 x x 2 = u 2 d f 3 (x, x 2 )(u, u 2 ) = u f 3 + u 2 f 3 x x 2 Joten nyt voidaan kijoittaa deivaattavektoi: = x 2 u + x u 2 D f (x, x 2 )(u, u 2 ) = (x u + e x 2 u 2, u 2, x 2 u + x u 2 ) Vaihtoehtoisesti deivaatan voi kijoittaa pelkkänä matiisina: x e x 2 D f (x, x 2 ) = 0 x 2 x 2. Kaksi ketaa jatkuvasti diffeentioituvaa funktiota u sanotaan hamoniseksi, jos 2 u ( u) = 0. (a) Osoita, että funktio u R 3 {0} R, u(x) = / x on hamoninen.

2 matemaattiset apuneuvot ii, hajoitus 6 2 (b) Tutki, onko funktio f (x, y, z) = xy + yz + xz hamoninen. Ratkaisu: (a) Laplacen opeaattoi voidaan kijoittaa muotoon ja nyt 2 f = ( f ) = 2 f x f y f z 2 x = x 2 + x2 2 + x2 3 u = x = (x2 + x2 2 + x2 3 ) 2 lasketaan ensin osittaisdeivaatat 2 u = ( u) = 2 u x u x u x3 2 u x = u x 2 = u x 3 = x (x 2 + x2 2 + x2 3 ) 3 2 x 2 (x 2 + x2 2 + x2 3 ) 3 2 x 3 (x 2 + x2 2 + x2 3 ) 3 2 ja seuaavaksi toiset deivaatat osittaisdeivaatoista 2 u x 2 2 u x 2 2 = 2x2 x2 2 x2 3 (x 2 + x2 2 + x2 3 ) 5 2 = x2 + 2x2 2 x2 3 (x 2 + x2 2 + x2 3 ) 5 2 Huomataan, että 2 u x 2 3 = x2 x x2 3 (x 2 + x2 2 + x2 3 ) 5 2 eli u on hamoninen. 2x 2 x2 2 x2 3 (x 2 + x2 2 + x2 3 ) x2 + 2x2 2 x2 3 + x2 x x2 3 (x 2 + x2 2 + x2 3 ) 5 2 (x 2 + x2 2 + x2 3 ) 2 5 = 0 (b) Tutkitaan onko f (x, y, z) = xy + yz + xz hamoninen. Funktio f on hamoninen, jos 2 f = ( f ) = 2 f x f y f z 2 = 0 f x = y + z x 2 = 0 y = x + z

3 matemaattiset apuneuvot ii, hajoitus 6 3 y 2 = 0 z = x + y eli funktio on hamoninen. z 2 = 0 3. Olkoon φ R 3 R skalaaikenttä ja v R 3 R 3 vektoikenttä. Oletetaan, että kentät ovat iittävän (a) Osoita, että skalaaifunktion φ gadienttikenttä on pyöteetön: ( φ). (b) Osoita, että vektoifunktion v oottoikenttä on lähteetön: Ratkaisu: (a) ( v). Skalaaifunktion gadienttikenttä on pyöteetön: sileitä, jolloin pätee x i x j = x j x i ja vastaavasti vektoikentän v kaikille komponenteille. (b) φ = x i + y j + z k i j k φ = x y z x y z φ = ( y z )i ( z y x z = (0)i + (0)j + (0)k = 0 Vektoikentän oottoikenttä on lähteetön: z x )j + ( x y y x )k i j k v = x y z v x v y v z = ( vz y vy vz )i ( z x vx vy )j + ( z x vx y )k ( v) = x ( vz y vy z ) y ( vz x vx z ) + z ( vy x vx y ) = 2 v z x y 2 v y x z 2 v z y x + 2 v x y z + 2 v y z x 2 v x z y = 0 Huom: edellä molemmissa kohdissa oletetaan, että funktioiden toiset deivaatat ovat jatkuvia jolloin (x, y) x y = 2 f (x, y) y x 4. Ötökkä putoaa katosta lattialle johon on suihkutettu mykkyä. Ötökän putoamispisteen koodinaatit ovat (x, y) = (, 2) ja mykyn määää kuvaa skalaaifunktio M(x, y) = x 2 + y 2 + xy + 5x + y + 4.

4 matemaattiset apuneuvot ii, hajoitus 6 4 (a) Mihin suuntaan ötökän kannattaa lähteä kulkemaan (eli missä suunnassa mykyn määä pienenee nopeiten)? (b) Missä pisteessä mykyn määä on pienin? Ratkaisu: (a) Skalaaifunktio kasvaa voimakkaimmin gadientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gadientin suuntaan. Lasketaan siis M(x, y):n gadientti: M(x, y) M(x, y) M(x, y) = î + ĵ x y = (2x + y + 5)î + (2y + x + )ĵ Pisteessä (x, y) = (, 2) gadientti on: M(, 2) = 9î + 6ĵ Ötökän kannattaa siis lähteä suuntaan 9î 6ĵ. (b) Mykyn määä on pienin pisteessä, jossa skalaaifunktio ei kasva mihinkään suuntaan, eli sen gadientti tässä pisteessä on nolla. Etsitään koodinaatit, joilla M(x, y):n gadientti on nolla: Saadaan yhtälöpai: M(x, y) = (2x + y + 5)î + (2y + x + )ĵ = 0 2x + y + 5 = 0 2y + x + = 0 joka toteutuu kun x = 3 ja y =. Mykyn määä on siis pienin pisteessä (x, y) = ( 3, )

5 matemaattiset apuneuvot ii, hajoitus 6 5 S. Pistemäisen kappaleen pyöimismäää koodinaatiston oigon suhteen on L = p, missä p = mv = md/dt on kappaleen liikemäää ja sen paikkavektoi. Newtonin lain mukaan voima on F = ma = dp/dt. Osoita, että jos hiukkanen liikkuu keskeisvoimakentässä, F, niin L on liikevakio, dl/dt = 0. Ratkaisu: Lasketaan ensin liikemääämomentin aikadeivaatta: d dt L = d ( p) dt Voimme käyttää tulon deivoimissääntöä vektoifunktioiden istituloissa: d ( p) = ṙ p + ṗ dt = v (mv) + (ma) = m(v v + a) Koska vektoin istitulo itsensä kanssa on 0, v v temi katoaa. Nyt koska kyseessä on keskeisvoima, eli F = ma, temi a katoaa koska nämä vektoit ovat samansuuntaiset. Joten: d dt L = 0 Ja liikemääämomentti on liikevakio. S2. Johdetaan ketjusäännöllä gadientin lauseke napakoodinaateissa. Olkoon f (x, y) jatkuvasti diffeentioituva kuvaus ja g(, φ) = (, sin φ) napakoodinaattikuvaus. Mekitään lisäksi eli f napakoodinaateissa. 2 f (, φ) = f (, sin φ), (a) Käytä ketjusääntöä ja lausu osittaisdeivaatat / (, φ) ja /(, φ) osittaisdeivaattojen f / x ja f / y avulla. (b) Ratkaise (a)-kohdan yhtälöistä f / x ja f / y ja osoita, että gadientiksi tulee f = (i + sin φj) + ( sin φi + j). Ketjusääntö ketoo miten yhdistettyä funktiota deivoidaan: Olkoot ja g G R n U R m f U R p (jatkuvasti) diffeentioituvia funktioita. Tällöin yhdistetty funktio h = f g G R p on myös (jatkuvasti) diffeentioituva ja Dh(x) = D f (g(x))dg(x). 2 Huom: fyysikot yleensä käyttävät samaa symbolia funktioille f ja f. (c) Määittele vielä yksikkökantavektoit e = i + sin φj, e φ = sin φi + j, jolloin gadientti napakoodinaateissa tulee muotoon f = e + e φ. Ratkaisu:

6 matemaattiset apuneuvot ii, hajoitus 6 6 (a) Ketjusäännon peusteella osittaisdeivaatat ovat: = f x x + f y y = f x x + f y y Tiedämme, että x = ja y = sin φ, joten: x y =, x = sin φ, Näin osittaisdeivaatat tulevat muotoon: y = sin φ, = f x + f y sin φ = f x sin φ + f y = (b) Mekitään osittaisdeivaattoja lyhyemmin y yx. Meillä on siis yhtälöpai: x sin φ f = f x + f y sin φ f φ = f x sin φ + f y f x = f y + f f x = f y sin φ f φ sin φ f y sin φ f φ sin φ = fy sin φ + f f y ( sin φ + sin φ ) = f + f φ sin φ f y sin 2 φ + cos 2 φ sin φ = f + f φ sin φ f y = ( f + f φ ) sin φ sin φ f y = f sin φ + f φ f x = sin φ fy + f = sin φ ( f sin φ + f φ ) + f = f sin 2 φ f φ sin φ + f = f sin 2 φ f φ sin φ = f f φ sin φ eli f x = sin φ f y = sin φ +

7 matemaattiset apuneuvot ii, hajoitus 6 7 Nyt gadientti on: f = f x i + f y j = ( sin φ) i + ( sin φ + ) j = (i + sin φj) + ( sin φi + j) (c) Nyt e = i + sin φj e φ = sin φi + j Joten saadaan: f = e + e φ

8 matemaattiset apuneuvot ii, hajoitus 6 8. Let f R 2 R 3, f (x, x 2 ) = (x + e x 2, x 2, x x 2 ).Compute the deivative D f (x). 2. A function u which is continuously diffeentiable twice is called hamonic, if 2 u ( u) = 0. (a) Show that the function u R 3 {0} R, u(x) = / x is hamonic. (b) Is the function f (x, y, z) = xy + yz + xz hamonic? 3. Conside a scala field φ R 3 R and a vecto field v R 3 R 3. (a) Show that the gadient of the scala field φ is cul-fee: ( φ). (b) Show that the cul of v is souceless: ( v). 4. A bug falls fom the ceiling to the floo at point (x, y) = (, 2). The floo has been spayed with poison, and the concentation of poision is given by a scala function M(x, y) = x 2 + y 2 + xy + 5x + y + 4. (a) Towads which diection the bug should stat cawling (in ode to move to towads least poision concentation)? (b) At which point is the poison concentation smallest? S. The angula momentum of a pointlike mass with espect to the oigin of coodinates is L = p, whee p = mv = md/dt is the momentum of the paticle and its position vecto. Accoding to Newton s second law the foce is F = ma = dp/dt. Show that if the paticle moves in a cental foce field F, the angula momentum L is a constant of motion, dl/dt = 0.

9 matemaattiset apuneuvot ii, hajoitus 6 9 S2. Usign the chain ule, let us deive the expession of the gadient in pola coodinates. Let f (x, y) be a continuously diffeetiable function and g(, φ) = (, sin φ) the mapping into pola coodinates. Let us denote i.e. f in pola coodinates. f (, φ) = f (, sin φ), (a) Using the chain ule, expess the patial deivatives / (, φ) ja /(, φ) in tems of the patial deivatives f / x ja f / y. (b) Solve f / x and f / y fom the equations in pat (a) and show that the gadient is The chain ule tells how composite functions ae diffeentiated: Let and g G R n U R m f U R p be (continuously) diffeentiable functions. Then thei composition h = f g G R p is also (continuously) diffeentiable and Dh(x) = D f (g(x))dg(x). f = (i + sin φj) + ( sin φi + j). (c) Define unit basis vectos e = i + sin φj, e φ = sin φi + j, to wite the gadient in pola coodinates as f = e + e φ.