Epäeuklidista geometriaa

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Epäeuklidista geometriaa"

Eija Ahola
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto Euklidinen geometria Epäeuklidinen geometria Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset muunnokset ja etäisyys 3 1 Johdanto 1.1 Euklidinen geometria Euklidinen geometria on geometrian osa-alue, jolla tarkoitetaan yleensä tasoa ja kolmiulotteista avaruutta tutkivaa geometriaa. Euklidisiksi kutsutaan myös useampi ulotteisia avaruuksia, joilla on samat ominaisuudet. Euklidisen geometrian on nimetty kreikkalisen matemaatikon Eukleides Aleksandrialaisen mukaan. Aksioomaattinen lähestymistapa: Euklidista geometriaa ja Eukleideksen teosta Alkeet pidetään aksiomaattisen matematiikan eräänä perusteoksena. Alkeissa Eukleides antaa viisi aksioomaa, joista hän johtaa loogisella päättelyllä satoja lähinnä geometrisia teoreemoja ja todistaa ne. 1) Mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää suoralla. 2) Mikä tahansa jana voidaan jatkaa äärettömäksi. 1

2 3) Mille tahansa janalle voidaan piirtää ympyrä siten, että jana on ympyrän säde ja janan toinen päätepiste on ympyrän keskipiste. 4) Kaikki suorat kulmat ovat yhtäsuuria. 5) Jos kaksi viivaa leikkaavat kolmannen siten, että sisempien kahden kulman summa on vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa niin nämä kaksi suoraa leikkaavat väistämättä toisensa kolmannen viivan sillä puolella, jolla ko. kulmat ovat, mikäli suoria jatketaan riittävän pitkiksi. Tätä aksioomaa kutsutaan yleensä paralleeliaksioomaksi. Sen tasolle pätevä muotoilu on: Pisteen, joka ei ole annetulla suoralla, läpi voidaan piirtää ainoastaan yksi suora joka ei leikkaa annettua suoraa. Eukleideen aksioomista on sittemmin luovuttu matematiikan täsmällisyyden kehittyessä. David Hilbert kehitti nykyään käytössä olevat euklidisen geometrian aksioomat, Hilbertin aksioomat. 1.2 Epäeuklidinen geometria Käsite epäeuklidinen geometria voi viitata sekä hyperboliseen, että elliptiseen geometriaan vastakohtana euklidiselle geometrialle. Olennainen ero euklidisen- ja epäeuklidisen geometrian välillä on yhdensuuntaiset suorat. Euklidisessa geometrialla pisteestä A voidaan piirtää vain yksi suoran l kanssa yhdensuuntainen suora, joka kulkee A:n kautta. Hyperbolisessa geometriassa A:n kautta voidaan piirtää äärettömän monta A:n kautta kulkevaa, l:n kanssa yhdensuuntaista suoraa. Elliptisessä geometriassa yhdensuuntaisia suoria ei ole. Toinen tapa kuvailla näiden kolmen geometrian eroja on seuraava: tarkastellaan kahta suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmatta suoraa vastaan. Euklidisessa ja hyperbolisessa geomeriassa nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaiset. Euklidisessa geometriassa suorat ovat yhtä kaukana toisistaan, mutta hyperbolisessa geometriassa ne kaartuvat toisistaan poispäin, jolloin käyrien pisteiden välinen etäisyys kasvaa. Elliptisessä geometriassa suoran kaartuvat lähemmäksi toisiaan ja viimein leikkaavat toisensa. Siten elliptisessä geometriassa ei ole yhdensuuntaisia suoria. 2 Poincarén kiekko Poincarén kiekko D koostuu tason pisteistä, joiden etäisyys origosta on pienempi kuin yksi ts. D = B 1 (0). Pisteet kiekon sisällä esittävät pisteitä hy- 2

3 perbolisessa avaruudessa. Ideana rakennettaessa geometriaa tällä tavalla on käyttää epäeuklidisia suoria eli ns. d-viivoja. d-viivalla tarkoitetaan euklidista ympyränkaarta, joka leikkaa Poincarén kiekon kahteen osaan. Jokaista Poincarén kiekon pisteparia kohti on olemassa d-viiva, joka esittää pisteiden välistä suoraa. On selvää, että jokaista d-viivaa kohti on olemassa äärettömän monta d-viivaa, jotka eivät leikkaa kyseistä viivaa. Esitetään kiekon D pisteet konformaalisen mallin mukaisesti nollavektoreina. Olkoot X ja Y tällaisia kiekon pisteitä. Konformaalisessa geometriassa ympyrät esitetään trivektoreiden avulla. Kaikki ympyrät, jotka kulkevat pisteiden X ja Y kautta muodostavat joukon {X Y A A nollavektori, joka ei kuulu kiekolle D}. Yksikkökiekko (ts. D) voidaan esittää trivektorina Ie. Viiva L on kohtisuorassa yksikkökiekkoa kohden, jos (Ie) L = I(e L) = 0. Sanotaan myös, että viiva L on e-ortogonaalinen. Määritelmästä seuraa, että jokainen d-viiva sisältää kertoimen e. Pisteiden X ja Y läpi kulkevan d-viivan on siis oltava L = X Y e. Kaksi d-viivaa kiekolla D voivat joko leikata toisiaan tai olla leikkaamatta. Jos viivat L 1 ja L 2 leikkaavat toisiaan sanotaan, että viivojen L 1 ja L 2 välinen kulma on cos θ = L 1 L 2 L 1 L 2. Epäeuklidinenmuunnos kuvaa d-viivoja d-viivoiksi. Muunnoksen tulee näin muodoin kuvata euklidisia ympyröitä euklidisiksi ympyröiksi siten, että e- ortogonaalisuus säilyy. 3 Epäeuklidiset muunnokset ja etäisyys Tarkoituksena on löytää metriikka epäeuklidisessa geometriassa. Olkoot X ja Y konformaalisesti esitettyjä pisteitä. Pisteiden kautta kulkeva d-viiva on tällöin L = X Y e. Koska epäeuklidisessa geometriassa ko. viivaa ajatellaan pisteiden X ja Y välisenä suorana, etsitään translaatiota, joka kuvaa pisteitä viivaa pitkin. 3

4 Tarkotuksena löytää sellainen translaatio, joka siirtää pisteen X pisteelle Y. Valitaan kuvauksen generaattoriksi bivektori B = (X Y e )e = Le. Tällöin B 2 = L 2 > 0, eli epäeuklidinen translaatio on hyperbolinen 1. Merkitään bivektorin B suuntaista yksikköbivektoria ˆB = B B. Tällöin ˆB 2 = 1. Bivektori B indusio rotaation R = e α ˆB/2. Konformaalisessa geometriassa perinteinen rotaatio ts. kuvaus X RXR edustaa translaatiota 2. Valitsemalla α pisteiden X ja Y väliseltä d-viivalta, saadaan Y = RXR = e α ˆB/2 Xe α ˆB/2. (1) Päästäksemme kiinni metriikkaan tehdään seuraava kikka. Tehdään X:lle hajotelma X = X ˆB 2 = (X ˆB + X ˆB) ˆB = X ˆB ˆB + X ˆB ˆB. Kun sovelletaan Kaavaa (5.11) ja yllä olevaa hajotelmaa, saadaan (1) muotoon Y = e α ˆB/2 α ˆB/2 Xe = (cosh(α) + sinh(α) ˆB/2)(X ˆB ˆB + X ˆB ˆB)(cosh(α) sinh(α) ˆB/2) = X ˆB ˆB + cosh(α)x ˆB ˆB sinh(α)x ˆB. Kun kerrotaan yllä olevaa yhtälöä puolittain Y :llä, saadaan 0 = Y 2 = X ˆB ˆBY + cosh(α)x ˆB ˆBY sinh(α)x ˆBY. 1 Kertausta: jos B 2 < 0 on B elliptinen, jos B 2 = 0 on B euklidinen (nämä muodostavat kartion) ja jos B 2 > 0 on B hyperbolinen 2 katso Translations 4

5 Tarkastellaan yhtälöstä ainoastaa skalaariosia, siis X ˆB ˆBY + cosh(α) X ˆB ˆBY sinh(α) X ˆBY = 0. (2) Ensimmäinen termi: X ˆB ˆBY = X ˆB ˆB Y + X ˆB ˆB Y = X ˆB ˆB Y., grade=1 Toinen termi vastaavasti: Kolmas termi: X ˆB ˆBY = X ˆB ˆB Y + X ˆB ˆB Y = X ˆB ˆB Y. X ˆBY = X ˆBY X ˆBY = X ˆB Y + X ˆB Y = X Y ˆB = X Y ˆB. Sijoittamalla edellä olevat termit yhtälöön (2), saadaan X ˆB ˆB Y +cosh(α) X ˆB ˆB Y +sinh(alpha) X Y ˆB = X Y ˆB. (3) Sievennetään näin saatua yhtälöä. Ensinnäkin X ˆB = X B B = X Le = = X el Vastaavalla tavalla osoitetaan, että X ((X Y e)e) = X Y e e XLe X el = e XL. ˆB Y = Le C. Kun sijoitetaan nämä yhtälöön (3), saadaan 0 = e XL Le C + cosh(α) (X ˆB X ˆB)( ˆBY ˆB Y ) + sinh(α) = e Xe Y + cosh(α) (X ˆB e XL )( ˆBY Le C ) + sinh(α) = e Xe Y + cosh(α)(xy e Xe Y ) + sinh(α) 5

6 Yhtälön ratkaisu 3 on cosh(α) = 1 X Y X ey e. Kuitenkin relevantimpaa on käyttää metriikkaa ajatellen kulman puolikasta (?). Kaavan (5.11) nojalla saadaan Tällöin saadaan, että 4 e α ˆB/2 = cosh(α) + sinh(α) ˆB/2 e α/2 ˆB/2 = e α ˆB/4 cosh(α) + sinh(α) ˆB/4. sinh 2 (α/2) = X Y 2X ey e. Jos pisteet X 1, X 2 ja X 3 ovat samalla viivalla, tulee kolmioepäyhtälön toteutua yhtälönä, eli d(x 1, X 2 ) + d(x 2, X 3 ) = d(x 1, X 3 ). Eksponenttifunktion avulla määritelty muunnos toteuttaa näin vaaditun additiivisuuden, sillä X 3 = e β ˆB/2 X 2 e β ˆB/2 = e (β+α) ˆB/2 X 1 e (β+α) ˆB/2. Näin ollen metriikaksi voidaan hyvillä mielin asettaa d(x, y) = 2 sinh 1 X Y 2X ey e. (4) Kaavan (10.53) nojalla Lisäksi X Y = 2 x y 2. X e = (x 2 (e + ē) + 2x (e ē)) e = x 2 (1 + 0) + 2 x e (1 0) = x Tämä jätetään harjoitustehtäväksi, jos ratkaisu löytyy, ottakaa yhteyttä allekirjoittaneeseen... 4 Pahoittelen jos toista itseäni: jos ratkaisu löytyy, ottakaa yhteyttä allekirjoittaneeseen... 6

7 Vastaavasti X e = y 2 1. Metriikaksi (4) saadaan näin ollen d(x, y) = 2 sinh 1 x y 2 (1 x 2 )(1 y 2 ). Voidaan osoittaa, että euklidisella metriikalla dx 2 = dx dx dx 2 3 ja hyperbolisella metrkiikalla on yhteys: kun λ on positiivinen skalaari. ds 2 = 4λ 2 dx 2 (λ 2 x 2 ) 2, 7

Samankaltaiset tiedostot

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006 Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset