TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006

Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN, HARRI: Kongruenssist Pro grdu tutkielm, 44 s Mtemtiikk Helmikuu 006 Tiivistelmä Tässä tutkielmss perehdytään kongruensseihin j niiden ominisuuksiin Luvuss yksi käydään läpi lukuteorin perusteit, joit trvitn myöhemmin Esitetään kokonislukujen jollisuuteen liittyviä luseit j jkolgoritmi, määritellään lkuluvut, kokonislukujen suurin yhteinen tekijä j pienin yhteinen monikert Esitetään Eukleideen lgoritmi, jonk vull voidn löytää khden kokonisluvun suurin yhteinen tekijä Luvun yksi lopuss esitetään rtkisutp lineriselle Diofntoksen yhtälölle Luvuss käydään läpi kongruenssin perusominisuuksi Määritellään linerinen kongruenssiyhtälö j esitetään rtkisutp lineristen kongruenssiyhtälöiden ryhmille Esitetään rtkisutp myös polynomien kongruensseille Luvun lopuss käsitellään mtriisien kongruenssej Luvuss 3 esitetään j todistetn Wilsonin luse, Fermt n pieni luse j Eulerin luse Tutkielmn rkenne noudttelee pääosin Kenneth H Rosenin teost Elementry Number Theory nd Its Applictions, jok on ollut myös tärkein lähdeteos

Sisältö JOHDANTO LUKU LUKUTEORIAN PERUSTEITA JAOLLISUUS, JAKOALGORITMI JA ALKULUVUT SUURIN YHTEINEN TEKIJÄ, PIENIN YHTEINEN MONIKERTA JA EUKLEIDEEN ALGORITMI4 3 LINEAARINEN DIOFANTOKSEN YHTÄLÖ 0 LUKU KONGRUENSSI 4 KONGRUENSSIN PERUSOMINAISUUKSIA 4 LINEAARINEN KONGRUENSSIYHTÄLÖ 3 KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE 4 4 POLYNOMIEN KONGRUENSSIT7 5 LINEAARISET KONGRUENSSIRYHMÄT9 6 MATRIISIEN KONGRUENSSIT 3 LUKU 3 WILSONIN LAUSE, FERMAT N PIENI LAUSE JA EULERIN LAUSE 37 3 WILSONIN LAUSE37 3 FERMAT N PIENI LAUSE 38 33 EULERIN LAUSE 4 LÄHTEET44

Johdnto Tässä tutkielmss perehdytään kongruensseihin j niiden ominisuuksiin Luvuss käydään läpi lukuteorin perusteit, joit trvitn myöhemmin Pykälässä esitetään kokonislukujen jollisuuteen liittyviä luseit j jkolgoritmi, sekä määritellään lkuluvut Pykälässä määritellään kokonislukujen suurin yhteinen tekijä j pienin yhteinen monikert, sekä esitetään Eukleideen lgoritmi, jonk vull voidn löytää khden kokonisluvun suurin yhteinen tekijä Pykälässä 3 määritellään linerinen Diofntoksen yhtälö j esitetään sille rtkisutp Luvuss monet todistuksist on sivuutettu, kosk niiden oletetn olevn lukijlle tuttuj j helppoj rtkist Luvuss siirrytään pääiheeseen eli käydään läpi kongruenssiin liittyviä ominisuuksi Pykälässä esitetään kongruenssin perusominisuuksi Pykälässä määritellään linerinen kongruenssiyhtälö j esitetään sille rtkisutp Lisäksi määritellään käänteisluvut Pykälässä 3 esitetään kiinlinen jäännösluse, jonk vull voidn rtkist lineristen kongruenssiyhtälöiden ryhmiä Pykälässä 4 trkstelln polynomien kongruenssej j esitetään niille rtkisutp Pykälässä 5 käsitellään usemmn muuttujn linerisi kongruenssiyhtälöiden ryhmiä j esitetään niille rtkisutp Pykälässä 6 perehdytään mtriisien kongruensseihin j niiden ominisuuksiin Luvuss 3 esitetään j todistetn Wilsonin luse, Fermt n pieni luse j Eulerin luse Pykälässä 3 todistetn Wilsonin luse Pykälässä 3 todistetn Fermt n pieni luse j etsitään sen vull jkojäännös Pykälässä 33 todistetn Eulerin luse, jok on Fermt n pienen luseen yleistys Sitä voidn käyttää käänteislukujen etsimiseen Tutkielmn rkenne noudttelee pääosin Kenneth H Rosenin teost Elementry Number Theory nd Its Applictions, jok on ollut myös tärkein lähdeteos Lukijlt odotetn perustietoj linerilgebrst

LUKU Lukuteorin perusteit Jollisuus, jkolgoritmi j lkuluvut Määritelmä (Hyvinjärjestysominisuus) Jokisess positiivisten kokonislukujen epätyhjässä joukoss on pienin lkio Määritelmä Olkoot j b kokonislukuj j olkoon 0 Jos on olemss sellinen kokonisluku c, että b = c, niin luku jk luvun b Jos luku jk luvun b, niin snotn, että luku on luvun b jkj ti tekijä j että luku b on luvun monikert Jos luku jk luvun b, niin merkitään b, j jos luku ei j luku b, merkitään / b Luse Olkoot, b j c kokonislukuj Jos b j b c, niin tällöin c Todistus Vrt [], s 3 Kosk b j b c, niin on olemss selliset kokonisluvut e j f, että e = b j bf = c Nyt c = bf = (e)f = (ef), jolloin määritelmän mukn c Luse Olkoot, b, c, m j n kokonislukuj Jos c j c b, niin c (m + nb) Todistus Vrt [], s 3 Kosk c j c b, niin on olemss selliset kokonisluvut e j f, että = ce j b = cf Nyt m + nb = mce + ncf = c(me + nf), jolloin määritelmän mukn c (m + nb) Luse 3 Jkolgoritmi Jos j b ovt kokonislukuj j b > 0, niin on olemss selliset yksikäsitteiset kokonisluvut q j r, että = bq + r, missä 0 r < b

Todistus Vrt [], s 3 Olkoon joukko S = { bk, b, k Z } Olkoon joukko T kikkien niiden joukkoon S kuuluvien kokonislukujen joukko, jotk eivät ole negtiivisi Joukko T ei ole tyhjä joukko, kosk bk on positiivinen in, kun k < b Hyvinjärjestysominisuuden mukn joukoss T on olemss pienin lkio r Siis r = bq jollkin tietyllä luvull q Z Kosk r T, niin r 0 Jos r b, niin r > r b = bq b = b(q + ) 0 Siis r > b(q + ) T Tämä on ristiriidss sen knss, että r on joukon T pienin lkio Siis 0 r < b Todistetn vielä, että luvut q j r ovt yksikäsitteiset Oletetn, että = bq + r j = bq + r, missä 0 r < b j 0 r <b Vähentämällä ensimmäisestä yhtälöstä toinen yhtälö sdn 0 = b(q q ) + (r r ) j edelleen r r = b(q q ) Siis luku b jk erotuksen r r Kosk 0 r < b j 0 r < b, niin b < r r < b Luku b voi oll jkjn inostn, jos r r = 0 eli jos r = r Kosk bq + r = bq + r j r = r, niin q = q Siis luvut q j r ovt yksikäsitteiset Esimerkki Olkoon = 46 j b = 33 Tällöin q = 4 j r = 4, kosk 46 = 33 4 + 4 Määritelmä 3 Olkoon p luku suurempi kokonisluku Jos luku p on jollinen inostn itsellään j luvull, niin tällöin luku p kutsutn lkuluvuksi Määritelmä 4 Olkoon p luku suurempi kokonisluku Jos luku p ei ole lkuluku, niin se on yhdistetty luku Esimerkki Luvut, 3, 5, 7, j 3 ovt lkulukuj j luvut 4 =, 6 = 3, 8 = 4, 9 = 3 3, 0 = 5 j = 6 = 3 4 ovt yhdistettyjä lukuj 3

Suurin yhteinen tekijä, pienin yhteinen monikert j Eukleideen lgoritmi Määritelmä 5 Olkoot j b kokonislukuj j olkoon joko 0 ti b 0 Lukujen j b suurin yhteinen tekijä on suurin kokonisluku c, jok jk sekä luvun, että luvun b ts (i) c j c b (ii) jos d on kokonisluku, d j d b, niin d c Tällöin merkitään (, b) = c Lisäksi määritellään (0, 0) = 0 Esimerkki 3 Lukujen j 56 yhteisiä tekijöitä ovt ±, ±, ± 4, ± 6, jolloin (, 56) = 6 Määritelmä 6 Olkoot j b kokonislukuj Jos (, b) =, niin luvut j b ovt keskenään jottomi Tällöin niitä kutsutn myös suhteellisiksi lkuluvuiksi Esimerkki 4 Kosk (5, 6) =, niin luvut 5 j 6 ovt keskenään jottomi j siis suhteellisi lkulukuj Luse 4 Olkoot j b kokonislukuj Jos (, b) = d, niin ( d, b d ) = Todistus Ks [], s80 Esimerkki 5 Trkstelln lukuj 8 j Nyt (8, ) = 4, jolloin (8/4, /4) = (, 3) = Luse 5 Olkoot, b j c kokonislukuj Tällöin ( + cb, b) = (, b) Todistus Ks [], s8 Huomutus Ks [], s8 Kirjss luseen 5 todistuksess on viittus kirjn luseeseen 5 Viittus pitäisi oll kirjn luseeseen 6 4

Esimerkki 6 Trkstelln lukuj 8, j 6 Nyt (8 + 6, ) = (80, ) = 4 = (8, ) Määritelmä 7 Olkoot j b kokonislukuj Tällöin summ m + nb, missä m j n ovt kokonislukuj, kutsutn lukujen j b linerikombintioksi Luse 6 Olkoot j b kokonislukuj j olkoon joko 0 ti b 0 Tällöin on olemss selliset kokonisluvut x j y, että (, b) = x + by Todistus Ks [], s Luse 7 Olkoot j b kokonislukuj j olkoon joko 0 ti b 0 Luvut j b ovt suhteellisi lkulukuj, jos j vin jos on olemss selliset kokonisluvut x j y, että = x + by Todistus Ks [], s3 Esimerkki 7 Mitä ovt linerikombintiot 8m + n, missä m j n ovt kokonislukuj? Niitä ovt mm 8 = 8 () + 0; 4 = 8 + (); 0 = 8 (3) + ; 4 = 8 + (); 8 = 8 + 0; = 8 0 + jne Voidn osoitt, että lukujen 8 j kikkien linerikombintioiden joukko on {,, 8, 4, 0, 4, 8,, } Tämä selviää khdest seurvst luseest Luse 8 Olkoot j b kokonislukuj j olkoon joko 0 ti b 0 Tällöin lukujen j b suurin yhteinen tekijä on pienin positiivinen kokonisluku, jok on lukujen j b linerikombintio Todistus Ks [], s8 Huomutus Ks [], s8 Kirjss luseen 8 todistuksess on viittus kirjn luseeseen 5 Viittus pitäisi oll kirjn luseeseen 6 5

Luse 9 Olkoot j b positiivisi kokonislukuj Tällöin lukujen j b linerikombintioiden joukko on lukujen j b suurimmn yhteisen tekijän monikertojen muodostm joukko Todistus Ks [], s8 Määritelmä 8 Olkoot,,, n kokonislukuj, joist inkin yksi k 0, missä k n Kokonislukujen,,, n suurin yhteinen tekijä (,,, n ) on suurin kokonisluku, jok jk kikki luvut,,, n Esimerkki 8 Nähdään, että (6, 5, ) = 3 j (7, 8, 35) = 7 Seurv pulusett voidn käyttää etsittäessä usemmn kuin khden kokonisluvun suurint yhteistä tekijää Apuluse Olkoot,,, n kokonislukuj, joist inkin yksi k 0, missä k n Tällöin (,,, n, n ) = (,,, n, ( n, n )) Todistus Ks [], s83 Esimerkki 9 Etsitään kokonislukujen 4, 64, 88 suurin yhteinen tekijä käyttämällä pulusett, jolloin (4, 64, 88) = (4, (64, 88)) = (4, 3) = 8 Esimerkki 0 Trkstelln lukuj 0, 8 j 45 Nähdään, että näiden kokonislukujen suurin yhteinen tekijä on, kosk (0, 8, 45) = (0, (8, 45)) = (0, 9) = Kuitenkin näistä kolmest luvust muodostetuill preill suurin yhteinen tekijä on suurempi kuin, sillä (0, 8) =, (0, 45 ) = 5 j (8, 45) = 9 Esimerkki 0 joht seurvn määritelmään 6

Määritelmä 9 Kokonisluvut,,, n ovt keskenään suhteellisi lkulukuj, jos (,,, n ) = Joukon,,, n luvut ovt preittin suhteellisi lkulukuj, jos kikill luvuill i j j on voimss ( i, j ) =, missä i n, j n j i j Määritelmä 0 Olkoot j b kokonislukuj Lukujen j b pienin yhteinen monikert on pienin positiivinen kokonisluku c, jok on jollinen sekä luvull, että luvull b ts (i) c, b c j (ii) jos d on positiivinen kokonisluku, d j b d, niin c d Tällöin merkitään [, b] = c Esimerkki Lukujen 4 j 6 pienin yhteinen monikert on eli [4, 6] = Apuluse Olkoot, b j c positiivisi kokonislukuj Jos (, b) = j bc, niin c Todistus Vrt [], s97 Kosk (, b) =, niin luseen 7 perusteell on olemss selliset kokonisluvut x j y, että x + by = Kerrotn yhtälön molemmt puolet luvull c, jolloin cx + bcy = c Kosk j bc, niin luseen perusteell cx + bcy j siis c Esimerkki Trkstelln lukuj 3, 7 j 504 Selvästi (3, 7) = Kosk 504 = 68 3, niin 3 504 Kosk 504 = 7 7, niin puluseen perusteell 3 7 Apuluse 3 Olkoot e, d, q j r kokonislukuj Jos e = dq + r, niin (e, d) = (d, r) Todistus Vrt [], s87 Olkoon = r, b = d j c = q Nyt (e, d) = (dq + r, d) = (bc +, b), jolloin luseen 5 perusteell (bc +, b) = (, b) = (r, d) Siis (e, d) = (d, r) 7

Luse 0 Eukleideen lgoritmi Olkoon r 0 = j r = b, missä b > 0 Jos toistetn luseen 3 jkolgoritmi, niin r j = r + j q + j + r j +, missä 0 r j + < r j+ j j = 0,,,, n Jos rn + = 0, niin viimeinen nollst poikkev jkojäännös r n = (, b) Todistus Vrt [], s87 Todistetn, että Eukleideen lgoritmi tuott khden kokonisluvun suurimmn yhteisen tekijän Olkoon r 0 = j r = b, missä b > 0 Toistmll jkolgoritmi sdn yhtälöryhmä r 0 = r q + r 0 r < r r = r q + r 3 0 r 3 < r r j = r j+ q j + + r j+ 0 r j + < r j+ r n = r n q r n = r n q n n + r n 0 r n < r n Kosk = r 0 r > r > 0 j kosk jkojäännökset ovt kokonislukuj, niin jkojäännöksiä voi oll korkeintn kpplett Tämän perusteell voidn olett, että jkojäännös r n + = 0 Apuluseen 3 perusteell (, b) = (r 0, r ) = (r, r ) = (r, r 3 ) = = (r n 3, r n ) = (r n, r n ) = (r n, r n ) = (r n, 0) = r n Siis (, b) = r n Esimerkki 3 Etsitään lukujen 35 j 88 suurin yhteinen tekijä käyttämällä Eukleideen lgoritmi Sdn yhtälöryhmä 35 = 88 + 64 88 = 64 4 + 3 64 = 3 + 0 8

Viimeinen nollst poikkev jkojäännös on 3, jolloin (35, 88) = 3 Luse Aritmetiikn perusluse Jokinen luku suurempi kokonisluku voidn esittää yksikäsitteisesti lkulukujen tulon Todistus Ks [], s97 Huomutus 3 Luseen perusteell jokinen luku suurempi k kokonisluku n voidn esittää muodoss n = p k p k p r r, missä i =,,, r j k i on positiivinen kokonisluku sekä p i on lkuluku j p < p < < p r Esitystä snotn knoniseksi lkutekijäesitykseksi Luse Olkoot j b positiivisi kokonislukuj, joiden knoniset lkutekijäesitykset ovt j = p j p j p n n, b = p k k p k p n n, missä jotkut exponenteist j, j,, j n j k, k,, k n voivt oll nolli Olkoon m i minimi luvuist j i j k i j olkoon M i mksimi luvuist j i j k i, missä i =,,, n Tällöin (i) b, jos j vin jos j i k i kikill i =,,, n, (ii) (, b) = p (iii) [, b] = p m p m M p M m p n n, M p n n Todistus Ks [3], s60 Apuluse 4 Olkoot x j y relilukuj Tällöin mx(x, y) + min(x, y) = x + y Todistus Ks [], s00 Luse 3 Olkoot j b positiivisi kokonislukuj Tällöin [, b] = b (, b) Todistus Vrt [], s00 Lukujen j b knoniset lkutekijäesitykset ovt = p p p n n, b = p b b p p n b n 9

Olkoon M j = mx( j, b j ) j m j = min( j, b j ), missä j n Nyt [, b] (, b) = p M p M M p n n p m p m m p n n M +m = p M +m p M n p n + m n Apuluseen 4 perusteell M j + m j = j + b j, jolloin M +m M +m p p M n p n + m b = p n + +b p n p n + b n = p = b p p n n p b b p b p n n 3 Linerinen Diofntoksen yhtälö Määritelmä Yhtälöä x + by = c, missä, b j c ovt kokonislukuj, snotn khden muuttujn lineriseksi Diofntoksen yhtälöksi Luse 4 osoitt milloin khden muuttujn linerisell Diofntoksen yhtälöllä on kokonislukurtkisuj j mitkä ne ovt Luse 4 Olkoot j b kokonislukuj j (, b) = d Khden muuttujn linerisell Diofntoksen yhtälöllä x + by = c on kokonislukurtkisu, jos j vin jos d c Jos x 0 j y 0 toteuttvt yhtälön x + by = c, niin yhtälöllä on ääretön määrä kokonislukurtkisuj j ne ovt ovt muoto x = x 0 + (b/d)t, y = y 0 (/d)t, missä t Z Todistus Vrt [], s34 Oletetn ensin, että yhtälöllä x + by = c on kokonislukurtkisu x = x 0, y = y 0 Kosk (, b) = d, niin on olemss selliset kokonisluvut r j s, että = dr j b = ds Tällöin c = x + by = x 0 + by 0 = drx 0 + dsy 0 = d(rx 0 + sy 0 ), j siis d c 0

Oletetn nyt, että d c, jolloin on olemss sellinen kokonisluku t, että c = dt Luseen 6 perusteell on olemss selliset kokonisluvut x 0 j y 0, että d = x 0 + by 0 Kerrotn yhtälö luvull t, jolloin c = dt = (x 0 + by 0 )t = (tx 0 ) + b(ty 0 ) Siis yhtälöllä x + by = c on kokonislukurtkisu x = tx 0, y = ty 0 Todistetn nyt luseen loppuos Olkoon x 0, y 0 yhtälön x + by = c yksi rtkisu j olkoon x, y yhtälön x + by = c mielivltinen rtkisu Nyt c = x + by = x 0 + by 0 eli (x x 0 ) = b(y 0 y) Kosk (, b) = d, niin on olemss selliset kokonisluvut r j s, että = dr j b = ds Sijoitetn = dr j b = ds edelliseen yhtälöön j jetn luvull d, jolloin r(x x 0 ) = s(y 0 y) Siis r s(y 0 y) Kosk (, b) = d, niin luseen 4 perusteell (r, s) = j tällöin puluseen perusteell r (y 0 y) On siis olemss sellinen kokonisluku t, että y 0 y = rt Tällöin r(x x 0 ) = srt j edelleen x x 0 = st Siis x = x 0 + st = x 0 + (b/d)t, y = y 0 rt = y 0 (/d)t, missä t Z Todistetn vielä, että x j y toteuttvt yhtälön huolimtt luvun t rvost Nyt x + by = (x 0 + (b/d)t) + b(y 0 (/d)t) = (x 0 + by 0 ) + (b/d b/d)t = c + 0 t = c Huomutus 4 Ks [], s Kirjss luseen 4 todistuksess on viittus kirjn luseeseen 37 Viittus pitäisi oll kirjn luseeseen 36

Esimerkki 4 Trkstelln khden muuttujn linerist Diofntoksen yhtälöä x + 4y = 9 Kosk (, 4) = 4 j 4 / 9, niin luseen 4 perusteell yhtälöllä ei ole kokonislukurtkisuj Esimerkki 5 Vrt [], s3 Tehtävä c Trkstelln khden muuttujn linerist Diofntoksen yhtälöä x + 4y = 47 Etsitään lukujen j 4 suurin yhteinen tekijä käyttämällä Eukleideen lgoritmi = 4 + 7 4 = 7 Siis (, 4) = 7 Kosk 7 47, niin luseen 4 perusteell yhtälöllä on ääretön määrä kokonislukurtkisuj Kerrotn yhtälön + 4 () = 7 molemmt puolet luvull, jolloin () + 4 () = 47 Nyt yhtälön x + 4y = 47 yksi rtkisu on x 0 =, y 0 = Kosk d = 7 = 3 j b d = 4 7 =, niin kikki muut kokonislukurtkisut ovt missä t Z x = + t, y = 3t, Seurus Olkoot j b kokonislukuj j (, b) = Jos x 0 j y 0 toteuttvt Diofntoksen yhtälön x + by = c, niin yhtälöllä on ääretön määrä kokonislukurtkisuj j ne ovt ovt muoto x = x 0 + bt, y = y 0 t, missä t Z Todistus Seur suorn luseest 4 Esimerkki 6 Trkstelln khden muuttujn linerist Diofntoksen yhtälöä 5x + 6y = 6 Nähdään, että (5, 6) = Kosk x 0 = j y 0 = toteuttvt yhtälön, niin seuruksen perusteell yhtälön 5x + 6y = 6 kikki muut kokonislukurtkisut ovt x = + 6t, y = 5t, missä t Z

Luse 5 Olkoot,,, n Z + j (,,, n ) = d Yhtälöllä x + x + + n x n = c on kokonislukurtkisu, jos j vin jos d c Todistus Ks [], s Esimerkki 7 Trkstelln yhtälöä 6x + x + 0x 3 = 5 Nyt (6,, 0) = 4 j 4 / 5, jolloin luseen 5 perusteell yhtälöllä ei ole rtkisu 3

Luku Kongruenssi Kongruenssin perusominisuuksi Määritelmä Olkoon m positiivinen kokonisluku j olkoot j b kokonislukuj Snotn, että luku on kongruentti luvun b knss modulo m, jos m ( b) Jos luku on kongruentti luvun b knss modulo m, niin merkitään b (mod m) Jos m / ( b), niin luku ei ole kongruentti luvun b knss modulo m j merkitään b (mod m) Esimerkki Kosk 9 ( 3), niin 3 (mod 9) j 35 (mod 3), sillä 3 (35 ) Luku ei ole kongruentti luvun 7 knss modulo 9, kosk 9 / ( 7) j merkitään 7 (mod 9) Luse Olkoot, b j m kokonislukuj Tällöin b (mod m), jos j vin jos on olemss sellinen kokonisluku k, että = b + km Todistus Vrt [], s9 Jos b (mod m), niin määritelmän mukn m ( b) Määritelmän mukn on olemss sellinen kokonisluku k, että km = b, jolloin = b + km Jos on olemss sellinen kokonisluku k, että = b + km, niin km = b Tällöin määritelmän mukn m ( b), j määritelmän mukn b (mod m) Esimerkki Kosk = + 3 3, niin (mod 3) 4

Luse Olkoot, b j c kokonislukuj j olkoon m positiivinen kokonisluku Tällöin kongruenssi modulo m toteutt ehdot (i) (mod m) (refleksiivisyys), (ii) jos b (mod m), niin b (mod m) (symmetrisyys), (iii) jos b (mod m) j b c (mod m), niin c (mod m) (trnsitiivisuus) Todistus Vrt [], s9 (i) Kosk m ( ) = 0, niin (mod m) (ii) Jos b (mod m), niin m ( b) Määritelmän mukn on olemss sellinen kokonisluku k, että km = b Tällöin k)m = b, joten m b Määritelmän mukn b (mod m) (iii) Jos b (mod m) j b c (mod m), niin m ( b) j m (b c) Määritelmän mukn on olemss selliset kokonisluvut k j l, että km = b j lm = b c Nyt c = ( b) + (b c) = km + lm = (k + l)m Siis m c, jolloin määritelmän mukn c (mod m) Määritelmä ( Jäännösluokk modulo m) Jäännösluokk modulo m sisältää kokonisluvut, jotk ovt keskenään kongruenttej modulo m Esimerkki 3 Jäännösluokt modulo 3 ovt { 6, 3, 0, 3, 6, }, { 5,,, 4, 7, }, { 4,,, 5, 8, } Huomutus Kokonislukujen joukko voidn jk joukkoihin, joit on m kpplett Joukot ovt jäännösluokki modulo m j niiden yhdiste muodost kokonislukujen joukon 5

Määritelmä 3 Oletetn, että m on positiivinen kokonisluku j j b ovt kokonislukuj Luseen 3 jkolgoritmin mukisesti jettess sdn, että = bm + r, missä 0 r m Luku r snotn luvun jäännökseksi modulo m Huomutus Yhtälöstä = bm + r seur, että r (mod m) Tämän perusteell jokinen kokonisluku on kongruentti joukon {0,,, m } yhden kokonisluvun knss modulo m Kosk mitkään kksi joukon {0,,, m }luku eivät ole keskenään kongruenttej modulo m, niin jokinen kokonisluku on kongruentti täsmälleen yhden joukon {0,,, m } luvun knss Määritelmä 4 Täydellinen jäännössysteemi modulo m on sellisten kokonislukujen joukko, että jokinen kokonisluku on kongruentti modulo m täsmälleen yhden joukkoon kuuluvn luvun knss Esimerkki 4 Kokonislukujen joukko {0,,, m } on täydellinen jäännössysteemi modulo m Luse 3 Olkoot, b j c kokonislukuj j olkoon m positiivinen kokonisluku Jos b (mod m), niin (i) + c b + c (mod m), (ii) c b c (mod m), (iii) c bc (mod m) Todistus Vrt [], s30 (i) Kosk b (mod m), niin m ( b) Kosk b = ( + c) (b + c), niin m (( + c) (b + c)), jolloin määritelmän mukn + c b + c (mod m) (ii) Kosk b (mod m), niin m ( b) Kosk b = ( c) (b c), niin m (( c) (b c)), jolloin määritelmän mukn c b c (mod m) 6

(iii) Kosk b (mod m), niin m ( b) Kosk m ( b), niin m c( b) = (c bc), jolloin määritelmän mukn c bc (mod m) Esimerkki 5 Kosk 3 4 (mod 7), niin luseen 3 perusteell (i) 37 = 3 + 5 4 + 5 = 9 (mod 7), (ii) 30 = 3 4 = (mod 7), (iii) 96 = 3 3 4 3 = (mod 7) Esimerkki 6 Trkstelln kongruenssi 30 0 (mod 5) Jos kongruenssin molemmt puolet jetn luvull 5, niin sdn 30/5 = 6 0/5 = (mod 5) Tämä joht seurvn luseeseen Luse 4 Olkoot, b, c Z j olkoon m Z + Jos d = (c, m) j c bc (mod m), niin b (mod m/d ) Todistus Vrt [], s3 Jos c bc (mod m), niin m (c bc) = c( b) Määritelmän mukn on olemss sellinen kokonisluku k, että km = c( b) Jetn yhtälön molemmt puolet luvull d, jolloin (c/d)( b) = k(m/d) Luseen 4 perusteell (m/d, c/d) =, jolloin puluseen perusteell m/d ( b) Määritelmän mukn b (mod m d ) Esimerkki 7 Kosk 0 8 (mod 6) j (4, 6) =, niin 0/4 8/4 (mod 6/) eli 5 (mod 3) Seurus Olkoot, b, c Z j olkoon m Z + Jos (c, m) = j c bc (mod m), niin b (mod m) Todistus Seur suorn luseest 4 7

Esimerkki 8 Kosk 45 0 (mod 7) j (5, 7) =, niin seuruksen perusteell 45/5 = 9 0/5 = (mod 7) Luse 5 Olkoot, b, c, d Z j olkoon m Z + Jos b (mod m) j c d (mod m), niin (i) + c b + d (mod m), (ii) c b d (mod m), (iii) c bd (mod m) Todistus Vrt [], s3 Kosk b (mod m) j c d (mod m), niin m ( b) j m (c d) Määritelmän mukn on olemss selliset kokonisluvut k j l, että km = b j lm = c d (i) Kosk ( + c) (b + d) = ( b) + (c d) = km + lm = (k + l)m, niin m (( + c) (b + d)), jolloin määritelmän mukn + c b + d (mod m) (ii) Kosk ( c) (b d) = ( b) (c d) = km lm = (k l)m, niin m (( c) (b d)), jolloin määritelmän mukn c b d (mod m) (iii) Kosk c bd = c bc + bc bd = c( b) + b(c d) = ckm + blm = m(ck + bl), niin m (c bd), jolloin määritelmän mukn c bd (mod m) Esimerkki 9 Kosk 5 3 (mod 6) j 8 (mod 6), niin luseen 5 perusteell (i) 5 + 8 = 3 3 + = 5 (mod 6), (ii) 5 8 = 7 3 = (mod 6), (iii) 5 8 = 90 3 = 6 (mod 6) Luse 6 Olkoot, b Z j olkoot k, m Z + Jos b (mod m), niin k b k (mod m) 8

Todistus Vrt [], s33 Kosk b (mod m), niin m ( b) Kosk k b k = ( b)( k + k b + + b k + b k ), niin ( b) ( k b k ) Luseen perusteell m ( k b k ), jolloin määritelmän mukn k b k (mod m) Huomutus 3 Ks [], s33 Kirjss luseen 6 todistuksess on viittus kirjn luseeseen 4 Viittus pitäisi oll kirjn luseeseen 5 Esimerkki 0 Kosk 8 4 (mod 4), niin luseen 6 perusteell 8 4 = 4096 4 4 = 56 (mod 4) Apuluse Jos,,, k j b ovt kokonislukuj, niin [,,, k ] b, jos j vin jos b, b,, k b Todistus Vrt [], s06, Tehtävä 39 Oletetn, että [,,, k ] b Kosk [,,, k ], [,,, k ],, k [,,, k ], niin luseen perusteell b, b,, k b Käänteisesti oletetn, että b, b,, k b Luvut,,, k j b voidn esittää muodoss = p p n p n, = p p n p n,, k = p k p k p k n n j b = p b b p b p n n Kosk b, b,, k b, niin luseen perusteell i b i, i b i,, k i b i, missä i =,,, n Nyt mx ( i, i,, k i ) b i, jolloin luseen perusteell [,,, k ] b Apuluse Jos m, m,, m k ovt preittin suhteellisi lkulukuj, niin [m, m,, m k ] = m m m k 9

Todistus Todistetn puluse induktioll Olkoon k = Nyt luseen 3 perusteell [m, m ] = mm Kosk m j m ovt suhteellisi lkulukuj, ( m, m) niin (m, m ) =, jolloin [m, m ] = m m Siis puluse on tosi, kun k = Tehdään induktio-oletus, että puluse on tosi, kun k = n, jolloin [m, m,, m n ] = m m m n Tehdään induktioväite, että puluse on tosi, kun k = n + Nyt [m, m,, m n, m n + ] = [[m, m,, m n ], m n + ], jolloin induktio-oletuksen perusteell [[m, m,, m n ], m n + ] = [(m m m n ), m n + ] Kosk m, m,, m n, m n + ovt preittin suhteellisi lkulukuj, niin nähdään, että ((m m m n ), m n + ) =, jolloin luseen 3 perusteell [m, m,, m n, m n + ] = m m m n m + Induktioperitteen mukn puluse on tosi n Luse 7 Olkoot, b Z j olkoot m, m,, m k Z + Jos b (mod m ), b (mod m ),, b (mod m k ), niin b (mod [m, m,, m k ]) Todistus Vrt [], s33 Kosk b (mod m ), b (mod m ),, b (mod m k ), niin m ( b), m ( b),, m k ( b) Apuluseen perusteell [m, m,, m k ] ( b), jolloin määritelmän mukn b (mod [m, m,, m k ]) Seurus Olkoot, b Z j olkoot m, m,, m k preittin suhteellisi lkulukuj Jos b (mod m ), b (mod m ),, b (mod m k ), niin b (mod m m m k ) Todistus Vrt [], s33 Kosk m, m,, m k ovt preittin suhteellisi lkulukuj, niin puluseen perusteell [m, m,, m k ] = m m m k Luseen 7 perusteell b (mod m m m k ) 0

Linerinen kongruenssiyhtälö Määritelmä 5 Kongruenssi x b (mod m) snotn yhden muuttujn linerikongruenssiksi Toisin snoen linerikongruenssit ovt ensimmäisen steen kongruenssiyhtälöitä Luse 8 osoitt milloin yhden muuttujn linerisell kongruenssiyhtälöllä on rtkisu Jos kongruenssiyhtälö on rtkev, niin luse 8 kertoo kuink mont epäkongruentti rtkisu on olemss Luse 8 Olkoot, b Z j olkoon m Z + Olkoon (, m) = d Jos luku b ei ole jollinen luvull d, niin kongruenssiyhtälöllä x b (mod m) ei ole rtkisu Jos luku b on jollinen luvull d, niin kongruenssiyhtälöllä x b (mod m) on täsmälleen d kpplett keskenenään epäkongruentti rtkisu Todistus Vrt [], s39 Luseen perusteell linerinen kongruenssiyhtälö x b (mod m) on ekvivlentti linerisen Diofntoksen yhtälön x my = b knss Kokonisluku x on kongruenssiyhtälön x b (mod m) rtkisu, jos j vin jos on olemss sellinen kokonisluku y, että x my = b Jos d /b, niin luseen 4 perusteell yhtälöllä x my = b ei ole rtkisuj Jos d b, niin yhtälöllä on ääretön määrä rtkisuj j ne ovt muoto x = x 0 + (m/d)t, y = y 0 (/d)t, missä x 0 j y 0 ovt yhtälön x my = b yksi rtkisu Luvun x rvot x = x 0 + (m/d)t ovt kongruenssiyhtälön x b (mod m) rtkisut j niitä on ääretön määrä Tutkitn nyt rtkisuj x = x 0 + (m/d)t j x = x 0 + (m/d)t Jos ne ovt keskenään kongruenttej modulo m, niin x 0 + (m/d)t x 0 + (m/d)t (mod m)

eli (m/d)t (m/d)t (mod m) Kosk m/d m, niin (m, m/d) = m/d, jolloin luseen 4 perusteell t t (mod d) Nyt kikki keskenään epäkongruentit rtkisut sdn yhtälöstä x = x 0 + (m/d)t, missä luku t s kikki täydellisen jäännössysteemin modulo d rvot Kosk 0,,,, d on yksi täydellinen jäännössysteemi modulo d, niin rtkisut sdn yhtälöstä x = x 0 + (m/d)t, missä t = 0,,,, d Esimerkki Etsitään kongruenssinyhtälön 3x 6 (mod 9) kikki rtkisut Kosk (3, 9) = 3 j 3 6, niin on olemss kolme keskenään epäkongruentti rtkisutrkstelln linerist Diofntoksen yhtälöä 3x 9y = 6 Yksi yhtälön rtkisuist on x 0 =, y 0 = Siis kongruenssinyhtälön 3x 6 (mod 9) rtkisut ovt muot x = x 0 + (m/d)t, eli x = + 3t, missä t = 0,, Sijoitetn luvun t rvot yhtälöön, jolloin x = + 3 0 = 8 (mod 9) x = + 3 (mod 9) x = + 3 5 (mod 9) Siis kongruenssiyhtälön 3x 6 (mod 9) rtkisut ovt x, 5, 8 (mod 9) Määritelmä 6 Olkoon kokonisluku j m positiivinen kokonisluku Jos (, m) =, niin kongruenssiyhtälön x (mod m) rtkisu kutsutn luvun käänteisluvuksi modulo m Tällöin merkitään x = Huomutus 4 Jos on luvun käänteisluku modulo m, niin (mod m)

Huomutus 5 Kongruenssiyhtälöllä x (mod m) on luseen 8 perusteell rtkisu, jos j vin jos (, m) = Tällöin kikki rtkisut ovt kongruenttej modulo m Esimerkki Trkstelln kongruenssiyhtälöä 5x (mod ) Kosk (5, ) =, niin kongruenssiyhtälöllä on rtkisu Nähdään, että x = 9 on yksi rtkisu Tällöin kikki rtkisut ovt x 9 (mod ) j ne ovt luvun 5 käänteislukuj modulo m Huomutus 6 Kun tunnetn luvun käänteisluku modulo m, niin sitä voidn käyttää pun rtkistess konruenssiyhtälöä x b (mod m) Kerrotn kongruenssiyhtälön molemmt puolet luvull, jolloin (x) b (mod m) j siis x b (mod m) Esimerkki 3 Trkstelln kongruenssiyhtälöä 5x 3 (mod ) Esimerkin perusteell luvun 5 käänteisluku modulo on 9 Kerrotn kongruenssiyhtälön molemmt puolet luvull 9, jolloin 9 5x 9 3 (mod ) Siis kongruenssiyhtälön 5x 3 (mod ) rtkisu on x 7 7 (mod ) Luse 9 Olkoon p lkuluku j positiivinen kokonisluku Tällöin luku on itsensä käänteisluku, jos j vin jos (mod p) ti (mod p) Todistus Vrt [], s4 Jos on itsensä käänteisluku modulo p, niin = (mod p) Siis p ( ) Kosk = ( ) ( + ), niin joko p ( ) ti p ( + ) Siis joko (mod p) ti (mod p) Oletetn, että (mod p) Kerrotn kongruenssin molemmt puolet luvull +, jolloin ( + ) + (mod p) + + (mod p) (mod p) Oletetn, että (mod p) Kerrotn kongruenssin molemmt puolet luvull, jolloin 3

( ) ( ) (mod p) + (mod p) (mod p) Siis jos (mod p) ti (mod p), niin luku on itsensä käänteisluku modulo p 3 Kiinlinen jäännösluse Siirrytään trkstelemn yhden muuttujn kongruenssiyhtälöryhmiä Tällinen ryhmä on esimerkiksi x (mod 3) x (mod 5) x 3 (mod 7) Kongruenssiyhtälöryhmälle esitetään kksi rtkisutp, joist ensimmäinen on kiinlinen jäännösluse Luse 0 (Kiinlinen jäännösluse) Olkoot,,, r kokonislukuj j olkoot n, n,, n r preittin suhteellisi positiivisi lkulukuj Olkoon N = n n n r Tällöin kongruenssiyhtälöryhmällä x (mod n ) x (mod n ) x r (mod n r ) on olemss yksikäsitteinen rtkisu modulo N Todistus Vrt [], s78 Olkoon N k = N = n n n n k k n + k n r, missä k =,,, r Kosk luvut n, n,, n r ovt preittin suhteellisi lkulukuj, niin (N k, n k ) = Luseen 8 perusteell kongruenssiyhtälöllä N k x (mod n k ) on rtkisu x = x k Todistetn, että kokonisluku x = N x + N x + + r N r x r 4

on kongruenssiyhtälöryhmän yksikäsitteinen rtkisu Kosk n k N i, niin N i 0 (mod n k ), missä i k Tällöin x = N x + N x + + r N r x r k N k x k (mod n k ) Kosk x k on kongruenssiyhtälön N k x (mod n k ) rtkisu, niin x k k (mod n k ) Siis kokonisluku x on kongruenssiyhtälöryhmän rtkisu Oletetn nyt, että on olemss myös toinen rtkisu x Tällöin x k x (mod n k ), missä k =,,, r Siis n k (x x ) kikill k =,,, r Kosk (n i, n j ) = in, kun i j, niin puluseen perusteell [n, n,, n r ] (x x ) Apuluseen perusteell n n n r (x x ), jolloin x x (mod N) Siis x on kongruenssiyhtälöryhmän yksikäsitteinen rtkisu modulo N Esimerkki 4 Vrt [], s45 Esimerkki 46 Trkstelln esitettyä kongruenssiyhtälöryhmää x (mod 3) x (mod 5) x 3 (mod 7) Nyt N = 3 5 7 = 05, N = 05 / 3 = 35, N = 05 / 5 = j N 3 = 05 / 7 = 5 Rtkistn nyt y, y j y 3 kongruenssiyhtälöistä 35 y (mod 3) y (mod 5) 5 y 3 (mod 7) Rtkisuiksi sdn y (mod 3) y (mod 5) y 3 (mod 7) Siis yhtälöryhmän rtkisu on x 35 + + 3 5 57 5 (mod 05) 5

Voidn vielä trkist tulos sijoittmll stu rtkisu kongruenssiyhtälöihin, jolloin 5 (mod 3) 5 (mod 5) 5 3 (mod 7) Siis x 5 (mod 05) on oike rtkisu x lkuperäisiin On olemss myös toinen tp rtkist kongruenssiyhtälöryhmä, mikä esitetään seurvss esimerkissä Esimerkki 5 Vrt [], s45 Esimerkki 47 Trkstelln kongruenssiyhtälöryhmää x (mod 5) x (mod 6) x 3 (mod 7) Luseen perusteell ryhmän ensinmäinen yhtälö voidn kirjoitt muodoss x = 5t +, missä t on kokonisluku Sijoitetn tämä ryhmän toiseen yhtälöön, jolloin 5t + (mod 6) Yhtälön rtkisu on t 5 (mod 6) Tämä voidn kirjoitt muodoss t = 6u + 5, missä u on kokonisluku Sijoitetn tämä yhtälöön x = 5t +, jolloin x = 5(6u + 5) + = 30u + 6 Sijoitetn tämä ryhmän kolmnteen yhtälöön, jolloin 30u + 6 3 (mod 7) Tämän yhtälön rtkisu on u 6 (mod 7), mikä luseen perusteell voidn kirjoitt muodoss u = 7v + 6, missä v on kokonisluku Sijoitetn tämä yhtälöön x = 30u + 6, jolloin x = 30(7v + 6) + 6 = 0v + 06 Luseen perusteell tämä voidn kirjoitt muodoss x 06 (mod 0), jok on yhtälöryhmän rtkisu 6

4 Polynomien kongruenssit Trkstelln kokonislukukertoimisten polynomien kongruenssej, joiss polynomien steluku on suurempi kuin yksi Tässä pykälässä esitetään rtkisutp kongruenssille f(x) 0 (mod m), missä f(x) on kokonislukukertoiminen polynomi Tällinen kongruenssi on esimerkiksi x 3 + 7x 4 0 (mod 00) Aritmetiikn perusluseen perusteell luvun m knoninen lkutekijäesitys on m = p p pk k Tällöin kongruenssin f(x) 0 (mod m) rtkisu sdn rtkisemll ensin kongruenssiyhtälöryhmä f(x) 0 (mod p i i ), missä i =,,, k Kun kikki yhtälöryhmän kongruenssit on rtkistu, niin käytetään kiinlist jäännöslusett, jonk perusteell sdn kongruenssin f(x) 0 (mod m) rtkisu Tätä rtkisutp käytettään esimerkissä 7 Esimerkki 6 Vrt [], s54 Esimerkki 40 Trkstelln kongruenssi x 3 + 7x 4 0 (mod 5) Rtkisut sdn käymällä läpi kikki luvut x = 0,,,,4 On kuitenkin toinen tp löytää rtkisut Kongruenssin x 3 + 7x 4 0 (mod 5) rtkisut ovt myös kongruenssin x 3 + 7x 4 0 (mod 5) rtkisuj Käymällä läpi kikki luvut x = 0,,, 3, 4 nähdään, että kongruenssin x 3 + 7x 4 0 (mod 5) rtkisu on x (mod 5), jok voidn esittää muodoss x = + 5t Sijoitetn tämä kongruenssiin x 3 + 7x 4 0 (mod 5), jolloin ( + 5t) 3 + 7( + 5t) 4 0 (mod 5) eli 65t + 5 5t + 5 0 (mod 5) Tämä voidn luseen 4 perusteell sieventää muotoon 3t + 0 (mod 5), jonk rtkisu on t 3 (mod 5) Siis kongruenssin x 3 + 7x 4 0 (mod 5) rtkisu on x + 5t + 5 3 6 (mod 5) 7

Esimerkki 7 Vrt [], s53 Esimerkki 49 Trkstelln kongruenssi x 3 + 7x 4 0 (mod 00) Kosk 00 = 3 5, niin rtkistvksi tulee kongruenssiyhtälöryhmä x 3 + 7x 4 0 (mod 8) x 3 + 7x 4 0 (mod 5) Käymällä läpi kikki luvut x = 0,,,,7 nähdään, että kongruenssin x 3 + 7x 4 0 (mod 8) rtkisu on x 4 (mod 8) Esimerkin 6 perusteell kongruenssin x 3 + 7x 4 0 (mod 5) rtkisu on x 6 (mod 5) Stiin kongruenssiyhtälöryhmä x 4 (mod 8) x 6 (mod 5) Käytetään kiinlist jäännöslusett Nyt N = 8 5 = 00, N = 5 j N = 8 Rtkistn y j y kongruenssiyhtälöistä 5 y (mod 8) 8 y (mod 5) Rtkisuiksi sdn y (mod 8) y (mod 5) Tällöin yhtälöryhmän rtkisu on x 4 5 + 6 8 00 + 86 96 6 (mod 00) Siis kongruenssin x 3 + 7x 4 0 (mod 00) rtkisu on x 6 (mod 00) Luse esittää tvn rtkist kongruenssiyhtälö f(x) 0 (mod p k ), missä p on lkuluku j k on kokonisluku Luse (Henselin Lemm) Olkoon f(x) kokonislukukertoiminen polynomi Olkoot k, p Z j olkoon lisäksi k Oletetn, että r on kongruenssin f(x) 0 (mod p k ) rtkisu Tällöin (i) jos f (r) 0 (mod p), niin on olemss sellinen yksikäsitteinen kokonisluku t, että 0 t < p j f(r + tp k ) 0 (mod p k ), missä t f '( r) ( f ( r) p k ) (mod p), 8

(ii) jos f (r) 0 (mod p) j f(r) 0 (mod p k ), niin kikill kokonisluvuill t on voimss f(r + tp k ) 0 (mod p k ), (iii) jos f (r) 0 (mod p) j f(r) 0 (mod p k ), niin kongruenssill f(x) 0 (mod p k ), missä x r (mod p k ), ei ole rtkisuj Todistus Ks [], s56 Esimerkki 8 Vrt [], s57 Esimerkki 4 Etsitään kongruenssin x 3 + x + 9 0 (mod 5) rtkisut Olkoon f(x) = x 3 + x + 9 Kokeilemll nähdään, että kongruenssin f(x) 0 (mod 5) rtkisu on x 3 (mod 5) Kosk f (x) = 3x + x j f (3) = 33 3 0 (mod 5), niin Henselin Lemmn perusteell on olemss muoto 3 + 5t olev yksikäsitteinen rtkisu modulo 5, missä t f '(3) ( f (3) 5 ) (mod 5) Nähdään, että f (3) 5 = 65 5 = 3 j f '(3) = 3 =, kosk 3 = (mod 5) Nyt t 3 4 (mod 5) j kongruenssin f(x) 0 (mod 5) rtkisu on x 3 + 5 4 = 3 (mod 5) 5 Lineriset kongruenssiryhmät Seurvksi trkstelln kongruenssiyhtälöiden ryhmiä, joiss tuntemttomi muuttuji on yhtä mont kuin kongruenssiyhtälöitä j kikill kongruenssiyhtälöillä on sm modulo Luse Olkoot, b, c, d, e, f kokonislukuj Olkoon m sellinen positiivinen kokonisluku, että (, m) =, missä = d bc Tällöin kongruenssiyhtälöryhmällä x + by e (mod m) cx + dy f (mod m) on yksikäsitteinen rtkisu modulo m, jok sdn kongruensseist x (de bf) (mod m) y (f ce) (mod m), missä on luvun käänteisluku modulo m 9

Todistus Vrt [], s6 Kerrotn ryhmän ensimmäinen kongruenssi luvull d j toinen luvull b, jolloin dx + bdy de (mod m) bcx + bdy bf (mod m) Vähennetään sitten toinen kongruenssi ensimmäisestä, jolloin (d bc)x de bf (mod m) Kosk = d bc, niin x de bf (mod m) Kerrotn tämän kongruenssin molemmt puolet luvull, jolloin x (de bf) (mod m) Kerrotn vstvsti lkuperäisen kongruenssiyhtälöryhmän ensimmäinen kongruenssi luvull c j toinen luvull, jolloin cx + bcy ce (mod m) cx + dy f (mod m) Vähennetään ensimmäinen kongruenssi toisest, jolloin (d bc)y f ce (mod m) Kosk = d bc, niin y f ce (mod m) Kerrotn kongruenssin molemmt puolet luvull, jolloin y (f ce) (mod m) Näin on osoitettu, että kongruenssiyhtälöryhmän rtkisu on x (de bf) (mod m) j y (f ce) (mod m) Voidn trkist, että mikä thns tällinen pri (x, y) on kongruenssiyhtälöryhmän rtkisu Olkoot Tällöin x (de bf) (mod m) j y (f ce) (mod m) x + by (de bf) + b (f ce) (de bf + bf bce) (d bc)e j e e (mod m), 30

cx + dy c (de bf) + d (f ce) (cde bcf + df cde) (d bc)f f f (mod m) Esimerkki 9 Trkstelln kongruenssiyhtälöryhmää x + y (mod 5) x + y (mod 5) Nyt d bc = = 3 =, jolloin (mod 5) j (, 5) = 3, 5) = Luseen perusteell kongruenssiyhtälöryhmän rtkisut sdn kongruensseist x (de bf) (mod m) Siis eli y (f ce) (mod m) x ( ) (mod 5) y ( ) (mod 5) x (mod 5) y (mod 5) 6 Mtriisien kongruenssit Tässä pykälässä ensin määritellään mtriisien kongruenssi j esitetään tärkeimmät mtriisien kongruenssiin liittyvät ominisuudet Lopuksi esitetään kongruenssiyhtälöiden ryhmälle rtkisutp, joss käytetään mtriisej Tässä pykälässä käsiteltävien mtriisien kikki lkiot ovt kokonislukuj Määritelmä 7 Olkoot A j B n k mtriisej Mtriisi A on kongruentti mtriisin B knss modulo m, jos kikill preill (i, j) on voimss ij b ij (mod m), missä i n j j k Tällöin merkitään A B (mod m) 3

Esimerkki 0 Nähdään, että 6 7 3 4 3 4 (mod 5) Luse 3 Olkoot A j B n k mtriisej j olkoot C k p mtriisi j D p n mtriisi Jos A B (mod m), niin AC BC (mod m) j DA DB (mod m) Todistus Vrt [], s63 Mtriisien A j B lkioit ovt kokonisluvut ij j b ij, missä i n j j k Mtriisin C lkioit ovt kokonisluvut c ij, missä i k j j p Nyt mtriisien AC j BC lkioit ovt kokonisluvut k t = it ctj k j = t b it ctj missä i n j j p Kosk A B (mod m), niin määritelmän 7 mukn kikill preill (i, t) on voimss it b it (mod m) Luseen 3 perusteell, eli k t = it ctj k = t b it ctj AC BC (mod m) (mod m) Vstvsti voidn todist, että DA DB (mod m), jok tässä sivuutetn Trkstelln kongruenssiyhtälöryhmää x + x + + n x n b (mod m) x + x + + n x n b (mod m) n x + n x + + nn x n b n (mod m) Kongruenssiyhtälöitä on n kpplett j ne voidn esittää mtriisien kongruenssin AX B (mod m), missä 3

A = n n n n nn, X = x x j B = x n b b b n Esimerkki Kongruenssiyhtälöryhmä x + 3y 5 (mod 7) x + 5y 6 (mod 7) voidn esittää muodoss 3 x 5 5 y (mod 7) 6 Huomutus 7 Identiteettimtriisi I oletetn tunnetuksi Määritelmä 8 Jos A j A ovt n nmtriisej j jos A A AA I (mod m), niin A on mtriisin A käänteismtriisi modulo m Huomutus 8 Merkinnällä A trkoitetn in mtriisin A käänteismtriisi Luse 4 Jos B A (mod m), niin mtriisi B on mtriisin A käänteismtriisi Todistus Vrt [], s64 Oletetn, että B A (mod m) Luseen 3 perusteell BA A A (mod m), jolloin BA I (mod m) Määritelmän 8 mukn mtriisi B on mtriisin A käänteismtriisi Luse 5 Jos mtriisit B j B ovt mtriisin A käänteismtriisej, niin B B (mod m) 33

Todistus Vrt [], s64 Kosk B j B ovt mtriisin A käänteismtriisej, niin määritelmän 8 mukn B A B A I (mod m) Luseen 3 perusteell B A B B A B (mod m) Kosk A B I (mod m), niin B B (mod m) Esimerkki Kosk j niin mtriisi 3 8 6 8 6 8 4 6 4 3 4 4 0 = 0 4 0 4 0 4 = 0 4 0 4 on mtriisin 3 0 (mod 5) 0 (mod 5), 4 käänteismtriisi modulo 5 Huomutus 9 Mtriisin A determinntti det(a) oletetn tunnetuksi Siitä käytetään myös merkintää Seurv luse nt helpon tvn löytää mtriisille käänteismtriisi b Luse 6 Olkoon A = j olkoon m positiivinen kokonisluku Jos c d (, m) =, niin mtriisin A käänteismtriisi modulo m on d b = c A Todistus Vrt [], s64 Kosk (, m) =, niin luvun käänteisluku modulo m on olemss Nyt b d AA = c d c b d bc 0 0 bc + d 0 0 0 0 0 0 = I (mod m) 34

j A A = d c b c b d d bc 0 0 bc + d 0 0 0 0 0 0 = I (mod m) Määritelmän 8 mukn mtriisi A on mtriisin A käänteismtriisi modulo m Esimerkki 3 Olkoon A = Nyt = = Kosk luku 4 on luvun käänteisluku modulo 7, niin = 4 Kosk (, 7) =, niin luseen 6 perusteell 4 A 8 8 8 6 4 8 (mod 7) 3 8 Huomutus 0 Mtriisin A djungtti dj(a) oletetn tunnetuksi Luse 7 Jos A on n n mtriisi j det(a) 0, niin A(djA) = det(a)i Todistus Ks [4] Luse 8 Olkoon A n n mtriisi j olkoon m sellinen positiivinen kokonisluku, että (, m) = Tällöin mtriisin A käänteismtriisi modulo m on A = (dja) Todistus Vrt [], s65 Kosk (, m) =, niin 0 Luseen 7 perusteell A(djA) = I Kosk (, m) =, niin luvun käänteisluku modulo m on olemss Nyt j A( dja) A dja I I I (mod m) (dja)a (dja A) I I (mod m) Määritelmän 8 mukn (dja) on mtriisin A käänteismtriisi modulo m 35

36 Esimerkki 4 Olkoon A = 6 4 5 3, jolloin = 4, (, 7) = j 5 (mod 7) Nyt A = (dja) = 5 0 3 4 0 8 = 0 0 0 0 5 5 0 0 40 0 4 3 4 6 0 (mod 7) Mtriisin A käänteismtriisi A voidn käyttää rtkistess kongruenssiyhtälöä AX B (mod m), missä (det(a), m) = Luseen 3 perusteell voidn yhtälön molemmt puolet kerto mtriisill A, jolloin A (AX) A B (mod m) (A A)X A B (mod m) X A B (mod m) Esimerkki 5 Trkstelln kongruenssiyhtälöryhmää x + y + 3z (mod 7) x + y + 5z (mod 7) x + 4y + 6z (mod 7) Tämä voidn kirjoitt mtriisien kongruenssin 6 4 5 3 z y x (mod 7) Esimerkin 4 mukn mtriisin 6 4 5 3 käänteismtriisi modulo 7 on 0 4 3 4 6 0 Nyt z y x = 0 4 3 4 6 0 = 7 7 8 0 0 (mod 7)

Luku 3 Wilsonin luse, Fermt n pieni luse j Eulerin luse 3 Wilsonin luse Vuonn 770 julkistuss kirjss englntilinen mtemtikko Edwrd Wring väitti, että yksi hänen oppilistn, John Wilson, oli löytänyt tuloksen, että lkuluku p jk luvun (p )! + Mtemtikko Wring oletti, että tämä Wilsonin otksum olisi vike todist Kuitenkin jo vuonn 77 Joseph Lgrnge todisti tämän tuloksen j se tunnetn nimellä Wilsonin luse Esimerkki 3 Olkoon p = 7 Nyt (7 )! = 6! = 3 4 5 6 Nähdään, että 4 (mod 7) j 3 5 (mod 7) Järjestetään lkuperäisen kertomn tekijät uudelleen, jolloin (7 )! = 6! = ( 4) (3 5) 6 6 (mod 7) Luse 3 (Wilsonin luse) Jos p on lkuluku, niin (p )! (mod p) Todistus Vrt [], s98 Olkoon p = Tällöin (p )! = ( )! = (mod ) Olkoon p nyt luku suurempi lkuluku Luseen 8 perusteell kikill kokonisluvuill, p, on olemss käänteisluku, p, joll (mod p) Luseen 9 perusteell inot luku p pienemmät positiiviset kokonisluvut, jotk ovt itsensä käänteislukuj, ovt luku j luku p Nyt voidn lukujen j p välillä olevt kokonisluvut järjestää (p 3) / kppleeksi lukuprej, joiden tulot ovt kongruenttej luvun knss modulo p Tällöin 3 (p 3) (p ) (mod p) Kerrotn tämän kongruenssin molemmt puolet luvull j luvull p, jolloin (p )! = 3 (p 3) (p ) (p ) (p ) (mod p) Huomutus 3 Seurv luse osoitt, että Wilsonin luse on tosi myös käänteisesti 37

Luse 3 Jos n on sellinen positiivinen kokonisluku, että (n )! (mod n), niin n on lkuluku Todistus Vrt [], s99 Oletetn, että n ei ole lkuluku j lisäksi (n )! (mod n) Kosk n ei ole lkuluku, niin n = b, missä < < n j < b < n Kosk < n, niin (n )!, j kosk (n )! (mod n), niin n ((n )! + ) Luseen perusteell myös luku jk luvun (n )! + Kosk (n )! j ((n )! + ), niin luseen perusteell ((n )! + ) (n )! = Tämä on ristiriit, kosk oletuksen perusteell > Esimerkki 3 Trkstelln luku, jok on lkuluku Nyt ( )! = 0! = 368800 = 3989 Siis ( )! (mod ) Trkstelln luku 8 Nyt (8 )! = 7! = 5040 0 (mod 8) Siis luku 8 ei ole lkuluku 3 Fermt n pieni luse Pierre de Fermt esitti vuonn 640 otksumn, että luku p jk luvun p, jos p on lkuluku j on sellinen kokonisluku, että p / Leonhrd Euler todisti otksumn vuonn 736 j tulos tunnetn nimellä Fermt n pieni luse Luse 33 (Fermt n pieni luse) Jos p on lkuluku, on positiivinen kokonisluku j p /, niin p (mod p) Todistus Vrt [], s99 Trkstelln kokonislukujen joukko {,, 3,,(p ), (p )} Osoitetn vstoletuksell, että mikään joukon kokonisluvuist ei ole jollinen lkuluvull p Oletetn, että p j, missä j p j j on kokonisluku Kosk p /, niin (p, ) = Nyt puluseen perusteell p j, mikä on mhdotont, kosk j p Siis mikään joukon kokonisluvuist ei ole jollinen luvull p eli ne eivät ole kongruenttej luvun 0 knss modulo p Osoitetn lisäksi, että mitkään kksi 38

joukon kokonisluku eivät ole keskenään kongruenttej modulo p Tehdään vstoletus, että j k (mod p), missä j < k p Kosk (, p) =, niin seuruksen perusteell j k (mod p) Tämä on mhdotont, kosk j < k p Kosk joukon {,, 3,,(p ), (p )} kokonisluvuist mikään ei ole kongruentti luvun 0 knss modulo p j kosk mitkään kksi joukon luku eivät ole keskenään kongruenttej modulo p, niin tällöin lukujen,, 3,,(p ), (p ) jäännösten täytyy oll luvut,, 3,,(p ), (p ) josskin järjestyksessä Tästä seur, että 3 (p ) (p ) 3 (p ) (p ) (mod p) Siis p (p )! (p )! (mod p) Kosk ((p )!, p) =, niin seuruksen perusteell p (mod p) Esimerkki 33 Trkstelln lukuj 5 j 6 Luku 5 on lkuluku j 5 / 6 Nyt 6 5 = 6 4 = 65536 = 307 5 + Siis 6 5 (mod 5) Esimerkki 34 Etsitään luvun 0 jkojäännös modulo 7 Nähdään, että 0 = ( 6 ) 3 Kosk 7 /, niin luseen 33 perusteell 6 (mod 7) Luseen 6 perusteell ( 6 ) 3 (mod 7) j luseen 3 perusteell ( 6 ) 3 (mod 7) Siis 0 4 (mod 7) eli luvun 0 jkojäännös modulo 7 on 4 Luse 34 Jos p on lkuluku j on positiivinen kokonisluku, niin p (mod p) Todistus Vrt [], s00 Jos p /, niin luseen 33 perusteell p (mod p) Kerrotn kongruenssin molemmt puolet luvull, jolloin p (mod p) Jos luku p jk luvun, niin luku p jk myös luvun p, jolloin p 0 (mod p) 39

Esimerkki 35 Etsitään luvun 3 8 jkojäännös modulo 7 Luseen 34 perusteell 3 7 3 (mod 7), jolloin luseen 3 perusteell 3 7 3 3 3 (mod 7) Siis 3 8 9 (mod 7) eli luvun 3 8 jkojäännös modulo 7 on 9 Luse 35 Jos p on lkuluku j on sellinen kokonisluku, että p /, niin p on luvun käänteisluku modulo p Todistus Vrt [], s00 Kosk p /, niin luseen 33 perusteell p (mod p) Kosk p = p, niin p (mod p), jolloin määritelmän 6 mukn p on luvun käänteisluku modulo p Esimerkki 36 Trkstelln lukuj 7 j 8 Luku 7 on lkuluku j 7 / 8 Luseen 35 perusteell 8 7 = 8 5 = 3768 (mod 7) on luvun 8 käänteisluku modulo 7, jok tosin on helppo nähdä suorn ilmn lusett 35 Seurus 3 Olkoot j b positiivisi kokonislukuj j olkoon p lkuluku Jos p /, niin linerisen kongruenssiyhtälön x b (mod p) kokonislukurtkisut ovt x p b (mod p) Todistus Vrt [], s0 Olkoon p lkuluku j olkoot j b sellisi positiivisi kokonislukuj, että p / j x b (mod p) Kerrotn kongruenssin molemmt puolet luvull p, jolloin p x p b (mod p) Kosk p /, niin luseen 35 perusteell p on luvun käänteisluku modulo p, jolloin x p b (mod p) 40

Esimerkki 37 Trkstelln linerist kongruenssiyhtälöä 5x 3 (mod ) Kosk luku on lkuluku j / 5, niin seuruksen 3 perusteell kongruenssiyhtälön rtkisu on x 5 tulos stiin jo esimerkissä 3 3 = 539065 7 (mod ) Sm 33 Eulerin luse Leonhrd Euler esitti yleistyksen Fermt n pienestä luseest Fermt n pienessä luseess luvun p oli oltv lkuluku Euler ljensi trkstelun myös yhdistettyihin lukuihin j todisti luseen vuonn 760 Ennen luseen esitystä täytyy määritellä Eulerin phi-funktio, jot käytetään Eulerin luseess Määritelmä 3 (Eulerin phi-funktio) Olkoon n positiivinen kokonisluku Eulerin phi-funktio φ (n) on niiden positiivisten kokonislukujen r ( n) määrä, jotk ovt suhteellisi lkulukuj luvun n knss Esimerkki 38 Trkstelln luku 6 Luvut r =, 3, 5, 7, 9,, 3 j 5 toteuttvt ehdon (r, 6) =, jolloin φ (6) = 8 Määritelmä 3 (Supistettu jäännössysteemi) Supistettu jäännössysteemi modulo n on sellinen φ (n) kokonisluvun joukko, että jokinen joukon lkio on suhteellinen lkuluku luvun n knss j mitkään kksi joukon lkiot eivät ole keskenään kongruenttej modulo n Esimerkki 39 Luvut r =,5 toteuttvt ehdon (r, 6) = Supistetuss jäännössysteemissä modulo 6 on φ (6) = lkiot Siis joukko {, 5} on supistettu jäännössysteemi modulo 6 Luse 36 Jos {r, r,, r φ (n)} on supistettu jäännössysteemi modulo n, on positiivinen kokonisluku j (, n) =, niin joukko {r,r,, r φ (n) } on myös supistettu jäännössysteemi modulo n 4

Todistus Vrt [], s6 Osoitetn, että jokinen kokonisluku r j, missä j φ (n), on suhteellinen lkuluku luvun n knss Tehdään vstoletus, että (r j, n) > Tällöin on olemss sellinen lkuluku p, että p (r j, n) Siis p j p n ti p r j j p n Kuitenkn ehdot p j p n eivät voi molemmt oll voimss, kosk oletuksen mukn (, n) =, eivätkä ehdot p r j j p n voi molemmt oll voimss, kosk r j kuuluu supistettuun jäännössysteemiin modulo n eli (r j, n) = Siis jokinen kokonisluku r j, missä j φ (n), on suhteellinen lkuluku luvun n knss Osoitetn vielä, että mitkään kksi luvuist r j eivät ole keskenään kongruenttej modulo n Tehdään vstoletus, että r j r k (mod n), missä j j k ovt kokonislukuj, j k, j φ (n) j k φ (n) Kosk (, n) =, niin seuruksen perusteell r j r k (mod n) Tämä ei kuitenkn ole mhdollist, kosk r j j r k kuuluvt smn supistettuun jäännössysteemiin modulo n, jolloin r j r k (mod n) Siis mitkään kksi luvuist r j eivät ole keskenään kongruenttej modulo n Esimerkki 30 Joukko {,, 3, 4, 5, 6} on supistettu jäännössysteemi modulo 7 Kosk (3, 7) =, niin lukujen 3 = 3, 3 = 6, 3 3 = 9, 3 4 =, 3 5 = 5 j 3 6 = 8 muodostm joukko {3, 6, 9,, 5, 8} on myös supistettu jäännössysteemi modulo 7 Luse 37 (Eulerin luse) Jos m on positiivinen kokonisluku j on sellinen kokonisluku, että (, m) =, niin φ(m) (mod m) Todistus Vrt [], s7 Olkoon {r, r,, r φ (m) } supistettu jäännössysteemi modulo m Kosk (, m) =, niin luseen 36 perusteell joukko {r, r,, r φ (m) } on myös supistettu jäännössysteemi modulo m Lukujen r, r,, r φ (m) jäännösten modulo m on oltv luvut r, r,, r φ(m) josskin järjestyksessä Tällöin 4

r r r φ (m) r r r φ (m) (mod m), eli φ(m) r r r (m) φ r r r φ (m) (mod m) Kosk (r, r,, r φ (m), m) =, niin seuruksen perusteell φ (m) (mod m) Eulerin lusett voidn käyttää käänteislukujen modulo m etsimiseen Jos j m ovt suhteellisi lkulukuj, niin luvun käänteisluku modulo m on φ( m) φ( m) φ (m) = (mod m) Siis Esimerkki 3 Luvun 3 käänteisluku modulo 6 on 3 87 (mod 6) φ ( 6) = 3 8 = 3 7 = Linerisen konruenssiyhtälön rtkisemisess voidn käyttää hyväksi tätä ominisuutt Olkoon x b (mod m), missä (, m) = Kerrotn kongruenssin molemmt puolet luvull φ ( m) φ( m), jolloin x φ( m) b (mod m) Kongruenssin x b (mod m) rtkisuj ovt siis kikki kokonisluvut x, jotk toteuttvt yhtälön x φ( m) b (mod m) Esimerkki 3 Vrt [], s8, Tehtävä ) Etsitään linerisen kongruenssiyhtälön 5x 3 (mod 4) rtkisut Kosk φ (4) = 6, niin x 5 φ ( 4) 3 = 5 5 3 = 9375 9 (mod 4) 43

Lähteet [] Burton Dvid M Elementry number theory, Fifth Edition, The McGrw- Hill Compnies, New York, 005 [] Rosen Kenneth H Elementry number theory nd its pplictions, Fourth edition, Addison Wesley Longmn, Reding, Msschusetts, 000 [3] Vnden Eynden Chrles Elementry Number Theory, Second edition, The McGrw-Hill Compnies, Boston, 00 [4] PesonenMrtti Linerilgebr, luentomoniste, Joensuun yliopisto, 006 [Verkkodokumentti] URL http://wwwjoensuufi/mtemtiikk/kurssit/linerilgebr/kurssi mterili/latext/linalgmonistepdf [Viitttu 6006] 44