Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes ti vrus:hes pikn funk:on ti korkeus krdkoordinmen funk:on Esim: funk:o f(,) kertoo mus:en pllojen :heden kentällä. Pc- Mn liikuu kärää pitkin pisteestä pisteeseen j sö plloj. Kuink mont pllo Pc- Mn sö? Vstus on (suunnilleen) viivintegrli f(,) ds (ds on ääredömän pieni pl kärää) ds Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Tämä tulkint ud hhmodmn, mistä on kse, mud ei vielä vrsinises: ut lskemn integrli. Kuvst nähdään kuitenkin suorn ksi keskeinen si: Viivintegrlin rvo (Pc- Mnin sömien pllojen lukumäärä) riippuu leisessä tpuksess lku- j loppupisteiden lisäksi mös integroin:rei:stä. f(,) ds f(,) ds "Perinteisempi" tulkint: D Funk:o f():n kuvj on kärä. f():n rvo :n eri pisteissä kuvtn plväinä oheisess kuvss. Integrlin f()d tulkint: kärän lle jäävä pint- l. Voidn jtell edä lue jetn (ääredömän kpeisiin) siivuihin, joiden pint- l lsketn hteen. f()d D Funk:o f(,):n rvo pisteessä, kuvtn mös plvään korkeuten (vsen kuv). Funk:on kuvj on siis pint. Kärä kulkee, tsoss. Jokisess :n pisteessä f(,):llä on jokin rvo nämäkin voidn piirtää plväinä/siivuin siivuin kuten oikenpuoleisess kuvss. Viivintegrli kärällä summ siivujen pint- lt ("idn pint- ln") ivn kuten "tvllinen" integroin:kin Tvllinen integrli on ikään kuin viivintegrli kärällä =0. f(,) ds
Viivintegrlin lskeminen () Viivintegrlin lskeminen edelldää leensä integrlin muuntmist "tvllisten" integrlien mutoon. Tähän on mont vihtoehto. Oppikirjss esitellään leinen (joskin kätännössä usein töläs) kikk, joss ds muunnetn Pthgorn luseen vull :n j :n funk:oksi (huom: merkinnän knss tulee oll vrovinen; (d) /(d) ei trkoit toist deriv:): ds = d + d ds = d + d = d (+ (d) (d) ) = (+ (d) ) d= (+ (d (d) d ) ) d Viivintegrlin lskeminen () ds = (+ ( d d ) ) d Mikäli kärä on nnedu muodoss = (), voidn tästä lske d/d, j integrlist tulee tvllinen integrli :n suhteen. Esim: integroi f(,)= kärää = / pitkin pisteestä (,)=(0,0) pisteseen (,)=(,0.5). Rtkisu: = 3 f(,) = = ; d d = = 3 f(,)ds = + ( d d ) d = =0 = =0 3 + d Viivintegrlin lskeminen () Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () = =0 3 + d Tämä voidn lske muudujnvihdoll u = + ; tällöin du = d d = du/, j sdn = 3 + d = =0 = 4 = 4 u= u u= u= u= 3 (u du = 4 -u u= 3 u= u= u du (u -) du u= 5 u u )du = 4 + 3 3 u (+ ) + = 5 Jos kärää ei void ilmist helpos: muodoss =(), joudutn usein kädämään kolmd muuduj t siten, edä kärän määridelee =g(t), =h(t), t. Esim jos kärä on suor viiv pisteestä (,) pisteeseen (4,), niin voidn kirjoid = t, = t, j integroid t:n suhteen rvost t= rvoon t=. ds è dt muunnos nädää tältä: ds = d + d = dt ( d dt + d dt ) = ( d dt ) + ( d dt ) dt d/dt j d/dt voidn lske, kosk =g(t) j =h(t) (,) (4,)
Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () Esim: olkoon kärä äsken nnedu =t, =t, t:, j funk:o f(,) =. Lsketn viivintegrli f(,)ds Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () Esim: olkoon kärä äsken nnedu =t, =t, t:, j funk:o f(,) =. Lsketn viivintegrli f(,)ds f(,) Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () Esim: olkoon kärä äsken nnedu =t, =t, t:, j funk:o f(,) =. Lsketn viivintegrli f(,)ds f(,) Viivintegrlin rvo on tämä pint- l Tämä klvo on lisäinform:ot: tätä ei kstä ten:ssä. Viivintegrlin lskeminen () Esim: olkoon kärä äsken nnedu =t, =t, t:, j funk:o f(,) =. Lsketn viivintegrli f(,)ds Rtkisu: = t, = t d d =, dt dt = f(,) = = t t = t t= f(,) ds = t t= t= ( d dt ) + ( d dt ) dt = t + dt = 5 t dt t= t= t= t 3 = 5 3 = 5(3 3 3 3 ) = 4 5 3 3
Viivintegrlin lskeminen (3) Usein (etenkin kemillisiss sovelluksiss) viivintegrli nnetn "ds - muodon sijn muodoss, joss esiint jo vlmiiksi d j d: f(,) ds = [ F(,)d + G(,)d] $ R RT Esim: ΔV = & dt % p p dp ' ) ( Tämän muodon grfinen hhmodminen on joskus vikemp, mud lskeminen usein helpomp: viivintegrli sdn usein helpos: muunnedu tvllisten integrlien (:n ti :n suhteen) summksi. Viivintegroin:: esimerkki Esim. lske integrli [ d + d] kun reim on sellinen edä = j : 0. Rtkisu: d d( ) = = d = d d d [ d + d] = ( )d + ( )( d) =0 =0 = [ ] = $ %( + + )d& ' = ( )d = = =0 = =0 = ( 3 3 )=0 (3 3 ) = 3 (0,) (,0) Esim. lske integrli [ d + d] kun reim on (,0) (,) (0,) Nt voidn lske integrli khden osn summn: (0,) (,) lku:lnne loppu:lnne Rtkisu: Käsitellään rei:n ost erikseen. Osss pätee: (0,) =, jolloin d = 0. : 0 Osss pätee: =, jolloin d = 0 : 0 (,) (,0) [ d + d] = =0 = ( 0 + d)+ ( d + 0) =0 = = = d + = =0 =0 = = =0 =0 + = d = 0 + 0 ( ) = 3 (,0) ReiMosll : =, d = 0 : 0 ReiMosll : =, d = 0 : 0 4
Viivintegrli j eksk differenli Viivintegrli j eksk differenli Otetn viivintegrli muoto f(,) ds = [ F(,)d + G(,)d] Jos F(,)d + G(,)d on eksk: differen:li, viivintegrlin rvo ei riipu kärän muodost, vn inostn sen lku- j loppupisteistä. Kutsutn lku- j loppupisteitä vikk kirjimill j, ts = (, ), = (, ). Perustelu: jos F(,)d + G(,)d on eksk:, on olemss funk:o z(,) jonk kokonisdifferen:li dz = F(,)d + G(,)d jolloin [ F(,)d + G(,)d] = dz = z() z() Tällöin [ F(,)d + G(,)d] = [ F(,)d + G(,)d] Mille thns kärille, joill on smt lku- j loppupisteet. Eksk differenli j sulje<u viivintegrli Jos kärällä on sm lku- j loppupiste, nähdään he: edä eksk:n differen:lin viivintegrli tämän kärän li (suljedu integrli) on noll: [ F(,)d + G(,)d] = dz = z() z() 0 SuljeDu integrli merkitään usein integrlimerkissä olevll plloll: dz Epäeksk:n differen:lin suljedu viivintegrli ei väldämädä ole noll. Grfinen tulkint Olkoon z = z(,) mston korkeus pikn, funk:on Esim. on sijin: Pohjois Etelä- kselill j sijin: Itä Länsi- kselill kuten krtoiss leensä. z:n kokonisdifferen:li: dz = ( z(,) ) d + ( z(,) ) d OsiDisderivtt kertovt mston jrkkden Itä Länsi j Pohjois Etelä- suunniss kusskin mston pisteessä. Kokonisdifferen:lin luseke siis kertoo, kuink pljon korkeus z muuduu, kun kuljetn pieni mtk d Itä Länsi- suunnss j pieni mtk d Pohjois Etelä- suunnss. 5
Grfinen tulkint dz = ( z(,) ) d + ( z(,) ) d d d Grfinen tulkint Korkeuden muutos Δz jollkin pidemmällä mtkll pisteestä pisteeseen kärää pitkin sdn integroimll dz: Δz = dz = ( z(,) ) d + ( z(,) ) d = z() z() Tulos riippuu inostn lku- j loppupisteistä, eikä vlitust rei:stä (kuten krtstkin voi päätellä). Huom: Δz on siis korkeuden "nedomuutos" (lähtö- j päätepisteen korkeuksien erotus), kiipeilijät (ms) lskevt usein "rudomuutost" eli kuink mont metriä päivässä on noustu tämä sd :ets: riippu rei:stä mikäli välillä kävellään lspäin j siden ts lös. Korkeuden muutos ei riipu reistä. Korkeuden differenli on eksk Korkeuden muutos Δz ei siis riipu vlitust rei:stä, kosk korkeuden differenli dz on eksk. Voidn helpos: kuvitell mös moni muit pikst riippuvi differen:limuotoisi lusekkeit muoto F(,)d + G(,)d, jotk eivät ole eksktej. Esimerkiksi epäeksk: differen:li F(,)d + G(,)d voisi oll todennäköiss, edä pienellä mtkll d, d pikst (,) tulee vstn lppitäh: (kukk). Epäeksk:en differen:lien viivintegrlit (esimerkissä siis lödedjen lppitäh:en lukumäärä, kun p:koidn joku vuoristoreim ) riippuvt rei:stä, ivn kuten rkijärjelläkin voi päätellä. 6
Lötääkö Asteri lppitähden? Lötääkö Asteri kukn? F(,)d + G(,)d =00% F(,)d + G(,)d = 0% Fsiklinen esimerkki Aiemmin trkstel:in differen:lej dv = RT p dp + R p dt j dw = pdv = RT dp + RdT p Molemmt kuvvt ksu, jonk pined j lämpö:l muutetn josskin prosessiss. dv on :lvuuden muutoksen differen:li, j dw ksun tekemän tön differen:li. Tilvuuden muutos ΔV ti ksun tekemä tö ΔW sdn odmll dv:n j dw:n viivintegrlit p,t vruudess kuljetun "polun" li. Aiemmin näh:in edä dv on eksk: mud dw ei. Mitä tämä trkoid? Ideliksu jonk lämpöl j pine< nostetn. p T Polku : ensin lämmitetään, siden nostetn pined. Polku : ensin nostetn pine, siden lämmitetään. Tilvuuden muutos ei riipu polust! ΔV = dv = ΔV = dv Teht tö riippuu polust! ΔW = dw ΔW = dw 7
p Sulje<u kierto 3 T Kuljetn nt polku 3 pitkin, jok joht tkisin lkupisteeseensä. Kosk dv on eksk:, voidn päätellä suorn, edä :lvuus ei muutu prosessiss. Kosk dw ei ole eksk:, ksun tekemä tö prosessiss ei (väldämädä) ole noll. p Fsiklinen tulkint T Se, edä :lvuuden differen:li dv on eksk: trkoid edä on olemss funk:o V(p,T) jok kertoo V:n rvon jokisess p,t pisteessä. Se, edä tön differen:li dw on epäeksk: kertoo edä vstv funk:ot W(p,t) ei (väldämädä) ole olemss. On mielekästä puhu ksun :lvuudest :etssä pineess j lämpö:lst, mud ei ole mielekästä sno esimerkiksi edä "ksun tö tässä lämpö:lss on 3 joule". Tön suhteen voidn puhu vin muutoksist (ΔW, dw). Fsiikss j kemiss viivintegrlill kuvtn jonkin suureen (esim :lvuus, tö, vrus...) muutost, kun kht (ti usemp) ssteemin muuduj muutetn jotin polku pitkin. Jos ko. suureen differen:li on eksk:, polull ei ole merkitstä, vn inostn lku- j loppupisteillä. Jos ko. suureen differen:li ei ole eksk:, polull ts on merkitstä. Termodnmiikss epäeksk:n differen:lin d- kirjin merkitään usein poikidisell viivll (esim dw) jod muistedisiin premmin edä integroin:reim vikud tulokseen. Esimerkiksi ssteemin tekemä tö ei siis väldämädä ole noll, vikk se plisikin tkisin lkupisteeseensä. Arkielämän sovellus: juoksulenkki Kumpulst Turkuun j tkisin kulud kllä kloreit, vikk onkin "suljedu" reim... Ekskuden hödntäminen integroitess Aiemmin näh:in tpoj, millä viivintegrlej voi lske "hnkls:". Mikäli integroitvn on eksk: differen:li, voidn lskuj usein helpod kädämällä hväksi sitä, edä tulos ei riipu rei:stä. è Vlitn siis lskemisen knnlt mhdollisimmn helppo reim! Tpillises: helpoin reim on sellinen, missä pidetään in jompikumpi muuduj kerrlln vkion. [ Fd + Gd] Fd + Gd ekskti ' d=0 d=0 8
Esimerkki Lsketn integrli [(4 + )d + ( + 6)d], missä kärä on kuvss näkvä monimutkinen funk:o, jok kulkee pisteestä 0,0 pisteeseen,. Rtkisu: Trkistetn, onko integroitv differen:li eksk:. [(4 + )d + ( + 6)d] on (4 + ) ( + 6) ( ) =, ( ) = 0,0, Voidn siis unoht hnkln näköinen käpprä, j vlit mikä thns reim pisteiden 0,0 j, välillä. Vlitn kuvss näkvä reim. Sdn siis: [(4 + )d + ( + 6)d] + (Kärällä : = 0,d = 0. Kärällä : =,d = 0) = = (4 + 0) d + ( + 6) d =0 = =0 = + ( + 3 ) 0 0 = (8 0) + (4 + 0 0) = 4 0,0, 9