HUUTOKAUPPATEORIAA TTS-Kurssille/Kultti 2012

HUUTOKAUPPATEORIAA TTS-Kurssille/Kultti 2012

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä: 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. Muun muassa Yhdysvaltain liittovaltio myy velkasopimuksia (treasury bills) huutokaupalla, valuuttakauppa, oikeudet luonnonvaroihin, tarjouskilpailut ja valtion omaisuuden yksityistäminen tapahtuvat jonkinlaista huutokauppaa käyttäen. 2. Huutokaupat ovat kohtuullisen yksinkertaisia pelejä ja niitä voidaan käyttää taloustieteen teorioiden empiiriseen testaukseen. 3. Huutokaupat ovat teoreettisesti merkittäviä, koska monet taloustieteen standardimallit voidaan tulkita huutokaupoiksi ja lisäksi huutokaupat ovat yksi teoria hinnanmuodostuksesta, joka on tärkeä talousteorian tutkimuskohde.

B. Yhden objektin myynti Myyjällä on objekti, jonka hän haluaa myydä. Arvostus nolla. Ostaja haluaa ostaa objektin. Arvostus v > 0. Kaikki tämä on julkista tietoa. Millä hinnalla ostaja ostaa objektin, jos ylipäänsä ostaa? Oletetaan yksi periodi, jonka alussa myyjä tekee tarjouksen ja jonka ostaja sitten hyväksyy tai hylkää. Olkoon myyjän tarjous eli hinta p.

Jos p > v ostaja ei suostu kauppaan ja jos p < v ostaja suostuu kauppaan. Jos taas p = v oletetaan, että ostaja suostuu kauppaan. Myyjän paras tarjous on p = v, mikä on ennustus siitä miten tilanteessa käy.

Mitä mahtaa tapahtua, jos ostajia onkin kaksi ja heidän arvostuksensa ovat v 1 ja v 2 missä v 1 < v 2? Nyt ennustus on, että p = v 2.

Mitä mahtaa tapahtua, jos periodeja onkin kaksi ja ostajalla on mahdollisuus tehdä vastatarjous myyjälle juuri ennen maailmanloppua? Kun ostajia on yksi hän tarjoaa p = 0 ja myyjä hyväksyy sen. Jos ostajia onkin kaksi he molemmat tehnevät vastatarjouksen ja myyjä hyväksyy korkeimman. Ennustus on, että objekti vaihtaa omistajaa hinnalla v 1.

C. Epätäydellinen informaatio Oletetaan, että kaikki tietävät myyjän arvostuksen, joka normalisoidaan nollaksi. Ostajien arvostukset ovat yksityistä informaatiota. He ajattelevat muiden arvostusten määräytyvän satunnaisesti jostain todennäköisyysjakaumasta.

Olkoon arvostus tasajakautunut välillä [a, A]. Tasajakauman tiheysfunktio on f(x) = 1 A a kun a < x < A ja nolla muulloin. Tasajakauman kertymäfunktio on F (x) = x a A a kun a < x < A. F (x) = 0 kun x a ja F (x) = 1 kun x A. Tasajakauman odotusarvo on E(x) = tf(t)dt = 1 A a = 1 A a [ 12 t 2] A a = 1 2 (a + A). Aa tdt

Ostajien arvostus yksityistä informaatiota ja tasajakautunut välillä [0, A]. Kun on vain yksi ostaja myyjä tekee tarjouksen q. Myyjän ongelma on ( ) Max q Pr (v < q) 0 + (1 Pr (v < q)) q Max q 1 q A q Tämän ongelman ensimmäisen kertaluvun ehto on 1 2 q A = 0 mistä saadaan optimaalinen q = A 2

Myyjän odotettu hyöty on A 4. Tilanne ei ole tehokas, koska kaupat jäävät syntymättä kun v < A 2. Analyysi perustuu täysin siihen, että myyjä pystyy sitoutumaan tarjoukseensa. Jos ostaja hyväksyy tarjouksen myyjä tietää, että ostajan arvostus on välillä [ A2, A ]. Tällöin ostajan intressissä on määrätä uusi optimaalinen hinta kuten edellä.

Yhden ostajan huutokaupassa myyjän odotettu hyöty on nolla. Oletetaan, että ostajia on kaksi ja että myyjä tekee tarjouksen q. Myyjän ongelma on max q Pr (v 1, v 2 < q) 0 + (1 Pr (v 1, v 2 < q)) q ( max q 1 ( ) ) q 2 A q

Ensimmäisen kertaluvun ehto on 1 3 q2 A 2 = 0 mistä saadaan optimaalinen q = A 2 3. Myyjän odotettu hyöty on 2 3 A 2 3. Arvataan, että jos ostajia on n kappaletta myyjän optimitarjous on q = A n n+1 ja odotettu hyöty n n+1 A n n+1.

Jos myyjä pitääkin huutokaupan, kun ostajia on kaksi tilanne on monimutkaisempi. Merkitään ostajien arvostuksia taas v 1 ja v 2. Kumpi tahansa näistä voi olla alhaisempi. Varataan merkintä m 1 näistä alhaisemmalle; m 1 = min (v 1, v 2 ). Vastaavasti merkitään näistä korkeampaa m 2. Huutokaupassa myyjä odottaa saavansa m 1. Tämän odotusarvo on E(m 1 ) = A 0 2m 1 A ( 1 m A ) dm = 1 3 A.

Myyjän odotettu hyöty on suurempi, kun hän tekee tarjouksen q kuin huutokaupassa. Miksi sitten huutokauppaa käytetään? Katsotaan, mitä tapahtuu kun huutokaupassa on n ostajaa. Ostajien arvostukset v 1,..., v n ja järjestetyt arvostukset m 1,..., m n 1, m n missä tärkeä on toiseksi korkein arvostus m n 1. Myyjän odotettu hyöty on E(m n 1 ) = A 0 n(n 1)m 1 A ( 1 m A ) ( ma ) n 2 dm = n 1 n+1 A On helppo tarkistaa, että kun ostajia on kolme tai enemmän huutokauppa tuottaa myyjälle suuremman hyödyn kuin optimaalinen ota-tai-jätä-tarjous.

E. Tavanomaisia huutokauppoja Tapana on pitää tavanomaisina huutokauppamuotoina Englantilaista huutokauppaa Hollantilaista huutokauppaa First price sealed bid huutokauppaa (fpsb) Vickrey-huutokauppaa eli second price sealed bid huutokauppaa (spsb). Spsb-huutokauppa on esimerkki mekanismista, jonka tasapainossa talousyksiköt paljastavat preferenssinsä totuudenmukaisesti.

Kun pohditaan strategioita huutokaupoissa ratkaisukäsite on Nash-tasapaino. Spsb:ssä on muitakin Nash-tasapainoja kuin dominoivien strategioiden tasapaino. Kolme ostajaa joiden arvostukset ovat 5, 10, ja 15. Seuraava on Nash-tasapaino: ostaja jonka arvostus on 5 tarjoaa 5, ostaja jonka arvostus on 10 tarjoaa 20 ja ostaja jonka arvostus on 15 tarjoaa 7. Objekti menee ostajalle jonka arvostus on 10 hinnalla 7 eikä yksikään ostaja voi parantaa asemaansa muuttamalla strategiaansa.

Yksi tärkeimmistä huutokauppateorian tuloksista on Teoreema (Revenue equivalence). Olkoot ostajat riskineutraaleja ja kunkin arvostus yksityistä informaatiota ja riippumattomasti samasta nousevasta ja atomittomasta jakaumasta määräytynyt. Tällöin kaikki huutokaupat (myyntimekanismit), joissa i) objekti päätyy aina ostajalle jonka arvostus on korkein, ja ii) ostaja jolla on alhaisin mahdollinen arvostus saa nollan verran hyötyä, tuottavat odotusarvomielessä saman verran tuloa (hyötyä) myyjälle.

Johdetaan optimistrategia fpsb-huutokaupassa. Kaikki ostajat käyttävät samaa tarjousstrategiaa b(v). Pelaajia n kappaletta ja jokaisen arvostus määräytyy riippumattomasti jakaumasta F. Olkoon b jatkuva ja aidosti kasvava funktio. Tarkastellaan ostajaa i jonka arvostus on v ja joka poikkeaa ehdotetusta tasapainostrategiasta tarjoamalla b. Olkoon v se arvostus joka johtaisi tarjoukseen b tasapainossa eli b = b(v ).

Ostaja i saa objektin jos muiden n 1 ostajan arvostus on alhaisempi kuin v. Tämä tapahtuu todennäköisyydellä ( F ( v )) n 1. Ostajan i odotettu hyöty T ( v, v ) = ( v b ( v )) ( F ( v )) n 1. Ostajan i optimi määräytyy ensimmäisen kertaluvun ehdosta T ( v, v ) v = b ( v ) ( F ( v )) n 1 + ( v b ( v )) (n 1) ( F ( v )) n 2 f ( v ) = 0

Tämä pätee tasapainossa kohdassa v = v. Tasapainotarjousfunktio toteuttaa siis ehdon b (v) = (v b (v)) (n 1) f(v) F (v).

Tasajakaumalle tämä on helpohko differentiaaliyhtälö alkuarvolla b(0) = 0. b (v) = (v b (v)) (n 1) 1 v Tämä voidaan ratkaista esimerkiksi kertomalla molemmat puolet integroivalla tekijällä µ = exp ( n 1 v dv) = v n 1. Tulokseksi saadaan b(v) = n 1 n v. Mitä enemmän ostajia sitä vähemmän ylijäämää huutokaupan voittaja saa. Vastaavasti myyjän tulot kasvavat ostajien määrän lisääntyessä.

F. Tilastollisesti riippuvat arvostukset ja voittajan kirous Voittajan kirous on ilmiö, jonka uskotaan tapahtuneen ja yhä tapahtuvan huutokaupoissa, joissa ostajien arvostukset ovat samat, mutta jossa ostajat eivät tiedä täsmälleen arvostuksiaan. Tyyppiesimerkki on öljynporausoikeuksien myynti. Oikeus myydään tietylle alueelle ja se arvo riippuu alueella olevan öljyn määrästä. Tämä on sama riippumatta oikeuden omistajasta. Ostajat tekevät alueella koeporauksia ja saavat informaatiota öljyn määrästä. Riippuen siitä, missä poraus tehdään ostajat saavat erilaista informaatiota. Jos ostajat eivät tajua tätä, huutokaupan voittaa se, jonka arvio on optimistisin.

Tilanne mallitetaan siten, että ostajien signaalit ovat affi lioituneita. Toisin sanoen jos yksi ostaja saa korkean signaalin on todennäköistä että muidenkin ostajien signaalit ovat korkeita. Perustulokset ovat, että englantilainen huutokauppa johtaa korkeampaan odotettuun hintaan, kuin spsb-huutokauppa, joka puolestaan johtaa korkeampaan hintaan kuin fpsb-huutokauppa. Heuristiikka perustuu siihen, että voittavan ostajan ylijäämä johtuu hänen yksityisestä informaatiostaan. Mitä enemmän hinta riippuu muiden informaatiosta sitä enemmän hinta on sidoksissa voittajan informaatioon, koska signaalit ovat affi lioituneita.

Voittajan informaatiopalkka (information rent) ja ylijäämä ovat alhaisempia ja hinta siis korkeampi. Samasta syystä myyjän kannattaa paljastaa kaikki yksityinen myytävää objektia koskeva informaationsa.

Esimerkki (Englantilainen huutokauppa,ostajilla sama arvostus). Ostajia n kappaletta ja he saavat signaalin t i objektista ja heidän arvostuksensa on α β. v i = αt i + β j i t j Olkoon t (j) j:nneksi matalin signaali, jolloin siis t (1) on alin ja t (n) on korkein signaali. Symmetrisessä tasapainossa pelaaja vetäytyy pelistä, kun hän on indifferentti vetäytymisen ja voittamisen välillä. Ensimmäinen vetäytyminen tapahtuu hinnalla (α + β(n 1)) t (1).

Tämä olisi objektin todellinen arvo, jos kaikkien signaalit olisivat t (1). Jos signaalin t (1) saanut odottaisi korkeampaa hintaa ja voittaisi hinnalla ( t(1) + ε ) (α + β(n 1)) hän päättelisi, että t (n) = t (1) + ε.

Objektin arvo hänelle olisi enintään αt (1) + (n 1)β ( t (1) + ε ) mikä on vähemmän kuin hänen maksamansa hinta. Loput ostajista havaitsevat, että yksi heistä on vetäytynyt. Seuraava vetäytyminen tapahtuu hinnalla βt (1) + (α + (n 2)β) t (2). Tämä olisi vetäytyjän arvostus jos kaikki muut vetäytyisivät samaan aikaan. Tätä logiikkaa noudattaen viimeinen henkilö vetäytyy, kun hinta on p = β n 2 j=1 t (j) + (α + β)t (n 1)

Tämä on tasapaino, koska jos ostaja jonka arvostus on t (n 1) odottaisi ja voittaisi objektin korkeammalla hinnalla, vaikkapa hinnalla p + (α + β)ε hän päättelisi, että t (n) = t (n 1) + ε.

Tällöin objektin arvo hänelle olisi αt (n 1) + β n 2 j=1 eli alhaisempi kuin hänen maksamansa hinta. t (j) + β(t (n 1) + ε) Toisaalta, jos hän lopettaisi kun hinta on alhaisempi, vaikkapa p (α + β)ε hän tietäisi että viimeisen kilpailijan signaali on ainakin t (n 1) ε. Tällöin objektin arvo hänelle olisi vähintään p βε eli korkeampi kuin nykyinen hinta.

Esimerkissä on tärkeää huomata, että toisin kuin yksityisten arvostusten tapauksessa pelaajat vetäytyvät pelistä, kun he tietävät että hinta on alhaisempi kuin objektin arvo (odotusarvomielessä). Mutta heille relevantti objektin arvo on ehdolla, että he voittavat ja sen takia tarjouksia sopeutetaan alaspäin (shading).