Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään Poissonin yhtälö ja se on voimassa sähköstaattiselle potentiaalille kaikkialla avaruudessa. Alueissa, joissa varaustiheys on nolla, laki yksinkertaistuu muotoon 2 φ = 0, (6.3) josta käytetään nimitystä Laplacen yhtälö. Laplacen ja Poissonin yhtälöt ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Niiden ratkaiseminen tarjoaa uuden menetelmän potentiaalin laskemiseksi. Kun potentiaali tunnetaan, sähkökenttä saadaan selville gradientin avulla. Kappaleessa 0.9 on osoitettu, että Poissonin ja Laplacen yhtälön ratkaisut ovat yksikäsitteisiä, kun reunaehdot on kiinnitetty. 6.1.1 Reunaehdot Koska differentiaaliyhtälöillä on jokin tietty ratkaisujoukko, halutun ratkaisun löytäminen tästä joukosta edellyttää jotakin informaatiota, jonka avulla ratkaisu voidaan valita. Liikeyhtälön ratkaiseminen mekaniikassa on tavanomainen esimerkki tällaisesta tilanteesta. Yksiulotteisen liikkeen tapauksessa liikeyhtälö on muotoa md 2 x/dt 2 = F x. Tilanteesta riippuen tämä yhtälö ratkaistaan erilaisilla menetelmillä, mutta c Tuomo Nygrén, 2010 73
74 LUKU 6. SÄHKÖSTATIIKAN REUNAEHTOPROBLEEMAT nämä menetelmät sisältävät periaatteessa kaksi integrointia, jotka tuottavat kaksi integrointivakiota. Tuloksena on ns. yleinen ratkaisu, jonka integroimisvakiot on määritettävä, jotta saataisiin tilannetta vastaava yksityisratkaisu x = x(t). Liikeyhtälön tapauksessa integroimisvakioiden määrittämiseen käytetään usein kahta ehtoa; paikka ja nopeus alkuhetkellä. Näin saadaan kaksi yhtälöä, joista kaksi integroimisvakiota voidaan määrittää. Kun ratkaistavassa yhtälössä riippumattomana muuttujana on aika, kuten liikeyhtälössä on asian laita, yksityisratkaisun valitsemiseksi tarvittavia ehtoja nimitetään tavallisesti alkuehdoiksi. Jos ratkaistavana on yhtälö, jonka riippumattomana muuttujana on paikka, tarvittavat ehdot saadaan tavallisesti riippuvan muuttujan käyttäytymisestä tutkittavan alueen reunalla, ja silloin ehtoja nimitetään reunaehdoiksi. Useamman muuttujan differentiaaliyhtälöiden tapauksessa tilanne on monimutkaisempi. Poissonin ja Laplacen yhtälöiden tapauksessa haluttu yksityisratkaisu kuitenkin löytyy, kun potentiaalin arvo tunnetaan tutkittavan suljetun alueen reunoilla. Tämä alue voi jossakin suunnassa ulottua äärettömyyteen, jolloin on kiinnitettävä potentiaalin arvo äärettömyydessä. Useissa tapauksissa kiinnostavaa aluetta rajoittavat johtavat pinnat, joilla potentiaali voidaan asettaa vakioksi. Muita erityispintoja esintyy eristeaineiden välisillä rajoilla. 6.1.2 Yhdensuuntaiset johdetasot Tarkastellaan kahta äärettömän laajaa yhdensuuntaista johdetasoa, joiden välinen etäisyys on (kuva 6.1 a). Tasojen välillä on homogeeninen eriste, jonka suhteellinen permittiivisyys on ε. Levyjen potentiaalit ovat φ 1 ja φ 2. Ilmeisesti potentiaali ei muutu levyjen suunnassa, joten se on yhden muuttujan funktio. Kun levyjen välissä ei ole vapaita varauksia ja koska väliaineen homogeenisuuden vuoksi myös polarisaatiovaraustiheys on nolla, voimassa on Laplacen yhtälö Tämä voidaan suoraan integroida kaksi kertaa, jolloin 2 φ = d2 φ dy 2 = 0. (6.4) dφ dy = K 1 ja (6.5) a) y ) y! " 2 0 " 1 0 " 1 " 2 " Kuva 6.1: Yksiulotteinen potentiaaliproleema.
6.1. LAPLACEN JA POISSONIN YHTÄLÖT 75 Integroimisvakiot määritetään reunaehdoista φ = K 1 y + K 2. (6.6) φ(0) = φ 1 ja φ() = φ 2. (6.7) Ensimmäisen ehdon soveltaminen antaa suoraan arvoon K 2 = φ 1, minkä jälkeen toinen ehto antaa K 1 = (φ 2 φ 1 )/. Näinollen haluttu yksityisratkaisu on φ = φ 2 φ 1 y + φ 1. (6.8) Tämä on piirretty kuvaan 6.1. Sähkökenttä saadaan laskemalla gradientti E = φ = dφ dy u y = φ 2 φ 1 u y. (6.9) Johdelevyjen varauskatteet voidaan laskea ehdon σ = n D = εε 0 n E avulla. Tässä n on johdelevyn normaali. Alemmalla levyllä normaali on u y ja ylemmällä u y, joten varauskatteet ovat σ(0) = εε 0(φ 2 φ 1 ) ja σ() = εε 0(φ 2 φ 1 ). (6.10) 6.1.3 Koaksiaaliset sylinteripinnat Tarkastellaan kahta koaksiaalista pitkää sylinteripintaa, joiden välinen tila on täytetty eristeellä. Sisemmän sylinterin poikkileikkauksen säde on a ja ulomman. Sylinterit ovat potentiaaleissa φ a ja φ. Alueessa a < r < on voimassa Laplacen yhtälö, joka sylinterisymmetrisessä tilanteessa saa muodon 2 φ = 1 ( d r dφ ) = 0. (6.11) r dr dr Tämä voidaan integroida kaksi kertaa, jolloin ensiksi ja sitten dφ dr = K 1 r Sijoittamalla reunaehdot φ(a) = φ a ja φ() = φ saadaan mistä vähentämällä puolittain saadaan edelleen (6.12) φ = K 1 ln r + K 2. (6.13) φ a = K 1 ln a + K 2 (6.14) φ = K 1 ln + K 2, (6.15) K 1 ln a = φ a φ K 1 = φ a φ ln(a/) = φ φ a ln(/a). (6.16)
76 LUKU 6. SÄHKÖSTATIIKAN REUNAEHTOPROBLEEMAT Toinen integroimisvakio on K 2 = φ a K 1 ln a = φ a φ φ a ln(/a) ln a = φ a ln φ ln a. (6.17) ln(/a) Yksityisratkaisuksi saadaan siis φ = φ φ a ln(/a) ln r + φ a ln φ ln a ln(/a) Sähkökenttä saadaan gradientin avulla muotoon = φ φ a ln(/a) ln r a + φ a. (6.18) E = φ = dφ dr u r = φ φ a r ln(/a) u r. (6.19) Sylinterikuorten varauskatteet voidaan laskea samalla periaatteella kuin edellä tasolevyjen tapauksessa. Sisemmän sylinterin normaali on u r ja ulomman u r, joten varauskatteet ovat φ φ a σ(a) = u r D(a) = εε 0 (6.20) a ln(/a) sisäpinnalla ja ulkopinnalla. σ() = u r D() = εε 0 φ φ a ln(/a) 6.1.4 Samankeskiset pallopinnat (6.21) Tarkastellaan kahta samankeskistä pallopintaa, joiden välinen tila on täytetty eristeellä. Sisemmän pallon säde on a ja ulomman. Pallot ovat potentiaaleissa φ a ja φ. Alueessa a < r < on voimassa Laplacen yhtälö, joka pallosymmetrisessä tilanteessa saa muodon 2 φ = 1 ( d r 2 dφ ) = 0. (6.22) r 2 dr dr Tämä voidaan integroida kaksi kertaa, jolloin ensiksi ja sitten dφ dr = K 1 r 2 (6.23) φ = K 1 r + K 2. (6.24) Sijoittamalla reunaehdot φ(a) = φ a ja φ() = φ saadaan φ a = K 1 a + K 2 (6.25) φ = K 1 + K 2, (6.26)
6.2. KUVALÄHDEPERIAATE 77 mistä vähentämällä puolittain saadaan edelleen ( 1 K 1 a 1 ) = φ φ a K 1 = (φ φ a )a. (6.27) a Toinen integroimisvakio on Yksityisratkaisuksi saadaan siis K 2 = φ a + K 1 a = φ a + (φ φ a ) a φ = (φ φ a )a ( a)r Sähkökenttä saadaan gradientin avulla muotoon 6.2 Kuvalähdeperiaate = φ φ a a. (6.28) a + φ φ a a. (6.29) a E = φ = dφ dr u r = (φ φ a )a ( a)r 2 u r. (6.30) Edellä käsitellyissä esimerkeissä ratkaistiin potentiaali ja sähkökenttä integroimalla Laplacen yhtälö ja soveltamalla reuna- ja jatkuvuusehtoja integroimisvakioiden määrittämiseksi. Poissonin ja Laplacen yhtälöiden ratkaisujen yksikäsitteisyys tarjoaa toisen mahdollisuuden potentiaalikentän löytämiseksi. Kun halutaan määrittää potentiaalikenttä jossakin avaruuden alueessa, jota esimerkiksi rajoittaa jokin johtava pinta, riittää, että jollakin tavalla löydetään sellainen Poissonin tai Laplacen yhtälön ratkaisu, joka toteuttaa reunaehdot; tämä ratkaisu on juuri se jota haetaan. Tällainen ratkaisu voidaan usein helposti löytää korvaamalla johtavilla pinnoilla olevat (tuntemattomat) indusoituneet varaukset tutkittavan alueen ulkopuolelle asetetuilla kuvitteellisilla varauksilla eli kuvalähteillä. Jos onnistutaan löytämään sellaiset kuvalähteet, että ne yhdessä tutkittavan alueen sisällä olevien todellisten varausten kanssa aiheuttavat potentiaalin, joka toteuttaa proleeman reunaehdot, on tämä potentiaali proleeman ratkaisu. Tutkittavan alueen ulkopuolella tämä potentiaalikenttä ei ole sama kuin todellisten varausten aiheuttama kenttä, mutta tällä ei ole tutkittavan alueen kannalta merkitystä. Kuvalähdeperiaate on jo tavallaan tullut esille aiemmissa tuloksissa. Kappaleessa 3.2.3 nähtiin, että pallosymmetrisesti varatun pallon aiheuttama sähkökenttä pallon ulkopuolella on sama kuin pistevarauksen aiheuttama kenttä, kun pistevarauksen suuruudeksi valitaan pallon kokonaisvaraus. Näinollen pallon ulkopuolinen kenttä saadaan lasketuksi pallon keskipisteeseen asetetun kuvalähteen avulla. 6.2.1 Pistevaraus ja johtava taso Yksinkertainen esimerkki kuvalähteen käytöstä on äärettömän laajan johtavan tason yläpuolelle asetetun pistevarauksen aiheuttama kenttä. Johtava taso asettuu vakiopotentiaaliin. Tämä toteutuu siten, että tasolle indusoituu varauskate, jonka avulla
78 LUKU 6. SÄHKÖSTATIIKAN REUNAEHTOPROBLEEMAT potentiaali saa koko tasolla vakioarvon. Tason alapuolella sähkökenttä on nolla, joten siellä potentiaali on kaikkialla vakio. On siis vain laskettava potentiaalikenttä tason yläpuolisessa puoliavaruudessa. Kuvalähteen löytäminen on tässä tapauksessa yksinkertaista (kuva 6.2 a). Jos asetetaan tason alapuolelle pistevaraus, jonka suuruus on yläpuolella olevan pistevarauksen vastaluku ja etäisyys tasosta sama, on taso näin muodostuneen sähködipolin keskinormaalitaso, jossa sähkökenttä on aina kohtisuorassa tasoa vastaan. Näinollen potentiaali on tasolla vakio. Tällöin Poissonin yhtälön yksikäsitteisyydestä seuraa, että tason yläpuolella oleva todellinen pistevaraus ja alapuolella oleva kuvalähde yhdessä aiheuttavat tason yläpuoliseen puoliavaruuteen saman potentiaalikentän kuin pistevaraus ja tasolle indusoitunut varauskate. Sähkökenttä tason pinnalla voidaan helposti laskea kahden pistevarauksen kentän avulla (kuva 6.2 ). Kun r on tasolla mitattu kohtisuora etäisyys varauksen q ja kuvalähteen q välisestä yhdysjanasta, on sähkökenttä q E = 2 4πε 0 (r 2 + a 2 ) a (r 2 + a 2 ) u qa 1/2 z = 2πε 0 (r 2 + a 2 ) u z. (6.31) 3/2 Tämän avulla voidaan myös laskea tasolle indusoitunut varauskate qa σ i = ε 0 E z =. (6.32) 2π(r 2 + a 2 ) 3/2 Ilman kuvalähdeperiaatetta varauskatteen laskeminen olisi ongelmallista. Tämä esimerkki paljastaa kuvalähdeperiaatteen keskeisen idean. Jos avaruudessa sijaitsee tunnettuja varauksia ja johtavia pintoja, pinnoille syntyy indusoituja varauksia. Potentiaalikenttä syntyy kaikkien näiden varausten (ja mahdollisten polarisaatiovarausten) yhteisvaikutuksesta. Indusoidut varaukset riippuvat siitä, millainen kenttä on ja toisaalta indusoidut varaukset vaikuttavat kenttään. Näinollen indusoituja varauksia ei tunneta ennen kuin kenttä on tunnettu. Coulomin lain avulla tällaisen proleeman ratkaiseminen ei onnistu, mutta Poissonin ja Laplacen yhtälöiden ominaisuuksien perusteella se saattaa onnistua, jos kuvavaraukset osataan arvata oikein. a) ) z - - - - - - - - - - - - - + - a a q a + r - - - - - - - - - - -a - -q (r 2 + a 2 ) 1/2 E Kuva 6.2: Pistevarauksen ja johtavan tason aiheuttama kenttä.