Sarjat ja integraalit Peter Hästö 11. maaliskuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos
Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 2 / 8
Esimerkki 1 Selvittäkää ryhmässä, mikä on sarjan k=1 1 k(k + 1) summa. Älkää käyttäkää luentomonistetta (semminkin, kun siinä esitetty ratkaisu on väärä ). Apukysymyksiä: 1. Mitä kysymys tarkoittaa? Mitä siinä pyydetään tekemään? 2. Mitä aikaisempia kokemuksia sinulla on tämän tyyppisistä tehtävistä? Voiko niistä päätellä jotain analogian avulla? Viiden minuutin kuluttua vihje. Kaikkien pitäisi saada tämä ratkaistua, ratkaisu ei vaadi mitään kummallisia tietoja! Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 3 / 8
Esimerkki 1 Selvittäkää ryhmässä, mikä on sarjan k=1 1 k(k + 1) summa. Älkää käyttäkää luentomonistetta (semminkin, kun siinä esitetty ratkaisu on väärä ). Vihje: Laske ensin summan arvo pienillä äärettömyyden arvoilla, ts. 1 k=1 1 2 k(k + 1), k=1 1 3 k(k + 1), k=1 1 3 k(k + 1), k=1 1 k(k + 1). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 4 / 8
Havaintoja viime vuodelta Sarjojen perusteissa epäselvyyksiä. Mitä tarkoittaa Mathematicians talk big and think small 1 x k? k=0 1 Cuoco, Goldenberg, Mark (1996): Habits of Mind Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 5 / 8
Havaintoja viime vuodelta Sarjojen perusteissa epäselvyyksiä. Mitä tarkoittaa Mathematicians talk big and think small 1 x k k=0 Päteekö, että = x k y k k=0 x? k k=0 Ajattele: x 0 y 0 + x 1 y 1 = x 0 + x 1 y 0 + y 1. x k? k=0 1 Cuoco, Goldenberg, Mark (1996): Habits of Mind Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 5 / 8
Terminologiaa Mitkä ovat esimerkissä 1 termit, osasummat, osasummien raja-arvo, sarja, sarjan suppeneminen (vrt. Määritelmä 2.1.1). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 6 / 8
Keskeiset tulokset, 2.1 Termien raja-arvo on 0 (Lemma 2.1.4) Geometrinen sarja (Lause 2.1.12) Potenssisarja (Lause 2.1.14) Nämä kaksi ovat perussarjoja, joiden avulla muut suppenemiset päätellään. Opettele ne. Ja kun pitää joku esimerkki keksiä niin lähden näistä liikkeelle. (Vrt. majoranttiperiaate, alla) Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 7 / 8
Keskeiset tulokset, 2.2 Majoranttiperiaate positiivistermisille sarjoille (Lause 2.2.4) Kaikki muut testit (suhdetesti, juuritesti, vertailuperiaate) seuraavat tästä ja perussarjoista. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 8 / 8
Keskeiset tulokset, 2.3 Jos sarja ei ole positiivisterminen, siitä tehdään positiivistreminen itseisarvoilla. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 9 / 8
Lauseen lukeminen Toulminin argumentointimalli: grounds warrant (backing) claim Analysoidaan Lauseen 2.3.11 todistusta: selvittetään mitä siinä käytetyt käsitteet ja merkinnät tarkoittavat tarkastetaan joka askel, mitä siinä tehdään, ja miksi päättely pätee tämän jälkeen miettitään mistä todistuksen idea tulee, ja miten siihen on päädytty. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 10 / 8
Lauseen lukeminen Toulminin argumentointimalli: grounds warrant (backing) claim Analysoidaan Lauseen 2.3.11 todistusta: selvittetään mitä siinä käytetyt käsitteet ja merkinnät tarkoittavat tarkastetaan joka askel, mitä siinä tehdään, ja miksi päättely pätee tämän jälkeen miettitään mistä todistuksen idea tulee, ja miten siihen on päädytty. Selvittäkää mitkä ovat luvut k 1, k 2 ja k 3 esimerkissä 2.3.13 (siis mikä on muuttujan numeroarvo) kun luvun 2009 korvaa luvulla 2. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 10 / 8
Luvun 2 sisältö 1. Sarjan suppenemisen määritelmä; x k ja k p karakterisoinnit 2. Majoranttiperiaate; suhdetesti; juuritesti; vertailuperiaate 3. Itseisen suppenemisen määritelmä; sarjan uudelleen järjestely 4. Vuorottelevat sarjat ja Leibnizin lause. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta 2015 11 / 8