M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän F(x, y, z) xyi + z j vuo ulos monitahokkaasta, jonka tahkot muodostuvat koordinaattiakselien määräämistä tasoista sekä tasosta x + y + z. Lasketaan vuo monitahokkaan jokaisen sivun läpi erikseen ja summataan nämä yhteen. Vuo läpi yhdestä sivusta on Φ i i F n d, missä i on kyseinen sivu ja n on sivun normaalivektori. 1 : x, n 1 i, F n 1 x : y, n j, F n y z : z, n k, F n z Taso 4 : x + y + z voidaan parametrisoida muotoon r(x, y) xi + yj + ( x y)k, jolloin n 4 i + j + k.tällöin F n 4 xy + z. Vuo pinnan läpi on Vuo pinnan 4 läpi on Φ 4 Φ z x Nyt vuo koko pinnan läpi on Φ z dx dz xy + ( x y) dy dx F n d 4 i1 (z z ) dz 4. x 6 x + 8 dx. i F n i d 4 Tehtävä : Laske vektorikentän F(x, y, z) xi + yzj + z k vuo ulos ympyrälieriöstä {(x, y, z) R : x + y 4, z [, ]} a) Gaussin lauseen avulla, b) suoraan vuointegraalin määritelmästä. 1
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 Kuva 1: Tehtävä 1&4: kyseessä oleva kappale a) Vuo kappaleen pinnan läpi voidaan laskea Gaussin lauseella seuraavasti: F N d F dv (.1) Kentän F(x, y, z) xi + yzj + z k divergenssi on F + z + z z +. (.) Kappale on z-akselin suuntainen sylinteri, jonka pohjan säde r. ylinterin tilavuuden yli voidaan siis integroida sylinterikoordinaateissa π (z + )r dzdrdθ (.) 9 π r dr (.4) 78π. (.5) b) Vuo kappaleen pinnan läpi voidaan laskea myös suoraan vuointegraalin määritelmästä laskemalla vuo erikseen kappaleen eri pintojen läpi. F N d F N d + F N d + F N d. (.6) pohja katto vaippa Pohja ja katto ovat kiekkoja, joilla säde r. Lisäksi katto on korkeudella z ja pohja z. Vaippa on vakio etäisyydellä origosta oleva sylinterin pinta, jossa z. Näistä saadaan
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 sylinterin eri pinnoille parametrisaatiot r pohja (r, θ) r cos(θ)i + r sin(θ)j + k, r [, ], θ [, π], (.7) r katto (r, θ) r cos(θ)i + r sin(θ)j + k, r [, ], θ [, π], (.8) r vaippa (θ, z) cos(θ)i + sin(θ)j + zk, z [, ], θ [, π]. (.9) ja pintojen normaalit ovat vastaavasti n pohja r pohja r n katto r katto r n vaippa r pohja z Nyt voidaan laskea vuot pintojen läpi. r pohja θ r katto θ r vaippa θ rk (.1) rk (.11) cos(θ)i + sin(θ)j. (.1) V uo pohja V uo katto V uo vaippa π π π π π (r cos(θ)i + r sin(θ) j + k) rk drdθ (.1) (r cos(θ)i + r sin(θ) j + k) rk drdθ (.14) 9r drdθ 6π (.15) (4 cos(θ)i + z sin(θ)i) (cos(θ)i + sin(θ)j) dzdθ (.16) (8 cos (θ) + 4z sin (θ)) dzdθ 4π (.17) V uo pohja + V uo katto + V uo vaippa + 6π + 4π 78π (.18) Tehtävä : Laske gradientti, divergenssi ja roottori, kun f(x, y, z) x sin y + y x y cos z ja F(x, y, z) x sin y i + y j x y cos z k. Lasketaan funktion f gradientti: f (sin y xy cos z)i + (x cos y + y x cos z)j + x y sin z k. Gradientti kertoo skalaarifunktion suurimman kasvun suunnan. Lasketaan sitten funktion F divergenssi (lähteisyys) ja roottori (pyörteisyys), tässä järjestyksessä: F sin y + y + x y sin z
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 i j k F x y z x sin y y x y cos z x cos z i + xy cos z j x cos y k. Vektorikentän divergenssinä saatava skalaarikenttä kertoo, onko vektorikentässä lähteitä tai nieluja (joista/joihin kenttä "virtaa", vrt. fysikaaliset esimerkit mm. lämmön johtumiseta kappaleessa tai pistevarauksen sähkökentästä). Vektorikentän roottori puolestaan kertoo, onko vektorikentässä pyörteitä ja pyörimisen suunnan. Vektori F on pyörteen pääakselin suuntainen. Loppuviikon tehtävät Tehtävä 4: Määritä Gaussin lauseen avulla vektorikentän F(x, y, z) xyi + z j vuo ulos monitahokkaasta, jonka tahkot muodostuvat koordinaattiakselien määräämistä tasoista sekä tasosta x + y + z (alkuviikolla tämä laskettiin ilman Gaussin lausetta). Gaussin lauseen mukaan vektorikentän vuo kappaleen pinnan läpi voidaan laskea kentän divergenssin integraalina kappaleen tilavuuden yli. F dv F N d (.19) Nyt kappaletta rajoittavat koordinaatiakselien määräämien tasojen lisäksi taso x + y + z. Kappale voidaan siis määritellä esimerkiksi seuraavalla tavalla Kentän divergenssi: {(x, y, z) R x, y x, z x y}. (.) Nyt voidaan laskea vektorikentän vuo pinnan läpi x x y x F y. (.1) y dzdydx (.) y yx y dydx (.) ( x) x + x x ( x) dx (.4) 4 + 16 ( 8 + + + + 4 ). (.5) Tehtävä 5: Määritä vektorikentän F(x, y, z) zi + y j + z k vuo alaspäin suunnistetun pinnan läpi, kun on pinnan z 4 x y se osa, joka sijaitsee xy-tason yläpuolella. 4
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 (Voidaan laskea myös suoraan vuointegraalina ilman Gaussin lausetta.) Gaussin lauseen mukaan vuo ulospäin pintojen z 4 x y ja z rajoittamasta kappaleesta (merkitään sitä ja sen pintaa ) on F dr F dv. Kentän F divergenssiksi saadaan: F 4y + z Kappaleen pohja on tason z kiekko, jonka reunakäyrä on 4 x y eli x + y 4. Kantena on pinta z 4 x y. Gaussin lauseella saadaan kokonaisvuoksi kappaleen pinnan läpi F dr F dv 4y + z dv x +y <4 x +y <4 4 x y 4y + z dzda [4y(4 x y ) + (4 x y ) ] da aatu pinta-alaintegraali on kätevintä laskea sylinterikoordinaateissa. Tällöin x + y r ja y r sin(θ). Rajat määräytyvät integrointialueesta, joka on -säteinen origokeskinen kiekko. Rajat ovat siis (r, θ) [, ] [, π) Integraali saa nyt muodon Φ kok 16 16 π π π π r(4r sin(θ)(4 r ) + (4 r ) ) drdθ 16r sin(θ) 4r 4 sin(θ) + r(4 r ) drdθ π r sin(θ)drdθ 4 sin(θ)dθ r dr 4 π r 4 sin(θ)drdθ + sin(θ)dθ r 4 dr + π π r(4 r ) drdθ dθ r(4 r ) dr inifunktion jaksollisuuden nojalla (tahi kylmästi laskemalla) kaksi ensimmäistä termiä on, jolloin kokonaisvuo pinnan läpi ulospäin on Φ kok π r(4 r ) dr ( π 1 4 1 ( ) 4 r 4) 64π. 5 r
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 Jos tästä nyt vähennetään kentän vuo ulospäin (alas) kappaleen pohjasta, niin jäljelle jää merkkiä vaille kysytty vuo. Pohjan ulkonormaali on k, joten ( ) F dr F dr F dr kansi pohja 64π + (zi + y j + z k) ( k) da pohja 64π + ( z )da 64π, pohja sillä kappaleen pohjalla xy-tasossa z. Kysytty vuo on siis 64π. Kuva : Tehtävä 5: tarkasteltava pinta ja vektorikenttä. Tehtävä 6: Käyttäen Gaussin lausetta laske kentän F vuo ulos läpi pallopinnan x + y + z a, kun a) F(x, y, z) y sin(z)i + x cos(z)j + xyk b) F(x, y, z) xy i + (x y + xz )j + z k a) Vektorikentän divergenssi on F x [y sin(z)] + [ x cos(z) ] + [xy], y z 6
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 joten Gaussin lauseen nojalla kokonaisvuo a-säteisen pallopinnan läpi on F d F dv dv. b) Vektorikentän divergenssi on F [ ] xy + [ (x y + xz ) ] + [ ] z x y z y + x + z r, jossa viimeinen yhtäsuuruus saadaan siirtymällä pallokoordinaatistoon. Nyt Gaussin lauseen nojalla kokonaisvuo a-säteisen pallopinnan läpi on F d F dv r dv Palautettavat tehtävät: π π a π r r sin(φ) drdφdθ π a dθ sin(φ) dφ r 4 dr [ ] 1 a π [ cos(φ)] π φ 5 r5 1πa5 5 Tehtävä 7: Etsi vektorikentän F(x, y, z) sin(x)i + cos(y)j + e xyz k divergenssi ja roottori. Vektorikentän F divergenssi on F x [sin(x)] + y [cos(y)] + z [exyz ] cos(x) sin(y) + xye xyz. r Vektorikentän roottori on F i j k x y z sin(x) cos(y) e xyz xzexyz i yze xyz j. 7
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 Tehtävä 8: Laske vektorikentän F(x, y, z) (xz y)i + (y + yz)j (x + z )k vuo ylöspäin läpi pallopinnan x + y + z a ensimmäisen oktantin (x, y, z ). Määritetään Gaussin lauseen avulla kokonaisvuo ulos tarkasteltavan pallopinnan oktantin ja koordinaattitasojen rajaaman kappaleen pinnan läpi. Kysytty vuo voidaan tällöin määrittää vähentämällä kokonaisvuosta vuot kolmen muun pinnan läpi. Olkoon tarkasteltava kappale ja sen pinta. Pinta koostuu osista P, P xy, P xz ja P yz siten, että P yz : x, n yz i, F n yz x y P xz : y, n xz j, F n xz y P xy : z, n xy k, F n xy z x, ja P on tarkasteltava pallopinta. Kokonaisvuo kappaleesta ulos on tällöin F N d F N d + F n yz d + F n xz d + F n xy d. P yz P xz P xy P Koska vuo xz-tasolla olevan tahkon läpi on, saadaan kysytylle vuolle kaava F N d F N d F n xy d F n yz d. P P xy P yz Lasketaan vektorikentän F divergenssi: F x [xz y] + y [y + yz] + [ ] x z z z + + z z. Nyt kokonaisvuo kappaleesta ulos voidaan määrittää Gaussin lauseen avulla: F N d F dv dv 1 8 V pallo πa. Määritetään vuot ulospäin muiden pintojen läpi. xy-tasolla: F n xy d P xy x da, P xy 8
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 mikä voidaan laskea napakoordinateissa, sillä P xy on a-säteisen kiekon I neljännes (x, y ). aadaan siis π a F n xy d r( r cos(θ)) drdθ P xy π cos(θ) dθ [ [sin(θ)] π 1 θ a. Vastaavasti yz-tasolla olevan pinnan läpi kulkee vuo F n yz d P yz y da P yz π 1 a. a a r r dr ] a r r (r cos(θ)) drdθ Huomaa, että nyt θ on positiivisesta y-akselista vastapäivään laskettu kulma ja siten y r cos(θ). Kysytty vuo pallopinnan P läpi ylöspäin on täten: F N d F N d F n xy d F n yz d. P P xy P yz πa a 1 a π 4 a. Tehtävä 9: Määritä Gaussin divergenssilausetta käyttäen vektorikentän F(x, y, z) xi + yj + zk vuo ulos pallosta (x 1) + (y ) + (z ) 9. Vektorikentän F divergenssi on F x [x] + y [y] + z [z] Gaussin divergenssilauseen nojalla kentän vuo ulos läpi -säteisen pallopinnan saadaan integroimalla kentän divergenssiä kuulan yli. aadaan siis F d F dv dv, 9
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 missä dv V pallo on tarkasteltavan -säteisen pallon tilavuus. iispä kysytty kokonaisvuo ulos pallosta on F d V pallo 4π 18π 1