Esim. Nopeus v, v, kiihtyvyys a ja a kun paikka on r = sin t i + cos t j + k Nopeus on nyt. v = dr dt = ṙ = dx(t) Vauhti puolestaan on.

Transkriptio

1 7. Vektorit ja differentiaalilaskenta 7.1 Yhden muuttujan vektorifunktiot Liikkuvan kappaleen paikka avaruudessa muuttuu ajan kuluessa. Matemaattisesti voimme ilmaista tämän sanomalla, että kappaleen paikkaa kuvaava radiusvektori r on ajan t funktio r(t), ts. vektorin r(t) x(t)i + y(t)j + z(t)k komponentit x, y ja z riippuvat yhdestä muuttujasta t. Samoin yhden muuttujan, ajan, vektorifunktioita ovat myös kyseisen kappaleen nopeus ja kiihtyvyys. Usein puhutaan lyhyesti vain vektorifunktioista kun tarkoitetaan yhden muuttujan vektoriarvoisia funktioita Vektorifunktion derivaatta Olkoon A(u) jokin yhden muuttujan u vektorifunktio A(u) A x (u)i + A y (u)j + A z (u)k. ) K Kuva 7.1 Vektorin derivaatta ) K, K ) K ) K, K Vektorifunktion derivaatta määritellään analogisesti skalaarifunktion derivaatan kanssa eli da(u) lim u 0 A(u + u) A(u). (7.1) u Kirjoitetaan määritelmä (7.1) komponenteittain, da(u) [ Ax (u + u) A x (u) lim i u 0 u + A y(u + u) A y (u) j u + A ] z(u + u) A z (u) k u da x(u) i + da y(u) j + da z(u) k, jolloin nähdään, että vektorifunktio derivoidaan derivoimalla sen komponentit. Esim. Nopeus v, v, kiihtyvyys a ja a kun paikka on r sin t i + cos t j + k Nopeus on nyt v ṙ dx(t) cos t i sin t j. Vauhti puolestaan on v v i + dy(t) cos 2 t + sin 2 t 1. Kiihtyvyys saadaan derivoimalla nopeus, ja sen itseisarvo on j + dz(t) a dv v..ṙ sin t i cos tj, a a sin 2 t + cos 2 t 1. Derivaatan ominaisuuksia Olkoot A(u) ja B(u) muuttujan u vektorifunktioita. Lasketaan pistetulon A B derivaatta: da B d (A xb x + A y B y + A z B z ) da x B db x x + A x + da y B db y y + A y + da z B db z z + A z ( dax i + da y j + da ) z k (B x i + B y j + B z k) +(A x i + A y j + A z k) ( dbx i + db y j + db ) z k da B + A db. Näemme, että pistetulon derivointiin soveltuu skalaarifunktioista tuttu derivointisääntö (2.17) kunhan vain korvataan tavallinen tulo pistetulolla. Yleensäkin on helppo todeta, että luonnollisella tavalla modifioit tutut säännöt ovat voimassa myös vektoreille: d (αa + βb) αda d(φa) d(a B) d(a B) + β db dφ A + φda da B + A db da B + A db. k (7.2) 48

2 6 + Tässä α ja β ovat mielivaltaisia skalaarivakioita ja φ(u) mielivaltainen derivoituva muuttujan u skalaarifunktio. Analogisesti skalaarifunktion differentiaalin kanssa määrittelemme vektorifunktion differentiaalin: da i da x + j da y + k da z. Koska vektorin komponentit A i ovat nyt vain yhden muuttujan u funktioita, ovat niiden differentiaalit muotoa ja vektorin A(u) differentiaali niin ollen da i ( dax da i + da y j + da ) z k Avaruuskäyrät Tangentti Olkoon r(u) x(u)i + y(u)j + z(u)k da. (7.3) muuttujasta u riippuva paikkavektori. Muuttujan u käydessä läpi arvoalueensa vektorin r kärki piirtää käyrän kolmiulotteisessa avaruudessamme. Derivaatta on konstruktionsa perusteella (kuva 7.1) ilmeisestikin tämän käyrän pisteeseen r(u) piirretyn tangentin suuntainen. Käyrän tangentin suuntainen yksikkövektori T on niin ollen H H K /. (7.4) on käyrän tangentin suuntainen. Tämän vektorin pituus on (2t) (4t 6) 2, joten yksikkötangentti on T / 2ti + 4j + (4t 6)k (2t) (4t 6). 2 Erikoisesti pisteessä, missä t 2, yksikkötangentti on T 4i + 4j + 2k i j k. Koska derivaatta on yksikkötangentin suuntainen, niin toki silloin myös differentiaali on yksikkötangentin suuntainen. Voimme siis kirjoittaa T missä olemme symbolilla merkinneet differentiaalin pituutta dx 2 + dy 2 + dz 2. Voimme siis kirjoittaa yksikkötangentin myös muodossa T. (7.5) Kaaren pituus Differentiaali oli infinitesimaalisen muutoksen suuruus. Koska muutos oli käyrän tangentin suuntainen, on siten käyrän kaaren pituuden s infinitesimaalinen muutos. Kuva 7.2 Käyrän tangentti Esim. Käyrän x t 2 + 1, y 4t 3, z 2t 2 6t yksikkötangentti kun t 2 Käyrän piirtää vektorin I I H r xi + yj + zk (t 2 + 1)i + (4t 3)j + (2t 2 6t)k kärki kun t käy läpi kaikki arvonsa (kun muuta ei ole sanottu, arvoalueena on yleensä koko reaalilukualue). Paikkavektorin derivaatta i d (t2 + 1) + j d (4t 3) + k d (2t2 6t) 2ti + 4j + (4t 6)k Kuva 7.3 Käyrän kaaren pituus Käyrän C kaaren pituus s saadaan summaamalla pitkin käyrää laskettuja differentiaalisia kaaren pituuksia. Formaalisti voimme ilmaista tämän, kuten s. (7.6) C 49

3 Käyrän ulottuessa äärettömyyteen on yleensä on myös spesifioitava integroinnin alkukohta eli kaaren pituuden nollakohta. Kuvassamme tämä voisi olla vaikkapa piste s 0. Laskettaessa kaaren pituutta kaavalla (7.6) integroinnin suunnaksi otetaan differentiaalin suunta eli tangentin suunta. Pituus s siis kasvaa kun edetään käyrällä tangentin osoittamaan suuntaan. Jos nyt käyrän yhtälö on annettu muodossa r r(u), niin tangentti osoittaa vektorin r(u + ) r(u) suuntaan eli suuntaan johon u kasvaa. Pituus s on siten muuttujan u kasvava funtio ja derivaatta silloin positiivinen. Differentiaali oli määritelty itseisarvona, joten on, kun > 0. Toisaalta derivaatta oli positiivinen, joten voimme kirjoittaa. (7.7) Jos ratkaisemme relaatiosta s s(u) muuttujan u pituuden s funktiona, u u(s), niin voimme pitää käyrää piirtävää vektoriakin kaaren pituuden funktiona: r r(s). Esim. Käyrän x sin t, y cos t, z 0 kaaren pituus lähtien pisteestä, missä t 0 Käyrän piirtää vektori r i sin t + j cos t + 0k i sin t + j cos t. Differentiaali on (i cos t j sin t) ja differentiaali siten cos 2 t + sin 2 t 1, kun etenemme muuttujan t kasvavaan suuntaan ( > 0). Kaaren pituus on siis s(t) C t 0 t. Kaarevuussäde Avaruuskäyrän r r(s), s kaaren pituus, yksikkötangentti on kaavan (7.5) mukaisesti T. Vektori T on sekin kaaren pituuden s funktio, joten voimme laskea derivaatan Olkoon nyt N vektorin missä on merkitty Voimme siis kirjoittaa d2 r 2. N 1 κ suuntainen yksikkövektori, κ. (7.8) κn. (7.9) Suuretta κ sanotaan käyrän kaarevuudeksi ja sen käänteisarvoa ρ 1 κ 1 (7.10) käyrän kaarevuussäteeksi. Yksikkötangentti T on nimensä mukaisesti yksikön mittainen, joten on T 2 T T T 2 1. Derivoidaan relaatio T T 1 kaaren pituuden suhteen, jolloin saadaan d (T T) T + T 2κT N 0, 2T kun on sijoitettu lauseke (7.9). Päädymme yhtälöön T N 0, (7.11) eli vektori N on kohtisuorassa tangenttia T vastaan ja siten myös kohtisuorassa ko. avaruuskäyrää vastaan. Tämän vuoksi vektoria N sanotaan käyrän päänormaaliksi. Esim. Käyrän x 3 cos t, y 3 sin t, z 4t yksikkötangentti, päänormaali, kaarevuus ja kaarevuussäde Käyrän r i3 cos t + j3 sin t + k4t eräs tangentti on i3 sin t + j3 cos t + k4. Normitetaan tämä, ts. muodostetaan yksikön mittainen saman suuntainen vektori jakamalla vektori pituudellaan. 50

4 Tangentin pituus on ( 3 sin t) 2 + (3 cos t) (sin 2 t + cos 2 t) Yksikkötangentti on siten T Yksikkötangentiksi saatiin siis i3 sin t + j3 cos t + k4 i 3 5 sin t + j3 5 cos t + k4 5. T i 3 5 sin t + j3 5 cos t + k4 5. Derivoidaan tämä muuttujan t suhteen: i3 5 cos t j3 sin t. 5 Toisaalta, koska kaaren pituus s on jokin muuttujan t funktio, voimme ketjusäännön perusteella kirjoittaa joten, / Aikaisemmin (kaava (7.7)) totesimme, että kaaren pituuden derivaatta käyrää parametrisoivan muuttujan suhteen noudattaa kaavaa eli / Määritelmän (7.9) mukaan on siis κn / i 3 5 cos t j 3 5 sin t 5 i 3 25 cos t j 3 sin t. 25 Koska N on yksikön mittainen, on voimassa κ N κ, κ 0. Kaarevuus on silloin ( ) 2 3 κ (sin 2 t + cos 25 2 t) 3 25 ja kaarevuussäde ρ 1 κ Esim. Ympyräliike Ajan t funktiona massapisteen paikkavektori olkoon r r(t). Nopeus on tällöin v ṙ. Kun piste kulkee pitkin origokeskeisen R säteisen ympyrän kehää, on vektorin r pituus vakio R: r R tai Tämän derivointi antaa r r R 2. 2ṙ r 2v r 0. Nopeus on kohtisuorassa radiusvektoria r vastaan (eli kohtisuorassa ympyrän sädettä vastaan, ympyrän tangentin suuntainen). Tarkastellaan erikoisesti sellaista xy-tason liikettä, missä r ir cos ωt + jr sin ωt kun ω on vakio. Nyt r R 2 (cos 2 ωt + sin 2 ωt) R, joten kyseessä on ympyräliike. Nopeus on v ṙ irω sin ωt + jrω cos ωt. Kuten todettiin, tämä on kohtisuorassa paikkavektoria r vastaan. Vauhti on nyt v (ωr) 2 (cos 2 ωt + sin 2 ωt) ωr, joten liikkeen vauhtikin on vakio. Kiihtyvyys taas on a. v irω 2 cos ωt jrω 2 sin ωt. Vauhdin vakioisuudesta (v v ω 2 R 2 vakio) seuraa että kiihtyvyys on kohtisuorassa nopeutta vastaan (ja siten joko radiusvektorin suuntainen tai sille vastakkaissuuntainen). Itseasiassa näemme, että a ω 2 r. Kiihtyvyyden suuruus on sekin vakio, sillä a ω 2 r ω 2 R. 51

5 7.2 Gradientti, divergenssi, roottori Osittaisderivaatta ja kentät Olkoon f koordinaattipisteen r (x, y, z) funktio, f(r) f(x, y, z). funktion osittaisderivaattaa esim. muuttujan x suhteen merkitään f(r) f(x, y, z) x f(r) ja se lasketaan derivoimalla x:n suhteen pitämällä muut muuttujat vakiona. Esim. Olkoon f(x, y, z) xyz + x 2 y. Nyt f f yz + 2xy, y xz + x2, f xy Avaruudessa (x, y, z) R 3 tai sen osajoukossa määriteltyä funktiota kutsutaan usein kentäksi. Jos f on reaaliluku, f(r) R, kyseessä on skalaarifunktio eli skalaarikenttä, jos taas funktio on vektori, v(r) iv x (r) + jv y (r) + kv z (r) R 3, kyseessä on vektorifunktio eli v ektorikenttä. Esim. skalaarikenttiä (-funktioita) ovat ilman paikallinen lämpötila T (r), paine p(r), sähkövarauksen tiheys ρ(r). Vektorikenttiä ovat esim. kaasun (nesteen) virtausnopeus v(r), sähkökenttä E(r), sähkövirran tiheys J(r)... Nabla Määritellään derivaattavektori nabla: i + j y + k i ê i (7.12) i Nabla on siis yhtä aikaa derivaatta ja vektori. Sillä voidaan operoida skalaari- tai vektorifunktioihin: f(r) gradientti (vektori) v(r) divergenssi (skalaari) v(r) roottori (vektori) Gradientti Olkoon φ(r) skalaarifunktio. Funktion gradientti on vektorifunktio φ φ i + φ y j + φ k i ê i φ r i (7.13) Graafisesti: gradientti f(r) on vektori, joka on kohtisuorassa pintaa f(r) vakio vastaan, ja f kertoo kuinka nopeasti funktio muuttuu ko. suuntaan. Vielä havainnollisemmin: kartta ja korkeuskäyrät (kahdessa ulottuvuudessa): olkoon φ(x, y) maaston korkeus koordinaattipisteessä (x, y). Nyt yhtälö φ(x, y) vakio määrittelee korkeuskäyrän, jossa korkeus on vakio, ja φ osoittaa suuntaan mihin φ kasvaa jyrkimmin. φ :n pituus on korkeuden kulmakerroin φ:n suuntaan. φvakio φvakio Kuva 7.4 Gradientti φ φ tangenttitaso Todistus: tehdään pieni muutos r r + r. Nyt f(r + r) f(x + x, y + y, z + z) f(r) + f f f x + y + y z + O( 2 ) f(r) + ( f) ( r) Pistetulosta näkee, että funktion muutos f f(r + r) f(r) on suurin, kun r f on 0, kun r f Siis: pinnan f vakio yksikkönormaali on f/ f pinnan f vakio tangenttitaso on vektoria f kohtisuoraan funktion f kasvunopeus suuntaan ˆn on ˆn f (ˆn yksikkövektori) Näistä viimeisimmän näkee valitsemalla yllä r ˆn. Esim. Funktion φ(x, y, z) 3x 2 y y 3 z 2 gradientti φ pisteessä (1, 2, 1) Gradientti mielivaltaisessa pisteessä (x, y, z) on ( φ i + j y + k ) (3x 2 y y 3 z 2 ) i (3x2 y y 3 z 2 ) + j y (3x2 y y 3 z 2 ) +k (3x2 y y 3 z 2 ) 6xyi + (3x 2 3y 2 z 2 )j 2y 3 zk, joten pisteessä (1, 2, 1) se on φ 6(1)( 2)i + (3(1) 2 3( 2) 2 ( 1) 2 )j 2( 2) 3 ( 1)k 12i 9j 16k. Suunnattu derivaatta Edellisestä esimerkistä yleistäen voimme todeta, että skalaarikentän φ muutos pituusyksikköä kohti suunnassa 52

6 n, n 1, on φ n. Sanomme, että suure n φ ( φ) n, n 1 (7.14) on funktion φ suunnattu derivaatta (suuntaan n). Kuten olemme nähneet, suunnattu derivaatta on suurimmillaan gradientin suunnassa. Huom: voimme kirjoittaa derivaattaoperaattorin suuntaan n n n i r i i Jos esim. n i, saamme tavallisen osittaisderivaatan x:n suuntaan. Esim. Funktion φ x 2 yz + 4xz 2 derivaatta pisteessä (1, 2, 1) suuntaan 2i j 2k Gradientti pisteessä (1, 2, 1) on φ (2xyz + 4z 2 )i + x 2 zj + (x 2 y + 8xz)k (2(1)( 2)( 1) + 4( 1) 2 )i +(1) 2 ( 1)j + ((1) 2 ( 2) + 8(1)( 1))k 8i j 10k. Vektorin A 2i j 2k suuntainen yksikkövektori on a A A 2i j 2k i 1 3 j 2 3 k. Tähän suuntaan laskettu derivaatta on a φ φ a (8i j 10k) ( 2 3 i 1 3 j 2 3 k) Divergenssi Olkoon nyt v(r) (v x (r), v y (r), v z (r)) vektorikenttä. Vektorikentän divergenssi on v) (i + j y + k ) (iv x + jv y + kv x ) v x + v y y + v z Graafisesti: vektorikentän divergenssi on (yksikkötilavuudessa) syntyvän vuon (vesi!) määrä: v > 0, lähde (source)) v < 0, nielu (sink) Jos v 0 koko määrittelyjoukossa, sanotaan että vektorikenttä v on lähteetön Katsotaan esimerkkinä nesteen virtausta tarkemmin. Jokaisessa avaruuden pisteessä (ajattelemme nestettä jatkuvasti jakautuneena aineena unohtaen sen atomaarisen rakenteen) r (x, y, z) neste virtaa paikasta riippuvalla nopeudella v v(r) v x(x, y, z)i + v y(x, y, z)j + v z(x, y, z)k. Jos nesteen massatiheys on ρ (kg/m 3 ), massavirtatiheys µ ((kg/m 3 )(m/s)kg/(m 2 s)) pisteessä r on µ ρv. N O N N O Kuva 7.5 Divergenssin tulkinta Katsotaan, mitä massavirralle tapahtuu pisteen r infinitesimaalisessa ympäristössä. Kuvitellaan tätä tarkoitusta varten ko. piste sijoitetuksi sellaisen suorakulmaisen särmiön keskelle, jonka särmien pituudet ovat dx, dy ja dz. Virta µ tuo särmiön pohjan kautta materiaa virtatiheydellä µ z(x, y, z dz/2), joten kaiken kaikkiaan pohjan läpi virtaa aikayksikössä särmiöön materiaa määrä µ z(x, y, z dz/2)dx dy (kg/s). Vastaavasti kannen läpi poistuu aikayksikössä materiamäärä µ z(x, y, z + dz/2)dx dy. Näiden virtausten seurauksena särmiön nestemäärän vähenemä aikayksikössä on dm z µ z(x, y, z + dz/2)dx dy µ z(x, y, z dz/2)dx dy [ µz(x, y, z) µ z(x, y, z) + [ µ z(x, y, z) + dz 2 µz(x, y, z) ] dx dy ( dz 2 )] dx dy µz dx dy dz. Differentiaalien tulo dx dy dz on infinitesimaalisen särmiömme (infinitesimaalinen) tilavuus dv dx dy dz. Pohjan ja pinnan läpi suuntautuvien virtausten aiheuttama massan nettomuutos (nettopoistuma) aikayksikössä tilavuudessa dv on siten dm z µz dv. Vastaava lasku osoittaa, että xz- ja yz-suuntaisten pintojen läpi kulkevat virrat aiheuttavat aikayksikössä nettopoistumat dm y µy y dv dm x µx dv. Massan kokonaismuutos aikayksikössä tilavuusalkiossa dv on siten dm dm x + dm y + dm z ( ) µx + µy y + µz dv. 53

7 Vektorimerkintää käyttäen voimme kirjoittaa tämän muotoon ( dm i + j y + k ) (µ xi + µ yj + µ zk)dv. Kun huomaamme, että skalaaritulon ensimmäinen tekijä on operaattori, saamme tämän kompaktimpaan muotoon dm µ dv. Massatieyden muutos dm/dv pisteessä (x, y, z) dm/dv µ voi aiheutua mm. siitä, että neste puristuu kokoon tai laajenee, jolloin ρ t 0, ko. pisteeseen ruiskutetaan lisää nestettä eli pisteessä on lähde tai ko. pisteestä poistetaan nestettä eli pisteessä on nielu. Massatiheyden muutos (pienennys) voidaan siten ilmaista kahden termin summana dm/dv ρ t + ψ, missä jälkimmäinen termi ψ kuvaa nielujen ja lähteiden vaikutusta. Näin olemme johtaneet nesteiden (ja kaasujen) virtausta hallitsevan kontinuiteettiyhtälön (ρv) + ρ ψ, (7.15) t muistaen, että massavirtatiheys oli µ ρv. Sähkömagnetismi, Maxwellin yhtälöt: v i( y z z y) j( x z z x) + k( x y y x) 0 Kyseessä on pyörteetön kenttä Esim. v yi + xj v 0 lähteetön v 2k 0, pyörre Esim. Maxwellin yhtälöt:kuvaavat sähködynamiikkaa E 1 ǫ 0 ρ B 0 B 1 c 2 E t µ 0j E + B t 0 E sähkö, B magneettikenttä, ρ sähkövaraustiheys, j sähkövirrantiheys, c valon nopeus, ǫ 0 tyhjiön permittiivisyys ja µ 0 permeabiliteetti (vakioita). Vektorikenttä v on pyörteetön, jos v 0. Esim. r on pyörteetön: r x y z x y z 0 E 1 ǫ 0 ρ B 0 Esim. Gradientti f(r) on pyörteetön: ( f) ( )f 0 Tässä E on sähkökenttä, B magneettikenttä, ρ sähkövaraustiheys (lähde sähkökentälle!). Magneettisia varauksia ei ole olemassa (magneettinen monopoli), joten magneettikentän lähdetermi 0, ja magneettikenttä on lähteetön Roottori Vektorikentän v(r) roottori v lasketaan seuraavasti: v x y z v x v y v z (7.16) i( y v z z v y ) j( x v z z v x ) + k( x v y y v x ) (7.17) Tämä on siis tavallinen ristitulo vektoreille, mutta derivaatta vaikuttaa aina eteenpäin, alariville : x y xv y y v x v x Roottori kuvaa vektorikentän pyörteisyyttä: v y Esim. v xi + yj + zk v 3 lähde (kaikilla r!) (näin voidaan tehdä, sillä :n vektorikomponentit menevät tavallisen ristitulon tapaan, ja derivaatat kaikki vaikuttavat f:ään.) Huom: usein käytetään derivaattaoperaattoreita v ja v. Näissä ei derivoida v:tä, derivaatta ei ole vielä operoinut! Siis esim. v i v i i v i(v y z v z y ) + j... Laplacen operaattori Määritellään 2 2 x + 2 y + 2 z i 2 r 2 i Tämä on skalaaridifferentiaalioperaattori, jota käytetään usein fysiikassa. Roottori mikroskooppisesti Tarkastellaan jälleen ρ-tiheyksisen nesteen virtausta. Kun virtausnopeus pisteessä r (x, y, z) on v(r), on µ ρv massavirtatiheys tässä pisteessä. Tutkitaan tällä kertaa, miten pyörteellistä virtaus on. Katsotaan esimerkkinä pisteen (x, y, z) ympäri kiertyvää virtausta. Lasketaan erikseen nettokiertymät kunkin koordinaattitason suuntaisissa virtauksissa, esimerkkinä 54

8 xy-tason suuntainen taso. O N O N N O N O N N O Kuva 7.6 Virtauksen kiertymä O N O Kuvitellaaan piste (x, y, z) (kuvassa z-koordinaattia ei ole merkitty) sijoitetuksi tässä tasossa dx dy-sivuisen suorakaiteen keskelle. Suorakaiteen alalaidalla kokonaisvirtaus positiiviseen kiertosuuntaan on µ x(x, y dy/2, z)dx, oikeanpuoleista laidalla µ y(x + dx/2, y, z)dy, ylälaidalla µ x(x, y + dy/2, z)dx ja vasemmanpuoleisella laidalla µ y(x dx/2, y, z)dy. z-akselin ympäri kiertyvä kokonaisvirtaus ds z (kg/(ms)) on näiden neljän termin summa ds z µ x(x, y dy/2, z)dx + µ y(x + dx/2, y, z)dy µ x(x, y + dy/2, z)dx µ y(x dx/2, y, z)dy [µ y(x + dx/2, y, z) µ y(x dx/2, y, z)] dy [µ x(x, y + dy/2, z) µ x(x, y dy/2, z)] dx µy µx dx dy dy dx y µy µx dx dy. (7.18) y Jakamalla tämä suorakaiteen pinta-alalla dx dy saamme z-akselin ympäri aikayksikössä kiertyväksi massatiheydeksi s z dsz dx dy µy µx y. Menettelemme samoin kuin kulmanopeuden tapauksessa ja muodostamme pyörteisyydeksi sanotun vektorisuureen s z, jonka pituus ilmoittaa aikayksikössä kiertyvän massatiheyden määrän ja suunta kiertoakselin, ts. µy s z s zk µx k. y Vastaavasti x- ja y-akseleiden suuntaiset pyörteisyydet ovat µz s x y µy i µx s y µz j. Vektoreiden s x, s y ja s z resultantin s pituus kertoo silloin pisteeseen (x, y, z) asetetun resultanttivektorin ympäri aikayksikössä kiertyvän massatiheyden kokonaismäärän. Virtauskentän pyörteisyys on siis µz s y µy [ µy + µx y [ µx i + ] k. ] µz j Nähdään helposti että s voidaan kirjoittaa determinantin avulla muotoon s y µ x µ y µ z µ Siis s on µ:n roottori. Laskusääntöjä Nablalle on helppo näyttää mm. seuraavat laskusäännöt: (a + b) a + b (ab) ( a)b + a( b) (u + v) u + v (au) ( a) u + a u (u + v) u + v (au) ( a) u + a u ( a) a 0 eli a on pyörteetön ( v) ( ) v 0 eli v on lähteetön (tässä käytettiin skalaarikolmituloa, a (b c) (a b) c Joskus esiintyy myös ( u) ( u) ( )u missä käytettiin vektorikolmitulon laskusääntöä. Siis sääntö: derivaattaosa - käytä derivoimissääntöjä, vektoriosa - vektoreiden laskusääntöjä. Huom: jos kehität -lausekkeita skalaari- tai kolmitulon avulla, muista järjestys: Esim: u ( v) (u c v) (u )v missä siis u c pidetään vakiona derivoinnissa. Samoin esim. (u v) (u v c )+ (u c v) v ( u)+u ( v). Esim. Olkoon u xyi + yzj + zxk.nyt ( u) ( u) 2 u (y+z +x) 0 i+j+k Tai suoraan u ja ( u) x y z xy yz zk x y z y z x iy jz kx Esim. A pisteessä (1 1, 1), kun A xz 3 i 2x 2 yzj + 2yz 4 k Nyt ( A i + y j + ) k i + j + k (xz 3 i 2x 2 yzj + 2yz 4 k) y xz 3 2x 2 yz 2yz 4 [ y (2yz4 ) ] ( 2x2 yz) i [ (2yz4 ) ] (xz3 ) j [ + ( 2x2 yz) ] y (xz3 ) k 55

9 (2z 4 + 2x 2 y)i + 3xz 2 j 4xyzk (2(1) 4 + 2(1) 2 ( 1))i + 3(1)(1) 2 j 4(1)( 1)(1)k 3j + 4k. Esim. ( A), kun A x 2 yi 2xzj + 2yzk Nyt ( A) y x 2 y 2xz 2yz [(2x + 2z)i (x 2 + 2z)k] y 2x + 2z 0 x 2 2z (2x + 2)j. ja 2 1 r ( 1 r ) ( r r 3 ) 3 r 3 3 r r 4 r r 0 Jos pätee 2 f 0, funktio f(r) on harmoninen. Samoin edelleen 2 f(r) f(r) (f (r) r r ) f (r) r r ) r r + f (r) 3 r f (r) r r 2 r r f (r) + 2 r f (r) Paikkavektorin derivaatat Paikkavektori on r xi + yj + zk, r x 2 + y 2 + z 2 r Nyt saamme heti tulokset r i i r i i 1 3 (7.19) r 0 (ks. aiemmin) (7.20) r r ˆr r:n suuntainen 1-vektori (7.21) r Viimeisin tulee siitä, että x r 1 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1/2 2x x/r, joten r i ê i i r i ê i r i r r r Jos nyt f(r) on r:n funktio, niin ketjusääntö saa muodon f(r) f (r) r f (r) r r Tämä tulee suoraan tavallisesta ketjusäännöstä: i x f(r) if (r) x r if (r)r/r. Näin esim (rf(r)) x (xf(r)) + y (yf(r)) + z (zf(r)) tai suoraan: 3f(r) + xf (r) x r + yf (r) y r + zf (r) z r 3f(r) + rf (r) (rf(r)) f(r) r + r f(r) 3f(r) + rf (r) Usein tavataan 1 r d ( ) 1 r 1 r r r 2 r r r 3 56