Venymämitat kontinuumimekaniikassa Hillin-Sethin mukaan

Rakenteiden Mekaniikka Vol. 50 Nro 07 s. 6 http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https://doi.org/0.3998/rm.6399 c Kirjoittajat 07. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Venymämitat kontinuumimekaniikassa Hillin-Sethin mukaan Martti Mikkola Tiivistelmä. Suhteellinen muodonmuutos kontinuumimekaniikassa voidaan määrittää usealla tavalla. R.Hill ja B.R.Seth ovat esittäneet yleisen kaavan jonka mukaan useat suhteellisen muodonmuutoksen mitat voidaan määrittää. Artikkelissa kyseistä kaavaa sovelletaan tavallisimpiin venymämäärittelyihin mukaan lukien H.Henckyn esittämä logaritminen venymä. Myös venymänopeuksien lausekkeet esitetään. Kuhunkin venymämittaan liittyvä jännitys johdetaan. Sovelluksina tarkastellaan vedettyä sauvaa ja yksinkertaista leikkausta. Avainsanat: muodonmuutos yleinen venymämitta venymänopeus logaritminen venymä jännitysmitta. Vastaanotettu 8.8.06. Hyväksytty 3.4.07. Julkaistu verkossa.5.07. Johdanto Tässä esityksessä vektoreita merkitään vinoilla lihavoiduilla kirjaimilla x = x k g k = x k g k ja niiden dyadituloa x y. Toisen kertaluvun tensoreita merkitään pystyillä lihavoiduilla kirjaimilla T = T g k g l = T g k g l. Kovariantti kantajärjestelmä on { g k } ja kontravariantti vastaavasti { g k }. Käytetään myös suorakulmaista yksikkökantajärjestelmää { e K } tai { e k } jonka kovariantit ja kontravariantit kantavektorit tietenkin yhtyvät. Esitystapa noudattaa melko tarkasti G.A. Holzapfelin kirjaa [6. Tarkastellaan kontinuumikappaletta joka sijaitsee kolmiulotteisessa euidisessa avaruudessa. Ainepisteen paikkavektori kiinteässä suorakulmaisessa koordinaatistossa on alkutilassa X = X K e K ja deformoituneessa lopputilassa x = x k (X t)e k. Koordinaattiakselien suuntaiset yksikkökantavektorit ovat { e K = e k }. Alku- ja lopputila referoidaan siis samaan karteesiseen koordinaatistoon mutta alkutilaan viittaavana indeksinä käytetään isoa kirjainta ja lopputilaan viittaavana pientä kirjainta. Deformaatiossa alkutilan koordinaatit X K joita nimitetään materiaalikoordinaateiksi muodostavat käyräviivaisen koordinaatiston ks. kuva. Koordinaatit x k ovat nimeltään spatiaalikoordinaatteja. Pisteen P t jonka määrittelevät koordinaatit (X X X 3 ) kautta kulkevan koordinaattiviivan yhtälö on muotoa (esim. koordinaattiviiva X ) x = x k (sx X X 3 t)e k jossa s saa reaalisia arvoja. Käyräviivaisen koordinaatiston koordinaattiviivojen tangenttivektorit g K = xm X K e m ()

muodostavat kovariantin kantajärjestelmän { g K }. Niissä käytetään indeksinä isoa kirjainta osoittamaan että ne ovat materiaalisiin koordinaatteihin kuuluvia vektoreita. Ne eivät tietenkään yleensä ole yksikkövektoreita eivätkä välttämättä myöskään ortogonaalisia. Niitä vastaava resiprookkikanta on g K = XK x m e m. () Näiden kantavektorien välinen yhteys on g K g M = δ K M. (3) Deformaatiossa alkutilan viiva-alkio dx kuvautuu viiva-alkioksi dx = FdX deformaatiogradientin F avulla ks. kuva F = xk X M e k e M = g M e M. (4) Deformoituneen viiva-alkion pituuden neliö on ds = dx dx = dx F T FdX = dx CdX. (5) Muodonmuutostensori C on Cauchyn-Greenin oikeanpuoleinen muodonmuutostensori C = F T F = xk x k X M X e M e N. (6) N Vastaavalla tavalla deformoituneen tilan koordinaattiviivat x k esittävät niitä materiaalipartikkeleita jotka ovat peräisin alkutilan pisteistä X = X K (x x x 3 )e K. (Tämä käänteinen yhtälö voidaan muodostaa sillä det(f) > 0). Ne muodostavat alkutilassa käyräviivaiset koordinaatit joiden tangenttivektorit ovat Vastaava resiprookkikanta on G k = XM x k e M. (7) G k = xk X K e K. (8) Nämä kantavektorit toteuttavat yhtälöt Deformaatiogradientin käänteistensori on G k G m = δ k m. (9) F = XK x m e K e m = e K g K = G m e m. (0) Deformaatiogradientin käänteistensori kuvaa deformoituneen tilan viiva-alkion dx alkutilan viiva-alkioksi dx = F dx. Alkutilan viiva-alkion pituuden neliö on ds = dx dx = dx F T F dx = dx b dx. () Muodonmuutostensori b on Cauchyn-Greenin vasemmanpuoleinen muodonmuutostensori b = FF T = xm x n X K X e K m e n. () Huomataan vielä seuraavien yhtälöiden pätevän Fe K = g K F T e K = g K F e k = G k F T e k = G k. (3)

Yleistettyjä muodonmuutoksen mittoja Muodonmuutostensorit C = F T F U = C ja v = RUR T ovat positiivisesti definiittejä symmetrisiä tensoreita joten niiden ominaisarvot ovat positiivisia. R on rotaatiotensori. Merkitään C:n ominaisarvoja (päävenymien neliöitä) λ k :lla ja vastaavia ortonormeerattuja ominaisvektoreita (pääsuuntia) ˆN k :lla. Yllä olevan perusteella voidaan päätellä että U:n ja v:n ominaisarvot (päävenymät) ovat samat λ k. Lisäksi nähdään että U:lla on samat ominaisvektorit kuin C:llä ja että v:n ominaisvektorit ovat ˆn k = R ˆN k. Seth [8 ja Hill [3 ovat esittäneet yleiseksi venymämitan muodoksi E = f(u) = e = f(v) = f(λ k ) ˆN k ˆN k (4) K= f(λ k ) ˆn k ˆn k. (5) Venytystensorit U ja v ovat Lagrangen ja Eulerin esitystapojen mukaiset venymät. Funktiota f nimitetään skaalausfunktioksi joka on monotonisesti kasvava ja toteuttaa ehdot f() = 0 f () =. Seth ja Hill ovat esittäneet skaalausfunktioksi f(λ) = m (λm ) m 0 f(λ) = ln λ m = 0. (6) Tätä skaalausfunktiota käyttäen kaavat ( 4 ) ja (5) johtavat muotoihin E (m) = m (Um I) (7) e (m) = m (vm i). (8) Alkutilan identiteettitensori on I = ˆN k ˆN k ja deformoituneen tilan i = ˆn k ˆn k. Lagrangen esitystavan mukaiset venymämitat ovat silloin Greenin-Lagrangen venymä: E () = (U I) = (FT F I) Almansin-Eulerin venymä: E ( ) = (I U ) = R T (i F T F )R (9) Biot n venymä: U B = E () = U I = Henckyn venymä: E (0) = ln U = (λ k ) ˆN k ˆN k K= (ln λ k ) ˆN k ˆN k. Uusi venymämitta Henckyn venymä E (0) [ on siis logaritminen vastaten yksidimensioista muotoa e log = ln(l/l 0 ). K= 3

X x X -viiva g C t dx C 0 dx P t g X -viiva P 0 e O X x e Kuva. Koordinaatisto ja alkutila C 0 sekä lopputila C t. Eulerin esitystavassa edellä esitetyt venymät ovat Greenin-Lagrangen venymä: e () = RE () R T = (v i) Almansin-Eulerin venymä: e ( ) = RE ( ) R T = (i v ) (0) Biot n venymä: v B = e () = v i = RE () R T Henckyn venymä: e (0) = ln v = (ln λ k ) ˆn k ˆn k = RE (0) R T. Logaritmista venymää kutsutaan myös luonnolliseksi tai todelliseksi venymäksi. Tämä johtunee siitä että vetokokeessa todellisen jännityksen σ ja venymänopeuden ė log tulo σė log on jännityksen teho. Logaritminen muodonmuutostensori on käyttökelpoinen konstitutiivisten mallien yhteydessä sillä se voidaan jakaa helposti additiivisesti tilavuudenmuutosja deviatoriseen osaan [6. Polaarihajoitelma ja nopeusgradientti Deformaatiogradientti ja sen käänteisoperaattori voidaan esittää polaarihajoitelman avulla F = RU = vr = λ k ˆn k ˆN k F = U R T = ˆN K ˆn k. () Rotaatiotensori R ja sen nopeus ovat muotoa λ k R = ˆn k ˆN k Ω (R) = ṘR T. () 4

Antisymmetrinen tensori Ω (L) joka määrittää ominaisvektorien ˆN k muutosnopeuden saadaan seuraavasti. Ominaisvektori on muotoa ˆN k = R (L) e k jossa { e k } on kiinteä kantajärjestelmä ja R (L) rotaatiomatriisi niin että (R (L) ) = (R (L) ) T. Ominaisvektorin aikaderivaatta on silloin ˆN k = Ṙ (L) e k = Ṙ (L) (R (L) ) ˆN k = Ω (L) ˆN k Ω (L) = Ṙ (L) (R (L) ) = Ṙ (L) (R (L) ) T. (3) Vastaavasti ominaisvektorin ˆn k = R ˆN k aikaderivaatta on ˆn k = R ˆN k + Ṙ ˆN k = RΩ (L) R Tˆn k + Ω (R)ˆn k = Ω (E)ˆn k. (4) Rotaationopeuksien välinen riippuvuus on kiertyneessä ominaisvektorikannassa { ˆn k } Ω (E) = Ω (R) + RΩ (L) R (T). (5) Deformaatiogradientin aikaderivaatta on Ḟ = λ k ˆn k ˆN k + Ω (E) F FΩ (L). Nopeusgradientti saa silloin muodon L = ḞF = λ k λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) FΩ (L) F = λ k λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) v(ω (E) Ω (R) )v. (6) Venymänopeuden D lausekkeeksi tulee tällöin D = (L + LT ) = λ k λ k ˆn k ˆn k (FΩ(L) F F T Ω (L) F T ). (7) Kiertymänopeus W on vastaavasti W = (L LT ) = Ω (E) (FΩ(L) F + F T Ω (L) F T ). (8) Näiden komponentit {ˆn k }-kannassa ovat D kk = λ k λ k D ik = (Ω (E) ik W kk = 0 W ik = Ω (E) ik (Ω(E) ik Ω(R) ik )λ k λ i λ k λ i Ω(R) ik )λ k + λ i λ k λ i = Ω (L) λ k λ i ik (kl =3 ei summ.) (9) λ k λ i = Ω (E) ik λ Ω(L) k + λ i ik (kl =3 ei summ.). λ k λ i 5

Venymänopeuden lausekkeet Venymän muodoista (4) ja (5) venymänopeuksien lausekkeiksi saadaan Ė = f (λ k ) λ k ˆN k ˆN k + Ω (L) E EΩ (L) (30) ja ė = f (λ k ) λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) e eω (E). (3) Vertaamalla edellä olevien lausekkeiden summatermejä nähdään helposti että ė Ω (E) e + eω (E) = R[Ė Ω (L) E + EΩ (L) R T. (3) Lagrangen esitystavan mukaiset venymänopeudet ovat Green-Lagrange: Ė () = Almansi-Euler: Ė ( ) = λ k λk ˆN k ˆN k + Ω (L) E () E () Ω (L) Biot: U = Ė () = λ 3 k λ k ˆN k ˆN k + Ω (L) E ( ) E ( ) Ω (L) (33) λ k ˆN k ˆN k + Ω (L) E () E () Ω (L) Hencky: Ė (0) = (ln U) = λ k λ k ˆN k ˆN k + Ω (L) E (0) E (0) Ω (L). Eulerin esitystavan mukaiset venymänopeudet ovat vastaavasti Green-Lagrange: ė () = Almansi-Euler: ė ( ) = Biot: ė () = λ k λk ˆn k ˆn k + Ω (E) e () e () Ω (E) λ 3 k λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) e ( ) e ( ) Ω (E) (34) λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) e () e () Ω (E) Hencky: ė (0) = (ln v) = Jännitysten ja venymien vastaavuus λ k λ k ˆn k ˆn k + Ω (E) e (0) e (0) Ω (E). Seuraavassa johdetaan jännitysmittojen lausekkeet Kirchhoffin (tai Cauchyn) jännityksen funktioina. Jännitysten ja venymien vastaavuus seuraa jännitysten tehon yhtäsuuruudesta T (n) : E (n) = Jσ : D = Σ : D = Σ D. (35) Edellä Σ = Jσ on Kirchhoffin jännitystensori. Komponentit ovat kannan { ˆn k } suhteen. 6

Kaavan (33) mukaan saadaan aluksi Ω (L) E () = kl= minkä jälkeen saadaan Ω (L) (λ l ) ˆN k ˆN l ja E () Ω (L) = kl= Ω (L) (λ k ) ˆN k ˆN l Ė () = f (λ k ) λ k ˆN k ˆN k + kl= Ω (L) (λ l λ k) ˆN k ˆN l. Sen jälkeen muodostetaan kaavan (35) mukaan lauseke T () : Ė () = T () kk λ k λ k + kl=k l T () Ω (L) (λ l λ k). (36) Jännitystensori T () on Piolan-Kirchhoffin toinen jännitys. Vertaamalla tätä kaavoihin (9) ja (35) nähdään että T () = Σ /(λ k λ l ) (kl=3 ei summausta). (37) Sama tulos seuraa myös yhteydestä T () = F ΣF T. Jännityskomponentit T () kannan { ˆN k } suhteen. Almansin-Eulerin venymää vastaava jännitys seuraa yhtälöstä ovat T ( ) : Ė ( ) = T ( ) kk λ 3 λ k k + kl=k l T ( ) Ω (L) (λ k λ l ) (38) joka antaa yhteyden T ( ) = Σ λ k λ l (kl=3 ei summausta). (39) Sama tulos saadaan yhteydestä T ( ) = F T ΣF. Jännityskomponentit T ( ) ovat kannan { ˆN k } suhteen. Biot n jännityksen symmetrisen osan ja vastaavan venymän välinen yhteys seuraa yhtälöstä T () : Ė () = T () kk λ k + kl=k l T () Ω (L) (λ l λ k ) (40) Vertaamalla taas kaavoihin (9) ja (35) nähdään Biot n ja Kirchhoffin jännitysten välinen yhteys T () kk = Σ kk/λ k T () = Σ (/λ k + /λ l ) (kl=3 ei summausta). (4) Sama tulos saadaan myös Biot n jännityksen symmetrisen osan ja Piolan-Kirchhoffin toisen jännityksen välisestä yhteydestä T () = (UT() + T () U). Piolan-Kirchhoffin ensimmäisen jännityksen P ja Cauchyn jännityksen välinen yhteys saadaan helposti käyttämällä yhtälöä P = FT () P = λ k T () = Σ /λ l = Jσ /λ l (kl=3 ei summausta). (4) 7

X x K e K a 0 O e X x a 0 Kuva. Vedetty sauva. Tässä ensimmäinen alaindeksi viittaa kantaan { ˆn k } ja jälkimmäinen kantaan { ˆN k }. Logaritmista venymää vastaava jännitys saadaan muodostamalla kaavaa (35) käyttäen lauseke T (0) : Ė (0) = T (0) kk λ k λ k + kl=k l Vertaamalla kaavoihin (9) ja (35) nähdään että T (0) Ω (L) (ln λ l ln λ k ). (43) T (0) kk = Σ kk T (0) = Σ (λ l λ k)/[λ k λ l ln(λ l /λ k ) (k l λ k λ l ) (kl=3 ei summausta). (44) Tässä on käsitelty vain tapausta jossa ominaisarvot ovat eri suuria. Mm. Macvean [7 Hoger [4 [5 ja Gurtin [ ovat tarkastelleet myös muita tapauksia. Esimerkki. Vedetty sauva Otaksutaan että karteesisen koordinaatiston X -akseli yhtyy sauvan akseliin. Kantavektoreita merkitään {e k }. Deformaatio on muotoa x = λ X x = λx x 3 = λx 3 jossa positiiviset luvut λ ja λ kuvaavat venytyksiä koordinaattiakselien suunnissa. Silloin deformaatiogradientti on F = λ e e + λe e + λe 3 e 3. Polaarihajoitelman rotaatiotensori on yksikkötensori joten F = U = v. Muodonmuutoksen pääsuunnat yhtyvät koordinaattiakselien suuntiin joten ˆN k = ˆn k = e k (kuva ). Muodonmuutostensorit ovat E () = (λ )e e + (λ )(e e + e 3 e 3 ) E ( ) = e ( ) = ( λ )e e + ( λ )(e e + e 3 e 3 ) E () = (λ )e e + (λ )(e e + e 3 e 3 ) E (0) = ln λ e e + ln λ(e e + e 3 e 3 ). 8

X x X kx ˆN ˆN ˆn ˆn e = g g O e X x = g g Kuva 3. Yksinkertainen leikkaus k = /3 θ = 8 4. Venymänopeudet ovat Ė () = λ λ e e + λ λ(e e + e 3 e 3 ) ė ( ) = λ 3 λ e e + λ 3 λ(e e + e 3 e 3 ) Ė () = λ e e + λ(e e + e 3 e 3 ) Ė (0) = λ λ e e + λ λ(e e + e 3 e 3 ) D = (L + LT ) = λ λ e e + λ λ(e e + e 3 e 3 ). Otaksutaan että poikittaiset jännityskomponentit σ ja σ 33 ovat nollia. (Karteesisessa koordinaatistossa kovarianteilla ja kontravarianteilla komponenteilla ei ole eroa joten kirjoitetaan jännityskomponenttien indeksitalaindekseinä). Tällöin eri venymämittoja vastaavat aksiaaliset jännitykset ovat T () : Ė () = T () λ λ = Σ λ λ joten T () = Σ /λ T ( ) : Ė ( ) = T ( ) λ 3 λ = Σ λ λ joten T ( ) = Σ λ T () : Ė () = T () λ = Σ λ λ joten T () = Σ /λ T (0) : Ė (0) = T (0) λ λ = Σ λ λ joten T (0) = Σ. Piolan-Kirchhoffin ensimmäinen jännitys saadaan vastaavasti P : Ḟ = P λ = Σ λ λ joten P = Σ /λ = σ λ. Sauvan deformoitunut poikkipinta on A = λ A 0 joten P on nimellisjännitys ts. aksiaalinen voima jaettuna alkuperäisellä poikkipinta-alalla kuten myös Biot n jännitys T (). Esimerkki. Yksinkertainen leikkaus Tarkastellaan muodonmuutosta jota kuvaa yhtälö x = x e + x e + x 3 e 3 = (X + kx )e + X e + X 3 e 3 9

jossa k on positiivinen vakio. Kysymyksessä on X X -tasossa tapahtuva deformaatio joten käsitellään sitä kaksidimensioisena. Suorakulmainen karteesinen koordinaatisto ja siihen kuuluva ortonormeerattu kanta { e k } valitaan sekä alku- että lopputilan kannaksi (kuva 3). Deformaatiogradientin lauseke on F = e e + ke e + e e (45) Konvektiivisen koordinaatiston kovariantit kantavektorit ovat g = e g = ke + e. Kontravariantit vektorit ratkaistaan helposti yhtälöstä [ 0 (g g ) = (g g ) T = k josta nähdään että ne ovat g = e ke g = e. Määritetään aluksi tavanomaiset muodonmuutosmitat jotka saadaan suoraan deformaatiogradientin (45) avulla. Käytetään tensorien asemesta x-matriiseja joiden alkiot referoidaan ortonormeeratun kannan { e k } suhteen. Deformaatiogradientin matriisi sen käänteismatriisi ja nopeusgradientin matriisi ovat F = [ k 0 F = [ k 0 [ 0 k L = 0 0. (46) Cauchyn-Greenin oikeanpuoleinen muodonmuutos ja Greenin-Lagrangen venymä ovat [ k C = F T F = k + k E = [ 0 k/ (C I) = k/ k. (47) / Cauchyn-Greenin vasemmanpuoleinen muodonmuutos ja Almansin-Eulerin venymä ovat [ + k b = FF T k = e = [ 0 k/ k (I b ) = k/ k. (48) / Tasotapauksessa rotaatiotensorin matriisi on [ cos θ sin θ R = sin θ cos θ (49) jolloin venytystensori U on [ cos θ k cos θ + sin θ U = R T F = sin θ cos θ k sin θ. U:n tulee olla symmetrinen joten k cos θ +sin θ = sin θ. Siitä seuraa tan θ = k/. U:n lauseke saa silloin muodon [ cos θ sin θ U = sin θ ( + sin. (50) θ)/ cos θ 0

Trigonometristen suureiden paikalle voidaan sijoittaa niiden lausekkeet k:n avulla lausuttuna sin θ = (k/)/ + (k/) cos θ = / + (k/). (5) Vastaavalla tavalla saadaan venytystensori v [ ( + sin v = FR T θ)/ cos θ sin θ = sin θ cos θ. (5) Tarkastellaan sitten venymämittoja määrittelyjen (7) ja (8) mukaan. Aluksi on laskettava muodonmuutostensorin C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Lausekkeen (47) avulla saadaan yhtälö josta seuraa [ λ k k + k λ [ [ ˆN 0 = ˆN 0 (53) ja edelleen λ 4 ( + λ ) + = 0 josta λ = + k ± k + (k/) (54) λ = + (k/) + k/ = λ λ = + (k/) k/ = λ. (55) Ominaisvektoreiksi saadaan yhtälöstä (53) jossa lyhenteet a ja b ovat ˆN = ae + be ˆN = be + ae (56) a = (k/)/ + (k/) b = + (k/)/ + (k/). (57) Vastaavasti Eulerin mukaiset (kiertyneet) ominaisvektorit ovat ˆn = R ˆN = be + ae ˆn = R ˆN = ae + be. (58) Jos ominaisarvot ja ominaisvektorit lausutaan kulman θ funktioina saadaan sin θ + sin θ λ = + sin θ λ = sin θ = λ a = + sin θ b = sin θ. Kirjoitetaan sitten muodonmuutosmittojen lausekkeet joissa matriisien alkiot ovat kannan { e k } suhteen E () = [(λ ) ˆN ˆN + (λ ) ˆN ˆN [ [E () = b a 0 ab (b a )/ab

E ( ) = [( λ ) ˆN ˆN + ( λ ) ˆN ˆN [ [E ( ) = b a (a b )/ab ab 0 [ e ( ) = RE ( ) R T [e ( ) = b a 0 ab (a b )/ab E () = [(λ ) ˆN ˆN + (λ ) ˆN ˆN [ a b a + b [E () = (b a) a + b (b a)( + ab)/ab (59) e () = [(λ )ˆn ˆn + (λ )ˆn ˆn [ (b a)( + ab)/ab a + b [e () = (b a) a + b a b [ ln U = ln λ ˆN ˆN ln λ ˆN ˆN a [ln U = ln λ b ab ab b a [ b ln v = ln λ ˆn ˆn ln λ ˆn ˆn [ln v = ln λ a ab ab a b. Ominaisvektorit antavat päävenymien suunnat. Lagrangen mukaiset suunnat X -akselin suhteen ovat cos ψ L = ˆN e = + sin θ cos ψ L = ˆN e = sin θ. (60) Vastaavasti Eulerin mukaiset päävenymäsuunnat ovat cos ψ E = ˆn e = sin θ cos ψ E = ˆn e = + sin θ. (6) Venymänopeudet saadaan kaavoista (47) (48) (46) (50) ja (5) derivoimalla ajan suhteen [ [ [ 0 k/ 0 k/ 0 k/ Ė = k/ k k ė = k/ k k D = (6) k/ 0 [ [ U = θ sin θ cos θ cos θ sin θ( + / cos v = θ) θ sin θ( + / cos θ) cos θ (63) cos θ sin θ (ln U) = λ [ sin θ cos θ λ cos θ sin θ (ln v) = λ [ sin θ cos θ λ cos θ sin θ [ + θ cos θ sin θ ln λ sin θ cos θ [ + θ cos θ sin θ ln λ sin θ cos θ Kiertymänopeudet kaavojen () (3) ja (5) mukaan ovat [ [ [Ω (R) = [Ṙ[R T = θ sin θ cos θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ [ [ ȧ [Ω (L) = [Ṙ (L) [R (L) T ḃ a b = = θ [ 0 ḃ ȧ b a 0 [Ω (E) = [Ω (R) + [R[Ω (L) [R T = θ [ 0. 0 (64). (65) [ = θ 0 0 (66)

Muodostetaan sitten venymänopeuksien lausekkeet käyttäen esitystapaa (7) ja (8). Yhtälöistä (59) seuraa Ė () = θ 4a 3 b 3 [ b4 ˆN ˆN + a 4 ˆN ˆN + ab(a b )( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) Ė ( ) = θ 4a 3 b 3 [ a4 ˆN ˆN + b 4 ˆN ˆN + ab(a b )( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) ė ( ) = θ 4a 3 b 3 [ a4 ˆn ˆn + b 4 ˆn ˆn ab(a b )( ˆn ˆn + ˆn ˆn ) U = Ė () = θ a b [ b ˆN ˆN + a ˆN ˆN + ab(a b )( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) v = ė () = θ a b [ b ˆn ˆn + a ˆn ˆn ab(a b )( ˆn ˆn + ˆn ˆn ). Kun näihin sijoitetaan ominaisvektorien lausekkeet (56) ja (58) saadaan venymänopeudet (6) ja (63). Venymänopeus D on kaavan (7) mukaan D = θ 4a b [ab( ˆn ˆn + ˆn ˆn ) + (a b )( ˆn ˆn + ˆn ˆn ) (67) mikä taas sijoittamalla ominaisvektorit ˆn k saa muodon (6) 3. Logaritmiset venymänopeudet saadaan kaavoista (59) 6 ja (59) 7 (ln U) = θ[ ab ( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) ln b a ( ˆN ˆN + ˆN ˆN ) (68) (ln v) = θ[ ab ( ˆn ˆn + ˆn ˆn ) + ln b a ( ˆn ˆn + ˆn ˆn ). (69) Sijoittamalla näihin ominaisvektorien lausekkeet saadaan taas venymänopeuksien kaavat (64) ja (65). Matriisimuodossa edellä olevat lausekkeet ovat [Ė() = [Ė( ) = θ [ 0 ab 4a 3 b 3 ab (a b ) θ [ (b a ) ab 4a 3 b 3 ab 0 [ 0 ab [ė ( ) = θ 4a 3 b 3 ab (b a ) [ [ U = [Ė() = θ (b a ) ab ab (a b )( + a b )/a b [ [ v = [ė () = θ (a b )( + a b )/a b ab ab (a b ) [D = θ [ 0 4a b 0 [(ln U) = θ { [ b a ab ab ab a b + ln b [ ab b a a b a ab (70) } 3

[(ln v) = θ { [ a b ab ab ab b a + ln b [ ab b a } a b a. ab Muodostetaan vielä alkutilassa lausuttujen jännitysten lausekkeet Kirchhoffin (tai Cauchyn) jännitysten funktioina. Kirjoitetaan jännitysten indeksit alaindekseinä koska ne referoidaan suorakulmaiseen karteesiseen kantajärjestelmään. Käytetään hyväksi kaavoja (37)(39)(4)(44) ja (4). Piolan-Kirchhoffin toiselle jännitykselle saadaan lausekkeet T () = a b Σ T () = b a Σ T () = Σ = T () = Σ. Määritetään Piolan-Kirchhoffin jännityskomponentit kiinteän kannan { e k } suhteen. Jännitystensori on ˆN k ˆN l = S rs () e r e s T () Komponenttien välinen muunnos seuraa ominaisvektorien kaavoista (56) [ S () S () [ [ [ a b T () S () S () T () T a b = b a T () T (). b a Samantapainen muunnos tehdään Kirchhoffin jännitykselle Σ ˆn k ˆn l = Jσ rs e r e s. Ominaisvektorien (58) avulla saadaan komponenttien muunnoskaava [ [ T [ [ Σ Σ b a σ σ = J b a Σ Σ a b σ σ a b Muunnoksien jälkeen saadaan ottaen huomioon että tässä tapauksessa J = = σ + a b (σ + σ ) + (a b ) σ ab a b S () = σ + a b ab S () S () = σ + a b σ S () = σ. ab Vastaavasti menettelemällä saadaan Almansin jännitykselle aluksi ja sen jälkeen T ( ) = b a Σ T ( ) = a b Σ S ( ) = σ S ( ) = σ + b a ab T ( ) = Σ = T ( ) = Σ S ( ) = σ + b a σ S ( ) = σ + b a (σ + σ ) + (a b ) σ ab ab a b. Biot n jännityksen symmetriselle osalle saadaan vastaavasti menettelemällä T () = a b Σ T () = b a Σ T () = ab Σ = T () = ab Σ σ σ 4

S () = abσ + 3(a b ) (σ + σ ) + (a b ) σ ab = b a σ + abσ (a b ) σ + 3(a b ) σ ab S () S () = b a S () σ (a b ) ab = abσ + b a (σ + σ ). σ + abσ + 3(a b ) σ Lopuksi Henckyn jännitys saa melkoisen komplisoidut lausekkeet T (0) = Σ T (0) = Σ T (0) = a b 4a b ln(a/b) Σ = T (0) = a b 4a b ln(a/b) Σ S (0) = [ + S (0) = [ + S (0) = [ + a b 4a b ln(a/b) [a b (σ σ ) + ab(a b )(σ + σ ) + σ a b 4a b ln(a/b) [ab(a b )(σ σ ) + a b (σ + σ ) σ + σ a b 4a b ln(a/b) [ab(a b )(σ σ ) + a b (σ + σ ) σ + σ S (0) a b = [ + 4a b ln(a/b) [a b (σ σ ) ab(a b )(σ + σ ) + σ. Kirjoitetaan vielä Piolan-Kirchhoffin ensimmäisen jännityksen vastaavat lausekkeet P () = = ab kl= P () ˆn k ˆN l [ P () P () P () P () [ a b σ + a 3 b(σ + σ ) + a 4 σ ab 3 (σ σ ) + b 4 σ a b σ a 3 b(σ σ ) a 4 σ + a b σ a b σ ab 3 (σ + σ ) + b 4 σ Kun matriisin alkiot ovat kannan { e k } suhteen edellä olevasta saadaan [ P P P P = [ abσ + (a b )σ σ ab (a b )σ + abσ abσ = ja [Ḟ = θ [ 0 a b 0 0. (7) Edellä esitetyistä jännitysten ja venymänopeuksien lausekkeista lasketut teholausekkeet ovat tietenkin yhtäsuuret ts. niillä on arvo Ẇ = σ d = σ k joka oli niiden määritysehto. Yhteenveto Artikkelissa on tarkasteltu kontinuumimekaniikan tavallisimpia venymämittoja R.Hillin ja B.R.Sethin esittämän yleisen kaavan perusteella mukaan lukien H.Henckyn logaritminen venymä. On johdettu venymänopeuksien kaavat ja määritetty venymämittoja vastaavat jännitysmitat. Esimerkkeinä on käsitelty vedettyä sauvaa ja yksinkertaista leikkausta. Eri jännitysmittojen lausekkeet Cauchyn jännityksen funktioina on johdettu.. 5

Viitteet [ M.E. Gurtin and K. Spear. On the relationship between the logarithmic strain rate and the stretching tensor. International Journal of Solids and Structures 9:437 444 983. doi:0.06/000-7683(83)90054-9. [ H. Hencky. Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen. Zeitschrift für Technische Physik 9:5 0 457 98. [3 R. Hill. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Applied Mechanics Vol. 8: 75 978. doi:0.06/s0065-56(08)7064-3. [4 A. Hoger. The material time derivative of logarithmic strain. International Journal of Solids and Structures (9):09 03 986. doi:0.06/000-7683(86)90034-x. [5 A. Hoger. The stress conjugate to logarithmic strain. International Journal of Solids and Structures 3():645 656 987. doi:0.06/000-7683(87)905-6. [6 G.A. Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics - A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons 000. [7 D.B. Macvean. Elementararbeit in einem Kontinuum und die Zuordnung von Spannungs- und Verzerrungstensoren. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik 9:57 85 968. doi:0.007/bf060465. [8 B.R. Seth. Generalized strain measure with applications to physical problems. In M. Reiner and D. Abir editors Second-Order Effects in Elasticity Plasticity and Fluid DynamicsIUTAM Symposium Haifa Israel 3-7.4.963 964. Martti Mikkola Aalto-yliopisto Rakennustekniikan laitos PL 00 00076 Aalto martti.mikkola@aalto.fi 6