Matemaattinen Analyysi / kertaus

Transkriptio

1 Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o

2 { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x y = z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 )

3 yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen rivioperaatioilla (n n) yhtälöryhmällä A x = b on yksikäsitteinen ratkaisu, jos ja vain jos Det(A) 0. Homogeenisella (n n) yhtälöryhmällä A x = 0 on ei-triviaali ratkaisu, jos ja vain jos Det(A) = 0. (m n) yhtälöryhmällä A x = b on yksikäsitteinen ratkaisu, jos ja vain jos Rank(A) = n. homogeenisella (m n) yhtälöryhmällä A x = 0 on ei-triviaali ratkaisu, jos ja vain jos Rank(A) < n.

4 o Määritelmä Summa c 1 u 1 + c 2 u c n u n on lineaarikombinaatio vektoreista { u 1, u 2,..., u n } kertoimin c 1, c 2,..., c n. Vektoreiden virittämä aliavaruus on Span{ u 1, u 2,..., u n } = {c 1 u 1 + c 2 u c n u n c i R, i = 1, 2,..., n} Perusongelma: "Voidaanko vektori v lausua vektoreiden u 1, u 2,..., u n lineaarikombinaationa?" Sama toisin: "Onko v span{ u 1, u 2,..., u n }?"

5 Määritelmä Vektorijoukko { u 1, u 2,..., u n } on lineaarisesti riippumaton (vapaa), jos nollavektoria ei voida lausua niiden ei-triviaalina lineaarikombinaationa. Vektorijoukko { u 1, u 2,..., u n } on vapaa, jos ja vain jos (c 1 u 1 + c 2 u c n u n = 0) (c1 = c 2 = = c n = 0). Vektorijoukko { u 1, u 2,..., u n } on sidottu, jos se ei ole vapaa. Vektorijoukko { u 1, u 2,..., u n } on sidottu, jos jokin sen vektoreista voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa. Perusongelma: "Onko vektorijoukko { u 1, u 2,..., u n } vapaa?"

6 Määritelmä Olkoon U = { u 1, u 2,..., u n } joukko vektoriavaruuden L vektoreita. U on L:n kanta, jos (1) U on vapaa ja (2) Span(U) = L (eli U virittä L:n). Jokainen vektoriavaruuden L vektori x L voidaan yksikäsitteisellä tavalla lausua kantavektoreiden lineaarikombinaationa x = c 1 u 1 + c 2 u c n u n. on kertoimia sanotaan vektorin x koordinaateiksi kannassa U. vektoreiden lukumäärä on vektoriavaruuden dimensio. Dim(R n ) = n. Perusongelmat: "Onko U kanta?" Mitkä ovat vektorin x koordinaatit kannassa U?" (Kannanvaihto)

7 Määritelmiä u v = u T v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n u = u v = u1 2 + u u2 n Kaksi vektoria u ja v ovat kohtisuorassa keskenään ( u v ), jos u v = 0 Vektorijoukko { u 1, u 2,..., u n } on ortogonaalinen, jos kaikki sen vektorit ovat pareittain kohtisuorassa keskenään ja erisuuria kuin nollavektori. ( u i u j, i j) Vektorijoukko { u 1, u 2,..., u n } on ortonormaali, jos kaikki sen vektorit ovat yksikkövektoreita ja pareittain kohtisuorassa keskenään. ( u i = 1, i ja u i u j, i j)

8 Ominaisuuksia Ortogonaalinen vektorijoukko on vapaa. Vapaa vektorijoukko voidaan ortonormittaa Gram-Schmidt -menetelmällä. Jos kanta on ortonormaali, niin vektorin pituuden neliö on koordinaattien neliöiden summa (Pythagoras). Ortogonaalisen matriisin sarakevektorit muodostavat ortonormitetun joukon.

9 Määritelmä Kuvaus f : L M, x f ( x) on lineaarikuvaus, jos (1) L ja M ovat vektoriavaruuksia. (2) f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) (3) f (r x) = r f ( x) Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvauksen kuva Lineaarikuvauksen ydin

10 Määritelmä on matriisin sarakeavaruuden dimensio. (m n)-matriisin A rangi on n, jos ja vain jos Det(A T A) 0. (n n)-matriisille A pätee: Rank(A) = n A is a matrix of full rank Det(A) 0

11 Jos (m n)-matriisin A rangi on n, niin matriisin pseudoinverssi on A = (A T A) 1 A T. Jos yhtälöryhmällä A x = b on ratkaisu ja kerroinmatriisin sarakkeet muodostavat vapaan joukon (A on full), niin ratkaisu saadaan kaavalla x = A b = (A T A) 1 A T b

12 Olkoon A (n n) -matriisi. Jos on olemassa reaaliluku λ ja vektori x R n siten, että A x = λ x niin sanomme, että λ on matriisin A ominaisarvo ja λ on matriisiin A ja sen ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Ominaisarvot saadaan karakteristisen yhtälön juurina: Det(A λi ) = 0 Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit saadaan (homogeenisen) ominaisarvoyhtälön ratkaisuina: A x = λ x

13 Symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset. Symmetrinen matriisi voidaan aina diagonalisoida. Ominaisarvo-hajoitelma QR-hajoitelma LU-hajoitelma Singulaariarvohajoitelma

14 Olkoon A symmetrinen (3 3) -matriisi. Silloin a b c ( ) x1 x 2 x 3 b u w c w s x 1 x 2 x 3 = ax bx 1 x 2 + 2cx 1 x 3 + ux wx 2 x 3 + sx 2 3 Neliömuodon matriisi. Neliömuoto on positiivisesti deniitti, jos matriisin ominaisarvot ovat kaikki positiivisia. Neliömuoto on negatiivisesti deniitti, jos matriisin ominaisarvot ovat kaikki negatiivisia. Neliömuoto on indeniitti, jos se ei ole positiivisesti tai negatiivisesti deniitti. Symmetrisen matriisin (neliömuodon) deniittisyys kannattaa tutkia pääminoreiden avulla.

15 Gradientti ja Hessin matriisi f = f x1 f x2.. H = f xn f x1 x1 f x1 x2 f x1 xn f x2 x1 f x2 x2 f x2 xn f xnx1 f xnx2 f xnxn

16 Välttämätön ja riittävä ehto Välttämätön ehto f = 0 Riittävä ehto minimille (1) f = 0 ja (2) H on positiivisesti deniitti Riittävä ehto maksimille (1) f = 0 ja (2) H on negatiivisesti deniitti

17 Formaatti: Lagrangen funktio Välttämätön ehto Sijoituskeino. Min f (x, y) ehdolla h(x, y) = 0 L(x, y) = f (x, y) + λh(x, y) Lagrangen kertoja -keino L x = 0 L y = 0 L λ = 0 Lagrangen kertojan tulkinta

18 Formaatti: Lagrangen funktio Min f (x, y) ehdolla g(x, y) 0 L(x, y) = f (x, y) + µg(x, y) Välttämätön ehto L x = 0 L y = 0 µg(x, y) = 0 µ 0 g(x, y) 0 Relaksaatio. Lagrangen kertojan tulkinta