Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:

Transkriptio

1 Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien summalle F (A r + + B r ) = F (A r ) + + F (B r ).(2) Näin määriteltynä F on asteen säilyttävä kuvaus, eli F (A r ) = F (A r ) r.(3) Jotta F voitaisi yleistää luonnollisella tavalla kaikille multivektoreille, on vielä sovittava seuraava yleistys skalaareille s: Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot: F (s) = s. (4) s a = 0, (5) s a = a. (6) Nyt huomataan helposti, että kaikilla multivektoreilla A ja B toteutuu F (λa + βb) = λf (A) + βf (B), (7) joten F on onnistuneesti yleistetty multivektoreille. 1

2 2 Liittokuvaus Lineaarikuvauksen F liittokuvaus, merkitään F, määritellään kuvauksena joka toteuttaa yhtälön a F (b) = F (a) b (8) kaikilla vektoreilla a ja b. Olkoon {e k } jokin kanta. Tällöin e i F (a) = F (e i ) a. (9) Yhtälöistä (9) voidaan konstruoida F (a) resiprokaalikannan e k avulla: F (a) = e i e i F (a) = e i a F (e i ). (10) Lineaarikuvauksen liittokuvauskin on lineaarinen, joten sekin yleistyy terille (ja multivektoreille) odotetulla tavalla. Olkoon myös G lineaarikuvaus. Yhdistetyn kuvauksen F G liittokuvaukselle (transpoosille) saadaan tuttu tulos: F G(a) = e i a F G(e i ) = F (a) G(e i )e i = Ḡ F (a) e i e i = Ḡ F (a) (11) Lineaarikuvaus on symmetrinen, jos F = F. Esimerkiksi kuvaukset F F ja F F ovat symmetrisiä. Todetaan seuraavaksi aputulos. Olkoot B 1 = a b, B 2 = c d sekä a b. Tällöin B 1 B 2 = abb 2 = a(b B 2 +b B 2 ) = a (b (c d)) = a db c a cb d (12) Tulos on voimassa myös ilman ehtoa a b. Nyt saadaan liittokuvaukselle seuraava bivektoreita koskeva tulos: (a b) F (c d) = a F (d) b F (c) a F (c) b F (d) (13) = F (a) d F (b) c F (a) c F (b) d (14) = F (a b) (c d) (15) Eli B 1 F (B 2 ) = F (B 1 ) B 2. (16) Tulos yleistyy multivektoreille: AF (B) = F (A)B. (17) 2

3 Tulosta voidaan vieläkin yleistää. Todetaan ensin, että F (a b) c = F (a)f (b) c F (b)f (a) c (18) = F (ab F (c) ba F (c)) (19) = F ((a b) F (c)). (20) Jatkamalla samaan tapaan isompiasteisilla terillä, saadaan tulos F (A r ) B s = F (A r F (B s )), kun r s, (21) A r F (B s ) = F (F (A r ) B s ), kun r s. (22) 3 Determinantti Lineaarikuvauksen determinantti määritellään pseudoskalaarin avulla seuraavasti: F (I) = det(f )I. (23) Determinantti on siis kuvauksen tilavuuskerroin. Määritelmästä nähdään helposti tutut tulokset det(f G)I = F G(I) = det(g)f (I) = det(g)det(f )I, (24) sekä det(f ) = F (I)I 1 = I F (I 1 ) = det( F ). (25) 4 Käänteiskuvaus Olkoon B jokin multivektori pseudoskalaarin I määrittämässä algebrassa. Tällöin det(f )IB = F (I)B = F (I F (B)), (26) missä on voitu käyttää tulosta (21), sillä Sijoittamalla IB = A yhtälöön (26) saadaan Tästä saadaan käänteiskuvaukselle tulos IB = I B. (27) det(f )A = F (I F (I 1 A)). (28) F 1 (A) = I F (I 1 A)det(F ) 1, (29) sekä vastaavasti liittokuvauksen käänteiskuvaukselle F 1 (A) = IF (I 1 A)det(F ) 1, (30) 3

4 5 Ominaisterät Vektori e on lineaarikuvauksen F ominaisvektori, ja λ sitä vastaava ominaisarvo, jos F (e) = λe. (31) Määritellään ominaisterä vastaavasti, s.e. A r on F :n ominaisterä, ja λ vastaava ominaisarvo, jos F (A r ) = λa r. (32) Esimerkiksi pseudoskalaari I on kaikkien lineaarikuvausten ominaisterä, ominaisarvonaan kuvauksen determinantti. Tarkastellaan toisena esimerkkinä kuvausta, jolla F (e 1 ) = λe 2, F (e 2 ) = λe 1. (33) Perinteisesti voitaisi F :n ominaisvektoreiksi valita e 1 ± ie 2 ja vastaaviksi ominaisarvoiksi iλ. Nyt kuitenkin huomataan, että toisaalta F (e 1 e 2 ) = λ 2 e 1 e 2, (34) joten e 1 e 2 on F :n ominaisbivektori. Tämä bivektori korvaa perinteisessä ominaisarvotarkastelussa esiintyvän imaginääriyksikön. 6 Symmetriset ja antisymmetriset lineaarikuvaukset Tärkeä osa lineaarikuvausten teoriaa on kanonisen esityksen löytäminen. Symmetriselle kuvaukselle tämä tapahtuu spektriesityksen avulla. Jos λ i ja λ i ovat symmetrisen F :n ominaisarvoja, ja e i ja e j vastaavia ominaisvektoreita, saadaan seuraavat tulokset (ilman summia): e i F (e j ) = λ j e i e j, F (ei ) e j = F (e i ) e j = λ i e i e j. (35) Näistä nähdään, että (λ i λ j )e i e j = 0, (36) eli erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaalisia. Vastaavasti nähdään, että Euklidisessa avaruudessa symmetrisen kuvauksen ominaisarvot ja -vektorit ovat reaalisia. Symmetrinen kuvaus voidaan tällöin esittää spektriesityksenä F (a) = λ 1 P 1 (a) + + λ m P m (a), (37) 4

5 missä λ 1 < < λ m ovat ominaisarvoja ja P i :t projektioita vastaaviin ominaisavaruuksiin. Ominaisvektorit ja -terät muodostavat täten luonnollisen kannan kuvauksen tarkastelulle. Antisymmetrisillä kuvauksella F on voimassa F (a) a = F (a) a = F (a) a = 0. (38) Olkoon {e k } jokin kanta. Kanonista esitystä etsittäessä luonnollinen lähestymistapa on bivektorin F = 1 2 ei F (e i ) (39) avulla. Bivektori F ei riipu valitusta kannasta. Nyt huomataan, että 2a F = a (e i F (e i )) (40) = a e i F (e i ) a F (e i )e i (41) = F (a e i e i ) + F (a) e i e i (42) = 2F (a). (43) Antisymmetrinen kuvaus voidaan siis esittää sisätulona karakteristisen bivektorin kanssa: F (a) = a F. (44) Euklidisessa avaruudessa bivektori F voidaan aina kirjoittaa muotoon F = λ 1 ˆF1 + + λ k ˆFk, (45) missä λ i on yksikköbivektoria ˆF i vastaava ominaisarvo. Tämä esitys on kanoninen, mikäli ominaisarvot ovat erisuuria. Kussakin ˆF i :n määräämässä aliavaruudessa kuvaus F kääntää kaikkia vektoreita ±90 o ja kertoo ne skalaarilla λ i. 5