Tsväli-itegrli Mikko Rutiie mtemtiik Pro Grdu-tutkielm Jyväskylä yliopisto Mtemtiik j tilstotietee litos Kesä 2006
Sisältö Johdto 2 I Tsväli-itegrli: teori 3 1 Peruskäsitteitä 3 2 Tsväliporrsfuktio määrätty tsväli-itegrli 6 3 Ploitti jtkuv, rjoitetu fuktio määrätty tsväli-itegrli 15 4 Määräty tsväli-itegrli omiisuuksi 27 5 Polyomie itegroiti tsvälijo vull 32 6 Alyysi perusluse 36 7 Riem-itegrli 40 II Tsväli-itegrli: lukio pitkä mtemtiik soveltv kurssi 44 8 Esitiedoist j muust kurssii liittyvästä 44 9 Johdto 45 10 Joukko-oppi j muit työkluj 47 11 Tsvälijko j tsväliporrsfuktio 49 12 Tsväliporrsfuktio määrätty tsväli-itegrli 52 13 Ploitti jtkuv j rjoitetu fuktio tsväli-itegrli 56 14 Määräty tsväli-itegrli omiisuuksi 61 15 Alyysi perusluse 64 16 Riem-itegrli 68 1
Johdto Tässä mtemtiik Pro Grdu-tutkielmss perehdytää ploitti jtkuvie j rjoitettuje fuktioide itegroimisee tsvälijoll. Aluksi trkstell tsväli-porrsfuktioit j määritellää äille määrätty tsväli-itegrli. Tästä jtket ploitti jtkuvie fuktioide määräty tsväli-itegrli muodostmisee. Lähestymistp o smtpie kui T. Apostoli Clculus 1 -kirjss [1]. Tsväli-itegrliteori muodostmise jälkee tehdää vertilu Riem-itegrlii. Hvit, että ploitti jtkuville j rjoitetuille fuktioille tsväli- j Riem-itegrlit ovt yhteevät. Smoi todistet, että jos fuktio o Riem-itegroituv, o se määrätty tsväli-itegrli sm kui määrätty Riem-itegrli. Opetusosuus o kehitetty lukio itegrlilske kurssi jälkee käytäväksi, jolloi opiskelijll o jokilie käsitys itegrlist. Kurssi ei kuitek ole jtkokurssi lähestymistv olless vähemmä lskellie. Kohderyhmä o lukio 3. vuode opiskelijt, jotk ovt kiiostueit mtemtiikst. Opetusosuude sisältö o pääpiirteittäi sm kui tutkielm mtemtiikkosss. 2
Os I Tsväli-itegrli: teori 1 Peruskäsitteitä Itegrlilske perusogelm o rtkist etu tsojouko pit-l. Tämä tphtuu yleisessä tpuksess jolli tyhjeysmeetelmällä. Tvllisesti itegrlilske teori kehitettäessä pitäydytää luksi yksikertisess tilteess: Pyritää määrittämää fuktio f : [, b] R kuvj j x-kseli välii jäävä luee pit-l. Pitl o mielekästä jtell pit-lfuktio p : M [0, [ vull, missä M o e tso osjoukot, joille pit-l void määrittää. Seurvss listt joiti järkevä tutuisi omiisuuksi, joit pit-lll ti pit-lfuktioll soisi olev. i pa) 0 kikill A M ii Mikäli A, B M, ii A B M j A B M j pa B) = pa) + pb) pa B). iii Jos A, B M site, että A B, ii tällöi B \ A) M j pb \ A) = pb) pa) 1 iv Mikäli A M o yhteevä 2 B: kss, o B M j pätee pa) = pb). v Jokiselle suorkiteelle S pätee S M, j o ps) = b, missä, b ovt suorkitee leveys j korkeus. vi Olkoo C sellie joukko, jolle löytyy kuv 1 mukisesti suorkulmiset moikulmiot 3 A, B site, että 1) A C B. Mikäli löytyy täsmällee yksi c R jok toteutt epäyhtälöt pa) c pb) kikille A, B jotk toteuttvt ehdo 1, o C M j pc) = c. 1 Tästä seur, että myös tyhjä joukko kuuluu M:ää j se pit-l o 0. 2 joukot ovt yhteeviä, jos e void siirtää päällekäi. toisi soe, jos löytyy etäisyydet säilyttävä jokiselle x, y A pätee dx, y) = dfx), fy)), d o tvllie metriikk) bijektio f : A B, 3 suorkulmiselle moikulmiolle löytyy suorkiteet A i site, että A = S Ai j äi stu joukko o yhteäie. 3
Kuv 1: A C B, A j B suorkulmisi moikulmioit. Nämä kikki ovt hyvi järkevä tutuisi pit-l omiisuuksi. Viides ksioom t keio lske suorkulmiste moikulmioide pit-loj. Piste j suor tulkit surkstueiksi suorkiteiksi; iide pit-l o 0. Suorkulmio pit-l hyväksi käyttäe päästää lskem myös yleisempie lueide pit-loj rjprosessi vull. Kuudes ksioom t eväitä tähä. Tutkielmss ei peudut kovi syvällisesti ogelm, millisille tso osjoukoille pit-l void määritellä. Kuiteki kikki määriteltävät käsitteet ovt sellisi, että sdut tulokset itegrleille ovt sopusoiuss äide pit-l määrittelevie omiisuuksie kss. Tämä trkoitt esimerkiksi sitä, että myöhemmi määriteltävälle tsväli-itegrlille void sovelt pit-ltulkit. Tässä tutkielmss ei oll kiiostueit kovi yleisestä tpuksest, v tutkit vi ploitti jtkuv, suljetull j rjoitetull välillä määritelly fuktio j x-kseli välii jäävää luett. Käytettävä tyhjeysmeetelmä o myöski rjoittuut: trksteluss rjoitut käyttämää väli [, b] jkmist yhtä pitkii pätkii. Trkoitukse o päästä tällä rjoitetull välieistöllä luom toimiv itegrliteori. Seurvss esitellää muutmi termejä, joist teori lähdetää rketm. Määritelmä 1.1. Fuktio f : [, b] R o ploitti jtkuv, mikäli väliltä [, b] löytyy korkeit äärellie määrä pisteitä joiss f o epäjtkuv. Määritelmä 1.2. Fuktio f : [, b] R o rjoitettu, mikäli o olemss M R site, että fx) < M kikill x [, b]. Määritelmä 1.3 jko). Väli [, b] R jko P o pistejoo x 0, x 1,..., x, missä = x 0 < x 1 < < x 1 < x = b. Mikäli löytyy c R site, että c = x i x i 1 R kikille i = 1, 2,...,, sot, että jko P o väli [, b] tsvälijko. 4
Huomutus 1.4. Mikäli joille P j P pätee P P, sot, että P o krkempi kui P j vstvsti P o hieompi jko kui P. Määritelmä 1.5 porrsfuktio j tsväliporrsfuktio). Fuktio s : [, b] R o porrsfuktio, mikäli löytyy jko P = { = x 1, x 2,..., x = b} site, että jokisell jkopisteide määrämällä välillä ]x i 1, x i [ fuktio f o vkio. Jo P pisteissä fuktio rvot svt oll mitä ths relilukuj. Täsmällisesti ilmistu, löytyy pisteet i R, i = 1, 2,..., site, että sx) = i, mikäli x ]x i 1, x i [. Porrsfuktio s o tsväliporrsfuktio, mikäli löytyy δ R site, että jokise väli ]x i 1, x i [ pituus o δ. Huomutus 1.6. Porrsfuktiot ovt ploitti jtkuvi. Luse 1.7. Tsväliporrsfuktioide s j t summ s + t = u : [, b] R, x sx) + tx) j tulo s t = v : [, b] R, x sx)tx) ovt myös tsväliporrsfuktioit. Todistus. Olkoot s : [, b] R j t : [, b] R tsväliporrsfuktioit. Olkoo P s = { = x 0, x 1,..., x = b} sellie fuktioo s liittyvä jko, että s o vkio kullki välillä ]x i 1, x i [. Olkoo kuki väli pituus δ s. Olkoo P t fuktiot t vstv jko. Olkoot jo määrittelemie välie pituudet δ t. P t jk väli [, b] m:ää δ t : pituisee osvälii j P s :ää δ s : pituisee osvälii, jote δ t m = δ s = b Näi olle δ s = m δ t, missä m, N. Vlit δ := 1 δ t. Nyt P = {, + δ, + 2δ,..., b} o hluttu tsvälijko. Todistet tämä. Selvästi P t P, sillä P t : lkiot ovt muoto + lδ, missä l N. Olkoo x i P s. Osoitet, että x i P. Jo P s määrittely ojll löytyy k N site, että x i = + kδ s = + k m δ t = + kmδ b, jote x i P. Löydetty jko P o hieompi kui P s P t, jote s j t ovt vkioit P : määräämillä väleillä ] + i 1)δ, + iδ[ Huomutus 1.8. Jos o ettu suljetull j rjoitetull välillä määritelty äärellie määrä tsväliporrsfuktioit, löytyy äitä fuktiot vstvie jkoje hieous site, että uudess joss kikki fuktiot ovt edellee tsväliporrsfuktioit. Todistuksess etsitää sellie jko P, jok o kikkie lkuperäiste jkoje hieous. Tuloksee päästää käyttämällä lusett 1.7 trpeellise mot kert. 5
2 Tsväliporrsfuktio määrätty tsväli-itegrli Kppleess esitetää määritelmä tsväliporrsfuktio määrätylle tsväli-itegrlille. Lisäksi trkstell määritelly itegrli eri omiisuuksi. Hvit, että moet porrsfuktioide omiisuudet löytyvät myös tsväliporrsfuktioilt. Määritelmä 2.1 tsväliporrsfuktio määrätty tsväli-itegrli). Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio. Olkoo δ > 0 sellie luku, että s o vkio jokisell väleistä ] + i 1)δ, + iδ[, missä i = 1, 2,...,. Merkitää s: välillä ] + i 1)δ, + iδ[ sm rvo s i :llä. Tsväliporrsfuktio s määrätty tsväli-itegrli yli väli [, b] o sx)dx := s i δ = δ s i. Huomutus 2.2. Itegrli o i olemss. Jokiselle tsväliporrsfuktiolle löytyy joki δ j sitä vstvt s i. Jos vlit mikä hyväsä eri väli pituus δ 2, jok määräämillä väleillä ] + i 1)δ 2, + iδ 2 [ s s rvot s j, o voimss sx)dx = δ s i = δ 2 m Näi olle määritelmä liittää ettuu kolmikkoo, b, s, missä, b R, < b j s tsväliporrsfuktio, täsmällee yhde reliluvu. Huomutus 2.3. Tässä tutkielmss käytetää fuktio f : [, b] R määrätylle tsväliitegrlille 4 merkitää fx)dx. Kyseessä o siis tsväli-itegrli, eikä Riem-itegrli ti mikää muuk etuudest tuttu itegrli. Huomutus 2.4. Jtkoss stet puhu määrätystä tsväli-itegrlist imityksillä itegrli, tsväli-itegrli ti määrätty itegrli. Kuiteki i o kysymys määrätystä tsväli-itegrlist, ellei toisi miit. Seurvss trkstell mikälisi omiisuuksi tsväliporrsfuktio määrätyllä tsväli-itegrlill o. Esimmäie luse kertoo, että jos tsväliporrsfuktiot kerrot jollki vkioll, o sdu fuktio määrätty tsväli-itegrli sm kui jos kerrottisii lkuperäise fuktio määrätty tsväli-itegrli kyseisellä vkioll. s j. 4 Määritelmä et 3. luvu luss 6
Luse 2.5. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio. Tällöi jokiselle c R pätee csx) = c sx)dx. Todistus. Selvästi myös cs : [, b] R, x csx) o tsväliporrsfuktio. Olkoo tsvälijo P s = { = x 0, x 1,..., x = b} määräämä yhde väli pituus δ > 0. Merkitää s i := sx), missä x ]x i 1, x i [. Summ omiisuuksist j tsväli-itegrli määritelmästä seur, että csx)dx = δ cs i = cδ s i = c sx)dx. Seurv lusee muk khde tsväliporrsfuktio summfuktio määrätty tsväli-itegrli o sm kui määrättyje tsväli-itegrlie summ. Luse 2.6 dditiivisuus, tsväliporrsfuktio määrätty tsväli-itegrli). Olkoot s : [, b] R j t : [, b] R tsväliporrsfuktioit. Tällöi pätee sx) + tx)dx = sx)dx + tx)dx. Todistus. Huomutukse 1.7 ojll s + t o tsväliporrsfuktio. Olkoo δ > 0 sellie, että s + t, s j t ovt vkioit kullki välillä ] + i 1)δ, + iδ[, missä i = 1, 2,...,. Merkitää vstvi fuktioide rvoj s i :llä j t i :llä. Tällöi o sx) + tx))dx = δ s i + t i ) = δ s i + δ t i = sx)dx + tx)dx. Luseet 2.5 j 2.6 void yhdistää yhdeksi tulokseksi: Seurus 2.7 määräty tsväli-itegrli lierisuus tsväliporrsfuktiolle). Olkoot s : [, b] R j t : [, b] R tsväliporrsfuktioit j A, B R. Tällöi pätee Asx) + Btx)dx = A Todistus. Luseide 2.5 j 2.6 ojll Asx)dx + Btx)dx 2.6 = Asx)dx + sx)dx + B Btx)dx 2.5 = A tx)dx. sx)dx + B tx)dx. 7
Seurv luse kertoo, että pieemmä tsväliporrsfuktio määrätty tsväli-itegrli o pieempi kui suuremm. Luse 2.8. Mikäli s j t ovt tsväliporrsfuktioit site, että sx) tx) kikill x [, b] \ P s P t ), missä P s j P t ovt fuktioit s j t vstvt tsvälijot, pätee sx)dx tx)dx Todistus. Olkoo δ > 0 sellie, että s, t ovt vkioit kullki välillä ] + i 1)δ, + iδ[, missä i = 1, 2,...,. Merkitää vstvi fuktioide rvoj s i :llä j t i :llä. Tällöi o sx)dx = δ s i δ jos sx) tx) kikill x [, b] \ P s P t ). t i = tx)dx, Huomutus 2.9. Mikäli lusee 2.8 tilteess löytyy lisäksi joki osväli [ + i 1)δ, + iδ] [, b], joll pätee s i < t i, ii pätee sx)dx < tx)dx. Todistus. Todistus o smlie kui edellä, mutt pätee sx)dx = δ sillä s i < t i jollki i {1, 2,..., }. s i < δ t i = tx)dx, Seurvksi todistet, että mikäli itegroimisvälille lisätää ylimääräie piste, o määrätty tsväli-itegrli yli koko väli yhtä suuri kui osvälie määrättyje itegrlie summ. Tässä tulee oikest esimmäise kerr ogelmi. Mikäli c ], b[ vlit hklsti, eli c b c Q, s ei olek tsväliporrsfuktio väleillä [, c] j [c, b]. Luseess välipisteelle setet rjoitus, ettei ogelmi muodostu. Luse 2.10. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio j c ], b[ sellie, että c b c =: k l Q j l, k N. Tällöi pätee c sx)dx + sx)dx = sx)dx. c 8
Todistus. Kosk s o tsväliporrsfuktio, löytyy väli [, b] tsvälijko Vlit δ 2 := δ k+l = P = {, + δ, + 2δ,..., + δ = b}. b k+l). Nyt välie [, c] j [c, b] tsvälijot P c := {, + δ 2, + 2δ 2,..., + lδ 2 = c} j P cb := {c, c + δ 2, c + 2δ 2,..., + k + l)δ 2 = b} sisältyvät tsvälijkoo P 2 := {, + δ 2, + 2δ 2,..., + kδ 2 = c,..., + k + l)δ 2 = b}. Merkitää fuktio s välillä ]+i 1)δ 2, +iδ 2 [ sm rvo s i :llä. Ei ole vike äyttää, että jote Vstvsti pätee Sd siis mikä oli todistettv. c c sx)dx = c k sx)dx = b c l sx)dx = c k = b k + l) k l s i = s i = b k+l) k + l) = b k + l) = c k = c k k sx)dx + b k + l) b k + l) s i s i + s i + b c l Stu tulos yleistyy äärelliselle pistejoukolle: c b k + l) l s i sx)dx, k k+l) i=k+1 s i. k+l) s i. i=k+1 s i 9
Seurus 2.11. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio j = x 0 < x 1 <... < x = b. Mikäli muodostuvt pisteet sd sisällytetyksi johoki tsvälijkoo, jok jokisell määrittelemällä välillä ]x i 1, x i [ s o vkio, o voimss sx)dx = x i x i 1 sx)dx. Todistus. Käytetää lusett 2.10 1 kert. Tvllisess itegrliteoriss vstvt tulokset riittävät jtkuvie fuktioide rvioimisee. Tsväli-itegrliteori klt tulokset eivät vielä kuitek riitä. Nimittäi s ei ole lusee 2.10 tilteess tsväliporrsfuktio joss P u. Tästä sytyy ogelmi tsvälil- j tsväliyläitegrli määriteltäessä. Seurvt luseet kuiteki korjvt tilett. Luse 2.12. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio, c ], b[ j ɛ > 0. Tällöi löytyy tsväliporrsfuktiot t : [, c] R j u : [c, b] R site, että tx) sx) kikill x [, c], ux) sx) kikill x [c, b] j lisäksi pätee c tx)dx + c ux)dx > sx)dx ɛ Todistus. Etsitää sopivt tsväliporrsfuktiot t j u. Merkitää sup sx) =: M. Olkoo t : [, c] R sellie, että se s smt rvot kui s lukuuottmtt välejä, joide yhteelskettu pituus o < ɛ 5M. Tällie porrsfuktio o olemss, kosk s viht rvo vi äärellise moess pisteessä, j tsväliporrsfuktio jko hieotmll sd kuki hyppäsysepäjtkuvuuspistee lähistöllä väli, joll fuktioide rvot erovt toisist, mielivltise pieeksi. Määritellää epäjtkuvuuspisteide lähellä tx) := M. Vstvsti sd määriteltyä hyvi s:ää välillä [c, b] lpuolelt rvioiv tsväliporrsfuktio u. Nyt o voimss tx) sx) kikill x [, c] j ux) sx) kikill x [c, b]. Kosk fuktioide rvoje erotus o korkeit 2M, o voimss c tx)dx + c ux)dx sx)dx 2 2Mɛ 5M < ɛ. Kosk i o voimss A A, kuh A R, edellisestä epäyhtälöstä seur, että jost väite seur. c tx)dx + c ux)dx sx)dx < ɛ, 10
Luse 2.13. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio, c ], b[ j ɛ > 0. Tällöi löytyy tsväliporrsfuktiot t : [, c] R j u : [c, b] R site, että tx) sx) kikill x [, c], ux) sx) kikill x [c, b] j lisäksi pätee c tx)dx + c ux)dx < Todistus. Smll tvll kui edellie todistus. sx)dx + ɛ Luseet 2.12 j 2.13 void yleistää koskem äärellise mot pistettä: Luse 2.14. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio j ɛ > 0. Muodostkoot pisteet = c 0 < c 1 < < c = b väli [, b] tsvälijo. Tällöi löytyy tsväliporrsfuktiot t i : [c i 1, c i ] R, i = 1, 2,..., site, että j lisäksi t i x) sx) kikill x ]c i 1, c i [, i = 1, 2,..., c i c i 1 t i x)dx > Todistus. Vlit ɛ 2 := ɛ. Lusee 2.12 ojll pätee sx)dx ɛ 2 < c 1 sx)dx ɛ t 1 x)dx + c 1 u 1 x)dx. joilleki tsväliporrsfuktiolle t 1 : [, c 1 ] R j u 1 : [c 1, b] R. Tämä jälkee tehdää sm uudest site, että u 1 vst fuktiot s, j lusett sovellet pisteesee c 2. Näi jtkmll sd todistettu jokie piste eriksee, j lisäys o i < ɛ 2. Sd lopult jote väite pätee. sx)dx ɛ < sx)dx 1)ɛ 2 < c i c i 1 t i x)dx, Luse 2.15. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio, = c 0 < c 1 < < c = b j ɛ > 0. Tällöi löytyy tsväliporrsfuktiot t i : [c i 1, c i ] R, i = 1, 2,..., site, että t i x) sx) kikill x ]c i 1, c i [, i = 1, 2,..., j lisäksi c i c i 1 t i x)dx < sx)dx + ɛ 11
Kuv 2: Lusee 2.17 tile, ku k = 2. Vsemmll fx)dx, oikell kb k fx k )dx. Todistus. Smll tvll kui lusee 2.14 todistus. Seurviss luseiss todettvt omiisuudet ovt siirto j veytys. Siirto ei muut itegrli, mutt veytys muutt itegrli veytykse verr. Luse 2.16. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio j c R. Tällöi pätee sx)dx = b+c +c sx c)dx. Todistus. Olkoo P = {x 0, x 1,... x } väli [, b] tsvälijko, väli pituute δ. Nyt P c = {x 0 + c, x 1 + c,... x + c} = {y 0, y 1,..., y 1, y } o väli [ + c, b + c] tsvälijko. Merkitää väliä ]x i 1, x i [ vstv s: rvo s i :llä. Olkoo tx) sellie fuktio, että jokisell välillä ]y i 1, y i [ pätee t i = tx) := sx c). Nyt rvot s i j t i vstvt toisi. Näi olle pätee sx)dx = δ s i = δ t i = b+c +c sx c)dx. Luse 2.17. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio j k > 0. Tällöi pätee kb k x ) s dx = k k sx)dx. Todistus. Olkoo P = {x 0, x 1,..., x = b} fuktioo s liittyvä tsvälijko. Määrittelemällä P 2 = {kx 0, kx 1,..., kx } sd väli ]k, kb[ tsvälijko. Merkitää sx) =: s i, mikäli x ]x i 1, x i [, j tx) = s x k ), mikäli x ]k, kb[. Tällöi tx), missä x ]kx i 1, kx i [, vst luku s i. kb k tx)dx = s i kδ = kδ s i = k sx)dx. 12
Luseiss 2.10 j 2.17 setettii rjoituksi välipistee vlille j vlitulle vkiolle. Näitä tuloksi sd kuiteki yleistettyä ottmll käyttöö uusi määritelmiä: Määritelmä 2.18. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio. Määritellää sx)dx := sx)dx. b Määritelmä 2.19. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio j c [, b]. Määritellää c c sx)dx := 0. Näide määritelmie vull void lusee 2.10 pisteide, b, c järjestys vlit mite hyväsä kuh oletus välie osmäärä rtiolisuudest o voimss) j tsväliporrsfuktiolle s pätee sx)dx = c sx)dx + sx)dx. Todistet esimerkiksi tpus b < < c : c Todistus. Lusee 2.10 ojll c sx)dx = c sx)dx + sx)dx. Lisäämällä molemmille puolille b b c sx)dx sx)dx b b sd c sx)dx = c sx)dx + sx)dx. b Sitte järjestetää termejä j käytetää määritelmää 2.18 jolloi sd sx)dx = c b c sx)dx sx)dx, b jost uudest määritelmä 2.18 ojll sd sx)dx = c sx)dx + sx)dx, mikä riittää todistm väittee. c 13
Myöski lusett 2.17 void käyttää yleisemmässä muodoss, j vlit k myös egtiiviseksi. Todistet esi putulos: Luse 2.20. Olkoo s : [, b] R tsväliporrsfuktio. Tällöi pätee b s x)dx = sx)dx. Todistus. Olkoo P = { = x 0, x 1,..., x = b} väli [, b] tsvälijko. Merkitää s i := sx), missä x ]x i 1, x i [. Olkoo P 2 = { b = y 0, y 1,..., y = } väli [ b, ] tsvälijko. Olkoo t : [ b, ] R tsväliporrsfuktio site, että tx) := s x). Merkitää t i = tx), missä x ]y i 1, y i [. Nyt t i = s i+1 kikill i = 1, 2,...,. Merkitää δ := x i x i 1 = y i y i 1. Tällöi pätee b tx)dx 2.18 = b määr. = δ = δ tx)dx t i = δs + s 1 + + s 1 ) s i = sx)dx. Lusee 2.17 todistus, ku k < 0. Olkoo k < 0 j s : [, b] R tsväliporrsfuktio. Void muokt itegrli: kb k x ) s dx = k Nyt lusett 2.17 käyttämällä sd k) b) k) ) Käyttämällä putulost 2.20 sd k b s k) b) k) ) s ) x dx = k k s x)dx = k) ) x dx. k b s x)dx. sx)dx = k sx)dx. 14
3 Ploitti jtkuv, rjoitetu fuktio määrätty tsväli-itegrli Edellisessä kppleess hvittii, että tsväliporrsfuktio tsväli-itegrli o moess suhteess smlie kui porrsfuktio Riem-itegrli. Tämä viittisi siihe, että myös suljetull j rjoitetull välillä määritellylle rjoitetulle j ploitti jtkuvlle fuktiolle sd määriteltyä mielekäs itegrli käsite tsvälijo vull. Tässä kppleess äi tehdääki, eli määritellää rjoitetu j ploitti jtkuv fuktio määrätty tsväli-itegrli. Kppleess esitetää myös vihtoehtoie määritelmä, jok osoittutuu vrsiise määritelmä kss yhtäpitäväksi, ku trkstell ploitti jtkuvi j rjoitettuj fuktioit. Määräty tsväli-itegrli olemssolo ti fuktio itegroituvuutt ei määritellä se kummemmi. Tässä oki mielekiitoie jtkotutkimukse ihe: Mitkä fuktiot ovt tsväli-itegroituvi? Myöhemmi todistet, että Riem-itegroituvlle fuktiolle määrätty Riem-itegrli j tsväli-itegrli ovt smt. Määritelmä 3.1 rjoitetu, ploitti jtkuv fuktio tsväli-itegrli). Olkoo f : [, b] R ploitti jtkuv j rjoitettu. Fuktio f määrätty tsväli-itegrli yli väli [, b] o fx)dx := lim b f + j b ). Huomutus 3.2. Määritelmässä o vlittu fuktio rvo lskemispisteeksi kuki väli 5 oikepuoleie päätepiste, mutt tällä ei ole suurt merkitystä lopputulokse klt kosk trkstell vi ploitti jtkuvi fuktioit. Pistee vlill o kuiteki yleisessä tpuksess merkitystä: jos se sd vlit jok väliltä mielivltisest kohdst, päädytää perustvll tvll 6 eri määritelmää. Huomutus 3.3. Määritelmä kss tulee ogelmi, jos f oki rjoittmto, esim f : ]0, 1] R, x 1 x, ti määrittelyväli o rjoittmto, esim. f : [ 5, [ R, x rct x. Ei kuitek mietitä äitä v pitäydytää rjoitetuill väleillä määritellyissä rjoitetuiss fuktioiss. Huomutus 3.4. Määrätty tsväli-itegrli o määritelty vi ploitti jtkuville, rjoitetuille fuktioille. Rj-rvo o tällöi i olemss j yksikäsitteie. Tämä todistet seurvss. Esi todistet tulos jtkuville fuktioille. 5 Tässä kuki väli pituus o vkio, b. 6 Vikk tässä ei tsväli-itegroituvuutt määriteltykää, voitisii määritellä että fuktio o tsväliitegroituv, mikäli määritelmässä esiityvä rj-rvo o olemss j se o yksikäsitteie. Tämä ei kuitek ole mielekästä, sillä tällöi itegrli käsite olisi ristiriidss yleisesti käytössä olevie itegrlie määritelmie kss. Ktso esimerkki 16.6. 15
Kuv 3: Määräty tsväli-itegrli määritelmässä esiityvä summ vst kuvio tummeettu l. Ku jkovälie määrä, sd itegrli. Luse 3.5. Olkoo f : [, b] R jtkuv. Tällöi rj-rvo o olemss. fx)dx := lim b f + j b ). Todistus. Todistus perustuu siihe, että jtkuv fuktio f : [, b] R o tsisesti jtkuv 7, ks. [3, s. 100-101]. Merkitää F := b f + i b ). F o rvio itegrlille, ku osvälie määrä o. Fuktio rvo lsket kuki osväli oikepuoleisess päätepisteessä j kerrot osväli pituudell; tämä t yhde suorkitee pit-l. Olkoo ɛ > 0. Kosk f o tsisesti jtkuv, o olemss δ > 0 site, että fx) fy) < ɛ, kuh x y < δ. Olkoo S = { = x 0, x 1,..., x = b} sellie tsvälijko, että osväli [x i 1, x i ] pituus o < δ. Olkoo tsvälijko S N = {y 0, y 1,..., y N } tsvälijo S hieous, siis S S N. Merkitää F N = N b N f + j b ). N 7 Se, että fuktio f : [, b] R o tsisesti jtkuv trkoitt sitä, että jos o ettu ɛ > 0, o olemss δ = δɛ) > 0 site, että kikill α, β [, b] fα) fβ) < ɛ, kuh α β < δ. 16
Joss S N väli [x i 1, x i ] jet osväleihi [y r, y r+1 ], [y r+1, y r+2 ]..., [y s 1, y s ]. Näitä välejä vstvie termie osuus F N :stä o s j=r+1 b N f + j b ). N Osväliä [x i 1, x i ] vstv termi vikutus F :ää o b f + i b ), mikä void kirjoitt muodoss pätee s r) b N f + i b ) = s j=r+1 b N f + i b ). Välii [x i 1, x i ] liittyville, jkoj S N j S vstville termeille j = r + 1, r + 2,..., s) kosk oli vlittu 8 b s j=r+1 f + j b ) f + i b ) < ɛ, N < δ. Siispä o voimss [ f + j b ) f + i b N )] b N s j=r+1 ɛ b N = ɛb. Ottmll huomioo kikkii osväleihi x i 1, x i liittyvät termit sd rvioksi 2) F N F ɛ b = ɛb ), kuh b < δɛ) j S N o jo S hieous. Vlit yt tsvälijot S, S m j S N site, että S N o tsvälijkoje S, S m hieous. Oletet, että b b < δɛ) j m < δɛ). Kolmioepäyhtälö j yhtälö 3 vull sd F F m F F N ) + F N F m ) F F N + F m F N 2ɛb ). Void kirjoitt F F m < 3ɛb ) kuh m, ovt riittävä suuri. Tästä j Cuchy ehdost lukujoo suppeemiselle seur, että rj-rvo o olemss. lim F = F = fx)dx. 8 Ehdost seur, että + j b «+ i b N «< δ. 17
Seurvss todistet, että rvo fx)dx ei riipu vlituist pisteistä: void vlit joki muu kui trksteltv väli oikepuoleie päätepiste itegrli pysyessä muuttumttom. Luse 3.6. Olkoo f : [, b] R jtkuv j olkoo ξ i [x i 1, x i ] kikill i = 1, 2,...,. Tällöi rj-rvo lim b fξ i) o olemss j yksikäsitteie. Rj-rvo ei siis riipu siitä mite pisteet ξ i o väleiltä vlittu. Lisäksi pätee lim b b fξ i) = fx)dx. Todistus. Osoitet, että jos vlit mikä muu hyväsä väli piste, tulos o sm. Olkoo F m = m b m fξ i), missä ξ i [x i 1, x i ] void vlit mielivltisesti. Lusee 3.5 todistuksess ei trvittisi oletust siitä, että F : j F m : lusekkeiss lsket fuktio rvoj osväli oikepuoleisess päätepisteessä. Nimittäi jos vlit päätepistee + i b pisteistä ξ i [x i 1, x i ], sijst mikä hyväsä päästää sm epäyhtälöö, kosk fuktio rvot ovt kuiteki ɛ:i lähempää toisi, ks. [3, s. 193-194]. Muodostetuille F j F m pätee site F F m < 3ɛb ) kuh m, ovt trpeeksi isoj. Merkitää lim m F m = A. Nyt pätee myöski j kosk tämä pätee kikill ɛ > 0, o oltv eli rj-rvo ei riipu välipistee vlist. F A 3ɛb ). lim F = A, Luse 3.7. Olkoo f : [, b] R ploitti jtkuv j rjoitettu. Tällöi rj-rvo o olemss. fx)dx := lim b f + i b ). 18
Todistus. Olkoo ɛ > 0. Määritellää A := {f: epäjtkuvuuspisteet}. Kosk f o tsisesti jtkuv joukoss [, b]\a, o olemss δ > 0 site, että fx) fy) < ɛ, kuh x y < δ, eikä x: j y: välissä ole epäjtkuvuuspistettä. Olkoo M sellie, että M > sup fx). Olkoo epäjtkuvuuspisteitä k kpplett. Määritellää δ := ɛ 5kb )M 5kM. Olkoo > ɛ jolloi b < δ. Määritellää F := b f + i b Olkoo S = { = x 0, x 1,..., x = b} väli [, b] tsvälijko. Olkoo tsvälijko S N = { = y 0, y 1,..., y N = b} tsvälijo S hieous, siis S S N. Merkitää F N = N ). b N f + j b ) N Joss S N väli [x i 1, x i ] jet osväleihi [y r, y r+1 ], [y r+1, y r+2 ],..., [y s 1, y s ]. Näitä välejä vstvie termie osuus F N :stä o s j=r+1 b N f + j b ) N Trkstell osvälejä [x i 1, x i ], joill ei ole epäjtkuvuuspistettä. Tällöi osväli vikutus F :ää o mikä void kirjoitt muodoss b f + i b ), s r) b N f + i b ) = s j=r+1 b N f + i b ). Näihi väleihi [x i 1, x i ] liittyville, jkoj S N j S vstville termeille j = r, r + 1,..., s) pätee kosk oli vlittu b s j=r+1 f + j b ) f + i b ) < ɛ, N < δ. Siispä o voimss [ f + j b ) f + i b N )] b N s j=r+1 ɛ b N = ɛb. Epäjtkuvuuspistee sisältävie välie lukumäärä o k, jote iide kotribuutio o korkeit 2 k b M < ɛ. Ottmll huomioo kikkii osväleihi [x i 1, x i ] liittyvät termit sd äi olle rvioksi 3) F N F < ɛ b 19 + ɛ = ɛb ) + ɛ,
kuh b < δɛ) j S N o jo S hieous. Vlit yt tsvälijot S, S m j S N site, että S N o tsvälijkoje S, S m hieous. Oletet, että b b < δɛ) j m < δɛ). Kolmioepäyhtälö j yhtälö 3 vull sd F F m F F N ) + F N F m ) F F N + F m F N 2ɛb ) + ɛ). Void kirjoitt F F m < 3ɛb ) + ɛ) kuh m, ovt riittävä suuri. Kosk ɛ > 0 oli mielivltie, epäyhtälöstä j Cuchy ehdost lukujoo suppeemiselle seur, että rj-rvo o olemss. lim F = F = fx)dx Luse 3.8. Olkoo f : [, b] R rjoitettu j ploitti jtkuv j olkoo ξ i [x i 1, x i ] kikill i = 1, 2,..., mielivltie. Tällöi rj-rvo lim b fξ i) o olemss, j se o sitä riippumtt mite pisteet ξ i o väleiltä vlittu. Lisäksi pätee lim b b fξ i) = fx)dx. Todistus. Todistus o smlie kui lusee 3.7 todistus. Riem-itegroituv fuktio määräty tsväli-itegrli olemssoloo plt myöhemmi kppleess Riem-itegrli. Tsväli-itegrli void määritellä myös toisell tp: Määritelmä 3.9 rjoitetu, ploitti jtkuv fuktio tsväli-itegrli, 2. versio). Olkoo f : [, b] R rjoitettu j ploitti jtkuv fuktio. Olkoot s, t sellisi tsväliporrsfuktioit, että sx) fx) tx) kikill x [, b]. Mikäli löytyy ts yksi luku I R site, että jokisell ehdo täyttävällä tsväliporrsfuktioprill s, t pätee sx)dx I tx)dx, ii fuktio f määrätty tsväli-itegrli yli väli [, b] o fx)dx := I. 20
Huomutus 3.10. Ploitti jtkuvlle, rjoitetulle fuktiolle tsväli-itegrli o i olemss j yksikäsitteie myös tämä toise määritelmä muk. Huomutus 3.11. Osoittutuu, että rjoitetuille j ploitti jtkuville fuktioille määritelmät ovt yhtäpitävät. Yleisessä tpuksess määritelmät eivät kuitek ole yhtäpitävät. Esimerki 16.6 muk rj-rvomääritelmä t itegrli rvoksi 1, mutt vihtoehtoie määritelmä ei suostu itegroim fuktiot. Määritelmä 3.12 tsvälilitegrli j tsväliyläitegrli). Olkoo f rjoitettu, ploitti jtkuv välillä [, b]. Olkoot s, t tsväliporrsfuktioit. Sot, että välii [, b] liittyvä f: tsvälilitegrli o If) = If [,b] ) := sup j tsväliyläitegrli o If) = If [,b] ) := if sx)dx : sx) fx) kikill x [, b] tx)dx : fx) tx) kikill x [, b]. Huomutus 3.13. Tsvälilitegrlit ovt olemss, sillä ylhäältä rjoitetull relilukujoukoll o supremum j lhlt rjoitetull ifimum. Joukkoje rjoittueisuus seur f rjoittueisuudest. Huomutus 3.14. Mikäli If) = If), o tämä yhteie rvo määritelmässä esiityvä rvo I. Tämä seur suor tsvälil- j tsväliyläitegrlie määritelmistä. Luse 3.15. Olkoo f : [, b] R jtkuv. Tällöi If) = If). Todistus. Kosk f o jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b], o se tsisesti jtkuv. Olkoo ɛ > 0. Nyt löytyy N site, että mikäli x y b, ii fx) fy) ɛ 2b ). Olkoo P = { = x 0, x 1,... x = b} väli [, b] tsvälijko. Määritellää tsväliporrsfuktiot s i = sx) := mi{fx) : x [x i 1, x i ]} j t i = tx) := mx{fx) : x [x i 1, x i ]}. Nyt sx) fx) tx). Jtkuv fuktio svutt suljetull j rjoitetull välillä pieimmä j suurimm rvos, jote joillki muttujie y i, z i [x i 1, x i ] rvoill fy i ) = s i j fz i ) = t i. Kosk y i z i x i x i 1 = b, 21
pätee Tästä sd s i t i = fy i ) fz i ) ɛ 2b ) < ɛ b. tx)dx sx)dx = b = b t i b t i s i ) < b ɛ b = ɛ. Näi olle tsväliyläitegrlille j tsvälilitegrlille pätee If) If) < ɛ, jote kosk ɛ > 0 oli mielivltie, väite pätee. Luse 3.16. Olkoo f : [, b] R jtkuv. Tällöi pätee lim b f + j b ) = If) = If). Todistus. Osoitet, että rj-rvo o i tsvälil- j tsväliyläitegrlie välissä. Kosk f o jtkuv, if{fx) : x ]x i 1, x i [} fx i ) sup{fx) : x ]x i 1, x i [}. Mikäli äi ei olisi, löytyisi 9 c [x i 1, x i ] site, että fx) < if fx) ti fx) > sup fx) ku x ]c, x i [, mikä o mhdotot. Olkoot s, t porrsfuktioit, joist s rvioi f:ää lpuolelt j t yläpuolelt site, että kullki välillä ]x i 1, x i [ pätee s i = sx) := if{fx) : x ]x i 1, x i [} j t i = tx) := sup{fx) : x ]x i 1, x i [}. Olkoot P s j P t fuktioit s j t vstvt tsvälijot, j olkoo P sellie jko, että P s P t P j lisäksi s j t ovt tsväliporrsfuktioit, ku jkopisteiä ovt P : lkiot. Olkoo N sellie, että P : lkioide lukumäärä o + 1. Tällöi rj-rvolusekkeess esiityvä summ termeille pätee s i kikill i = 1, 2,...,. Näi olle pätee s i fx i ) t i sx)dx = b s i b fx i) b t i = tx)dx. 9 x: olless lähellä x i:tä fuktio f rvot ovt lähellä fx i):tä 22
Siispä kosk If) = If) R, pätee myös lim b f + j b ) = If). Näi o stu todistettu, että jtkuvlle f : [, b] R void käyttää kump ths määritelmistä tsväli-itegrli fx)dx lskettess. Seurvt luseet sisältävät sm tulokse rjoitetuille j ploitti jtkuville fuktioille. Luse 3.17. Olkoo f : [, b] R rjoitettu. Tällöi pätee If [,b] ) = If [,c] ) + If [c,b] ). Todistus. Kosk f o rjoitettu, ovt If [,c] ), If [,c] ) j If [c,b] ) olemss. Selvästi kikill tsväliporrsfuktioll s : [, b] R, t : [, c] R j u : [c, b] R joille o voimss tx) sx) fx) kikill x [, c] j ux) sx) fx) kikill x [c, b] pätee jote sup sx)dx c tx)dx + sx)dx : sx) fx), x [, b] sup + sup c c c ux)dx tx)dx : tx) fx), x [, c] ux)dx : ux) fx), x [c, b], eli If [,b] ) If [,c] ) + If [c,b] ). Todistet sitte, että If [,b] ) If [,c] ) + If [c,b] ). Olkoo ɛ > 0. Lusee 2.12 ojll jokiselle tsväliporrsfuktiolle s : [, b] R löytyy tsväliporrsfuktiot t : [, c] R j u : [c, b] R site, että tx) sx) kikill x [, c] j ux) sx) kikill x [c, b] j lisäksi sx)dx ɛ < c tx)dx + c ux)dx. 23
Nyt o välttämättä sx)dx c tx)dx + c ux)dx, sillä mikäli olisi If [,b] ) > If [,c] ) + If [c,b] ), löytyisi ɛ 2 > 0 site, että sx)dx ɛ 2 > sup + sup c c tx)dx : tx) fx), x [, c] ux)dx : ux) fx), x [c, b], mikä o lusee 2.12 ojll mhdotot. Siis titeesi o väärä j pätee Sduist khdest tuloksest seur, että If [,b] ) If [,c] ) + If [c,b] ). If [,b] ) = If [,c] ) + If [c,b] ) Luse 3.18. Olkoo f : [, b] R jtkuv. Tällöi pätee If [,b] ) = If [,c] ) + If [c,b] ). Todistus. Smll tvll kui edellie todistus. Luse 3.19. Ploitti jtkuvlle, rjoitetulle fuktiolle f : [, b] R pätee Todistus. Olkoo ɛ > 0. Riittää osoitt, että If) = If). If) If) If) + ɛ. Esimmäie epäyhtälö seur suor tsvälil- j tsväliyläitegrlie määritelmistä. Todistet sitte toie epäyhtälö. Kosk f o rjoitettu, o M R site, että fx) < M kikill x [, b]. Kosk f o ploitti jtkuv, löytyy korkeit äärellise mot pistettä, joiss f o epäjtkuv. Merkitää tätä pistejoukko {x 1, x 2,..., x k }, missä x i 1 < x i kikill i = 2, 3,..., k. Merkitää x 0 = j x k+1 = b. Vlit δ := If i ) := If [xi 1 +δ,x i δ]). ɛ 10k+1)M. Merkitää 24
j If i ) := If [xi 1 +δ,x i δ]), missä i = 1, 2,..., k + 1. Lusee 3.17 ojll k+1 If S k+1 [x i 1+δ,x i δ] ) = f [xi 1 +δ,x i δ]). Näi olle tsvälilitegrli ero summlusekkee rvost vi epäjtkuvuuspisteide δ-ympäristöje iheuttm muutokse verr: k+1 If) If i ) < k + 1) 2M 2δ < 4 10 ɛ = 2 5 ɛ Siispä If) ] k+1 Smll tvll ähdää vstvsti, että If) [ If i ) 2 k+1 5 ɛ, If i ) + 2 5 ɛ ] k+1 [ If i ) 2 k+1 5 ɛ, If i ) + 2 5 ɛ. Lusee 3.15 ojll pätee 10 k+1 k+1 If i ) = If i ), jote o voimss If) If) < 4 5 ɛ < ɛ, mistä seur, että If) If) + ɛ. Näi olle väite pätee. Luse 3.20. Olkoo f : [, b] R rjoitettu j ploitti jtkuv. Tällöi pätee lim b f + j b ) = If) = If). Todistus. Osoitet, että lim b f + i b ) If). 10 Tulos pätee jokiselle välille [x i 1 + δ, x i δ] eriksee, jote se pätee myös summlle 25
Riittää osoitt, että jos o ettu ɛ > 0, o voimss lim b f + j b ) + ɛ > If). Olkoo ɛ > 0. Merkitää epäjtkuvuuspisteide joukko y 0, y 1, y 2,..., y k. Merkitää M := mx fx) : x [, b]. Olkoo := ɛ b )k + 1)3M. Epäjtkuvuuspisteide lähellä rj-rvotermii voi tull pieempiä rvoj, kui mitä vstvt tsvälilitegrli tsväliporrsfuktio termit ovt. Vikutus o kuiteki pieempää kui k + 1) 2M b = k + 1) 2M ɛb ) b )3Mk + 1) = 2 3 ɛ. Niillä väleillä [x i 1, x i ], joille ei kuulu epäjtkuvuuspisteitä, rj-rvolusekkee termit ovt vähitää yhtä suuri kui tsvälilitegrli vstvt termit: b b sup{sx) : sx) fx)} f + i b ) kikille i = 1, 2,...,. Näi olle eli lim lim jote kosk ɛ > 0 oli mielivltie, o oltv lim b f + j b ) If) 2 3 ɛ, b f + j b ) + ɛ > If), Smlisell päättelyllä ähdää, että Lusee 3.19 ojll pätee lim b f + i b ) If). b f + i b ) If). If) = If), jote täytyy oll If) = lim b f + i b ) = If), 26
4 Määräty tsväli-itegrli omiisuuksi Tässä kppleess listt joiti tsväli-itegrli omiisuuksi. Luse 4.1. Olkoo f : [, b] R rjoitettu j ploitti jtkuv. Olkoo c R. Tällöi pätee cfx)dx = c fx)dx. Todistus. Lusee 3.7 ojll rj-rvo o olemss 11. Vkio sd ott summst j rj-rvost ulos, jote cfx)dx = lim = c lim b cf + j b ) b f + j b ) = c fx)dx Seurv luse kertoo että summ itegrli o itegrlie summ. Luse 4.2. Olkoot f : [, b] R j g : [, b] R rjoitettuj j ploitti jtkuvi. O voimss fx) + gx)dx = fx)dx + gx)dx. Todistus. Todistuksess käytetää jällee rj-rvo omiisuuksi hyväksi. fx) + gx)dx = lim b f + j b ) + g + j b )) = lim = lim = b f + j b ) + b f fx)dx + + j b ) + lim gx)dx. b g + j b ) b g + j b ) Luseit 4.1 j 4.2 hyväksi käyttäe sd itegroitu mikä hyväsä rjoitettuje, ploitti jtkuvie fuktioide lierikombitio: 11 Tulost käytetää usesti kpplee ik. Sitä ei kuitek i miit. 27
Luse 4.3. Olkoot f i : [, b] R rjoitettuj j ploitti jtkuvi. Olkoot c i R kikill i = 1, 2,.... Tällöi pätee ) c i f i x) dx = Todistus. Tulos seur luseist 4.1 j 4.2: ) c i f i x) dx = 4.2 = 4.2 =... 4.2 = 4.1 = c 1 = c i f i x)dx. c 1 f 1 x)dx + c 2 f 2 x) + + c f x))dx c 1 f 1 x)dx + c i c 1 f 1 x)dx + f 1 x)dx + c 2 f i x)dx. c 2 f 2 x) + + c f x))dx c 2 f 2 x)dx + + f 2 x)dx + + c c f x)dx f x)dx Luse 4.4. Mikäli c ], b[, j f : [, b] R o rjoitettu j ploitti jtkuv, o voimss yhtäsuuruus fx)dx = c fx)dx + Todistus. Lusee 3.17 ojll rjoitetulle f o voimss j lusee 3.18 ojll pätee c fx)dx. If [,b] ) = If [,c] ) + If [c,b] ) If [,b] ) = If [,c] ) + If [c,b] ). Lusee 3.19 ojll ts pätee kulleki osvälille eriksee Näistä tuloksist väite seur. If) = If). 28
Luse 4.5. Olkoo f : [, b] R rjoitettu j ploitti jtkuv. Olkoo c R. Tällöi o fx)dx = b+c +c fx c)dx. Todistus. Olkoo g : [ + c, b + c] R, gx) = fx c). Merkitää Ig):llä g: tsväliyläitegrli j Ig):llä g: tsvälilitegrli. Riittää osoitt, että Ig) = Ig) = fx)dx. Olkoo s : [ + c, b + c] R mikä hyväsä tsväliporrsfuktio, jolle pätee sx) gx) kikill x [ + c, b + c]. Tällöi tsväliporrsfuktiolle s 1 : [, b] R, x sx + c) pätee s 1 x) fx) kikill x [, b]. Lusee 2.16 ojll pätee Siispä pätee Ig) = sup b+c +c b+c +c sx)dx = sx + c) = sx)dx : sx) gx) = sup b+c +c s 1 x)dx. s 1 x)dx : s 1 x) fx) = Kosk f o rjoitettu j ploitti jtkuv, lusee 3.19 ojll pätee jok riittää väittee todistmisee. Ig) = Ig), Luse 4.6. Olkoo f : [, b] R rjoitettu j ploitti jtkuv. Kikill k > 0 pätee fx)dx = 1 k kb k f x k ). fx)dx. Todistus. Määritellää gx) := f x k ), missä g : [k, kb] R. Olkoot Ig) j Ig) välii [k, kb] j fuktioo g liittyvät tsväliylä- j tsvälilitegrlit. Osoitet, että Ig) = Ig) = k fx)dx. Esimmäie yhtäsuuruus seur suor luseest 3.19 j siitä, että g o rjoitettu j ploitti jtkuv. Osoitet toie yhtäsuuruus: Olkoo s : [k, kb] R mikä hyväsä 29
tsväliporrsfuktio, jolle pätee sx) gx) kikill x [k, kb]. Tällöi tsväliporrsfuktiolle u : [, b] R, x skx) pätee ux) fx) kikill x [, b]. Lusee 2.17 ojll o voimss kb k sx)dx = k skx)dx = k Näi olle sd tässä u j s eivät ole kiiitettyjä) Ig) = sup kb k = sup k = k sup = k mikä riittää väittee todistmisee. ux)dx. sx)dx : sx) gx) fx)dx, ux)dx : ux) fx) ux)dx : ux) fx) Luse 4.7. Olkoot f : [, b] R j g : [, b] R rjoitettuj j ploitti jtkuvi. Tällöi mikäli fx) gx) kikill x [, b]. fx)dx gx)dx, Todistus. Olkoo fx) gx) kikill x [, b]. Määritellää tsväliporrsfuktio s : [, b] R. Jos porrsfuktio rvioi f:ää lpuolelt, rvioi se myös g:tä lpuolelt. Jos se rvioi g:tä yläpuolelt, rvioi se myös f:ää yläpuolelt. Tästä seur If) Ig) j If) Ig). Kosk f j g ovt rjoitettuj j ploitti jtkuvi, pätee lusee 3.19 ojll tsväliylä- j tsvälilitegrleille mikä riittää todistm väittee. If) = If) Ig) = Ig) Hlut määritellä määrätty tsväli-itegrli myös siiä tpuksess, että lrj o ylärj suurempi. Määritelmä o logie vstv tsväliporrsfuktio itegrli määritelmä kss; määritelmä voitisii todist lähtie tsvälil- j tsväliyläi- 30
tegrlie määritelmistä sekä tsväliporrsfuktio määritelmästä, ku lrj o ylärj suurempi. Kuitek määräty tsväli-itegrli rj-rvomääritelmästä ei päästä suor johtm kyseistä tulost, jote erillie määritelmä o hyvä oll olemss. Määritelmä 4.8. Olkoo f : [, b] R rjoitettu j ploitti jtkuv. Määritellää b fx)dx := fx)dx. Määritelmä 4.9. Olkoo f : [, b] R ploitti jtkuv j c [, b]. Määritellää c c fx)dx := 0. Määritelmie vull void muutmi luseit muotoill yleisemmi: Luse 4.10. Mikäli c R, j f : [, b] R o rjoitettu j ploitti jtkuv, ii pätee c fx)dx + c fx)dx = fx)dx. Todistus. Todistet esimerkiksi tile c < < b. Lusee 4.4 ojll rjoitetulle, ploitti jtkuvlle f : [c, b] R pätee c fx)dx + Nyt käyttämällä määritelmää 4.8 sd c fx)dx + fx)dx = fx)dx = c c fx)dx. fx)dx, jote mistä väite seur. c fx)dx + c fx)dx = fx)dx, Luse 4.11. Olkoo f : [, b] R rjoitettu j ploitti jtkuv. Kikill k 0 pätee fx)dx = 1 k kb k f x k ) dx. 31
Todistus. Lusee 2.17 muk jokiselle tsväliporrsfuktiolle s : [, b] R j k 0 pätee kb k x ) s dx = k k Näi olle tsvälilitegrlille If [,b] ) pätee sup sx)dx : sx) fx), x [, b] = sup 1 k = 1 k sup == 1 k kb k f sx)dx. kb k kb k x ) x ) x ) s dx : s f, x [k, kb] k k k x ) x ) x ) s dx : s f k k k x k ) dx., x [k, kb] Kosk f oli ploitti jtkuv, j rjoitettu, ovt se tsvälil- j tsväliyläitegrlit smt. Niipä o voimss eli If [,b] ) = If [,b] ) = 1 k fx)dx = 1 k kb k f kb k f x k ) dx, x k ) dx. 5 Polyomie itegroiti tsvälijo vull Polyomifuktio p : [, b] R, x x q, missä q N void itegroid kohtuullise helposti käyttäe geometrisesti ksvvi välejä. Pieiä ogelmi tulee, jos itegroiti yritetää tehdä tsvälijoll. Tässä trvit hiem putuloksi. Luse 5.1. Olkoo f : [, b] R ksvv. Olkoo P = { = x 0, x 1,..., x = b} tsvälijko. Mikäli I R toteutt epäyhtälöt kikill N\{0}, o b 1 k=0 fx k ) I b I = fx)dx. fx k ), k=1 32
Kuv 4: Väritettyje suorkiteide pit-l vst termiä C Todistus. Jokise tsvälijo P määräämä osväli pituus o b. Riittää todist, että 0 I fx)dx C jolleki C R, j kikille N \ {0}. Esimerkiksi C = [fb) f)]b )) käy. Olkoot s, t tsväliporrsfuktioit, joille pätee sx) = fx k 1 ) j tx) = fx k ) kikill x ]x k 1, x k [, k = 1, 2,...,. Merkitää porrsfuktio s sm rvo välillä ]x i 1, x i [ s i :llä, i = 1, 2,...,. Smoi merkitää t i :llä tsväliporrsfuktio t smi rvoj vstvill väleillä. Sd tx)dx sx)dx = b t i b s i = b ) t i s i = C. Kuvst 4 tile äkyy premmi. Suorkiteet void pistää päällekkäi, jolloi sd f) fb)-korkuie plkki, jok leveys o b. Näi olle tsvälilitegrli j tsväliyläitegrli erovt toisist korkeit C verr. Ku, sd jote väite pätee. 0 I fx)dx 0 Huomutus 5.2. Smlie tulos sd myös väheevälle fuktiolle tekemällä pieiä muutoksi todistuksee. Luse 5.3. Olkoot j p positiivisi kokoislukuj. Tällöi pätee p < + 1)p+1 p+1 p + 1 < + 1) p. 33
Todistus. Muistet, että r b r = b )b r 1 + b r 2 + + b r 2 + r 1 ), missä r N. Nyt vi sijoitet b = + 1, = j r = p + 1. Sd + 1) p+1 p+1 = + 1) p 0 + + 1) p 1 1 + + + 1) 1 p 1 + + 1) 0 p. Summ termeille k pätee p k + 1) p, eikä molemmt yhtäsuuruudet toteudu yhtä ik. Termejä o p + 1 kpplett, jote + 1) p+1 p+1 < p + 1) + 1) p j eli p + 1) p < + 1) p+1 p+1 p + 1) p < + 1) p+1 p+1 < p + 1) + 1) p jost väite seur. Luse 5.4. Olkoot j p positiivisi kokoislukuj. Tällöi pätee 1 k p < p+1 p + 1 < k=0 k p. Todistus. Iduktiotodistus. Alkuskel. Olkoo = 1. Sd välittömästi k=1 0 p < 1p p + 1 < 1p. Iduktioskel. Iduktio-oletus: väite pätee :lle. Todistet, että o k p < k=0 + 1)p+1 p + 1 Vsemmpuoleiselle summlle void kirjoitt 1 k p = k=0 k=0 +1 < k=1 k p + p < 1) p+1 p + 1 + 2) p < k p + 1)p+1, p + 1 missä 1):ssä o käytetty iduktio-oletust j 2):ss Lusett 5.3. 2):ss vähetämällä molemmilt puolilt termi p+1 p+1 d +1 k p = k=1 k=1 sd lusee tile. Oikepuoleiselle summlle s- k p 1) p+1 + + 1) > p+1 2) + + 1)p > p + 1 missä 1):ssä o ts käytetty iduktio-oletust j 2):ss lusett 5.3. + 1)p+1, p + 1 34
Luse 5.5. Olkoo p positiivie kokoisluku j b R, b > 0. Tällöi o voimss 0 x p dx = bp+1 p + 1. Todistus. Todistuksess päästää yt helpoll, ku työ o tehty edellisissä luseiss. Lusee 5.4 muk pätee 1 k p < p+1 p + 1 < k=0 k p. k=1 Kertomll ämä epäyhtälöt termillä b p+1 / p+1 sd eli b p+1 1 p+1 k p < bp+1 p+1 bp+1 < p + 1)p+1 p+1 b k=0 1 k=0 ) kb p < bp+1 p + 1 < b k=1 k p, k=1 ) kb p Merkitsemällä missä fx) = x p j x k = kb, eli fx k) = kb )p edellä olev void kirjoitt muodoss 1 b Yhtälö vst lusee 5.1 ehto b k=0 1 k=0 fx k ) < bp+1 p + 1 < b fx k ) I b missä o setettu = 0 j I = bp+1 p+1. Sd tulos 0 x p dx = bp + 1 p + 1 fx k ) k=1 fx k ), k=1 Sdu tulokse vull sd itegroitu kikki polyomifuktiot: Luse 5.6 polyomi itegroiti). Olkoo N j c k R kikill k = 1, 2,...,. Tällöi pätee c k x k dx = k=0 k=0 c k b k+1 k+1 k + 1 35
Todistus. Luse 4.4 kertoo, että jtkuvlle fuktiolle f : [, b] R j jolleki c ], b[ pätee erityisesti eli c 0 fx)dx + c fx)dx + 0 fx)dx = fx)dx = fx)dx = Tätä tulost j lusett 5.5 käyttämällä sd 0 fx) x p dx = bp+1 p+1. p + 1 Lusee 4.3 muk jtkuvlle fuktiolle pätee ) c k f k x) dx = k=1 k=1 0 c k fx)dx, fx)dx, fx)dx f k x)dx. Tästä seur, että c k x k dx = k=0 k=0 b k+1 k+1 c k. k + 1 6 Alyysi perusluse Määräty tsväli-itegrli kutt päästää käsiksi itegrlifuktioihi totutusti lyysi peruslusee kutt. Lusee todistus ei siällää tuo hirveästi uutt teori, kosk trkstelu ei juurik riipu käytettävästä jost muute kui käytettävie putuloste oslt. Aputulokset luse 4.4 j luse 4.7) löytyvät iemmst tekstistä. Johdtus itegroititeori ilm lyysi peruslusett tutuu kuiteki vjlt, jote täydellisyyde vuoksi tulokset tässä muk ovt. Luse 6.1 Alyysi perusluse, os 1). Olkoo x Gx) = ft)dt, 36
missä f : [, b] R o rjoitettu j ploitti jtkuv. Tällöi G o jtkuv fuktio j pätee G x) = fx), mikäli f o jtkuv x:ssä. Lusee 6.1 todistus, jtkuvuus. Osoitet, että lusee 6.1 tilteess G o jtkuv. Lusee 4.4 ojll rjoitetulle j ploitti jtkuvlle f pätee x x 0 x ft)dt = ft)dt + ft)dt, x 0 jote eli x x 0 x ft)dt ft)dt = ft)dt, x 0 x Gx) Gx 0 ) = ft)dt. Kosk f o rjoitettu, löytyy M R site, että ft) < M kikill t [, b]. Oletet luksi, että x 0 < x. Nyt pätee x 0 x x x x 0 M)dt ft)dt Mdt, x 0 x 0 eli Mx x 0 ) Gx) Gx 0 ) Mx x 0 ) mikä void kirjoitt myös muodoss Olkoo sitte x < x 0. Tällöi pätee Gx) Gx 0 ) M x x 0. eli jote x 0 x 0 x 0 Mdt ft)dt M)dt, x x x Mx 0 x) Gx 0 ) Gx) Mx 0 x) Mx x 0 ) Gx 0 ) Gx) Mx x 0 ) mikä void kirjoitt myös muodoss Gx) Gx 0 ) M x x 0. 37
Näi olle viimeisi epäyhtälö pätee kikill x. Olkoo ɛ > 0. Vlitsemll δ trpeeksi pieeksi sd G: liikhtelu pistee x 0 ympäristössä mielivltise pieeksi. Tehdää vlit δ := ɛ 2M. Jos trkstell väliä ]x 0 δ, x 0 + δ[, sd tulos Gx) Gx 0 ) < 2Mδ = 2M ɛ 2M = ɛ, jote G o jtkuv pisteessä x 0. Kosk x 0 oli mielivltie väli [, b] piste, pätee jtkuvuus jok pisteessä. Siis G o jtkuv määrittelyvälillää. Lusee 6.1 todistus, derivoituvuus. Oletet, että x 0 [, b] j f o jtkuv x 0 :ss. Olkoo ɛ > 0. Tällöi jtkuvuude määritelmä perusteell pätee 4) fx 0 ) ɛ ft) fx 0 ) + ɛ, kuh x 0 t < δ, missä δ > 0 o riittävä piei, sovit että δ ehdot täyttää. Olkoo x sellie, että x x 0 < δ. Nyt epäyhtälöt 4 pätevät ku t o x : j x 0 : välissä. Lusee 4.7 ojll mikäli x 0 < x, j x x 0 [fx 0 ) ɛ]dt x 0 x [fx 0 ) ɛ]dt x x 0 x 0 x ft)dt ft)dt x x 0 [fx 0 ) + ɛ]dt x 0 x [fx 0 ) + ɛ]dt. mikäli x < x 0. Lskemll vkiofuktioide itegrlit sd [fx 0 ) ɛ]x x 0 ) x x 0 ft)dt [fx 0 ) + ɛ]x x 0 ) : x x 0 ) ) fx 0 ) ɛ 1 x x 0 mikäli x 0 < x, j [fx 0 ) ɛ]x x 0 ) x 0 x fx 0 ) ɛ 1 x 0 x jost sd määritelmä 4.8 ojll x x 0 ft)dt fx 0 ) + ɛ ft)dt [fx 0 ) + ɛ]x x 0 ) : x 0 x) x 0 x fx 0 ) ɛ 1 x x 0 ft)dt fx 0 ) + ɛ x x 0 38 ft)dt fx 0 ) + ɛ
mikäli x < x 0. Siispä jok tpuksess o ) fx 0 ) ɛ Gx) Gx 0) x x 0 fx 0 ) + ɛ, mikäli x x 0 j x x 0 < δ. Itse siss o osoitettu, että oli ɛ > 0 mikä hyväsä, löytyy δ > 0 site, että ) pätee. Tämä trkoitt, että Gx) Gx 0 ) lim = fx 0 ) x x 0 x x 0 eli G x 0 ) = fx 0 ). Mikäli x 0 = ti x 0 = b, todistus o lähestulkoo smlie. Tuoss oli esimmäie os lyysi perusluseest. Seurvss käydää läpi toie os, jok o itegrlie lskemisess jtkuvsti käytössä. Luse 6.2 Alyysi perusluse, os 2). Olkoo F : [, b] R jtkuv j f : [, b] R ploitti jtkuv. Oletet, että F x) = fx), lukuuottmtt mhdollisesti äärellise mot pistettä. Tällöi pätee ft)dt = F b) F ). Todistus. Oletet luksi, että f o jtkuv j F x) = fx) kikill x [, b]. Asetet x Gx) = ft)dt. Pitää äyttää, että Gb) = F b) F ). Olkoo Hx) = Gx) F x) + F ). Nyt riittäisi osoitt, että Hb) = 0. Tiedetää lusee 6.1 perusteell, että G x) = fx). Siispä H x) = G x) F x) = fx) fx) = 0 kikill x [, b]. Tiedetää, että jos f x) 0, ii f vkio ks. esim.[2, s. 207]) Mutt H) = G) F ) + F ) = ft)dt = 0, jote H 0. Siispä Hb) = 0. Jos f o ploitti jtkuv j F x) = fx) pätee lukuuottmtt äärellise mot pistettä, void väli [, b] jk pätkii, joill pätee H x) 0, jolloi Hx) o vkio. Lisäksi tiedetää, että H o jtkuvie fuktioide summ jtkuv koko välillä 12, o se site vkio koko välillä. Kosk H) = 0 iemm trkstelu ojll, sd H 0. 12 G o jtkuv lyysi perulusee 1. os luse 6.1)ojll, j F o oletukse muk jtkuv 39
Mikäli yt tiedetää, että F x) = fx), sd tulos fx)dx = F b) F ) Fuktioide derivoitikvoist sd lyysi peruslusee vull itegroitikvt. 7 Riem-itegrli Riem 13 -itegrli o tvllisesti esimmäie itegrli, jok itegrlej käsittelevässä mtemtiikss tulee vst. Se ero tsväli-itegrlist siiä mielessä, että jkoj ei rjoit vtimus yhtä pitkistä osväleistä. Myöski piste, joss fuktio rvo lsket, sd vlit vpsti osväliltä. Kppleess määritellää Riem-itegroituvuus j Riem-itegrli. Lisäksi tutkit millä ehdoll tsväli- j Riem-itegrli ovt smt. Kppleess käytetää merkitää fx)dx trkoittm f: Riem-itegrli yli väli [, b]. Tsväli-itegrlille käytetää merkitää [tv] fx)dx. Määritelmä 7.1. Olkoo [, b] R suljettu väli j olkoo P = { = x 0, x 1,..., x = b} väli jko. Merkitää väli ]x i 1, x i [ pituutt x i :llä. Olkoo ξ i, missä i = 1, 2, 3,..., mielivltie väli ]x i 1, x i [ piste. Fuktioo f j jkoo P liittyvä Riemi summ o ks. kuv 5) fξ i ) x i. Määritelmä 7.2 Riem-itegrli). Mikäli edellä määritellyllä Riemi summll o rj-rvo, ku mx x i 0, o f Riem-itegroituv, j fuktio Riem-itegrli yli väli [, b] o fx)dx := lim mx x i 0 fξ i ) x i Huomutus 7.3. Itegroituvuudelle ei riitä, että löytyy yksi hyvä jko j yhdet välie pisteet ξ i, joill rj-rvo o olemss. Pitää imittäi oll, että millä ths välie vlill, j millä ths jkopisteillä, jotk toteuttvt määritelmä ehdo, sd sm rj-rvo. 13 Berhrd Riem, skslie mtemtikko, 1822-1862 40
Kuv 5: Riemi summ vst plkkie pit-l. Väli [, b] o jettu osvälii. Tästä sd Riem-itegrli, ku mx x i 0 Huomutus 7.4. Riem-itegrli ei määritellä rjoittmttom väli yli. Myöski fuktio f tulee oll rjoitettu. Tsväli-itegrli määriteltii rj-rvo, mutt määriteltäessä tehtii rjus ploitti jtkuvii fuktioihi. Tsväli-itegrli o kuiteki i olemss, mikäli itegrdi o Riem-itegroituv. Itegrlie rvot ovt tällöi smt. Luse 7.5. Mikäli fuktio f : [, b] R o Riem-itegroituv, o rj-rvo olemss, j pätee [tv] fx)dx := lim fx)dx = [tv] b f + j b ). fx)dx. Todistus. Vlit väli [, b] jko site, että kyseessä o tsvälijko P = { = x 0, x 1,..., x = b}. Vlit pisteet ξ i välie oikeiksi päätepisteiksi. Riemi summ termit ovt tällöi muoto fξ i ) x i = f + i b ) b, Myös tällä vlill rj-rvo tulee oll sm kui Riem-itegrli rvo. Näi olle 41
pätee fx)dx = lim mx x i 0 = lim mx x i 0 = lim = [tv] fξ i ) x i i=0 f i=0 b f fx)dx. + i b + j b ) b ) Toisee suut tulos ei päde: Esimerkki 7.6. Tsvälijo vull määritellylle itegrlille ei kikki toimi hyvi, jos itegroitv fuktio ei ole ploitti jtkuv. Määritellää fuktio I Q : [0, 1] R, 1, ku x Q I Q x) = 0, ku x R \ Q Nyt 0 + j 1 0 Q kikill j [1, 2,..., ]. Site lim 1 0 f 0 + j 1 0 ) 1 = lim 1 = 1. Näyttäisi, että fuktio itegrli o 1. Kuitek tsväli-itegrli teoriss ei ole ettu mietää ehto fuktio itegroituvuudelle. Ei ole myöskää määritelty fuktio tsväli-itegrli muille kui ploitti jtkuville fuktioille. Esimerki vloss ei ole mielekästä smst tsväli-itegroituvuutt rj-rvo olemssoloo. Ploitti jtkuville itegrli o mielekäs j t smt tulokset kui muilleki itegrleille. Fuktio I Q o kuiteki epäjtkuv jokisess määrittelyjoukkos pisteessä. Se ei ole Riem-itegroituv, sillä riippue välipisteide vlist Riemi summ rj-rvo vihtelee. Lebesgue-itegroituv se tosi o, mutt Lebesgue-itegrli I Q :lle o 14 0. Ei trkstell Lebesgue-itegrli se trkemmi. Esimerkki 16.6 hviollist sitä seikk, että tsväli-itegrli, jok määrittelyssä vlit i osväli oikepuoleie päätepiste, ei toimi i smll tvll kui Riem-itegrli. Oko ogelm sitte tsvälijoss, vi pistee vliss? Osoittutuu, että jos pistee s vlit osväliltä vpsti, tsväli- j Riem-itegrlit ovt hyvi lähellä toisi. Fuktio o imittäi tällöi Riem-itegroituv täsmällee silloi 14 I Q x) = 0 melkei kikill x [0, 1] 42
ku tsväli-itegrli määritelmässä olev rj-rvo o olemss. Todistuksess käytetää Riemi ehto: Luse 7.7 Riemi ehto). Rjoitettu fuktio f : [, b] R o Riem-itegroituv täsmällee silloi, ku kikill ɛ > 0 löytyy porrsfuktiot s j t site, että sx) fx) tx) kikill x [, b] j lisäksi tx)dx Todistus. Todistus löytyy vikkp lähteestä[4, s. 9]. sx)dx < ɛ. Luse 7.8. Fuktio f : [, b] R Riem-itegroituv täsmällee silloi ku rj-rvo b lim fξ j), o olemss j se o riippumto pisteide ξ j [x j 1, x j ] vlist. Todistus. Mikäli f : [, b] R o Riem-itegroituv, o rj-rvo olemss. Perustelu o smlie kui lusee 16.5 todistus. Olkoo ɛ > 0. Todistet, että mikäli rj-rvo o olemss, löytyy porrsfuktiot s, t site, että sx) fx) tx) kikill x [, b] j Olkoo A := tx)dx ɛ 3b ) > 0. Merkitää x j = + j b ξ j [x j 1, x j ] sellie, että sx)dx < ɛ. fξ j ) A < if{fx) : x [x j 1, x j ]}, missä o jkovälie määrä. Olkoo Ifimumi määritelmä perusteell ehdo täyttävä ξ j o olemss; muuss tpuksess ifimum olisi suurempi. Muodostet porrsfuktio s : [, b] R, sx) = fξ j ) A, missä sx) : rvo eli fξ j )) riippuu välistä [x j 1, x j [. Näi määritelty s o f: lporrsfuktio. Vstvsti void löytää yläporrsfuktio t : [, b] R, tx) = fη j ) + A joillki η j [x j 1, x j ], j = 1, 2,..., site, että t : [, b] R, sx) = fη j ) + A. Porrsfuktioide itegrlie erotukselle pätee tx)dx Väite seur yt Riemi ehdost. sx)dx b ) 2A = b ) 2 ɛ 3b ) < ɛ. 43
Os II Tsväli-itegrli: lukio pitkä mtemtiik soveltv kurssi 8 Esitiedoist j muust kurssii liittyvästä Tsväli-itegrli o lukio pitkä mtemtiik soveltv kurssi. Kurssille vdit esitietoi itegrlilske kurssi, jok o viimeie pkollisist kymmeestä kurssist lukio pitkässä mtemtiikss. Itegrlilske kurssi sisällöt ovt seurvliset: itegrlifuktio käsite lkeisfuktiot j iide itegrlifuktioide määrittämie määräty itegrli käsite määräty itegrli vull pit-loje j tilvuuksie lskemie Itegrlilske kurssill käydää melko ripeästi itegrlifuktioide olemssolo j lkeisfuktioide vull iide esittämise välie yhteys, ti pikemmiki se puuttumie. Käytäössä koko kurssi o helppoje fuktioide itegroiti, joille löytyy etull kvll itegrlifuktio. Tsväli-itegrlikurssiss lähestymistp o erilie. Kurssill pitäydytää yksikertisemmiss tpuksiss, mutt itegrli muodostmisee peudut syvällisemmi. Kurssill käydää läpi seurvi sioit: joukko-oppi ɛ - δ - meetelmä jko, tsvälijko porrsfuktio, tsväliporrsfuktio itegroimistuloksi: vkiofuktiot, lierifuktiot, ploitti jtkuvt fuktiot fuktio itegrli esittämie lkeisfuktioide vull umeerist itegroiti ku edellä miittu ei oistu) Kurssi tvoittee o, että opiskelij 44