40 LUKU 3. GAUSSIN LAKI

Luku 3 Gaussin laki 3.1 Coulombin laista Gaussin lakiin Takastellaan pistemäisen vaauksen q aiheuttamaa sähkökenttää, joka noudattaa yhtälöä (1.1). Tämän sähkökentän vuo etäisyydellä olevan pienen pintaelementin δ lävitse on δφ = δ = ()u δ = ± q 4πε δ 2 = ± q δω, (3.1) 4πε missä q on kappaleen vaaus, δ on δ:n pojektio kohtisuoaan vaauksesta δ:ään piiettyä vektoia vastaan ja δω on avauuskulma, jossa δ näkyy vaauksesta katsottuna. ähkökentän vuon yksikkö on m. Kaavassa oleva plusmekki vastaa tilannetta, jossa u :n ja δ:n välinen kulma on pienempi kuin π/2 (siis u δ > ) ja miinusmekki tilannetta, jossa kulma on suuempi kuin π/2 (siis u δ < ). a) b)!"!!"! 2 q q! 1 Kuva 3.1: Pistevaauksen aiheuttaman sähkökentän vuo suljetun pinnan lävitse. Kuvan 3.1 a tapauksessa vaaus on suljetun pinnan sisällä, ja pinnan muoto on sellainen, että kaikkialla u δ >. Ilmeisesti sähkökentän vuo tämän pinnan lävitse on Φ = dφ = d = q dω = q. (3.2) 4πε ε c Tuomo Nygén, 21 4π 39

4 LUKU 3. GAUIN LAKI Tämä ei siis ollenkaan iipu siitä, minkä muotoinen pinta on ja kuinka etäällä se on pistemäisestä vaauksesta, vaan ainoastaan vaauksen suuuudesta. Jos vaaus on suljetun pinnan ulkopuolella kuten kuvassa 3.1 b, löytyy kummaltakin puolelta pintaa elementit δ 1 ja δ 2, jotka näkyvät vaauksesta katsottuna samassa avauuskulmassa. Toinen näistä tuottaa yhtälöön (3.1) plusmekin ja toinen miinusmekin. Tällaisten pintaelementtien lävitse kulkevat vuot siis kumoavat toisensa paeittain. Lopputuloksena on, että pinnan lävitse kulkeva kokonaisvuo on nolla. Jatkuvasti jakautunut vaaus voidaan esittää pienten lähes pistemäisten vaausten avulla. uljetun pinnan sisällä paikassa olevan tilavuuselementin δτ sisältämä pieni vaaus on δq = ρ()δτ. (3.3) Jokainen tällainen vaauselementti aiheuttaa sähkökentän, ja yhtälö (3.2) on eikseen voimassa jokaisen vaauselementin aiheuttamalle sähkökentän vuolle. Kokonaissähkökenttä on näiden osasähkökenttien summa ja sen vuo on siis Φ = d = Q ε, (3.4) missä Q = ρ()dτ (3.5) on se kokonaisvaaus, joka jää pinnan sisällä olevaan tilavuuteen. Kun tämä sijoitetaan oikealle puolelle yhtälöön (3.2), saadaan d = ρ() ε dτ. (3.6) Yhtälön vasenta puolta voidaan muokata Gaussin lauseen avulla, jolloin dτ = ρ() ε dτ. (3.7) Tämä on voimassa kaikille mahdollisille suljetuille pinnoille, joten välttämättä kummankin puolen integandit ovat yhtäsuuet. iis = ρ() ε. (3.8) Tämä tulos tunnetaan nimellä Gaussin laki. Yhtälöstä (3.4) käytetään usein nimitystä Gaussin lain integaalimuoto ja yhtälöstä (3.8) nimitystä Gaussin lain diffeentiaalimuoto. Fysikaalisesti Gaussin laki sisältää saman infomaation kuin Coulombin sähkökenttä. dellä oletettiin, että on pinnan sisään jäävien vaausten aiheuttama sähkökenttä. Aiemmin kuitenkin todettiin, että suljetun pinnan ulkopuolella olevan

3.2. YMMTRIT ÄHKÖKNTÄT JA POTNTIAALIT 41 vaauksen aiheuttaman sähkökentän vuo pinnan lävitse on nolla. Näinollen Gaussin laki on voimassa myös kokonaissähkökentälle. aausten aiheuttama sähkökenttä osoittaa poispäin positiivisesta vaauksesta ja kohti negatiivista vaausta. Tämän on voimassa myös vaauksen välittömässä läheisyydessä. Kenttä näyttää siis lähtevän positiivisesta vauksesta ja negatiivinen vaaus näyttää keäävän sen ympäistöstään. Tämän vuoksi positiivinen vaaus toimii sähkökentän lähteenä ja negatiivinen vaaus sen nieluna. Gaussin laissa (3.8) nämä ominaisuudet sisältyvät oikealla puolella olevaan temiin, jota sen vuoksi nimitetään lähdetemiksi. 3.2 ymmetiset sähkökentät ja potentiaalit Kun vaaustiheydellä on taso- sylintei- tai pallosymmetia, syntyvä sähkökenttä voidaan usein laskea helposti Gaussin lain avulla. 3.2.1 Tasosymmetinen vaausjakautuma Takastellaan vaausjakautumaa, jossa vaaustiheys saa vakioavot yhdensuntaisilla tasoilla. alitsemalla z-akseli osoittamaan kohtisuoaan näitä tasoja vastaan tulee vaaustiheydestä vain z:n funktio, siis ρ = ρ(z). Tällöin vaaustiheys saa tietyn avon jokaisella xy-tason suuntaisella tasolla. Tällainen vaausjakautuma on tasosymmetinen, jos z:n nollakohta voidaan valita siten, että ρ(z) on paillinen funktio, ts. ρ(z) = ρ( z). Tasosymmetiasta seuaa, että sähkökenttä on välttämättä z-akselin suuntainen eli muotoa = z u z (3.9) ja että z on paiton funktio eli z (z) = z ( z). Tasosymmetia nimittäin edellyttää, että samalla etäisyydellä xy-tasosta kenttä osoittaa kummallakin puolella tasoa joko kohti tasoa tai siitä pois päin. ovelletaan Gaussin lakia kuvan 3.2 mukaiseen suoakulmaiseen sämiöön, jonka kansi + ja pohja ovat paikoissa z ja z. Koska kenttä on z-akselin suuntainen, sähkökentän vuo on nollasta poikkeava ainoastaan sämiön pohjalla ja kannella. iis mistä atkaistuna d = [ z (z)u z ] [u z ] + [ z ( z)u z ] [ u z ] = z (z) z ( z) = 2 z (z) = 1 ρdτ = 1 z ρ(z )dx dy dz = ε ε ε z (z) = 1 2ε z z z ρ(z )dz = 1 ε z z z ρ(z )dz, (3.1) ρ(z )dz. (3.11)

42 LUKU 3. GAUIN LAKI z + = u z!(z) y x - = -u z Kuva 3.2: Tasosymmetisen vaausjakautuman aiheuttama sähkökenttä. iimeinen esitysmuoto seuaa vaaustiheyden paillisuudesta. Tätä tulosta voidaan soveltaa kaikissa tapauksissa, joissa ρ on paillinen z:n funktio. Kuten vaadittiin, tulokseksi saatu z on paiton z:n funkio. Nimittäin tekemällä muttujanvaihto z = z saadaan z ( z) = 1 ε z ρ(z )dz = 1 ε z ρ(z )dz = z (z), (3.12) sillä vaaustiheyden paillisuuden vuoksi ρ(z ) = ρ(z ). Mikäli ρ = ρ on vakio alueessa a/2 < z < a/2 ja nolla sen ulkopuolella, kyseessä on homogeenisesti vaattu levy. Tällöin saadaan yhtälöstä (3.11) kun a/2 < z < a/2 ja muulloin z (z) = ρ z dz = ρ z, (3.13) ε ε z (z) = ρ ε ±a/2 dz = ± ρ a 2ε, (3.14) missä plusmekki on voimassa, kun z > a/2, ja miinusmekki, kun z < a/2. ähkökentän käyttäytyminen z:n funktiona on esitetty kuvassa 3.3 a olettaen levyn vaaus positiiviseksi. Potentiaali voidaan nyt laskea sähkökentästä yhtälön (2.4) avulla. Jos valitaan φ() =, saadaan z φ(z) = z (z ) u z dz = z (z )dz = 1 ε z z ρ(z )dz dz. (3.15)

3.2. YMMTRIT ÄHKÖKNTÄT JA POTNTIAALIT 43 a) z b)! -a/2 a/2 z -a/2 a/2 z Kuva 3.3: Homogeenisen vaauslevyn aiheuttama sähkökenttä ja potentiaali. Homogeenisesti vaatun levyn tapauksessa on alueessa a/2 < z < a/2 voimassa Alueessa z > a/2 saadaan φ(z) = ρ z z dz = ρ z 2. (3.16) ε 2ε φ(z) = φ(a/2) ρ a 2ε ja alueessa z < a/2 z a/2 dz = ρ a 2 8ε ρ az 2ε + ρ a 2 4ε = ρ a 8ε ( 4z + a) (3.17) φ(z) = φ( a/2) + ρ a 2ε z a/2 dz = ρ a 2 8ε + ρ az 2ε + ρ a 2 4ε = ρ a 8ε (4z + a). (3.18) Potentiaalin käyttäytyminen z:n funktiona on esitetty kuvassa 3.3 b olettaen levyn vaaus positiiviseksi. älillä a/2 < z < a/2 potentiaalikäyä on paabolinen ja tämän välin ulkopuolella potentiaali muuttuu lineaaisesti z:n funktiona. Tulos osoitaa, että potentiaalia ei olisi voitu valita nollaksi ääettömyydessä. Hyvin ohuen vaatun levyn tapauksessa mekitystä on vain kentän käyttäytymisellä levyn ulkopuolella; siis sähkökenttä levyn kummallakin puolella on vakio ja potentiaali muuttuu lineaaisesti levystä mitatun etäisyyden funktiona. Ilmeisesti levyn vaauskate on σ = ρ a, jolloin yhtälön (3.14) avulla z (z) = ± σ 2ε. (3.19) ama tulos voitaisiin laskea työläämmin Coulombin lain avulla. Kun yhtälöissä (3.17) ja (3.18) asetetaan ρ a = σ ja a =, saadaan potentiaaliksi φ(z) = σ 2ε z. (3.2) Myös tämä tulos voitaisiin laskea Coulombin lain avulla, mutta johto olisi olennaisesti työläämpi.

44 LUKU 3. GAUIN LAKI 3.2.2 ylinteisymmetinen vaausjakautuma Jos vaausjakautuma ei iipu sylinteikoodinaatiston muuttujista ϕ ja z, on myös sen aiheuttama sähkökenttä samalla tavalla sylinteisymmetinen. iis ρ = ρ() ja = ()u, (3.21) missä on sylinteikoodinaatiston adiaalimuuttuja ja u siihen liittyvä yksikkövektoi. Tässä tapauksessa sovelletaan Gaussin lakia -säteiseen sylinteipintaan, jonka pituus on L ja jonka akseli on symmetia-akselilla. Kaikkialla sylintein vaipalla δ = δu. ylintein päissä pinta-elementtivektoit ovat akselin suuntaisia. Koska vaipalla δ = δ ja sylintein päissä sähkökenttä on pinnan tasossa, on koko pinnan läpi kulkeva vuo yksinketaisesti kentän adiaalikomponentin ja vaipan pinta-alan tulo, eli d = 2πL. (3.22) ylintein sisään jäävän vaauksen laskemiseksi jaetaan sylintein tilavuus ohuihin kuoiin. Tällaisen kuoen tilavuus on dτ = 2π Ld, missä on kuoen säde ja d sen paksuus. Ohuen kuoen alueella vaaustiheydelle voidaan antaa vakioavo ρ( ). Kokonaisvaaus saadaan laskemalla yhteen kaikkien sisäkkäisten kuoien vaaukset. Tulos on Q = ρdτ = 2π Lρ( )d, (3.23) joten Gaussin laki voidaan kijoittaa muotoon 2πL = 1 ε 2π Lρ( )d. (3.24) Tästä atkaistuna = 1 ρ( )d. (3.25) ε Tulosta voi soveltaa mielivaltaiseen sylinteisymmetiseen vaausjakautumaan. Jos vaaustiheys ρ = ρ on vakio R-säteisen sylintein sisällä ja nolla sen ulkopuolella, kyseessä on tasaisesti vaattu sylintei. Tässä tapauksessa sähkökentäksi saadaan = ρ d = ρ ε ε 2 2 = ρ, (3.26) 2ε kun < < R ja = ρ R d = ρ ε ε R2 2 = ρ R 2 2ε, (3.27) kun > R.

3.2. YMMTRIT ÄHKÖKNTÄT JA POTNTIAALIT 45 L "!() " + " z Kuva 3.4: ylinteisymmetisen vaausjakautuman aiheuttama sähkökenttä. alitsemalla potentiaali nollaksi symmetia-akselilla saadaan potentiaalille yleinen tulos φ() = ( )d = 1 1 ε ρ( )d d. (3.28) oveltamalla tätä tasaisesti vaatun sylintein tapauksessa alueeseen < < R saadaan φ() = ( )d = ρ d = ρ 2 (3.29) 2ε 4ε ja alueeseen > R φ() = φ(r) = ρ R 2 4ε R [ ( )d = ρ R 2 4ε ρ R 2 1 d 2ε R ( ) ] 2 1 + ln. (3.3) R Tuloksesta nähdään, että potentiaalia ei voi valita nollaksi ääettömyydessä, sillä :n logaitmi lähestyy ääetöntä :n lähestyessä ääetöntä. Tämä liittyy siihen, että vaausjakautuma ulottuu sylinteiakselin suunnassa ääettömyyteen. Jos sylintein säteen annetaan lähetä nollaa, saadaan tasaisesti vaattu suoa lanka (ääetön viivalähde), jonka vaaus pituusyksikköä kohti on λ; siis s:n pituisen langanpätkän vaaus on q = λs. Ilmeisesti λ = πr 2 ρ, joten kaavan (3.27) peusteella = λ 2πε. (3.31) Potentiaalin kaavassa (3.3) ei R:n voi antaa lähetä nollaa, joten potentiaalin nollakohta on valittava jollekin etäisyydelle a langasta. iis φ() = a d = λ 2πε a d = λ ln 2πε a. (3.32) Näistä tuloksista nähdään, että viivalähteen potentiaalia ei voi laskea Coulombin potentiaalin avulla asettamalla potentiaali nollaksi ääettömyydessä.

46 LUKU 3. GAUIN LAKI 3.2.3 Pallosymmetinen vaausjakautuma Jos vaausjakautuma on pallosymmetinen, on myös sen aiheuttama sähkökenttä pallosymetinen. illoin ρ = ρ() ja = ()u, (3.33) missä on pallokoodinaatiston adiaalimuuttuja ja u adiaalinen yksikkövektoi. Ilmeisesti Gaussin lakia on tässä tapauksessa sovellettava -säteiseen palloon. Kaikkialla pallon pinnalla δ = δu. illoin δ = δ. Koska on vakio -säteisen pallon pinnalla, on sähkökentän vuo pallopinnan lävitse yksinketaisesti kentän ja pallon pinta-alan tulo, eli d = 4π 2. (3.34) Pallon sisälle jäävän vaauksen laskemiseksi jaetaan tilavuus ohuihin pallokuoiin. Kun kuoen säde on ja paksuus d, on tilavuus 4π 2 d. Ohuen kuoen alueella vaaustiheydelle voidaan antaa vakioavo ρ( ). Kokonaisvaaus saadaan laskemalla yhteen sisäkkäisten kuoien vaaukset. iis Q = ρdτ = 4π 2 ρ( )d. (3.35) Gaussin laki saadaan nyt muotoon mistä atkaistuna 4π 2 = 1 ε 4π 2 ρ( )d, (3.36) = 1 2 ρ( )d. (3.37) ε 2 Tulosta voi soveltaa mielivaltaiseen pallosymmetiseen vaausjakatumaan.!() " Kuva 3.5: Pallosymmetisen vaausjakautuman aiheuttama sähkökenttä.

3.2. YMMTRIT ÄHKÖKNTÄT JA POTNTIAALIT 47 Jos vaaustiheys ρ = ρ on vakio R-säteisen pallon sisäpuolella ja nolla sen ulkopuolella, kyseessä on tasaisesti vaattu pallo. ähkökentäksi saadaan kun < < R ja = ρ 2 d = ρ ε 2 ε 3 2 3 = ρ, (3.38) 3ε = ρ R 2 d = ρ ε 2 ε R3 2 3 = ρ R 3 3ε, (3.39) 2 kun > R. Kun huomataan, että R-säteisen pallon sisään jäävä vaaus on Q = 4 3 πr3 ρ, (3.4) nähdään, että yhtälö (3.39) voidaan kijoittaa myös muotoon = Q 4πε 2, (3.41) mikä on pistemäisen vaauksen aiheuttaman sähkökentän lauseke. Tästä nähdään, että pallosymmetisesti vaatun pallon ulkopuolella vaikuttavan sähkökentän muodosta ei voi päätellä, kuinka suui pallo on. Juui tämä on syynä siihen, että pistevaauksen käsitettä voidaan yleensä käyttää sähkömagnetismin teoiassa. Todellisuudessa nimittäin nollasta poikkeava pistevaaus on fysikaalinen mahdottomuus, sillä sen enegia voidaan osoittaa ääettömäksi. iitä huolimatta pistevaausta voidaan käyttää kenttien laskemisessa, ja syynä on se, että pallosymmetisen vaauksen aiheuttama kenttä vaauksen itsensä ulkopuolella on pistevaauksen kentän muotoinen, kuten tulos (3.41) osoittaa. Toisin kuin kahdessa edellisessä tapauksessa, potentiaali voidaan nyt valita nollaksi ääettömyydessä. Tällä valinnalla φ() = ( )d 1 = ε 2 2 ρ( )d d. (3.42) Homogeenisesti vaatun pallon tapauksessa kun > R, ja φ() = ρ R 3 3ε d 2 = ρ R 3 3ε = Q 4πε, (3.43) φ() = φ(r) ρ d = ρ R 2 ρ 2 + ρ R 2 = ρ (3R 2 2 ), (3.44) 3ε 3ε 6ε 6ε 6ε R kun < R. Tulos (3.43) on myös pistemäisen vaauksen potentiaali vaauksen ulkopuolella.