1 Voima ja energia sähköstatiikassa
|
|
- Tuomas Kähkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Voima ja energia sähköstatiikassa ähköstatiikassa tarkastellaan levossa olevia sähkövarauksia. 1.6 ähkövaraus Ranskalainen fyysikko Charles Coulomb osoitti kokeillaan v. 1785, että sähköllä varattujen kappaleiden välillä vallitsee samanlainen etäisyyden neliöön kääntäen verrannollinen voima kuin massojen välinen gravitaatiovoima. Kahden sähkövarauksen välisellä voimalla on seuraavat ominaisuudet: 1. amanmerkkisten varausten välillä on poistovoima, erimerkkisten välillä vetovoima. 2. Voiman suunta on varauksia yhdistävän suoran suuntainen. 3. Voiman suuruus on verrannollinen kummankin varauksen suuruuteen. 4. Voiman suuruus on kääntäen verrannollinen varausten välisen etäisyyden neliöön. Matemaattisesti nämä ominaisuudet voidaan yhdistää kaavaan F r 2 21 r o 21 = 2 1 r 3 21 r 21 r o 21 = 2 1 r r , (1.1) 1 F 21 2 r21 Kuva 1.1 missä r o 21 on r 21 :n suuntainen yksikkövektori. Tämä on voima, jolla varaus 2 vaikuttaa varaukseen 1. Vastaavasti varaus 1 vaikuttaa varaukseen 2 voimalla F 12 = F 21. I-yksiköissä verrannollisuuskerroin on 1/( ), joten F 21 = r 21, (1.2) 15 r 3 21
2 16 missä ε 0 = 1 C µ 0 c2 Nm 2 on tyhjiön permittiivisyys. Tässä µ 0 = 4π 10 7 Vs/(Am) ja valon nopeus c = m/s. Nämä molemmat tunnetaan tarkasti, joten myös ε 0 tunnetaan tarkasti. I-yksiköissä sähkövarauksen yksikkö on coulombi ja sen lyhenne on C. ähköopin perussuure on sähkövirta, jonka yksikkö on ampeeri ja lyhenne A. Ampeeri määritellään myöhemmin sähkövirran voimavaikutuksen avulla. Ampeerin ja coulombin välinen riiippuvuus on 1C=1As. Kuten mekaniikan mukaan voimat yleensä, myös Coulombin voimat noudatavat superpositioperiaatetta: Usean varauksen systeemissä yhteen varaukseen vaikuttava kokonaisvoima on kaikkien muiden varausten aiheuttamien voimien vektorisumma. Kahden varauksen välinen voima ei riipu muiden varausten läsnäolosta. Jos systeemi esimerkiksi muodostuu kolmesta varauksesta, on varaukseen 1 kohdistuva kokonaisvoima r 3 O r 2 3 r 31 r 1 2 r 21 F 1 = F 21 + F 31 = 2 1 r r r r F 21 F 31 F 1 Yleisesti j:nteen hiukkaseen kohdistuva voima on F j = i j F ij = 1 i j i j r 3 ij r ij Jos i:nnen varauksen paikkavektori origon O suhteen on r i,on r ij = r j r i, Kuva 1.2 ja ilmeisesti F j = 1 i j i j r j r i 3 (r j r i ) (1.3) Toisin kuin mekaniikan yhtälöt, sähköopin yhtälöt eivät ole yksikköjärjestelmästä riippumattomia. Esim. (1.2) ei päde cgs-järjestelmässä. Tämä johtuu siitä, että sähkövaraus (tai virta) määritellään eri järjestelmissä eri tavoilla. On myös olemassa useita erilaisia cgs-järjestelmiä. ähkövaraus on kvantittunut: Kaikki vapaat varaukset ovat alkeisvarauksen e monikertoja. yytä tähän ei tiedetä. Alkeisvarauksen suuruus on e =(1, ± 0, ) C Protonin varaus on +e ja elektronin varaus e. Baryonit (esim. protonit ja neutronit) koostuvat kvarkeista. Kvarkkien varaukset ovat alkeisvarauksen murto-osia
3 1.7. ÄHKÖKENTTÄ 17 ±e/3 tai ±2e/3. Baryonit koostuvat aina kolmesta kvarkista siten, että kokonaisvaraus on 0, e tai e. Kvarkkeja ei ole havaittu vapaina. Toinen sähkövarauksen ominaisuus on säilymislaki: Eristetyn systeemin kokonaisvaraus on vakio. Tämä on yksi tärkeistä säilymislaeista, jotka muodostavat fysiikan ytimen. Muita fysiikan säilymislakeja ovat esimerkiksi energian ja liikemäärän säilymislait. Coulombi on hyvin suuri sähkövaraus. Hankaamalla kappaleeseen voidaan saada suuruusluokaa = 10 8 C = 10 nc oleva varaus. Voimakkaasti varatun kappaleen pinnalla vain noin yksi 10 5 atomista menettää elektronin tai saa ylimääräisen elektronin. Toisaalta kappaleet sisältävät runsaasti sähkövarauksia: 250 g:ssa vettä on negatiivista varausta mol 1 ( 1, )C g/18 (g mol 1 )= 1, C. Vaikka gravitaatiovoima ja Coulombin voima ovat samantyyppisiä, niiden välillä on merkittäviä eroja: 1. Gravitaatiovoima esiintyy vain vetovoimana 2. Gravitaatiovoima on paljon heikompi kuin Coulombin voima. Esimerkiksi kahden elektronin välillä vaikuttavien voimien suhde on F el F grav ähköinen voima voidaan eliminoida jossakin avaruuden osassa (Faradayn häkki). 4. Varausten väliin asetettu materia polarisoituu ja heikentää Coulombin voimaa. Gravitaatiovoimalla ei vastaavaa ilmiötä ole olemassa. Vaikka atomit ja molekyylit koostuvat varatuista hiukkasista, ja niiden välillä vaikuttaa siten Coulombin voima, se yksin ei selitä aineen rakennetta. Lisäksi tarvitaan mikroskooppisen maailman perusteoriaa eli kvanttimekaniikkaa. 1.7 ähkökenttä Varaussysteemin aiheuttama voima pisteessä r olevaan varaukseen on (1.3):n mukaan F = 1 i i r r i 3 (r r i)= 1 i i r r i 3 (r r i). Määritellään sähkökenttä pisteessä r kyseiseen pisteeseen asetettuun testivaraukseen vaikuttavana voimana varausyksikköä kohti. Jotta testivaraus ei vaikuttaisi muiden varausten sijaintiin, on muiden varausten oltava kiinteästi sidottuina paikalleen tai testivarauksen on oltava hyvin pieni. ähkökenttä pisteessä r on siis F E(r) = lim 0 = 1 i i r r i 3 (r r i). (1.4)
4 18 E(r) voidaan määrittää kaikkialla muiden varausten välissä; se muodostaa siis vektorikentän. ähkökentän yksiköksi saataisiin yhtälöstä (1.4) N/C. Voidaan osoitaa, että tämä on sama kuin V/m (voltti per metri), mikä on tavallisesti käytetty yksikkö. Esim: Pistemäisen varauksen kenttä (varaus origossa, r i = 0). Tällöin (1.4):n perusteella E(r) = r r = 3 r 2 r0, missä r 0 = r/ r = r/r on r:n suuntainen yksikkövektori. Kenttäviivat: Faraday otti käyttöön noin v kenttäviivat, joiden avulla sähkökenttää (ja muita kenttiä) voidaan visualisoida. Kenttäviivat ovat kaikkialla E:n suuntaisia (siis kenttäviivan tangentti antaa E:n suunnan). Kenttäviivojen tiheys on verrannollinen E :hen. Kenttäviivat alkavat positiivisesta varauksesta ja päättyvät negatiiviseen. Kenttäviivat ovat jatkuvia varausten välisessä avaruudessa. Kenttäviivat eivät leikkaa toisiaan. > 0 < 0 Kuva 1.4. Positiivisen ja negatiivisen varauksen kenttäviivat. Kuva 1.5. Dipolikentän kenttäviivat.
5 1.8. ÄHKÖKENTÄT AINEEA ähkökentät aineessa Atomin varaustiheys Aine koostuu sähköisesti varatuista osasista, ytimistä ja elektroneista, joista varsinkin elektronit ovat jatkuvassa liikkeessä. Pistevarauksen sijasta on realistisempaa kuvata elektronia varauspilvenä (jatkuvasti jakautuneena varauksena), jonka varaustiheys ρ el (r) on paikan funktio. Tällöin paikassa r oleva pieni tilavuusalkio dτ sisältää varauksen ρ el (r)dτ ja ρ el (r)dτ = ρ el (r) dx dy dz = e. Atomissa, jossa on useampia elektroneja, näiden varauspilvet ovat osittain päällekkäin. Lisäksi ytimellä on oma varaustiheytensä, vaikka ydin onkin kooltaan pieni. Atomin kokonaisvaraustiheys on kaikkien e.m. varaustiheysfunktioiden summa. Atomaarinen varaustiheys väliaineessa (ρ at (r)) määritellään kaikkien varattujen osasten (ja samalla kaikkien atomien) varaustiheysfunktioiden summana. Neutraalissa aineessa on ilmeisesti voimassa V ρ at (r)dτ = Atomin sähkökenttä Pistevarauksille on (1.4):n mukaan voimassa E(r) = 1 i (r r i ) i r r i 3 r P r - r Kun tätä sovelletaan jatkuvasti jakautuneeseen varaukseen, saadaan r E at (r) = 1 (r r )ρ at (r ) all space r r 3 dτ, (1.7) O Kuva 1.6 sillä ρ at (r )dτ on paikassa r olevan tilavuusalkion dτ sisältämä varaus. dτ Yhtälö (1.7) ei ole kuitenkaan kovin käyttökelpoinen, sillä ρ at (r) onkäytännössä tuntematon monimutkainen funktio, joka lisäksi atomien lämpöliikkeen vuoksi riippuu ajasta.
6 20 Esim: Neutraalin HCl-molekyylin aiheuttama kenttä, joka muistuttaa sähköisen dipolin kenttää H Cl Kuva 1.7 On ilmeistä, että myös neutraalit molekyylit voivat aiheuttaa ympäristöönsä sähkökentän, mutta nämä kentät pienenevät etäisyyden funktiona paljon nopeammin kuin varattujen atomien ja molekyylien kentät. Atomin sisällä, varsinkin lähellä ydintä, voi atomaarinen sähkökenttä saada paikallisesti hyvin suuria arvoja. On syytä huomata, että klassinen sähköoppi ei riitä atomitason ilmiöiden kuvaamiseen, vaan lisäksi tarvitaan kvanttimekaniikkaa Makroskooppinen sähkökenttä Huomattavasti atomin kokoa suuremmassa systeemissä ei voimakkaasti vaihtelevan atomaarisen kentän tunteminen ole tarpeellista. Riittää, kun tunnetaan makroskooppinen keskimääräinen kenttä, joka käyttäytyy pehmeämmin kuin atomin kenttä, eikä myöskään voi saada niin suuria arvoja. Väliaineet jaetaan eristeisiin ja johteisiin (ja puolijohteisiin, joita ei tässä kurssissa käsitellä): Eristeessä elektronit eivät pääse liikkumaan vapaasti, vaan ovat sidottuja atomeihin. Jos eriste asetetaan liian suureen sähkökenttään ( 10 9 V/m), tapahtuu kuitenkin läpilyönti. Johteessa osa elektroneista (johde-elektronit) voi liikkua vapaasti. Tästä seuraa, että johteet voivat kuljettaa sähkövirtaa ja staattisessa tilanteessa (sähköstatiikassa) sähkökenttä häviää johteen sisällä. - + E = 0 E = 0 E = Kuva 1.8 Jos johde asetetaan kuvan 1.8 mukaisesti ulkoiseen kenttään, tämä alkaa liikuttaa johde-elektroneja, jotka kertyvät johteen pinnalle ja synnyttävät johteen sisälle vastakkaissuuntaisen kentän. Elektronien liike lakkaa vasta, kun tämä kenttä kompen-
7 1.9. GAUIN LAKI 21 soi ulkoisen kentän johteen sisällä. Johteen pinnalle syntynyttä varausta sanotaan indusoiduksi varaukseksi. Makroskooppinen kenttä E(r) voidaan tulkita makroskooppisen varaustiheyden ρ(r) aiheuttamaksi. Tämä määritellään atomien varaustiheyden keskiarvona paikassa r olevassa tilavuusalkiossa δv, joka on hyvin paljon pienempi kuin systeemin tilavuus, mutta sisältää kuitenkin hyvin suuren määrän atomeja tai molekyylejä: ρ(r) = 1 δv δv ρ at (r )dτ. (1.8) Koska varaus voi myös keräytyä ohueksi kerrokseksi aineen pinnalle, on järkevää määritellä makroskooppinen pintavarauksen tiheys eli varauskate σ(r) = 1 ρ at (r ) dτ, (1.9) δ δv missä δv on valittu siten, että se sulkee sisäänsä pinta-alkion δ. Pinnalla oleva kokonaisvaraus on tällöin Q s = σ(r)d. uperpositioperiaatteen mukaisesti saadaan nyt makroskooppiselle sähkökentälle analogisesti (1.7):n tavoin lauseke r O δ r - r Kuva 1.9 r E(r) = 1 V (r r )ρ(r )dτ r r (r r )σ(r )d r r 3, (1.10) missä tilavuusintegraali on laskettava koko avaruuden yli ja pintaintegraali kaikkien aineiden rajapintojen yli. 1.9 Gaussin laki Gaussin laki on Coulombin lain toinen esitysmuoto, jolla on suuri teoreettinen merkitys ja jonka avulla voidaan helposti laskea sähkökenttä symmetrisen varausjakautuman tapauksessa Vektorikentän vuo Vektorikentän v vuo pinta-alkion δ läpi määritellään lausekkeella v δ = vδ cos ψ,
8 22 missä ψ on v:n ja δ:n välinen kulma. Vuo on siis skalaarisuure. Esim.: Neste virtaa nopeudella v putkessa, jonka poikkipinta-ala on δ. Aikayksikössä putken läpi virrannut nestemäärä on tiheys vδ. Jos tarkastellaan vinossa asennossa olevaa pintaa δ 1, sama nestemäärä virtaa sen läpi, sillä pinnan projektio nesteen kulkusuunnassa on sama, eli jolloin δ = δ 1 cos ψ, vδ = vδ 1 cos ψ = v δ 1. v δ v ψ δ 1 Nesteen nopeuskentän vuo pinnan läpi kertoo siis ko. pinnan läpi aikayksikössä virranneen ainemäärän riippumatta siitä, missä asennossa pinta on nopeuskentän suhteen. Kuva 1.10 amoin määritellään sähkökentän vuo pintaelementin δ läpi kaavalla δ E δ. Kun on kysymyksessä suuri pinta, se voidaan jakaa pintaelementteihin kuvan 1.11 osoittamalla tavalla. Vuo koko pinnan läpi on elementtien läpäisevien voiden summa, kun annetaan elementtien pinta-alan lähetä nollaa. Päädytään siis pintaintegraaliin E d = lim δ 0 E d. Kuva 1.11 E ähkökentän vuo suljetun pinnan läpi Asetetaan origoon pistevaraus. Tutkitaan pintaelementtiä δ, jonka pallokoordinaatit ovat (r, θ, φ) ja jonka oletetaan aluksi olevan suuntautunut (ei välttämättä radiaalisesti) ulospäin. Tehtävänä on laskea E δ. Koska E on radiaalinen, pistetuloon jää vaikuttamaan vain δ:n projektio pallon pinnalle, eli pieni pallonpintaelementti
9 1.9. GAUIN LAKI 23 δ p = r 2 sin θδθδφ. Etäisyydellä r sähkökentän itseisarvo on joten E = E δ = Eδ p = r 2, r 2 r2 sin θδθδφ, x z φ θ δθ δφ r rsinθ Kuva 1.12 { { rδθ rsinθ δφ eli E δ = sin θδθδφ = δω, (1.11) missä δω on avaruuskulma, jossa δ näkyy origosta katsottuna. Jos sulkee sisäänsä varauksen, on siis sähkökentän vuo :n läpi eli E d = π 0 sinθdθ 2π 0 dφ = π / 0 ( cos θ) 2π / φ = 0 (1 + 1) 2π =, } {{ } ε 0 E d = ε 0 (1.12) On huomattava, että (1.12) on voimassa riippumatta :n muodosta, sillä (1.11):ssä δ on mielivaltaisen suuntainen. Edellä on tosin oletettu, että vuo δ:n läpi on aina positiivinen. ellaisissa :n alueissa, joissa vuo δ:n läpi on negatiivinen, on (1.11):n oikealle puolelle asetettava miinusmerkki. Yleisesti siis E δ = ± dω. (1.13) ulos sisään ulos Kuva 1.13 ulos sisään ulos sisään Kuva Koska E δ on verrannollinen δω:aan, varauksesta piirretyn säteen ja pinnan peräkkäisistä leikkauskohdista löytyvät aina pintaelementit, jotka näkyvät varauksesta katsottuna samassa avaruuskulmassa δω ja joiden läpi kulkeneet vuot kumoavat toisensa. Jos varaus on pinnan sisällä, ulostuloja on yksi enemmän kuin sisäänmenoja ja nettovuo on positiivinen. Jos taas varaus on y
10 24 pinnan ulkopuolella, on ulostuloja yhtä monta kuin sisäänmenoja ja nettovuo on nolla. Jos pinnan sisällä on useita varauksia i, saadaan superpositioperiaatteen nojalla E δ = 1 i. (1.14a) ε 0 Jos taas pinnan sisältämässä tilavuudessa V on jatkuva varaustiheys ρ, on E δ = 1 ρdτ = Q. (1.14b) ε 0 ε 0 iis minkä tahansa suljetun pinnan läpi kulkeva sähkökentän vuo = pinnan sisäänsä sulkema varaus/ε 0.Yhtälöt (1.14) sisältävät Gaussin lain integraalimuodossa. Gaussin laki (vakioavaruuskulmaan osuvien pintojen läpi kulkee vakiovuo) on seurausta siitä, että pistemäisen varauksen kenttäviivojen tiheys pienenee kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. Huomaa analogia sähkövuon ja esim. valovuon välillä. Myös pistemäinen valolähde säteilee vakioenergian yksikköavaruuskulmaan ja intensiteetti pienenee kääntäen verrannollisena etäisyyden neliöön. V i Tarkastellaan varauskatetta σ johteessa, joka on ulkoisessa sähkökentässä E. ovelletaan Gaussin lausetta pieneen sylinteriin, jonka päätyseinät ovat johteen pinnan suuntaiset, toinen sisä-toinen ulkopuolella. Johteen sisällä sähkökenttä E = 0. Ulkopuolella E on kohtisuorassa pintaa vastaan. Jos nimittäin näin ei olisi, sähkökentän tangenttikomponentti liikuttaisi johteen pinnalla olevia vapaita varauksia, kunnes ne asettuisivat siten, että tangenttikomponentti on nolla. iis E δ = Eδ. ivuseinämillä E δ = 0, joten Gaussin lause antaa δ Kuva 1.15 E Eδ = 1 ε 0 = 1 ε 0 σδ σ = ε 0 E. (1.16) uurimmat makroskooppiset sähkökentät ovat luokkaa 10 9 V/m, mikä vastaa pintavarausta ε V/m 10 2 C/m 2. Arvioidaan pintamaterian atomien koon olevan luokkaa m, eli vievän pinta-alaa m 2. Näin ollen maksimaalisessa pintavarauksessa yhtä pinta-atomia kohden tulee korkeintaan pari promillea elektronin sähkövarauksesta Gaussin lain differentiaalimuoto Jos δ on pinta, joka sulkee sisäänsä tilavuuselementin δτ, on (1.14b):n mukaan E d = 1 ρδτ. ε 0 δ
11 1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 25 Jos δτ:n annetaan lähestyä nollaa, saadaan E d δ lim = ρ(r). (1.17) δτ 0 δτ ε 0 Tämän yhtälön vasen puoli lähestyy integrointipinnasta riippumatonta skalaariarvoa, joka on E:n divergenssi E. Tarkastellaan tilannetta, jossa δτ on pieni y kuutio. Vuo x-akselia vastaan kohtisuorien sivujen läpi on z δy δz δx E x Kuva 1.16 E E x x + x δx x ( E x + E x x δx ) δyδz E x δyδz = E x x δxδyδz } {{ } δτ amoin voidaan vuo laskea muissa suunnissa. Kokonaisvuo δτ:n sivujen lävitse on siis δ E d = ( Ex x + E y y + E ) z δτ, z joten E d δ lim = E x δτ 0 δτ x + E y y + E z = E. (1.19) z Yhdistämällätämä (1.17):een saadaan Gaussin lain differentiaalimuoto E = ρ/ε 0. (1.20) Tästä nähdään, että kaikkialla, missä ρ(r) = 0, on E = 0, eli sähkökenttä on lähteetön ähköstaattinen energia Varauskonfiguraatioihin liittyy sähköstaattista energiaa, joka voi purkautua varausjakautumien muutoksissa. Esimerkkejä sähköstaattisen energian purkautumisesta ovat kemialliset reaktiot ja salamanisku ähköstaattinen potentiaali Koska sähkökenttä aiheuttaa varaukseen kohdistuvan voiman, on sillä myös kyky tehdä työtä, mikäli varauksen annetaan liikkua. Jos varaus liikkuu kentän E vaikutuksesta matkan dl kenttä tekee työn dl E. Jos liike tapahtuu pitkin jotakin käyrää pisteestä A pisteeseen B, onkentän tekemä työ B W AB = E dl, A
12 26 B B II I I A A Kuva 1.17 missä integraali on viivaintegraali pitkin ko. käyrää A:sta B:hen. Pisteestä A pisteeseen B on äärettömän monta tietä. Jos W AB ei riipu tiestä, ts. jos WAB I = WAB II valittiinpa tiet I ja II miten tahansa, ovat sekä voima että sähkökenttä konservatiivisia. Koska WAB I = WBA II (integrointisuunta muuttunut) on konservatiivisille kentille voimassa WAB I + WBA II = 0 eli E dl =0, (1.23) ts. E:n integraali pitkin suljettua tietä häviää. euraavassa osoitetaan, että staattinen sähkökenttä on todella konservatiivinen. Riittää, että osoitamme tämän pistevaraukselle; superpositioperiaatteesta nimittäin seuraa, että tällöin minkä tahansa varausjakautuman aiheuttama staattinen sähkökenttä on konservatiivinen. Lasketaan työ, jonka :n aiheuttama sähkökenttä E = E rˆr o tekee, kun se siirtää testivarauksen t A:sta B:hen. Koska θ on W AB = E dl = E r dl cos θ = E r dr, B A t E dl = r 2 r 1 t Edr = r 2 r 1 t r dr = t 2 r 2 r 1 Kuva 1.18 dr r = { t 1 2 r 1 1 r 2 }. iis W A B riippuu vain r 1 :stä jar 2 :sta, ei tiestä, joten staattinen sähkökenttä on todella konservatiivinen. Mekaniikassa on osoitettu, että konservatiiviseen voimakenttään liittyy potentiaalienergia. Kun kappale liikkuu konservatiivisen voiman vaikutuksesta, voiman tekemä työ on peräisin potentiaalienergiasta. Koska staattinen sähkökenttä on konservatiivinen, siihenkin littyy potentiaalienergia U. Voimassa on yhtälö W AB = t B A E dl = U A U B,
13 1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 27 missä U A on systeemin potentiaalienergia, kun t on pisteessä A ja vastaavasti U B on systeemin potentiaalienergia, kun t on pisteessä B. Potentiaalienergia on siis testivarauksen paikan funktio. Jos työ A:sta B:hen on positiivinen, on U A >U B, joten potentiaalienergia pienenee. Jos taas työ A:sta B:hen on negatiivinen, on U A <U B, joten potentiaalienergia kasvaa. Koska kahden pisteen välisen potentiaalienergian erotus on verrannollinen testivaraukseen t,onmyös potentiaalienergia verrannollinen siihen. Tällöin on mahdollista määritellä sähköstaattinen potentiaali φ(r) siten, että iis W AB = t B A E dl = t φ(r A ) t φ(r B ). B φ(r B ) φ(r A )= E dl = A A B E dl. (1.24) Tämän perusteella potentiaali φ(r) on (testivarauksesta riippumaton) paikan funktio, joten se on skalaarikenttä. Koska vain potetiaalien erotuksella on fysikaalista merkitystä, voidaan potentiaalin nollataso valita vapaasti. Esim.: Pistevarauksen potentiaali φ( ) φ(r) = r E dl = 1 r r 2 dr φ(r) φ( ) = 1 / r r = 1 r Jos pistevaraus i on paikassa r i ja valitaan φ( ) = 0, saadaan φ(r) = Jos pistevaraus sijaitsee origossa, r i =0ja φ(r) = i r r i. 1 r. (1.25) ähkökenttä potentiaalin gradienttina Kahden lähellä toisiaan olevan pisteen r ja r + dr välinen potentiaaliero on dφ = φ(r + dr) φ(r) = r+dr r E dl = E dr. Koska E = E x i + E y j + E z k
14 28 ja dr = dxi + dyj + dzk, on dφ = E dr = E x dx E y dy E z dz. Toisaalta φ(r):n kokonaisdifferentiaali on dφ = φ φ φ dx + dy + x y z dz, joten eli E x = φ x, E y = φ y, E z = φ z E = φ = (i x + j y + k )φ. (1.26) z Esim: Pistevarauksen potentiaalin gradientti. Potentiaali on φ = r = iis sähkökentän komponentit ovat joten sähkökenttä on E x = φ x = 1 2 E y = φ y = E z = φ z = y r 3 z r, 3 E(r) =E x i + E y j + E z k = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2. 2x x = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 r 3 (xi + yj + zk) = r3 r 3 r. Varausjoukon potentiaali Jos varaus 1 aiheuttaa sähkökentän E 1 (r), jonka potentiaali on φ 1 (r) javaraus 2 kentän E 2 (r), jonka potentiaali on φ 2 (r), niin mikä on summakentän E(r) potentiaali? ähkökenttien superpositioperiaatteen nojalla on voimassa E(r) =E 1 (r)+e 2 (r) = φ 1 (r) φ 2 (r) = [φ 1 (r)+φ 2 (r)]. Toisaalta joten E(r) = φ(r), φ(r) =φ 1 (r) + φ 2 (r).
15 1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 29 iis superpositioperiaate on voimassa myös potentiaaleille. Näinollen varauksien i, i = 1, 2,..., n aiheuttama potentiaalikenttä on φ(r) = 1 n i=1 i r r i (1.27) amoin saadaan atomaarisen varaustiheyden aiheuttamaksi atomaariseksi potentiaaliksi φ at (r) = 1 ρ at (r )dτ (1.28) r r V ja makroskooppisen varaustiheyden sekä varauskatteen aiheuttamaksi potentiaaliksi φ(r) = 1 V ρ(r )dτ r r + 1 σ(r )d r r. (1.29) Ekvipotentiaalipinta on pinta, jolla potentiaali on vakio. Tämän pinnan yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon φ(r) = C. Jokainen vakion C arvo määrittelee yhden ekvipotentiaalipinnan. Osoitetaan, että sähkökenttä on aina ekvipotentiaalipinnan normaalin suuntainen. Koska E = φ, riittää osoittaa, että φ on kohtisuorassa ekvipotentiaalipintaa vastaan. Potentiaalin kokonaisdifferentiaali on dφ = φ φ φ dx + dy + dz = φ dr, x y z missä dr = idx + jdy + kdz. Tarkastellaan gradienttia φ(r) pinnalla φ(r) = C pisteessä r. Valitaan dr siten, että r + dr on myös pinnalla φ(r) = C; siis dr on pinnan tangentin suuntainen pisteessä r. Tällöin dφ = φ(r + dr) φ(r) =0. Toisaalta dφ = φ dr. iis φ dr = 0, joten φ dr. Tämä on voimassa kaikille pinnalle φ(r) = C pisteeseen r piirretyille tangenteille dr, joten φ on kohtisuorassa pintaa φ(r) = C vastaan. iis myös E on aina kohtisuorassa ekvipotentiaalipintaa vastaan. Huomaa, että skalaarikentän gradientti antaa suunnan jossa kenttäfunktio kasvaa nopeimmin. φ Kuva 1.20 Pistevarauksen kentän kenttävivat, potentiaalifunktio ja ekvipotentiaalit.
16 Dipolipotentiaali ähköinen dipoli koostuu varauksista + ja, jotka ovat lähellä toisiaan (etäisyys a). Valitaan dipolin akseli z-akselin suuntaiseksi siten, että +:n z koordinaatti on a/2 ja :n a/2. Tehtävänä on laskea dipolin potentiaali paikassa r, kun r a, siis kaukana dipolista. Potentiaalin tarkka arvo on φ = ( 1 1 ) (1.30) r + r θ Kuva 1.21 Vektorit r ± voidaan esittää r:n avulla muodossa r ± = r a 2 k, joten Koska a 2 /4 r 2,on r 2 ± r 2 ak r = r 2 ( r 2 ± = r 2 + a2 4 1 ak r ) r 2 ak r. 1 = 1 ( 1 ak r ) 1/2. r ± r r 2 Tässä ak r/r 2 1, joten lauseketta voi approksimoida sarjakehitelmän (1 x) 1/2 = 1 x/2+3x 2 /8... avulla. iis 1 = 1 ( 1 ± 1 r ± r 2 ak r ) 1 1 = ak r. r 2 r + r r 3 ijoittamalla tämä (1.30):een saadaan φ = ak r r. 3 Määritellään sähköinen dipolimomentti p = ak. en avulla dipolin potentiaali voidaan kirjoittaa muotoon φ(r) = p r r = p cos θ 3 r. (1.31) 2 ijoittamalla r = xi + yj + zk (1.31) saadaan muotoon pz φ = (1.32) (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ähkökentän komponentit voidaan laskea derivoimalla E x = φ x = E y = φ y = pz 3 p 2 2x (x 2 + y 2 + z 2 ) = p 3xz 5/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2 3yz, (1.33) (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2
17 1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 31 E z = φ z = p [ 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) + 3z 2 ] 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 5/ Varaussysteemin potentiaalienergia = p(3 cos2 θ 1) r 3. (1.34) Varaussysteemin potentiaalienergia on energia, joka tarvitaan kuljettamaan varaukset paikoilleen äärettömyydestä, missä potentiaali φ = 0. ille voidaan johtaa lauseke kuvittelemalla, että varaukset i (i =2, 3,...n) tuodaan yksi kerrallaan paikkoihin r i paikassa r 1 olevan varauksen 1 ympäristöön. Varauksen 1 aiheuttama potentiaali paikassa r 2 on 1 /( r 12 ), joten 2 :n tuominen lisää systeemin potentiaalienergiaa määrällä 1 2 /( r 12 ). uperpositioperiaatteen nojalla on potentiaali paikassa r 3 nyt 1 /( r 13 )+ 2 /( r 23 ), joten 3 :n tuominen paikoilleen lisää systeemin potentiaalienergiaa määrällä 3 1 /( r 13 )+ 3 2 /( r 23 ). Kun systeemin rakentamista jatketaan samalla periaatteella, havaitaan, että potentiaalienergia on U = ( ) ( ) 2 + ( ) r 12 r 13 r 23 r 14 r 24 r 34 1 n j = i. (1.35) i=2 j<i r ji Tässä kaksinkertaisessa summassa esiintyy kukin varauspari ( i, j ) sekä näiden välinen etäisyys r ji vain yhdessä termissä. Jos rajoitus j < i poistetaan, tulee jokainen termi lasketuksi mukaan kaksi kertaa (huomaa, että r ji = r ij ), joten tulos on 2U. Näinollen U = 1 j i = 1 i φ i, (1.36) 8πε 0 i j i r ji 2 i missä φ i = 1 j j i r ji on systeemin varausten aiheuttama potentiaali pisteessä r i. On huomattava, että i φ i on työ, joka tarvitaan i :n tuomiseksi paikkaan r i, kun kaikki muut hiukkaset jo ovat paikoillaan. Tämän vuoksi systeemin potentiaalienergia ei ole Σ i φ i, eikä myöskään voida puhua yhden hiukkasen potentiaalienergioista, joiden summana koko potentiaalienergia voitaisiin lausua. Koska φ i määräytyy yksikäsitteisesti systeemin varausten paikoista ja suuruuksista, on (1.36):n mukaisesti myös U yksikäsitteinen; se ei riipu siitä, missä järjestyksessä varaukset tuodaan paikalleen. Jos systeemi koostuu avaruus-ja pintavarauksista, on potentiaalienergia U = 1 ρφ dτ + 1 σφ d. (1.37) 2 2 V Esim: Kun uraaniydin halkeaa kahdeksi samanlaiseksi osaksi, on kummankin varaus Ze = 46e ja säde m. Ydinvoiman vaikutuksen lakatessa on siis hajoamistulosten keskipisteiden etäisyys d = m ja potentiaalienergia (Ze) 2 d = J.
18 32 Kun poistovoima työntää osaset erilleen, saavat ne yhteensä tämän suuruisen kineettisen energian. Tästä seuraa, että 1 mooli (238 g) uraania riittää käyttämään 5000 MW:n reaktoria noin tunnin ajan Kondensaattorit Johteen sisällä E = 0 ja ulkopuolella E on kohtisuorassa pintaa vastaan. Mikäli näin ei olisi, tapahtuisi johteessa varausten liikettä, kunnes tämä tilanne saavutettaisiin. ähkökentässä olevalla johteella on siis aina jokin pintavaraus. Koska E on kohtisuorassa ekvipotentiaalipintoja vastaan, on johteen pinta ekvipotentiaalipinta ja potentiaali johdekappaleessa on vakio. Kondensaattori muodostuu kahdesta johdekappaleesta, jotka on eristetty toisistaan ja joille annetaan varaukset Q ja Q. (yntyvät pintavaraukset σ + ja σ eivät välttämättä ole vakioita.) Tällöin sanotaan, että kondensaattorin varaus on Q. Kondensaattorin potentiaalienergia on (1.37):n mukaan σ + + σ Q +Q φ + φ - U = 1 2 φ + σ + d + 1 } {{ } 2 φ σ d } {{ } Q Q eli U = 1 2 Q(φ + φ )= 1 QV, (1.38) 2 missä V on johdekappaleiden välinen potentiaaliero eli kondensaattorin jännite. Kondensaattorin geometria määrää, miten pintavaraukset asettuvat, jotta kenttä johteiden sisällä asettuu nollaksi. Geometria myös määrää, miten kenttäviivat kulkevat johteiden välillä, sillä kenttäviivojen on aina saavuttava kohtisuoraan johteen pinnalle. Jos kondensaattorin varausta muutetaan, ainoastaan kenttäviivojen tiheys muuttuu, ei muoto. Jos esim. varaus muutetaan kaksinkertaiseksi, muuttuu varauskate kaikkialla kaksinkertaiseksi ja superpositioperiaatteen nojalla myös kenttä kaksinkertaistuu kaikkialla. Tällöin myös V = E dl (viivaintegraali ei riipu tiestä, mutta se voidaan laskea positiivisesti varatusta johteesta negatiivisesti varattuun johteeseen esimerkiksi pitkin kenttäviivaa) kasvaa kaksinkertaiseksi. Näin ollen kondensaattorin varaus on verrannollinen jännitteeseen: Q = CV, (1.39) ja verrannollisuuskerroin C, joka riippuu vain kondensaattorin geometriasta, on kondensaattorin kapasitanssi. Kondensaattorin energia voidaan nyt esittää muodossa U = 1 2 CV 2 = 1 2 Q2 C. (1.40)
19 1.10. ÄHKÖTAATTINEN ENERGIA 33 Kapasitanssin yksikkö on Esim: Levykondensaattorin kapasitanssi. Levyjen pinta-ala on A ja niiden välinen etäisyys d. Kun d on pieni, kenttä rajoittuu lähes täysin levyjen väliin. Yhtälön (1.16) mukaan [C] = [Q] [V ] = C V = F (faradi). σ + = ε 0 E E = σ + ε 0 = Q ε 0 A d Kuva 1.23 A V 0 Toisaalta V = φ + φ = E dl = Ed = Qd ε 0 A Q = ε A 0 d V, joten C = Q V = ε A 0 d. (1.41) Jos tämä sekä V = Ed sijoitetaan (1.40):een, saadaan U = 1 2 CV 2 = 1 2 ε A 0 d (Ed)2 = 1 2 ε 0E 2 (Ad). Tässä lausekkeessa Ad on kondensaattorilevyjen väliin jäävä tilavuus eli se tilavuus, missä kentällä on nollasta poikkeava arvo. Kerroin 1 ε 2 0E 2 voidaan siis tulkita sähkökentän energiatiheydeksi, ts. voidaan kuvitella, että systeemin potentiaalienergia on varastoituneena sähkökenttään. Jos näin on, voidaan potentiaalienergia laskea integroimalla energiatiheys 1 ε 2 0E 2 yli sen tilavuuden, missä kenttä vaikuttaa. Ilmassa suurin mahdollinen sähkökenttä on luokkaa 10 6 V/m. Tämä vastaa energiatiheyttä 1 ε V 2 /m 2 = 4 J/m 3, mikä on varsin vähäinen määrä esim. kemiallisten reaktioiden tuottamaan energiatiheyteen verrattuna. Makroskooppiset kentät ovat myöskin paljon heikompia kuin atomitason kentät. Kondensaattorilevyjen vastakkaiset varaukset vetävät toisiaan puoleensa. Tämä vetovoima voidaan laskea potentiaalienergian avulla. Jos levyjä vedetään kauemmaksi toisistaan tällä voimalla F matkan dx, kasvaa potentiaalienergia määrällä du = F dx. Toisaalta kaavasta U = 1 2 ε 0E 2 Ax seuraa, että du = 1 2 ε 0E 2 Adx, joten F = du dx = 1 2 ε 0E 2 A. Jos esim. E =10 6 V/m, on F/A = 4 N/m atm.
20 Varaussysteemin sähköstaattinen potentiaalienergia sähkökentän energiatiheyden avulla lausuttuna Oletetaan, että avaruudessa on n varattua johdekappaletta. Merkitään i:nnen kappaleen pintaa i :llä ja sisäänpäin suunnattua pintaelementtiä d i :llä. Asetetaan kappaleita ympäröimään pinta 0 (ulospäin suunnattu pintaelementti d 0 ) niin etäälle, että sähkökenttä 0 :lla on häviävän pieni. ysteemin potentiaalienergia on U = 1 2 n i=1 i d 2 d 3 d 1 Kuva 1.24 σ i φ i d i, d 0 missä σ i ja φ i ovat i:nnen johteen varauskate ja potentiaali. ähkökenttä on rajoittunut 0 :n sisäänsä sulkemaan tilavuuteen, johon johteet muodostavat kentättömiä onkaloita. Elementit d i,i=0,...,n, ovat siis tämän tilavuuden ulospäin suuntautuneita pintaelementtejä. Kun pintaelementtien suunta on määritelty johteen sisälle päin, on voimassa σ i d i = ε 0 E d i, joten U = 1 n ε 0 φ i E d i = 1 ε 0 φe d, 2 2 i=1 i missä pinta on pintojen i,i = 0,...,n yhdistys. saadaan U = 1 ε 0 (φe) dτ, 2 missä V on :n sisältämä tilavuus. Koska V Divergenssilauseen avulla (φe) =φ E + E φ ja E = φ sekä tyhjiössä E =0,on (φe) = E 2, ja U = 1 ε 0 E 2 dτ (1.42) 2 V Lauseke ε 0 E 2 /2 voidaan siis yleisessä tapauksessa tulkita sähkökentän energiatiheydeksi ja systeemin potentiaalienergia voidaan saada selville joko laskemalla, mikä työ on tehtävä, kun systeemin varaukset tuodaan yksi kerrallaan paikalleen, tai integroimalla täydellisen systeemin sähkökentän energiatiheys yli avaruuden.
Coulombin laki ja sähkökenttä
Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotLuku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä
Luku 23 Tavoitteet: Määritellä potentiaalienergia potentiaali ja potentiaaliero ja selvittää, miten ne liittyvät toisiinsa Määrittää pistevarauksen potentiaali ja sen avulla mielivaltaisen varausjakauman
LisätiedotLuku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0
Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotRATKAISUT: 18. Sähkökenttä
Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotFysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto
ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Sähköja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan
Lisätiedot2 Eristeet. 2.1 Polarisoituma
2 Eristeet Eristeissä kaikki elektronit ovat sitoutuneita atomeihin tai molekyyleihin, eivätkä voi siis liikkua vapaasti kuten johdeelektronit johteissa. Ulkoinen sähkökenttä aiheuttaa kuitenkin vähäisiä
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotSähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä
Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotF x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään
31 VEKTORIANALYYSI Luento 5 Divergenssi F Vektorikentän F(, y, z ) divergenssi määritellään F F F y z y F z. Divergenssistä käytetään usein myös merkintää div, Divergenssi pistetulona, F div F. F voidaan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELECA4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 2 Gaussin laki (YF 22) Oppimistavoitteet Varaus
LisätiedotDEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotLuku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan
Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotElektroniikka. Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist
Elektroniikka Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist Kurssin sisältö Sähköopin perusteet Elektroniikan perusteet Sähköturvallisuus ja lainsäädäntö Elektroniikka musiikkiteknologiassa Suoritustapa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotSähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon
30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotFY6 - Soveltavat tehtävät
FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotSÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä:
FY6 SÄHKÖ Tavoitteet Kurssin tavoitteena on, että opiskelija ymmärtää sähköön liittyviä peruskäsitteitä, tutustuu mittaustekniikkaan osaa tehdä sähköopin perusmittauksia sekä rakentaa ja tutkia yksinkertaisia
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotLuku Ohmin laki
Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja
LisätiedotEristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
LisätiedotJakso 5. Johteet ja eristeet Johteista
Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
Lisätiedot40 LUKU 3. GAUSSIN LAKI
Luku 3 Gaussin laki 3.1 Coulombin laista Gaussin lakiin Takastellaan pistemäisen vaauksen q aiheuttamaa sähkökenttää, joka noudattaa yhtälöä (1.1). Tämän sähkökentän vuo etäisyydellä olevan pienen pintaelementin
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotElektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018
Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
LisätiedotVIELÄ KÄYTÄNNÖN ASIAA
VIELÄ KÄYTÄNNÖN ASIAA Kurssin luentomuis8inpanot (ja tulevat laskarimallit) näkyvät vain kun olet kirjautunut sisään ja rekisteröitynyt kurssille WebOodin kauga Kurssi seuraa oppikirjaa kohtuullisen tarkkaan,
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 3 Tavoitteet Sähköpotentiaali Sähköpotentiaali Sähköpotentiaalin määrittäminen Tasapotentiaalipinnat Potentiaaligradientti
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotTeddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011
Teddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011 1. Dipolimomentti voidaan määritellä pistevarauksille seuraavan vektoriyhtälön avulla: µ = q i r i, (1) i missä q i on i:nnen varauksen suuruus ja r i = (x
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus
AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Tehtävä Kaksi pistevarausta ja sijaitsevat x-tason pisteissä r x e x e ja r x e x e. Mikä ehto varauksien
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän
Lisätiedot1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
LisätiedotRATKAISUT: 19. Magneettikenttä
Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
Lisätiedot&()'#*#+)##'% +'##$,),#%'
"$ %"&'$ &()'*+)'% +'$,),%' )-.*0&1.& " $$ % &$' ((" ")"$ (( "$" *(+)) &$'$ & -.010212 +""$" 3 $,$ +"4$ + +( ")"" (( ()""$05"$$"" ")"" ) 0 5$ ( ($ ")" $67($"""*67+$++67""* ") """ 0 5"$ + $* ($0 + " " +""
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen aaltoliike Ajasta riippuvat
LisätiedotKYSYMYS: Lai*akaa varaukset järjestykseen, posi9ivisesta nega9ivisempaan.
: Lai*akaa varaukset järjestykseen, posi9ivisesta nega9ivisempaan. Protoni Elektroni 17 protonia 19 electronia 1,000,000 protonia 1,000,000 elektronia lasipallo puu*uu 3 elektronia (A) (B) (C) (D) (E)
LisätiedotHarjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.
SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007 Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
LisätiedotMagneettinen energia
Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotAsia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen
Luku 2 taattinen sähkökenttä Tässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään. Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen käsittely on huomattavasti
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedot2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................
Lisätiedot22. SÄHKÖSTATIIKKA Sähkövaraus, Q, q
22. SÄHKÖSTATIIKKA Pääkohdat: 1. Sähkövaraus (säilyminen ja kvantittuminen) 2. Johteet ja eristeet 3. Coulombin laki 4. Superpositio- eli summautumislaki S&M kl 1998 1 Sähkö keksittiin hankaussähkönä jo
Lisätiedotkipinäpurkauksena, josta salama on esimerkki.
Sähkö 25 Esineet saavat sähkövarauksen hankauksessa kipinäpurkauksena, josta salama on esimerkki. Hankauksessa esineet voivat varautua sähköisesti. Varaukset syntyvät, koska hankauksessa kappaleesta siirtyy
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotMaailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia.
Luku 2 taattinen sähkökenttä Tässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään. Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen käsittely on huomattavasti
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 2 Tavoitteet Sähkövaraus ja sähkökenttä Sähködipoli Gaussin laki Varaus ja sähkövuo Sähkövuon laskeminen Gaussin laki Gaussin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
Lisätiedot