SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi

Transkriptio

1 SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen suunnassa. Tällöin myös lämpöä johtuu vain pallon säteen suunnassa, ja yleistä muotoa oleva Fouie'n laki q λ A T voidaan kijoittaa: dt dt dt q q q λ A λ4π d T + C d d d λ4π λ4π Lämpötilajakauman lausekkeessa on kaksi tuntematonta temiä (lämpövita q ja integoimisvakio C), joten tehtävän atkaisemiseen tavitaan kaksi eunaehtoa. Reunaehdot saadaan lämpökonvektiosta lasikuidun ja veden sekä lasikuidun ja n välillä. Huomaa, että lauseke on kijoitettava positiivisen x:n suunnassa: dt λlasikuitu hvesi Tvesi T i d i dt λ h T T ( ) ( ) lasikuitu o d o q q λlasikuitu hvesi Tvesi C λlasikuitu 4π + i λlasikuitu 4π i q q λlasikuitu h + C T λlasikuitu 4π o λlasikuitu 4π o q hvesiq h vesitvesi hvesic 4π i λlasikuitu 4π i q h q + h C ht 4π o λlasikuitu 4π o 1 h 4π λ 4π 1 h 4π λ 4π vesi + q + hvesic hvesitvesi i lasikuitu i q h C ht o lasikuitu o Homma jatkuu Matlailla... Ratkaistu tilanne kuvaa jatkuvuustilan lämpötilajakaumaa, mikä takoittaa sitä, että lämpötila ei iipu ajasta. Jos kuitenkin yitetään avioida sitä, kuinka nopeasti säiliön vesi jäähtyisi, jos säiliöstä kakaisi an koko ajan laskettu lämpövita, päädytään takastelemaan tehotasapainon lauseketta (H1T): P + P P P. in g out st Nyt P in ja P g ovat nollia, joten saadaan: dt P + P C V q st out p dt + dt q, dt C V p 1

2 jossa C p on veden ominaislämpökapasiteetti tilavuusyksikköä kohti (J/(m 3 K)), ja V on veden tilavuus. Homma jatkuu jälleen Matlailla.. Tilannetta kuvaa diffeentiaaliyhtälö, joka on johdettu luentomonisteessa sivuilla 37 ja 38. Tässä käsitellään siis ns. ipateoiaa. d θ m θ, hp jossa θ T(x) T huone ja m. T(x) kuvaa ivan lämpötilaa etäisyyden x λ A funktiona (oigo on ivan tyvessä), T huone on ipaa ympäöivän kaasun/nesteen lämpötila, h on konvektiivinen lämmönsiitokeoin ivan ja ympäöivän kaasun/nesteen välillä, λ on ivan lämmönjohtavuus, ja A on ivan poikkipinta-ala. P on ivan peimeti, jolla takoitetaan sitä mittaa, jolla ipa on kontaktissa ympäöivään kaasuun/nesteeseen. Ratkaistavana on siis. ketaluvun lineaainen, vakioketoiminen, homogeeninen DY. Ja tuollaisethan atkeavat eksponentiaalisella yitteellä, joten sijoitetaan DY:öön atkaisuyite θ e x. x d ( e ) x x x m e e m e :e x m (KY) ± m Koska homogeeninen yhtälö on toista astetta, ja kaakteistisen yhtälön (KY) juuina saatiin kaksi eisuuta eaalilukua, homogeenisen yhtälön atkaisu on muotoa x x mx mx θ x D e + D e D e + D e Tavitaan kaksi eunaehtoa vakioiden D 1 ja D atkaisemiseen. Toinen eunaehto saadaan ivan alkupään lämpötilasta T ja toinen konvektiivisesta lämmönsiiosta ivan loppupäässä. Huomaa, että konvektiiviseen lämmönsiitoon liittyvä eunaehto on kijoitettava positiivisen x:n suunnassa. θ T T θ θ θ dt λa ha( T ( L) T ) hθ L D1 + D θ h D e D e m D e D e ( L) ( ml ml 1 + ) λ ( ml ml 1 ) dθ λ Muokataan yhtälöpai sellaiseen muotoon, että vakiot D 1 ja D saadaan atkaistua kätevästi Matlailla. D1 + D θ ml ml ml ml ( he + λme ) D1 + ( he λme ) D 1 1 D1 θ ml ml ml ml he + λme he λme D L

3 Kun D 1 ja D saadaan atkaistua, ivan lämpötila x:n funktiona saadaan siis lausekkeesta: mx mx T x D e + D e + T. 1 Homma jatkuu Matlailla... Jotta pystytään takastelemaan ivan tehokkuutta, tavitaan ivan kokonaislämpövita q f. Rivan kokonaislämpövita on se lämpöteho, joka lähtee ivan tyvestä. Koska ivan tyvestä lähtee lämpövitaa ainoastaan johtumalla, q f saadaan lausekkeesta: d D e + D e + T q A A A md e md e mx mx λ dt 1 mx f 1 λ x λ [ ] λ A md md. 1 Nyt on siis muodostettu lauseke ivan kokonaislämpövialle. Rivan tehokkuustakastelulla pyitään selvittämään, onko ivasta jotain hyötyä. Tällöin takastellaan osamääää, jonka osoittajassa on ivan kokonaislämpövita, ja nimittäjässä n ivan olemassaoloa siityvä lämpövita. Mekitään tätä osamääää ε f :llä, ja kutsutaan sitä ivan tehokkuudeksi: qf εf. ha x θ Homma jatkuu jälleen Matlailla Toistaiseksi tällä kussilla on takasteltu tilanteita, joissa lämpötila iippuu vain yhdestä suunnasta. Vaikka 1D-appoksimaatio onkin joissain tilanteissa kelvollinen keino lämpötilajakauman takasteluun, useissa käytännön tilanteissa 1D-takastelu ei iitä. Tämä tehtävä on esimekki tilanteesta, jossa lämpötilajakauma on kaksidimensioinen. Laskennan kannalta ongelma on siinä, että jo D-tehtävän analyyttinen atkaiseminen menee helposti mekittävän monimutkaiseksi. Tietyillä oletuksilla jatkuvuustilan lämpötilajakaumaa voidaan kuitenkin takastella kahdessa dimensiossa. Tällöin käytetään menetelmää, jota kutsutaan muuttujien eottamiseksi. Tilanne on esitelty luentomonisteen sivulla 45, ja pitkällisen johdon jälkeen päädytään lopulta sivulla 49 esiteltyyn summalausekkeeseen, josta voidaan atkaista tietylle tilanteelle Dlämpötilajakauma: nπ y n+ sinh ( 1) nπ x L θ ( x, y) sin, π n 1 n L nπw sinh L jossa θ (T - T 1 )/(T - T 1 ), ja temit T 1, T, L sekä W selviävät oheisesta kuvasta. mx 3

4 y T T θ 1 y W T T 1 θ T T 1 θ y x T T 1 θ x L x Takoitus on Matlaia hyödyntäen selvittää, miten alueen lämpötilajakauma saadaan tällaisessa tilanteessa laskettua. 4

5 4. Tilannetta kuvaa diffeentiaaliyhtälö, joka on johdettu luentomonisteessa sivuilla 37 ja 38. Tässä käsitellään siis ns. ipateoiaa. d θ m θ, hp jossa θ T(x) T huone ja m. T(x) kuvaa ivan lämpötilaa etäisyyden x λ A funktiona (oigo on ivan tyvessä), T huone on ipaa ympäöivän kaasun/nesteen lämpötila, h on konvektiivinen lämmönsiitokeoin ivan ja ympäöivän kaasun/nesteen välillä, λ on ivan lämmönjohtavuus, ja A on ivan poikkipinta-ala. P on ivan peimeti, jolla takoitetaan sitä mittaa, jolla ipa on kontaktissa ympäöivään kaasuun/nesteeseen. Ratkaistavana on siis. ketaluvun lineaainen, vakioketoiminen, homogeeninen DY. Ja tuollaisethan atkeavat eksponentiaalisella yitteellä, joten sijoitetaan DY:öön atkaisuyite θ e x. x d ( e ) x x x m e e m e :e x m (KY) ± m Koska homogeeninen yhtälö on toista astetta, ja kaakteistisen yhtälön (KY) juuina saatiin kaksi eisuuta eaalilukua, homogeenisen yhtälön atkaisu on muotoa x x mx mx θ x C e + C e C e + C e Tavitaan kaksi eunaehtoa tuntemattomien vakioiden C 1 ja C atkaisemiseen. Toinen saadaan θ :n avosta ivan tyvessä, koska ivan tyven lämpötila on tunnettu. Toinen eunaehto saadaan siitä, että ääettömyydessä ivan lämpötila lähestyy ympäöivän n lämpötilaa. θ T Thuone C1 + C C 6 mx mx limθ ( x) lim ( C ) x 1e + Ce C x 1 θ ( x) 6e mx T x 6e mx + T huone Muodostetaan vielä lauseke ivan tyvestä lähtevälle lämpövialle q f : dt d f 6 mx mx q λ A λ A e T huone 6mλ Ae 6mλ A +. Kun tätä lukemaa veataan siihen tehoon, joka siityy ivan kuvitteelliselta poikkipinnalta konvektiolla ympäöivään an, päästään kiinni siihen, kuinka tehokas ipa on. Jos tehokkuutta mekitään ε f :llä, saadaan: qf εf ha x θ 5