9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio, määrätään jatkuva funktio u: D R siten, että u:lla on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat D:ssä ja u = u (9.) x + u y = 0 D:ssä, ja u(x, y) = f(x, y) kaikille (x, y) D. Käytetään apuna napakoordinaatteja x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Olkoot v(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ) ja g(ϕ) = f(r cos ϕ, R sin ϕ). Napakoordinaateissa Laplace-yhtälö on v r + r v r + v r ϕ = 0, joten Diriclet n tehtävä (9.) saa muodon v (9.) r + v r r + v r ϕ = 0 kaikille r (0, R) ja ϕ [, π], sekä v(r, ϕ) = g(ϕ) kaikille ϕ [, π]. Muuttujien separointi v(r, ϕ) = V (r)w (ϕ) johtaa yhtälöön r V (r) + rv (r) V (r) = W (ϕ) W (ϕ) = λ. Koska ratkaisun v = v(r, ϕ) pitää olla ϕ:n suhteen -jaksoinen, saadaan W :n yhtälöstä λ = k, k N, ja W (ϕ) = W k (ϕ) = α k cos kϕ + β k sin kϕ. Yhtälön r V (r) + rv (r) k V (r) = 0 ratkaisut löydetään yritteellä V (r) = r µ, missä µ R. Eksponentille µ saadaan yhtälö µ(µ ) + µ k = 0, joten µ = ±k. Jos µ = k < 0, niin ratkaisu u on epäjatkuva origossa, joten vain µ = k 0 kelpaa. Siis v k (r, ϕ) = r k (α k cos kϕ + β k sin kϕ). Kertoimet α k ja β k määrätään siten, että funktio v(r, ϕ) = v k (r, ϕ) = r k (α k cos kϕ + β k sin kϕ) k=0 toteuttaa reunaehdon v(r, ϕ) = g(ϕ), t.s. R k (α k cos kϕ + β k sin kϕ) = g(ϕ). k=0 Viimeksi muutettu 7..006. k=0 60
9. POISSONIN INTEGRAALI 6 Kertoimet R k α k ja R k β k ovat siis funktion g Fourier n kertoimet α 0 = dθ, α k = cos kθ dθ, πr k β k = πr k sin kθ dθ. Muistettakoon, että ainakin, jos g on jatkuvasti derivoituvan, -jaksoisen funktion rajoittuma välille [, π], niin g:n Fourier n sarja suppenee kohti g:tä. Kun Fourier n kertoimet sijoitetaan funktion v sarjaan, saadaan, kun r < R, v(r, ϕ) = = π = π = π = π + π dθ ( r k ( cos kϕ R) k= = R r ( + ( r k ( R) k= ( + ( r k ) cos k(ϕ θ) dθ R) k= ) cos kθ dθ + sin kϕ sin kθ dθ )) cos kϕ cos kθ + sin kϕ sin kθ dθ ( (r/r) cos(ϕ θ) ) (r/r) + dθ (r/r) cos(ϕ θ) + (r/r) (r/r) (r/r) cos(ϕ θ) + (r/r) dθ R + r rr cos(ϕ θ) dθ. Tässä on käytetty tietoa, että kun r < R, on esiintyvällä sarjalla majoranttina geometrinen sarja k= (r/r)k, joten sarja suppenee Weierstrassin M-testin perusteella tasaisesti, ja sarjan summauksen ja integroinnin järjestys voidaan vaihtaa. Lisäksi on käytetty identiteettiä ϱ k ϱ cos τ ϱ cos kτ = ϱ cos τ + ϱ, k= k= mikä on helpointa todeta kompleksisen geometrisen sarjan avulla: Re z k z z ( z) Re z z = Re = Re =, z z z missä z = ϱe iτ = ϱ(cos τ + i sin τ). Saatu esitys ratkaisulle v = v(r, ϕ) on funktion g Poissonin integraali (9.3) v(r, ϕ) = R r R + r rr cos(ϕ θ) dθ.
9. POISSONIN INTEGRAALI 6 Integraalista on syytä huomata, että integroitavan funktion nimittäjällä on nollakohta θ = ϕ, kun r = R, joten reuna-arvoja ei saada sijoittamalla r = R, vaan raja-arvona lim r R v(r, ϕ). Kun palataan xy-koordinaatistoon, saadaan ratkaisulle u = u(x, y) esitys funktion f Poissonin integraalina (9.4) u(x, y) = R (x, y) tai käyräintegraalina (9.5) u(x, y) = R (x, y) missä S = D. R f(r cos θ, R sin θ) S f(ξ, η) (x, y) (R cos θ, R sin θ) dθ, ds(ξ, η), (x, y) (ξ, η) Edellä on siis näytetty, että jos f : D R on jatkuvasti derivoituva, niin Diriclet n reuna-arvotehtävän (9.) ratkaisu saadaan Poissonin integraalina (9.4) tai (9.5). Osoitetaan seuraavaksi, että Poissonin integraalin avulla saatava funktio todella antaa Diriclet n reuna-arvotehtävälle (9.) ratkaisun. Käsitellään tapaus n-ulotteisena, eli olkoot B origokeskinen, R-säteinen pallo R n :ssä, B = {x R n x < R} ja f : R jatkuva funktio. Edellä johdettua Poissonin integraalia vastaa nyt P f(y) = R y f(x) x y n ds(x), missä ω n on R n :n yksikköpallon tilavuus ja ds(x) tarkoittaa pintaintegrointia muuttujan x suhteen. Useampiulotteisessa tilanteessa on hieman hankalampi osoittaa, että jos u C (B) C (B) toteuttaa Laplacen yhtälön u = 0 pallossa B, niin kaikille y B on voimassa u(y) = P f(y), missä f = u. Seuraavan lauseen todistuksessa tätä tietoa tarvitaan vain tapauksessa u(x), t.s. R y ds(x) = kaikille y B. x y n Kaksiulotteisessa tilanteessa, eli Poissonin integraalille (9.3) tämä tulos voidaan todistaa suoraan laskemalla (HT; vihje: osoita, että (a cos θ) dθ = / a 4, kun a > ). Tämän väitteen todistaminen useampiulotteisessa tilanteessa sivuutetaan (toistaiseksi). Lause 9.. Olkoon f : R jatkuva funktio ja P f(y) = R y f(x) u(y) = x y ds(x), n f(y), kun y. kun y B, ja Tällöin u C (B) C(B) ja toteuttaa Laplacen yhtälön u = 0 pallossa B.
Todistus. Olkoon p(x, y) = R y 9. POISSONIN INTEGRAALI 63, kun x ja y B. x y n Kun y B, on funktio x p(x, y) jatkuva pallonkuorella, joten u(y) = P f(y) on hyvinmääritelty. Lisäksi kaikille x funktiolla y p(x, y) on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat. Jatkuvuus- ja derivointilemmojen avulla ei ole vaikea näyttää, että u = P f on C -funktio pallossa B. Lisäksi suoraan laskemalla nähdään (HT), että kaikille x on y p(x, y) = 0. Derivointilemman nojalla saadaan u(y) = y p(x, y) ds(x) = 0. Osoitetaan, että u on jatkuva reunapisteissä, eli että kaikille y 0 on voimassa u(y) f(y 0 ), kun y B ja y y 0. Olkoon ε > 0. Valitaan δ > 0 siten, että f(x) f(y 0 ) < ε, kun x ja x y 0 < δ. Merkitään V = {x x y 0 < δ}. Koska f on jatkuva, on se rajoitettu kompaktissa joukossa, joten on olemassa vakio M siten, että f(x) M kaikille x. Olkoon y B siten, että y y 0 < δ/. Tällöin kaikille x \ V on x y 0 δ, joten x y x y 0 y 0 y > δ/. Nyt u(y) f(y 0 ) = p(x, y) (f(x) f(y 0 )) ds(x) p(x, y) f(x) f(y 0 ) ds(x) V + p(x, y) f(x) f(y 0 ) ds(x) V \V p(x, y) ε ds(x) + R y ε + R y \V ε + (R y ) \V f(x) + f(y 0 ) x y n M (δ/) n ds(x) M (δ/) n Rn, koska pallonkuoren pinta-ala on ds(x) = nω nr n. Kun y y 0, on y y 0 = R, joten väite seuraa. ds(x), 9.. Konjugaattifunktio. Palataan Poissonin integraaliin tasossa, erityisesti yksikköympyrän Poissonin integraaliin (vrt. (9.3)) (P r g)(ϕ) = P r (ϕ θ) dθ = r + r r cos(ϕ θ) dθ,
9. POISSONIN INTEGRAALI 64 missä P r (ϕ) = r + r r cos(ϕ). Poissonin integraaliin johtaneissa tarkasteluissa käytettiin apuna summaa + ϱ k ϱ cos kτ = ϱ cos τ + ϱ, k= mihin päädyttiin kompleksisen geometrisen sarjan avulla (z = ϱe iτ ): + z k = + z z = + z ( + z)( z) = = z + i Im z. z z z k= Tästä summauksesta saatava imaginaariosakin antaa mielenkiintoisen konvoluutiooperaattorin (Q r g)(ϕ) = Q r (ϕ θ) dθ = r sin(ϕ θ) + r r cos(ϕ θ) dθ, missä Q r (ϕ) = r sin(ϕ) + r r cos(ϕ). Ytimet P r (ϕ) ja Q r (ϕ) ovat siis kompleksimuuttujan z funktion z ( ) + z k = + z z k= reaali- ja imaginaariosat, kun z = re iϕ. Kun g : R R on jatkuva ja -jaksoinen, ovat funktiot (P r g)(ϕ) ja (Q r g)(ϕ) siis funktion z + rei(ϕ θ) dθ = rei(ϕ θ) eiθ + z e iθ z dθ reaali- ja imaginaariosa. Kompleksianalyysin tietojen perusteella funktio z eiθ + z e iθ z dθ on kompleksianalyyttinen, joten v(r, ϕ) = (P r g)(ϕ) ja ṽ(r, ϕ) = (Q r g)(ϕ) ovat harmoniset (muista, että kompleksianalyyttinen funktio toteuttaa Caychyn ja Riemannin yhtälöt, ja Caychyn ja Riemannin yhtälöistä puolestaan seuraa harmonisuus). Funktiosta v(r, ϕ) = (P r g)(ϕ) osoitettiin, että kun r, niin v(r, ϕ) g(ϕ). Tarkastelemalla funktion ṽ(r, ϕ) = (Q r g)(ϕ) konvoluutioydintä, nähdään, että Q r (ϕ) = r sin(ϕ) + r r cos(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) = cot ϕ, kun r. Pitää paikkansa, että jatkuvalle, -jaksoiselle funktiolle g : R R funktiolla ṽ(r, ϕ) = (Q r g)(ϕ) on raja-arvo ṽ(ϕ), kun r, mutta tämän osoittaminen on vaikeampaa kuin funktiolle v(r, ϕ) = (P r g)(ϕ). Osasyy tähän on, että perhe (Q r ) 0 r< ei ole ykkösen approksimaatio, ja Q ei ole edes Lebesgue-integroituva välillä [, π] (hankala singulariteetti kohdassa ϕ = 0). Huomaa, että tässä raja-arvo ṽ(r, ϕ) ṽ(ϕ) tarkoittaa alkuperäisissä xy-koordinaateissa radiaalista raja-arvoa, t.s. reunapisteitä lähestytään pitkin origosta lähteviä säteitä.
Integraali 9. POISSONIN INTEGRAALI 65 (Q g)(ϕ) = g(ϕ θ) cot θ dθ, voidaan kuitenkin määritellä ns. Caychyn pääarvona (engl. principal value) (Q g)(ϕ) = ( ε lim g(ϕ θ) cot θ ε 0+ dθ + g(ϕ θ) cot θ ) ε dθ π =: PV g(ϕ θ) cot θ dθ. Funktio ṽ = Q g tunnetaan funktion g konjugaattifunktiona; operaattori g Q g on läheistä sukua yksikköympyrän Hilbertin muunnoksena tunnetulle integraalimuunnokselle. Koska funktio re iϕ v(r, ϕ) + iṽ(r, ϕ) on analyyttinen ja reaaliosan reuna-arvoina ovat v(, ϕ) = g(ϕ), voidaan operaattorin g Q g ajatella välittävän kuvauksen analyyttisen funktion reaaliosan reuna-arvoilta sen imaginaariosan reuna-arvoille. Konjugaattifunktioiden teoriasta ks. esim. [, Ch. III]. Rieszin ja Fisherin lauseen seurauksena 3 neliöintegroituva funktio g L (, π) voidaan esittää L -normin suhteen suppenevana sarjana g(ϕ) = k Z c k e ikϕ, missä Tällöin ja c k = e ikθ dθ. (P r g)(ϕ) = k Z (Q r g)(ϕ) = i k Z r k c k e ikϕ, sign(k) r k c k e ikϕ, missä sign(k) =, kun k < 0, sign(0) = 0, ja sign(k) =, kun k > 0. Tällöin (P r g)(ϕ) + i(q r g)(ϕ) = k Z ( + sign(k))r k c k e ikϕ = k>0 r k c k e ikϕ + c 0, ja (P r g)(ϕ) i(q r g)(ϕ) = k Z ( sign(k))r k c k e ikϕ = k<0 r k c k e ikϕ + c 0, joten erityisesti operaattorit (P + iq ) ja (P iq ) ovat melkein ortogonaalisia projektioita funktioiden (e ikϕ ) k 0 ja (e ikϕ ) k 0 virittämille suljetuille Hilbertin avaruuden L (, π) aliavaruuksille. 3 tai oikeastaan k.o. lauseen alkuperäisen version mukaan