ATE11 taattinen kenttäteoria kevät 17 1 / 6 askuharjoitus 13: ajapintaehdot ja siirrosvirta Tehtävä 1. Alue 1 ( r1 = 5) on tason 3 + 6 + 4z = 1 origon puolella. Alueella r =. 1 Olkoon H1 3, e,5 e z (A/m). Määritä ja. Tason 3 + 6 + 4z = 1 normaalivektorit: 3e 6e 4ez 3e 6e 4ez en 3 6 4 61 3e 6e 4ez Origon puolella: en 61 Magneettivuontiheden normaalikomponentti ko. tasolle: H 5 3,e,5e 15,e,5e 1 1 1 z z 3e 6e 4ez 3e 6e 4ez n1 1 en en 15, e,5e z 61 61 45 1 3e 6e 4ez 15e 1e 14ez n1 1,71e 3,443e,95ez 61 61 61 Magneettivuontiheden tangentiaaliset komponentit: t1 1 n1 15, e,5e 1, 71e 3, 443e, 95e 13, 79e 3, 443e 4, 795e 13, 79e 3, 443e 4, 795e t1 z Ht1 1 5 z z z 13,79e 3,443e 4,795e z t H t 5,3116e 1,377e 1,918e 5 H t z Magneettivuontihes: 1, 71e 3, 443e, 95e 5,3116e 1,377e 1,918e n t z z 7, 36e, 658e,377e 7, 36, 658,377 7,34 T 7,34 z e e ez Aallon etenemiskulma : n tan t 1, 71e 3, 443e, 95ez 5,3116e 1,377e 1,918e z 1,71 3,443,95 4,481 1 n 1 1 tan tan tan 37, 6 t 5,816 5,31 1,377 1,918 n
ATE11 taattinen kenttäteoria kevät 17 / 6 askuharjoitus 13: ajapintaehdot ja siirrosvirta Tehtävä. Tasolla = sijaitseva virtataso K erottaa alueen 1 ( < ja r1 = ) alueesta ( > ja r = 4). Olkoon 1 = 6,e + 4,e + 1,e z (T) ja = 6,e +16,e +,e z (T). Määritä K (J ). Magneettikenttien voimakkuudet: 6,e 4, 1, 3,, 5, 1 e ez e e ez H1 A/m H 1 6,e 16,e,e 1,5e 4,e 5,e z z 4 Virtatason aiheuttama lisäs (tangentiaalisiin komp.) siirrttäessä alueesta 1 alueeseen :,e 5,ez 4,e 5,ez,e HK H1t H t A/m Joten virtataso:,e, A K H e e e m K n1 z Tehtävä 3. 8, A Virtataso ( K ez tasolla = ) erottaa alueen 1 ( < ja r1 = 1) alueesta ( > ja m 1, A r = 3). Olkoon H1 e e e z. Määritä H. m A/m Virtatason aiheuttama muutos magneettikentänvoimakkuudessa: H H e K 1 n1 Virtatason vaikutus magneettikentän voimakkuuden tangentiaaliseen komponenttiin: 1, 8, e e ez H e ez 1, 8, H e e e e e e z z 1, 1, 8, 1, 18, H e e e e e e z z z 1, 18,,6 18,e 1,e A,6 m z H t ez e Joten H : 1 1 1, Hn Hn1 e 3 3,3 1, 18,,86 3,3 18, 1, A n t e e ez H H H e ez e,86 m
ATE11 taattinen kenttäteoria kevät 17 3 / 6 askuharjoitus 13: ajapintaehdot ja siirrosvirta Tehtävä 4. Alla olevassa kuvassa esitetssä pitkässä virtalangassa kulkee virta i 1 (t) ja sen vieressä on kuvan mukainen suorakulmainen silmukka. i 1 (t) i (t) h d w Kuva 1. Periaatekuva tehtävään 4. a) Määrää silmukan kautta kulkeva magneettivuo ja sen avulla langan ja silmukan välinen keskinäisinduktanssi 1. b) Jos virta i 1 (t) on ajan mukana muuttuva virta, määrää silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima. c) Jos silmukan resistanssi on ja induktanssi, määrää silmukkaan sntvän virran i (t) differentiaalihtälö. Kätä piiriteorian kaavaa u t i t, missä U on vastuksen ja induktans- dit sin li oleva jännite ja i(t) vastaava virta. d) Jos virtafunktio i 1 (t) on askelfunktio: i 1 (t) =, kun t <, ja i 1 (t) = I 1 (vakio), kun t >, määrää virran i (t) differentiaalihtälön ratkaisu. e) Hahmottele ratkaisufunktio i (t), kun on suuri ja pieni sekä kun 1 on suuri ja pieni. f) Jos askelfunktion sijaan kseessä on pulssi i 1 (t) =, kun t < ja t > T, ja i 1 (t) = I 1 (vakio), kun < t < T, määrää virran i (t) differentiaalihtälön ratkaisu, kun T. a) angan silmukkaan aiheuttama magneettivuo -> keskinäisinduktanssi: d w d w i1 i1h 1 i1h dw i1h d w d e hdr e d r / ln r ln πr π r π d π d 1 d d h d w ln H i π d 1 b) ilmukkaan indusoituva sähkömotorinen voima (virran ollessa vaihtovirtaa): d di1 u 1 V u(t) i (t) -u(t) u (t) u (t) Kuva. ilmukan toimintaa kuvaava piirikaavio tehtävässä 4.
ATE11 taattinen kenttäteoria kevät 17 4 / 6 askuharjoitus 13: ajapintaehdot ja siirrosvirta c) ilmukkaan sntvän virran i (t) differentiaalihtälö: di1 u 1 di1 di 1 i d) Jos virtafunktio i 1 (t) on askelfunktio, virran i (t) differentiaalihtälön ratkaisu: I1 s1 si s I s s 1I1 1 I1 I s s s 1 e t i I1 A, t e) Jos on suuri, niin virta i 1 (t) on loiva ja hitaasti vaimeneva. Jos on suuri, niin virran i (t) huippu on korkea. f) Jos kseessä on pulssi, virran i (t) differentiaalihtälön ratkaisu: i t I t I t T 1 1 1 st I1 1 e 1 I s s 1 t 1 tt i I1e t I1e t T A Tehtävä 5. evkondensaattorin johdelevjen välinen etäiss on,6 mm ja levjen välissä olevan eristeen r = 15,3. Ko. kondensaattori on ktkett jännitteeseen, jonka tehollisarvo on 4 V ja taajuus 1 GHz. Määritä siirrosvirran tiheden tehollisarvo. (Hajavuota ei huomioida). iirrosvirta levkondensaattorin levjen välissä: D Dez id d d z t e t ähkövuontihes levkondensaattorin levjen välissä: u D u D E d t d t
ATE11 taattinen kenttäteoria kevät 17 5 / 6 askuharjoitus 13: ajapintaehdot ja siirrosvirta Joten: u u U sin πft id d d d πf U cosπft d d t d t d t d 15,31 ID fu d ID 9 9 3 π d π 1 1 4 d 34 1 d 3 36π,6 1 ka 34 m Tehtävä 6 Alla olevan kuvan mukainen piiri on sinimuotoisesti värähtelevässä ja epähomogeenisessa magneettikentässä cos π t pe z, missä vakiot ovat πf ja taajuus f MHz, p sekä 1 m 3 μt. Jos piirissä olevat vastukset ovat suuruudeltaan kumpikin, määrää piirissä kulkeva virtafunktio. Millä hetkellä virta on nolla, millä hetkellä maksimissaan? i b = cm a = 6 cm Kuva 3. Piirikaavio tehtävään 6. Johdinsilmukan läpi kulkeva kokonaismagneettivuo: a d cos t p e be d b cos t p d z z a 1 b b / sin t p sin t pa sin t p p Johdinsilmukkaan indusoituva jännite: d dsin sin b t pa t b u cos t pa cos t p p Joten johtimessa kulkeva virta: u b i cos t pa cos t p 6 6 31, π 1 1 π i cost, 6 cos t π 1 i,3 cos t,1π cos t A a
ATE11 taattinen kenttäteoria kevät 17 6 / 6 askuharjoitus 13: ajapintaehdot ja siirrosvirta Virran ensimmäinen nollakohta: cos t,1π cos t t t t t sin,5 t,1π sin,5,1π,5 t,1π cos cos sin,5 sin,5 sin,5,1π sin,5,1π t,6π,6π,6π t 6 π 1 Virran ensimmäinen maksimi: 1 1 6 T,51 5 ns 6 f 1 6,15 1 15 ns T 5 ns t 15 ns 15 ns 14 ns 4 4