LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus: kun jono (f n ) n=1 on ksvv j sen rjfunktio f, niin f [,b] n f. Seurvss määritelmässä tätä konvergenssiominisuutt väljennetään [,b] hiemn. Määritelmä 3.1. Olkoon f : nnettu funktio. Snotn, että f L ks (ti että f on yläfunktio), jos on olemss ksvv porrsfunktiojono (s n ) n=1 siten, että (3.1) lim s n (x) = f(x) m.k. x j lim s n (x) dx <. Kun f L ks, on luku (3.2) f := funktion f Lebesguen integrli. f(x) dm(x) := lim s n (x) dx Huomutus 3.2. ) Lebesguen integrli f on riippumton jonon (s n) n=1 vlinnst. Nimittäin, jos myös jonoll (t n ) n=1 on smt ominisuudet (3.1) kuin jonoll (s n ) n=1, niin lim s n (x) = f(x) = lim t n (x) m.k. x. Seuruksen 2.8 nojll on lim s n (x) dx = lim t n (x) dx. b) Jos f on porrsfunktio, niin f L ks j määritelmän 3.1 mukinen Lebesguen integrli on sm kuin funktion f porrsfunktiointegrli. Jonoksi (s n ) n=1 voidn nimittäin vlit vkiojono s n = f kikille n Z +. c) Olkoot f L ks j funktio g relikselill määritelty funktio siten, että f(x) = g(x) m.k. x. Tällöin g L ks j g = f. Funktiolle g voidn nimittäin käyttää sm porrsfunktiojono kuin funktiolle f. d) Lemm 2.6 tk, että ksvvn porrsfunktiojonon (s n ) n=1, jolle s n (x) dx <, lim rj-funktion rvot ovt äärelliset nollmittist joukko lukuunottmtt. 1 Viimeksi muutettu 13.9.2007. 6
3. LEBESGUEN INTEGAALI 7 Lemmn 2.6 rjfunktion lim g n (x) =: g(x) luonnollinen rvo pisteessä x, joss jono (g n (x)) n=1 ei ole rjoitettu, on g(x) =. Kun myöhemmin monotonisten (ti muidenkin) funktiojonojen (g n ) n=1 kohdll päädytään tilnteeseen, missä rjfunktion rvo on + ti ti jono ei suppene nollmittisess joukoss, voidn rjfunktio korjt relirvoiseksi settmll (hiemn epäloogiselt vikuttv) { lim g n (x), jos jono (g n (x)) n=1 suppenee, g(x) := 0, jos jono (g n (x)) n=1 ei suppene. Toinen vihtoehto on slli rjfunktiolle rvot + j. Mitt- j integrliteorin kurssill [19] näin menetelläänkin, mutt tämä edellyttää trkkvisuutt. (Erotus ei ole järkevästi määriteltävissä, joten funktioiden yhteen- j vähennyslskujen määriteltävyys on ongelmllisemp kuin relirvoisille funktioille.) Jtkoss rjfunktioiden rvot oletetn korjtun relirvoisiksi yllä olevn funktion g mllin mukisesti (eli ongelmpisteissä g(x) := 0). e) Merkintöjen f j f(x) dm(x) sijst Lebesguen integrli stetn myös merkitä f(x) dx, mutt tässä yhteydessä tätä merkitää pyritään välttämään, jottei seknnust (epäoleellisiin) iemnnin integrleihin syntyisi. Ajtus Lebesguen integrlin määrittelemiseksi yllä olevll tvll (j määritelmällä 3.10) on peräisin Frigyes iesziltä vuodelt 1919 [30]. Tiettävästi ensimmäinen oppikirjesiintyminen tälle määrittelytvlle on ieszin j Bel Sz.-Ngyn funktionlinlyysin kirjss [31, luku II]. Lemmt 2.7 j 2.6 kulkevt siellä nimillä Lemm A j Lemm B. Jo hiemn ennen ieszin rtikkeli M. Fréchet (1915) j vrsinkin P. J. Dniell (1917 18) olivt trkstelleet integrllikäsitteelle bstrkti yleistystä. Nykyisin Dniellin integrlin tunnettu integrli on vstvnkltinen ljennus kuin mitä Lebesguen integrli on porrsfunktiointegrlist. Lähtökohtn on funktiovruus Y ( yksinkertiset funktiot) j kuvus I : Y ( integrli ), joll on ominisuudet ) I on linerikuvus, eli I(αf + βg) = αi(f) + βi(g), kun f, g Y j α, β, b) I on positiivinen, t.s. I(f) 0, kun f 0, j c) I on jtkuv (tämä vtisi trkemmn selvityksen). Tätä ljennusmenetelmää kuvtn lyhyesti kirjss [31, 63], vrsin perusteellisesti kirjss [13, luku 3], smoin kuin kirjss [34]. Esimerkki 3.3. Olkoon f :, f(x) = 0, kun x < 0, j f(x) = 1/k 2, kun k 1 x < k, k Z +. Tällöin f L ks. Jono (s n ) n=1, missä s n (x) := 0, kun x < 0, j s n (x) = 1/k 2, kun k 1 x < k j k n, j s n (x) := 0, kun x n, on ksvv jono porrsfunktioit, jolle s n (x) f(x) kikille x. Huom, että f itse ei ole porrsfunktio (porrsfunktion pitää hävitä rjoitetun välin ulkopuolell j sen rvojoukko on äärellinen). Lisäksi lim s n = lim n k=1 1 k 2 <. Esimerkki 3.4. Muutetn edellistä esimerkkiä siten, että f(x) := 1/k, kun k 1 x < k, k Z +, j s n (x) := 1/k, kun k 1 x < k j k n, j s n (x) := 0,
3. LEBESGUEN INTEGAALI 8 kun x n, Tällöin (s n ) n=1 on ksvv jono porrsfunktioit, jolle s n (x) f(x) kikille x. Lisäksi n 1 lim s n = lim k =. Tästä ei kuitenkn void päätellä, että f L ks. Tämän osoittmiseksi pitäisi näyttää, että jos (t n ) n=1 on mikä thns ksvv jono porrsfunktioit, jolle t n (x) f(x) melkein kikille x, niin lim t n =. Tämä seur helpoiten (ntiteesin kutt) seurvss luvuss todistettvst monotonisen konvergenssin luseest. Esimerkki 3.5. Olkoot, b siten, että < b j g : [, b] jtkuv. Asetetn f :, f(x) = 0, kun x < ti x > b, j f(x) = g(x), kun x b. Tällöin f L ks. Tämä esimerkki on erikoistpus seurvst. Lukijn knntt hrjoituksen vuoksi käydä todistus läpi suorn. Mlli s kurssill Anlyysi 2 todistetust tuloksest Jtkuv funktio on iemnn-integroituv. Tärkeä ominisuus on, että jtkuv funktiot g : [, b] voidn pproksimoid tsisesti porrsfunktioill tsist jtkuvuutt vuksi käyttäen. Esimerkki 3.6. Olkoot, b siten, että < b j g : [, b] on rjoitettu j melkein kikkill jtkuv. Muist, että g on melkein kikkill jtkuv trkoitt, että joukko N = {x [, b] g on epäjtkuv pisteessä x} on nollmittinen. Asetetn f :, f(x) = 0, kun x < ti x > b, j f(x) = g(x), kun x b. Tällöin f L ks. Jetn väli [, b] 2 n yhtäpitkään osväliin [x j 1, x j ], 1 j 2 n, missä x j = + j (b )/2 n. Asetetn k=1 m j := inf{g(x) x [x j 1, x j ]}. Määritellään porrsfunktio s n settmll s n (x) = 0, kun x < ti x > b, j välillä [, b] s n (x) := m j, kun x j 1 < x x j, j s n () := m 1. Tällöin välillä [, b] on s n g; välin [, b] ulkopuolell on s n = f. Lisäksi porrsfunktion s n+1 jkovälit sdn puolittmll porrsfunktion s n jkovälit, joten s n s n+1. (Porrsfunktio s n on funktion g Drboux n lsummn määräävä lporrsfunktio.) Osoitetn, että s n (x) g(x) jokisess funktion g jtkuvuuspisteessä x (, b). Olkoon g jtkuv pisteessä x. Tällöin jokiselle ε > 0 on olemss δ = δ x,ε > 0 siten, että g(x) ε < g(y) < g(x) + ε, kun x δ < y < x + δ. Olkoon m(δ) = inf{g(y) y (x δ, x + δ)}. Tällöin g(x) ε m(δ), joten g(x) m(δ) + ε. Kun n on riittävän suuri, on jollekin k {1,..., 2 n } voimss x [x k 1, x k ] (x δ, x + δ). Tällöin s n (x) = m k g(x) m(δ) + ε m k + ε = s n (x) + ε. Kosk jono (s n ) n=1 on ksvv j s n g, on kikille n n s n (x) g(x) s n (x) + ε.
3. LEBESGUEN INTEGAALI 9 Siis s n (x) g(x), kun n. Kosk funktion g epäjtkuvuuspisteiden joukko on nollmittinen, on s n f melkein kikkill. Integrlien jono ( s n) n=1 on ksvv j b s n M dx = M (b ), missä M = sup{g(x) x [, b]}. Funktio f on siis Lebesgue-integroituv. Tähän esimerkkiin pltn myöhemin iemnnin integrlin yhteydessä. Nimittäin, rjoitettu funktio g : [, b] on iemnn-integroituv, jos j j vin jos se on jtkuv melkein kikkill. (Todistetn myöhemmin.) Esimerkki 3.7. Olkoon g : (0, 1], g(x) = 1/ x. Asetetn f :, f(x) = 0, kun x 0 ti x > 1, j f(x) = g(x), kun 0 < x 1. Osoitetn, että f L ks. Käytetään vstv jko j porrsfunktiot s n kuin edellisessä esimerkissä (x j = j/2 n, s n (x) = (j/2 n ) 1/2 välillä (x j 1, x j )). Tällöin jono (s n ) n=1 on ksvv j s n = 2 n j=1 Summlle voidn helposti joht rviot joist seur, että 2( 2 n + 1 1) < ( j 2 n ) 1/2 1 2 n = 1 2 n/2 2 n j=1 2 n j=1 1 j < 2 2 n, s n 2, kun n. 1 j. Siis f L ks j f = 2. (Helpompi tp integrlin lskemiseen sdn myöhemmin: Anlyysin perusluse!) Tämä esimerkki selvittänee, miksi käytetään ksvvi porrsfunktiojonoj. Esimerkin tilnteess, ylöspäin rjoittmttomlle funktiolle f, ei ole olemss porrsfunktiot s, jolle f s. Määritelmän 3.1 ensisijisen jtuksen on kuitenkin määritellä integrli luksi ei-negtiivisille funktioille (kuten f + j f ) j myöhemmin vihtuvmerkkisille funktioille (esimerkiksi jon f = f + f vull) käyttämällä integrlin linerisuutt. (Linerisuus sdn määritelmän seuruksen, mutt implisiittisesti se on mukn määritelmässä.) Esimerkki 3.8. Olkoon f :, { 1, kun x Q, f(x) = 0, kun x \ Q. Tällöin f = 0 melkein kikkill (kosk Q on nollmittinen), joten f on Lebesgueintegroituv (nollfunktio on tietysti porrsfunktion Lebesgue-integroituv; vrt. huomutuksen 3.2 kohdt b) j c)).
3. LEBESGUEN INTEGAALI 10 Huomutuksen 3.2 kohdn c) mukinen ominisuus (nollmittinen joukko ei vikut integroituvuuteen eikä integrlin rvoon) stt tuntu hlphintiselt tempult Lebesguen integrlin määritelmässä (siinähän nollmittisten joukkojen vikutus jätetään täysin huomiott, lim s n (x) = f(x) m.k. x ). Lebesguen integrlill on kuitenkin vstv dditiivisuusominisuus integroimisjoukon suhteen kuin iemnnin integrlill: f = f + f, A B kun A j B ovt mitllisi j pistevierit. Jos B on nollmittinen, niin f = 0 B (inkin, jos f on rjoitettu: f M = f f M m(b) = 0). B B Siis funktiot rvot nollmittisess joukoss eivät vikut integrlin rvoon. Tästä trkemmin myöhemmin. Seurvn luseeseen on koottu tuttuj integrlin perusominisuuksi. Yläfunktioihin liittyen on syytä kuitenkin huomt, että funktiolle f L ks voi oll f L ks, joten L ks ei ole vektorivruus. Luse 3.9. Olkoot f, g L ks sekä 0 α <. Tällöin ) αf L ks, b) f + g L ks, c) mx(f, g) L ks, d) min(f, g) L ks ; e) αf = α f j f) (f + g) = f + g; g) jos f g, niin f g. Todistus. Olkoot (s n ) n=1 j (t n ) n=1 ksvvi porrsfunktiojonoj, jotk määräävät funktiot f j g määritelmän 3.1 mukisesti. Koht g) seur suorn seuruksest 2.8. On helppo todet, että porrsfunktiojonot (αs n ) n=1, (s n +t n ) n=1, (mx(s n, t n )) n=1 j (min(s n, t n )) n=1 ovt ksvvi j, että niiden rjfunktioin melkein kikkill ovt αf, f +g, mx(f, g) j min(f, g). Määritelmän nojll riittää trkist, että vstvt integrlijonot pysyvät rjoitettuin: lim (αs n ) = α lim s n = α f, j lim (s n + t n ) = lim A s n + lim t n = mx(s n, t n ) (s n + s 1 + t n + t 1 ) min(s n, t n ) s n f. B f + f + g s 1 + g + Toiseksi viimeisessä kohdss käytettiin epäyhtälöä mx{, b} + b, kun, b ovt ei-negtiivisi, j tieto, että porrsfunktiot s n + s 1 j t n + t 1 ovt einegtiivisi. t 1,
3. LEBESGUEN INTEGAALI 11 Määritelmä 3.10. Olkoon f : nnettu funktio. Snotn, että f on Lebesgue-integroituv, jos on olemss g, h L ks siten, että f = g h melkein kikkill. Tässä tpuksess funktion f Lebesguen integrli on luku f := f(x) dm(x) := g h. Lebesgue-integroituvien funktioiden joukko merkitään L 1 = L 1 (). Huomutus 3.11. ) Funktion f Lebesguen integrli ei riipu vlituist funktioist g, h L ks. Nimittäin, jos f = g 1 h 1 = g 2 h 2, missä g 1, h 1, g 2, h 2 L ks, niin g 1 + h 2 = g 2 + h 1 L ks, joten g 1 + h 2 = (g 1 + h 2 ) = (g 2 + h 1 ) = g 2 + h 1. Siis g 1 h 1 = g 2 b) Jos f L ks, niin f L 1 j määritelmien 3.1 j 3.10 mukiset integrlit f ovt smt, kosk voidn vlit g = f j h = 0. c) Jos f L 1 j f = f melkein kikkill, niin f L 1 j f = f, kosk molemmille funktioille f j f voidn käyttää sm pri g, h L ks. d) Jos trksteltville funktioille f L 1 hluttisiin slli myös rvot + j, niin funktiot g, h L ks voivt sd rvot + j vin nollmittisiss joukoiss. Tällöin funktion f = g h määriteltävyyden knss on ongelmi (tpukset g(x) = + j h(x) = +, sekä g(x) = j h(x) = ) vin nollmittisess joukoss. Nämä ongelmt kierrettäisiin settmll f(x) = 0, jos g(x) = + j h(x) = +, ti jos g(x) = j h(x) =. Luse 3.12. Olkoot f, g L 1 sekä α. Tällöin ) αf L 1 ; b) f + g L 1 c) mx(f, g) L 1 ; d) min(f, g) L 1 ; e) f L 1 ; f) f +, f L 1 ; g) αf = α f; h) (f + g) = f + g; i) jos f g, niin f g. Todistus. Olkoot s, t, u, v L ks siten, että f = s t j g = u v melkein kikkill. ) j g): Jos α 0, seurvt väitteet helposti iemmin L ks -funktioille todistetust. Olkoon α < 0. Tällöin αf = ( α)t ( α)s melkein kikkill j αf = ( α)t ( α)s = ( α) t ( α) s = α f. Huom: ( α)t, ( α)s L ks. h 2.
3. LEBESGUEN INTEGAALI 12 b) j h): Tällöin f + g = (s + u) (t + v) melkein kikkill j (f + g) = (s + u) (t + v) = s + u t v = f + g. i): Jos f g, on s + v u + t, joten s + v u + t. Siis f = s t u v = g. e): On helppo trkist, että f = mx(s, t) min(s, t) melkein kikkill. Luseen 3.9 nojll mx(s, t), min(s, t) L ks. Kohdt c), d) j f) seurvt helposti, kun huomtn, että Seurus 3.13. Jos f L 1, niin mx(f, g) = 1 (f + g + f g ), 2 min(f, g) = 1 (f + g f g ), 2 f + = mx(f, 0), f = min(f, 0). f Todistus. Edellisen luseen kohtien ) j i) nojll ehdost f f f seur f f f. Merkintä 3.14. Olkoon I väli, jonk päätepisteet ovt j b, b ( = j/ti b = + sllittuj). Olkoon f : I nnettu funktio. Asetetn f :, f(x) = 0, kun x \ I, j f(x) = f(x), kun x I. Funktio f on funktion f nolljtko. Jos f L 1 (), snotn, että f on integroituv välillä I j merkitään f L 1 (I). Funktion f Lebesguen integrli yli välin I on f := f(x) dm(x) := f. I Jos sekntumisen vr iemnn-integrliin ei ole, voidn merkitä b b f := f(x) dm(x) := f. Määritellään myös (huom: b ) b f := b I f. f(x) dm(x) := b I f = f. I Huom, että f = 0, sillä tässä tpuksess f = 0 melkein kikkill. Kosk Lebesguen integrlin kohdll mielenkiinto kohdistuu epäjtkuviin funktioihin, esitetään integrlilskennn välirvoluse yleensä seurvss muodoss, jonk todistus jätetään hrjoitustehtäväksi: Seurus 3.15. Olkoot, b, < b, j f L 1 ([, b]). Oletetn, että on olemss m, M siten, että m f(x) M m.k. x [, b].
Tällöin 3. LEBESGUEN INTEGAALI 13 m (b ) [,b] f M (b ). Luse 3.16. Olkoot f L 1 j c. Tällöin f L 1 ((, c]) j f L 1 ([c, )). Lisäksi pätee c (3.3) f(x) dm(x) = f(x) dm(x) + f(x) dm(x). Todistus. Kv (3.3) pätee, jos f on porrsfunktio. Osoitetn väite tämän tiedon vull luksi ei-negtiivisille yläfunktioille j sitten mielivltiselle Lebesgueintegroituvlle funktiolle. Tpus f L ks, f 0: Määritelmän nojll on olemss ksvv porrsfunktiojono (s n ) n=1 siten, että lim s n(x) = f(x) m.k. x j lim s n (x) dx = f(x) dm(x). Tällöin jono (s + n ) n=1, missä s + n (x) = mx{s n (x), 0}, on ksvv jono ei-negtiivisi porrsfunktioit. Kosk f(x) 0, on lim s+ n (x) = mx { lim s n (x), 0 } = mx{f(x), 0} = f(x) m.k. x. Lisäksi jokiselle osvälille J pätee (Luse 3.9, koht g; s + n, f L ks ) s n (x) + dx s n (x) + dx f(x) dm(x). J Kun tätä sovelletn väliin J = I 1 := (, c], nähdään, että fχ I1 L ks (χ I1 on välin I 1 krkteristinen funktio). Vstvsti fχ I2 L ks, missä I 2 := [c, ). Lisäksi lim s n (x) + dx = lim s n (x) I k + χ Ik (x) dx = f(x)χ Ik (x) dm(x). Kosk c s + n (x) dm(x) = s + n (x) dm(x) + s + n (x) dm(x), sdn väite, kun n. Yleinen tpus f L 1 : Olkoot u, v L ks siten, että f = u v. Tällöin u = u + u j v = v + v, joten f = u + + v (u + v + ). Luseen 3.9 nojll (kohdt c j b) u + +v, u +v + L ks. Todistuksen edellistä koht voidn nyt sovelt funktioihin u + + v j u + v +. Väite seur helposti. Luse 3.17. Olkoot I väli, jonk päätepisteet ovt j b, < b ( =, b = + sllittuj). Olkoon h. Merkitään I + h = {x + h x h}. Olkoot f L 1 (I) j g(x) = f(x h). Tällöin g L 1 (I + h) j lisäksi pätee b f(x) dm(x) = b+h +h c c f(x h) dm(x). Todistus. Jätetään hrjoitustehtävksi. Sm strtegi kuin edellisen luseen todistuksess: väite on tunnetusti tosi porrsfunktioille; tämän vull väite osoitetn funktioille f L ks ; lopuksi yleinen tpus.
3. LEBESGUEN INTEGAALI 14 Lemm 3.18. Olkoot f L 1 j ε > 0. Tällöin ) on olemss g, h L ks siten, että f = g h, h on ei-negtiivinen melkein kikkill j h < ε. b) on olemss porrsfunktio s j g L 1 siten, että f = s + g j g < ε. Todistus. ) Kosk f L 1, on olemss g 1, h 1 L ks siten, että f = g 1 h 1. Olkoon (t n ) n=1 ksvv porrsfunktiojono, jok määrää funktion h 1. Kosk t n h 1, on olemss N Z + siten, että 0 (h 1 t N ) < ε. Kun setetn h = h 1 t N j g = g 1 t N, on g, h L ks, g h = g 1 h 1 = f. Lisäksi h 0 melkein kikkill j h < ε. b) Olkoot g j h kuten )-kohdss. Vlitn porrsfunktio s siten, että 0 (g s) < ε. Tällöin f = g h = s + (g s) h = s + (g s h) = s + g, missä g := g s h. Tällöin g L 1 j g g s + h < 2ε. Funktioksi g kelp siis g (kun ε korvtn luvull ε/2). Luse 3.19. Jos f L 1, niin on olemss porrsfunktiojono (s n ) n=1 siten, että lim f s n = 0 j lim s n (x) = f(x) m.k. x. Todistus. Olkoot g, h L ks siten, että f = g h melkein kikkill. Vlitn ksvvt porrsfunktiojonot (u n ) n=1 j (v n ) n=1 siten, että v n g m.k. j v n h m.k. Asetetn s n = u n v n. Tällöin s n f m.k. j f s n (g u n ) + (h v n ) 0. Lebesguen integrlilskent käsittelevä Leçons [23] perustuu hänen College de Frncess lukuvuonn 1902 1903 pitämiin luentoihin. Luentojen viimeisessä luvuss hän setti integrointiongelmn: jokiselle välillä [, b] määritellylle rjoitetulle funktiolle f on määrättävä reliluku b f(x) dx, jok toteuttisi ehdot: (1) b f(x) dx = b+h f(x h) dx; +h (2) b f(x) dx + c f(x) dx + f(x) dx = 0; b c (3) b (f(x) + g(x)) dx = b f(x) dx + b g(x) dx; (4) jos f 0 j b >, niin b f(x) dx 0; (5) 1 1 dx = 1 0 (6) jos (f n ) n=1 on ksvv funktiojono j f n (x) f(x), niin b f n(x) dx b f(x) dx. Ehdoist puuttuu tuttu homogeenisuusehto b (k f(x)) dx = k b f(x) dx kikille k.
3. LEBESGUEN INTEGAALI 15 Tämä seur kuitenkin ehdost (3) (ehto (6) stetn myös trvit). Lebesgue ei konstruoinut interli lähtien näistä ehdoist, vn johdnnoss hhmotellull tvll määrittelemällä ensin kikille joukoille sisä- j ulkomitn, rjmll erilleen mitlliset joukot, sitten kikist funktioist mitlliset funktiot, j lopuksi konstruoimll integrlin lkukuvjoukkojen vull. Hän kuitenkin osoitti, että integrointiongelmn ino rtkisu mitllisille funktioille on hänen konstruoimns integli. joitettujen joukkojen E mitlle m(e) Lebesgue oli jo väitöskirjssn settnut tvoitteet (1) m(e) 0 jollekin joukolle E; (2) m(e + ) = m(e) kikille (tässä E + = {x + x E}); (3) jos E 1, E 2, E 3,..., ovt preittin pistevierit, niin ( ) m E n = m(e n ). n=1 Joukon mittn käsitettä olivt ennen Lebesgue iä tutkineet monet mtemtikot, joist ennenkikke tulee minit Cmille Jordn j Émile Borel. Jordnilt käyttöön ovt jääneet muun muss joukon Jordnin sisältö (sisä- j ulkosisältö sekä käsite Jordnmitllisuus). Borelin ikn tiedettiin, että jokinen relikselin voin joukko A voidn esittää muodoss A = I n, n=1 missä I n ovt preittin pistevierit voimi välejä. Avoimen joukon A mitksi on siis luonnollist sett m(a) = l(i n ). n=1 Kosk suljetun joukon S (, b) komplementti (, b) \ S on voin, on suljetun joukon mitksi luonnollist sett n=1 m(s) = b m((, b) \ S). Borel käytti tämän kltist ide joukkojen mitn käsittelyyn kompleksimuuttujn funktioit käsittelevissä tutkimuksissn 1890-luvull. Näiden (j muidenkin topologi käsittelevien) Borelin tutkimusten nojll tiettyjä joukkoj kutsutn Borelin joukoiksi. Lebesguen tvoitett, että kikille rjoitetuille joukoille E voitisiin määritellä mitt m(e), jok toteuttisi yllä setetut ehdot, ei void kuitenkn svutt. Esimerkkejä tässä suhteess ongelmllisist (eli epämitllisist) joukoist ntoivt G. Vitli 1905 j E. B. Vn Vleck 1908. Lebesguen näkemys näihin esimerkkeihin oli vruksellinen, luultvsti osin siksi, että esimerkit perustuivt vhvsti niin snotun vlintksioomn käyttöön. Kuitenkin vuonn 1965 on osoitettu, että Lebesguen mielessä epämitllisi joukkoj ei void konstruoid ilmn vlintksioom.