ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016
Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot (Ulaby 3.1 3.3) Vektorit Koordinaatistot Koordinaattimuunnokset 2 (21)
Johdanto Ulaby 1.2 1.3 (ja vähän tulevaa)
Merkinnät a = a â Vektorilla a on suuruus (pituus) a = a ja suunta (yksikkövektori) â = a/a. Käsin kirjoitettuna vektori a ja yksikkövektori â. Osoittimien päälle merkitään aina mato. Aikasignaalia V (t) vastaava osoitin on Ṽ ja vektorikenttää E(t) vastaava osoitin on Ẽ, joka käsin kirjoitettuna on Ẽ. [Osoittimia käytetään luentoviikoilla 7 12.] Seuraamme oppikirjan merkintätapoja. 4 (21)
Kenttäsuureet E = sähkökentänvoimakkuus H = magneettikentänvoimakkuus [E] = V/m [H] = A/m D = sähkövuontiheys [D] = C/m 2 = As/m 2 B = magneettivuontiheys [B] = T = Wb/m 2 = Vs/m 2 E ja B ovat (varsinkin fyysikoiden mielestä) primäärisiä suureita, koska kentät voidaan havainnoida voimavaikutuksen avulla: F = q (E + u B) (Lorentzin voimalaki) D ja H ovat kuitenkin sekä matemaattisesti että käsitteellisesti hyödyllisiä kenttäteorian ymmärtämiseen. 5 (21)
Kenttien lähteet Pistevaraus +q tyhjiössä: Ääretön lankavirta I tyhjiössä: I +q E = R q 4πε 0 R 2 B = φ µ 0I 2πr Usein kokonaisvaraus Q tai kokonaisvirta I on jakautunut: ρ l = viivavaraustiheys [ρ l ] = C/m ρ s = pintavaraustiheys [ρ s ] = C/m 2 ρ v = tilavuusvaraustiheys [ρ v ] = C/m 3 J = virrantiheys [J] = A/m 2 [Q] = [q] = C = As 6 (21)
Maxwellin yhtälöt = kenttäteorian perusta E = B t H = J + D t D = ρ v B = 0 E dl = d B ds C dt S H dl = J ds + d C S dt D ds = Q = ρ v dv S V B ds = 0 S S D ds Pienin lisäoletuksin nämä yhtälöt selittävät kaikki sähkömagneettiset ilmiöt statiikasta optiikkaan! (Roottoriin F ja divergenssiin F tutustutaan ensi viikolla.) 7 (21)
Väliaineyhtälöt Yksinkertainen väliaine D = εe = ε 0 ε r E ε 0 8.854 10 12 F/m B = µh = µ 0 µ r H µ 0 = 4π 10 7 H/m ) ( As Vm ( Vs Am ) Johtava aine J = σ E [σ ] = S/m = A Vm Materiaaliparametrit ε = permittiivisyys, µ = permeabilisuus ja σ = johtavuus ovat yksinkertainen malli aineen (mikrorakenteen) sähkömagneettiselle vasteelle. Tyhjiössä ε r = µ r = 1 ja σ = 0. 8 (21)
Vuontiheys vai kentänvoimakkuus? Vuontiheydet D ja B (sekä virrantiheys J): Vuontiheyden pintaintegraali = kokonaisvuo pinnan läpi on mielekäs suure. Vuontiheyden divergenssi paljastaa lähteen ( D = ρ v ). Kentänvoimakkuudet E ja H: Kentänvoimakkuudet integroidaan polkua pitkin. (Tasajännite kahden pisteen välillä saadaan integroimalla E-kenttää.) Kentänvoimakkuuden roottori on mielekäs operaatio. Tähän palataan kurssin aikana useammin, mutta huomaa jo nyt merkittävä käsitteellinen ero. 9 (21)
Sähköinsinöörin SI-yksiköt Varaus ja sähkövuo C = coulombi = As Magneettivuo Wb = weber = Vs Magneettivuontiheys T = tesla = Wb/m 2 = Vs/m 2 Kapasitanssi F = faradi = C/V = As/V Induktanssi H = henry = Wb/A = Vs/A Resistanssi Ω = ohmi = V/A Konduktanssi S = siemens = 1/Ω = A/V Teho W = watti = VA Työ J = joule = Ws = VAs Voima N = newton = J/m = VAs/m Volttia, ampeeria, metria ja sekuntia kannattaa käyttää perusyksiköinä, vaikkei voltti ole SI-perusyksikkö. (V = ) kg m2 A s 3. 10 (21)
Vektorit ja koordinaatistot Ulaby 3.1 3.3
Vektorien yhteen- ja vähennyslasku Muista, että vektorilla on aina suuruus ja suunta. B A B A A A + B B B A + B = B + A A B = A + ( B) (x, y, z)-komponenteilla lasketaan kuten polynomeilla. Esim: ) ) A + B = ( xa x + ŷa y + ẑa z + ( xb x + ŷb y + ẑb z ) = x (A x + B x ) + ŷ (A y + B y + ẑ (A z + B z ) ) c A = c ( xa x + ŷa y + ẑa z = x ca x + ŷ ca y + ẑ ca z Huom: yksikkövektorit x, ŷ, ẑ. (Älä käytä î, ĵ, k.)
Pistetulo (= skalaaritulo = sisätulo) A B = AB cos θ AB Komponenttimuodossa B θ AB (0 θ AB π) A A B = A x B x + A y B y + A z B z Vektorin pituus (= suuruus = itseisarvo) ja yksikkövektori A = A = A A, Â = A A Vektorin B komponentti vektorin A suunnassa C = Â (B cos θ AB ) = Â A B A ) (Â = Â B B C θ AB A 13 (21)
Ristitulo (= vektoritulo = ulkotulo) A B = n AB sin θ AB = B A n B θ AB A missä A B = A(B sin θ AB ) on harmaan suunnikkaan pinta-ala ja n on suunnikkaan normaalivektori oikean käden säännön mukaisesti (tässä kohti katsojaa) Komponenttimuodossa x ŷ ẑ A B = A x A y A z B x B y B z 14 (21)
Kolmitulot Skalaarikolmitulo, eli vektorien A, B, C virittämän suuntaissärmiön suunnistettu tilavuus A x A y A z A (B C) = B (C A) = C (A B) = B x B y B z C x C y C z Vektorikolmitulo A (B C) = B (A C) C (A B) ( bac-cab sääntö) 15 (21)
Karteesinen koordinaatisto (x, y, z) z x y ẑ x z ŷ y Tavallinen suorakulmainen (x, y, z)-koordinaatisto. Yksikkövektorit x, ŷ, ẑ ovat paikan suhteen vakioita. x Koordinaatisto on ortogonaalinen ja oikeakätinen: x ŷ = ŷ ẑ = ẑ x = 0 x x = ŷ ŷ = ẑ ẑ = 1 x ŷ = ẑ ŷ ẑ = x ẑ x = ŷ Sama pätee sylinteri- ja pallokoordinaatiston yksikkövektoreille, kun ( x, ŷ, ẑ ) :n sijaan käytetään ( r, φ, ẑ ) tai ( R, θ, φ ) vastaavassa järjestyksessä.
Sylinterikoordinaatisto (r, φ, z) z ẑ z φ r Koordinaatti r 0 on etäisyys z-akselista r = x 2 + y 2, 0 φ < 2π on kulma x-akselista φ r y φ = arctan y x x Huom: ja z on sama kuin karteesisessa koordinaatistossa. Yksikkövektorit r ja φ riippuvat kulmasta φ. Arkustangentti on π-periodinen. Valitse φ oikein. 17 (21)
Pallokoordinaatisto (R, θ, φ) x z θ φ r R R θ φ y Koordinaatti R 0 on etäisyys origosta R = x 2 + y 2 + z 2, 0 θ π on kulma z-akselista θ = arctan r z = arctan x 2 + y 2 z ja φ on sama kuin sylinterikoordinaatistossa. Huom: Yksikkövektorit riippuvat kulmista θ ja φ: R = R(θ, φ), θ = θ(θ, φ), φ = φ(φ) 18 (21)
Koordinaattimuunnosesimerkki Sylinterikoordinaatistosta karteesiseen koordinaatistoon x sin φ y ŷ cos φ φ φ r ŷ sin φ φ r x cos φ y = r sin φ φ x = r cos φ x Yleensä r ja r eivät tietenkään ole samanpituisia: r = 1 ja [r ] = m.
Sama kaavakokoelman avulla Koordinaattien muunnokset x = r cos φ, y = r sin φ, z = z r = x 2 + y 2, φ = arctan y x, z = z Vektorikomponenttien muunnokset A x cos φ sin φ 0 A y = sin φ cos φ 0 A z 0 0 1 A r cos φ sin φ 0 A φ = sin φ cos φ 0 0 0 1 A z A r A φ Sijoitetaan (1, 0, 0) ja (0, 1, 0) ylempään matriisiyhtälöön... A z A x A y A z 20 (21)
Vektorikomponentit cos φ sin φ 0 1 cos φ sin φ cos φ 0 0 = sin φ = x cos φ + ŷ sin φ = r 0 0 1 0 0 cos φ sin φ 0 0 sin φ sin φ cos φ 0 1 = cos φ = x sin φ + ŷ cos φ = φ 0 0 1 0 0 21 (21)