Helsiki Uiversity of Techology Laboratory of Telecommuicatios Techology S-38. Sigaalikäsittely tietoliiketeessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Syksy 997 9. Lueto: Kaava kapasiteetti ja ODM prof. Timo Laakso Vastaaotto torstaisi klo 0- Huoe G0, puh. 45 473 Sähköposti: timo.laakso@hut.fi Notaatiosta Merkitää ei-egatiivise reaaliarvoise fuktio aritmeettista keskiarvoa: f f ( x) dx (. ) AX, X 0 3 X missä itseisarvo o jouko X kokoaismitta (yl. itegroitiväli pituus). Vastaavasti määritellää geometrie keskiarvo: f exp log e[ f ( x) ] dx (. ), X 0 4 X GX Voidaa osoittaa, että aia pätee f f ( 0. 7),, G X A X /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu
ISI ja kaava kapasiteetti (LM 0.5) Aikaaa todettii jatkuva-aikaise kaistarajoitetu Gaussi kaava kapasiteetiksi C Wlog ( + SNR) bit/s missä W o (yksipuolie) kaistaleveys ja SNR o keskimääräise sigaaliteho ja kohiateho suhde. Tulos pätee kuiteki vai olettae, että kohia o taajuussisällöltää valkoista (kaistalla W) kaava ei aiheuta taajuusselektiivistä vaimeusta (josta seuraa ISIä!) Seuraavaksi tarkastellaa yleistä lieaarista kaavaa värillisessä Gaussi kohiassa. Tämä tulos o tärkeä, sillä se kertoo rajat adaptiiviste korjaimie suorituskyvylle. /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 3 Vedekaatoteoreema (LM 0.5.) Tarkastellaa Kuva 0-9 lieaarista jatkuva-aikaista kaavamallia: x(t) H(jπf) Σ y(t) (t) Otetaa kaavasta kapea taajuussiivu f taajuudelta f 0. Merkitää: S x (jπ f 0 ) sigaali tehospektri taajuudella f 0 S (jπ f 0 ) kohia tehospektri taajuudella f 0 H(jπ f 0 ) kaava vaste taajuudella f 0 /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 4
...Vedekaatoteoreema Oletetaa lisäksi että kokoaisteho P s o rajoitettu. Lähetyssigaali x(t) spektri S x (jπ f 0 ) halutaa valita ii että saavutetaa maksimikapasiteetti. Koska kapea taajuussiivu voidaa olettaa valkoise Gaussi kohia kaavaksi, siivu kapasiteetiksi saadaa Sx( j f ) H( j f ) f C( j f ) f log π 0 π 0 π 0 + S( jπf0) f Sx( jπf0) H( jπf0) f log + ( 006. ) S ( jπf ) 0 /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 5...Vedekaatoteoreema Raja-arvoprosessilla ja itegroimalla koko taajuusaluee yli saadaa kokoaiskapasiteetti: Sx ( jπf ) H( jπf ) C log + df 0 S ( jπf ) Sx H log + df ( 007. ) S Määritetää yt optimaalie sigaali tehospektri site että kapasiteetti maksimoituu. Kokoaisteho o rajoitettu (ja positiivie!): Ps Sxdf, Sx > 0 ( 008. ) /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 6
...Vedekaatoteoreema Rajoitettu optimoitiprobleema voidaa muotoilla Lagrage kertoja avulla seuraavasti: Maksimoidaa fuktio ( ) gs ( x, λ) log + Sx H / S df+ λ Ps Sdf x [ ( ) λ ] log + S H / S S df + λp ( 009. ) x x s Optimi löytyy derivaattoje ollakohdasta: g S l + S H / S H S x x g Ps Sxdf λ 0 λ df 0 /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 7...Vedekaatoteoreema Ratkaisu saadaa muotoo S L, f Sx H 0, muutoi ( 00. ) missä L /lλ (kirjassa paiovirhe!) valitaa kokoaisteho P s mukaa ja o se taajuusalue jossa saatu S x o positiivie. Tätä tulosta havaiollistaa Kuva 0-0: S ( N jπf ) H( jπf ) L Area P s /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 8 f
...Vedekaatoteoreema Kuvassa o esitetty kaava amplitudivasteella ormalisoitu kohia tehospektri Kuvasta ähdää että lähetystehoa kaattaa käyttää eite taajuuksilla joissa kohiatehotiheys o piei kaava vaste o suuri (piei vaimeus) Kokoaisteho saadaa itegroimalla L: ja ormalisoidu spektri välie alue: Ps Sxdf L S H df /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 9 Kapasiteetti ja keskiarvot (LM 0.5.3) Edellä johdetuissa kaavoissa jäi ratkaisematta Lagrage kertoja λ (tai siitä riippuva parametri L) jotka riippuvat kokoaistehosta. Se ratkaistaa seuraavaksi. Näi kapasiteetti saadaa pelkästää kaavaparametreista riippuvaa muotoo. Kaavasta (0.0) saadaa itegroimalla Ps Sdf L S x H S L S / H ( 09. ) x A df A /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 0
...Kapasiteetti ja keskiarvot Sijoittamalla tämä kapasiteeti lausekkeesee (0.9) saadaa C log + L S H H S df LH log df ( 030. ) S ja edellee käyttämällä geometrise keskiarvo omiaisuutta log H log ( Hdf ) ( 0. 5) G /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu...Kapasiteetti ja keskiarvot Saadaa LH L C log log S S H G / Ratkaistaa L (0.9):stä ja sijoitetaa C Ps / + S / H log S / H G A G bit / s ( 03. ) ( 03. ) Tämä o yleie lieaarise kaava kapasiteetti joka sisältää siis myös ISI vaikutukse. Se kertoo, mihi asti adaptiivisilla korjaimilla, kaavakoodauksella yms. kosteilla voidaa kaava kapasiteettia korkeitaa ostaa. /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu
Esimerkki 0-6 Ku kohia S N 0 o valkoista, kapasiteetiksi saadaa missä C SNR + H A log bit / s (0.33) H G ( ) SNR P / N0 S Edellee, jos kaava o H, kaava redusoituu Shaoi perusmuotoo C SNR + log Wlog( + SNR) bit / s missä W o kaksipuolie kaistaleveys. /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 3 Esimerkki: IR- ja IIR-kaava kapasiteetti. Tarkastellaa. astee diskreettiä kaavamallia joka sisältää joko yhde olla tai ava joka säde o c 0.99. Vastaava kaava kapasiteetti eri sigaalikohiasuhteilla (valkoista Gaussi kohiaa) äkyy Kuvissa 0-4 ja 0-5. Miltäs äyttää? Mistä erot johtuvat? Capacity 0 Ideal Capacity 0 Ideal 5 ISI 5 ISI 0 0 SNR (db) SNR (db) -0 0 0 0 30-0 0 0 0 30 Kuva 0-4: IR-kaava Kuva 0-5: IIR-kaava /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 4
ODM-järjestelmät Yksi tapa käyttää tehokkaasti lieaarista kaavaa o s. ODM-tekiikka (Orthogoal requecy Divisio Multiplex) joka o moikatoaaltojärjestelmä. Seuraavassa johdetaa esi yleie korrelaattorivastaaotirakee ortogoaalisille moipulssijärjestelmille ja sitte tarkastellaa ODM: toteutusta erikoistapauksea. /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 5 Sovitettu suodi ja korrelaattori Vastaaottosuotime ja äytteeoto lähtösigaali: q0 y( τ) f ( t τ) dτ 0 y( τ) f ( τ) dτ ( 69. ) t Ku vastaaottosuodi o sovitettu, f(t) h(-t), saadaa q0 y( τ) h( τ) dτ joka voidaa toteuttaa korrelaatioraketeella. Tätä korrelaatiovastaaottime ideaa voidaa soveltaa moissa käytäö järjestelmissä jotka perustuvat usea lähetyspulssi käyttöö (mm. hajaspektri- ja moikatoaaltojärjestelmät). /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 6
Ortogoaalie moipulssimodulaatio Pulssiamplitudimodulaatiossa symbolit kerrotaa yhdellä valitulla pulssimuodolla g(t) ja lähetetää kaavaa yksi kerrallaa: st () agt k ( kt) (. 6) k Tämä voidaa yleistää tapauksee jossa kutaki N symbolia vastaa oma pulssimuoto, g (t), 0,,.., N-: st () ga ( t kt) (. 63) k k /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 7...Ortogoaalie moipulssimodulaatio Jotta pulssit ovat erotettavissa vastaaottimessa, vaaditaa ortogoaalisuus (+ ormalisoidaa tehot): saadaa ortogoaalie moipulssimodulaatio: gi() t gj *() t dt σδ g i j (. 64) /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 8
Korrelaatiovastaaoti moipulssimodulaatiolle Kuva 6-35: r(t) X h 0 (t) X h (t) X h N- (t) /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 9 K 0 K K N- Tarkastellaa järjestelmää jossa lähetetää yksi N pulssista, h (t) 0,,, N-, jotka ovat ortogoaalisia, eli Select largest hi() t hj *() t dt σ hδi j (. 68) ^...Korrelaatiovastaaoti moipulssimodulaatiolle Vastaaotettu sigaali o siis muotoa yt () h() t + t () (. 69) Korrelaatiovastaaoti muodostaa N ristikorrelaatiotermiä K h() tytdt () h() th() tdt+ h() ttdt () (. 60) i i i i Ortogoaalisuusehdo mukaa vai K poikkeaa kohiasta. /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 0
CDMA-järjestelmä Code Divisio Multiple Access (CDMA) eli koodijakomoikäyttöjärjestelmä Perustuu ortogoaalisii (tai lähes) biäärisekvesseihi Eri käyttäjät käyttävät samaa taajuusaluetta (esim. kuparijohtoa, koaksiaalikaapelia, radio- tai optista kaavaa - jopa siirtoa sähköverkossa o tutkittu!) Lähettime periaate (Kuva 6-56): Bits Coder a k,0 g 0 (t) Bits Coder a k, g (t) Σ s(t) Bits Coder a k,n- g N- (t) /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu Moikatoaaltojärjestelmät Orthogoal requecy Divisio Multiplex (ODM), Discrete Multitoe (DMT) Valitaa pulssimuodot seuraavasti: g t T e j t () ω c w () t (. 667) missä w(t) o symboli mittaie suorakaide ja taajuudet valitaa ω c π, 0,,..., N ( 668. ) T /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu
Diskreettiaikaie toteutus: g...moikatoaaltojärjestelmät N e π w N k, 0,,..., ( 670. ) ( ) j k/ N k Tässä yksi symboli o N äyttee pituie. Yksi pulssi saadaa symboliarvoilla paiotettua kombiaatioa: s ( ) k N N 0 jπk/ N a e w 0, k ( 67. ) /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 3...Moikatoaaltojärjestelmät Lähettime toteutus IT: avulla (Kuva 6-54) a 0,0 s 0 K 0 IT T a 0,N- s N- K N- a 0, s k p k Σ r k q a^ k /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 4
...Moikatoaaltojärjestelmät Vastaaoti: Korrelaatiopakki T:llä Vastaaotetut äytteet muotoa rk sk + zk ( 673. ) Yhde korrelaattori lasketa: jπ ik/ N K r e, i,,..., N ( 674. ) i N 0 k /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 5 Moikatoaaltojärjestelmä etuja Kulleki katoaallolle voidaa valita oma aakkosto Sigaali tehospektri säädettävissä katoaalloittai kaava mukaa (kapasiteeti maksimoiti!) Moikäyttö: kaavia voidaa jakaa joustavasti eri käyttäjille esim. radiojärjestelmissä Kaava ekvalisoiti helppoa /4/97 Teletekiika laboratorio Sivu 6