.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell sitä os pinnst joll z j kerto näin stv tulost khdell. Jos x r cosθ j y r sinθ niin krtion yhtälö on z r eli z r jos oletetn, että z. Näin ollen pinnn prmetriesitykseksi voidn vlit jolloin rr,θ r cosθi + r sinθj + rk, cosθi + sinθj + k, j r sinθi + r cosθj. θ θ cosθ sinθ r cosθi r sinθj + rk, r sinθ r cosθ joten ds θ dr dθ r dr dθ. Kosk x + y y eli r sinθ niin θ π j r sinθ. int-l on siis sinθ ds r dr dθ / sinθ r dθ A 4 sinθ dθ 4 cosθ dθ 4 / π θ sinθ π. 4 Jos npkoordinttej ei käytetä j ts rjoitutn tpukseen z niin todetn, että z fx,y x + y. rmetreiksi voidn silloin vlit x j y eli Tästä sdn r r x y rx,y xi + yj + x + y k. x r i + x j x + yk ds Näin ollen pint-lksi tulee x x +y i y x +y y r j + y x + y k. j + k j x x + y + y x + y + dx dy dx dy. x +y y dx dy π, kosk joukko { x,y x + y y } on -säteinen ympyrä.
. Lske pintintegrli missä B xyz ds, B { x,y,z z + y, z x + y }. Rtkisu: Vlitn prmetreiksi y j z jolloin pinnn prmetriesitys on ry,x z yi + yj + zk. y z i + j k, j ds y z dy dz dy dz. Näin ollen xyz ds xyz dy dz, B B missä B { y,z z + y, z }. Siirrytään koordintteihin y r cosθ j z r sinθ jolloin r j θ π j dy dz y, z, θ dr dθ r dr dθ, j xyz dy dz B / π r sinθ r cosθ sinθ cosθ sinθ cosθ dθ sinθ + r cosθr sinθ r dr dθ r 4 dr / cosθ 5 r5.. Lske pintintegrli f n ds, eli vektorin f vuo pinnn läpi, missä on pint y z + x, < x <, < z < j fx,y,z i zj j n on yksikkönormli ylöspäin. Rtkisu: innn prmetriesitykseksi voidn vlit rx,z xi + z + xj + zk jolloin i + j j zj + k joten x z x z z i j + zk.
Kosk n on yksikkönormli ylöspäin, eli sen k-komponentti on positiivinen j < z < pinnll, niin n ds i j + zk dx dz, j f n ds i zj i j + zk dx dz + z dx dz + z dz / / x + z dz z + z 4 + 4 5. 4. Lske f n ds kun A on pint A x + y + z 4, z j fx,y,z i + k, eli lske funktion f vuo pinnn läpi. n on normli ylöspäin. Vihje: Jos x + y + z niin pllokoordinteill n ds ± sinφ cosθ sinφi + sinθ sinφj + cosφk dθdφ. Rtkisu: Vlitn pinnn koordinttiesitykseksi pllokoordinttiesitys rθ,φ cosθ sinφi + sinθ sinφj + cosφk, missä θ π j φ π kosk z. Luku tulee siitä, että pllon säde on. Nyt n ds 4 sinφ cosθ sinφi + sinθ sinφj + cosφk dθ dφ missä merkki on vlittu siten, että normli osoitt ylöspäin, eli positiivisen z-kselin suuntn. A f nds / π i+k cosθ sinφi + sinθ sinφj + cosφk 4 sinφ dθ dφ π 4 sinφ cosθ sinφ + cosφ dθ dφ 4 sinφ sinθ + 8 sinφ cosφθ dφ 6π sinφ cosφ dφ / π 8π sinφ 8π. yörähdyskppleet j -pinnt 5. Joukko, jot rjoittvt käyrät y fx, y, x j x b, pyörähtää x-kselin ympäri. Lske syntyvän pyörähdyskppleen tilvuus. Rtkisu: Lskettvn on kppleen D { x,y,z R x b, y + z fx } tilvuus, kosk pyörähdyskppleen j tson x c leikkusjoukko on kiekko y + z fc. Otetn käyttöön koordintit r,θ,x, missä y r cosθ j z r sinθ. dx dy dz
r dr dθ dx j joukko D vst uusiss koordinteiss joukko { r,θ,x x b, r fx, θ π }. fx V D dx dy dz r dr dθ dr dx D π / fx r dθ dx fx dθ dx π fx dx. 6. Olkoon < b j fx kikill x [,b]. Käyrän y fx sekä suorien y, x j x b rjoittm lue pyörähtää y-kselin ympäri. Lske syntyvän pyörähdyskppleen tilvuus. Rtkisu: Lskettvn on kppleen D { x,y,z R y f x + z, x + z b } tilvuus. Otetn käyttöön koordintit r,θ,y, missä x r cosθ j z r sinθ. dx dy dz rdr dθ dy j joukost D tulee uusiss koordinteiss joukko { r,θ,y y fr, r b, θ π }. Nyt fr V D dx dy dz r dy dθ dr rfr dθ dr D πrfr dr π xfx dx. 7. Käyrä y fx, x b, pyörähtää x-kselin ympäri. Määritä syntyvän pyörähdyspinnn pint-l. Rtkisu: Lskettvn on pinnn { x,y,z R x b, y + z fx } pint-l. innn prmetriesitykseksi voidn vlit rx,θ xi + fx cosθj + fx sinθk. x r θ r f x cosθ f x sinθ fx sinθ fx cosθ f x cosθ f x sinθ fx sinθ fx cosθ i f x sinθ fx cosθ j + f x cosθ fx sinθ k fxf xcosθ + sinθ i fx cosθj fx sinθk. Tämän nojll x r θ r fx f x + cosθ + sinθ fx f x +. int-lksi tulee nyt A ds fx f x + dθ dx π fx f x + dx.
8. Käyrä y fx, x b, pyörähtää y-kselin ympäri. Määritä syntyvän pyörähdyspinnn pint-l. Rtkisu: Lskettvn on pinnn { x,y,z R y f x + z, x + z b } pint-l. Vlitn prmetreiksi r j θ, jolloin pinnn prmteriesitykseksi tulee rr,θ r cosθi + frj + r sinθk. r θ r cosθ f r sinθ r sinθ r cosθ f r sinθ r cosθ i cosθ sinθ r sinθ r cosθ j + cosθ f r r sinθ k f rr cosθi rcosθ + sinθ j + f rr sinθk. Tästä seur, että r θ r r + f r, j pint-lksi tulee ds r + f r dθ dr π r + f r dr π x + f x dx. Divergenssi j roottori 9. Lske funktion fx,y,z x + z i + xyzj + x + y + zk divergenssi f j roottori f. Rtkisu: Divergenssi on x + z i + xyzj + x + y + zk x x + z + y xyz + x + y + z x + xz + z j roottori on x + z i + xyzj + x + y + zk x y z x + z xyz x + y + z i y z xyz x + y + z j x z x + z x + y + z + k x y x + z xyz xyi + z j + yzk.