Sisältö Sisältö 14.Useamman muuttujan funktioiden integrointi

Transkriptio

1 Sisältö Sisältö Lukujono Suppeneminen ja raja-arvo Sarjat Suppenemistestejä Alternoivat sarjat Analyyttista geometriaa R 3 :ssa Vektorit Ristitulo Tasot ja suorat Käyrät Käyrän kaarenpituus Usean muuttujan funktiot Raja-arvo ja jatkuvuus Osittaisderivaatat Korkeamman kertaluvun derivaatat Gradientti ja suunnattu derivaatta Implisiittifunktiot Taylorin kehitelmä funktiolle f : R 2 R Funktion f : R 2 R ääriarvot Lagrangen kerroin Useamman muuttujan funktioiden integrointi Tasointegraalit Iteroidut integraalit Epäoleelliset integraalit Tasointegraali napakoordinaateissa Avaruusintegraali

2 Sisältö 14.6 Muuttujanvaihto avaruusintegraaleissa Sylinterikoordinaatisto Pallokoordinaatit Pinnan ala Massat ja momentit Vektorikentät Vektorikentät Vektorikentän kenttäviivat Vektorikenttä napakoordinaateissa Konservatiiviset kentät Tasapotentiaalipinnat ja -käyrät Lähde, nielu ja dipoli Funktion viivaintegraali Vektorikentän viivaintegraali Pinnat ja pintaintegraalit Suunnistetut pinnat ja vuointegraalit Vektorikentän pintaintegraali Vektorianalyysi Gradientti, divergenssi ja roottori Laskusääntöjä gradientille, divergenssille ja roottorille Gaussin lause Greenin lause Stokesin lause Vektorianalyysin sovelluksia Käyräviivaiset koordinaatistot

3 Jonot ja sarjat 9.1 Lukujono Lukujono on ääretön jono reaalilukuja: {a 1,a 2,a 3,...}, missä a n R kaikilla n =1, 2, 3,... Lukujonoja merkitään myös merkinnöillä {a 1,a 2,a 3,...} = {a n } n=1 = {a n }. Luku a n on jonon n:s termi tai alkio. Esim. 1 {a n } = {1, 2, 3,...} eli a n = n. Piirretään lukujonon pisteet koordinaatistoon: Esim. 2 {a n } = {1, 1/2, 1/3,...} eli a n =1/n: 3

4 Jonot ja sarjat Esim. 3 Lukujonoja määritellään usein rekursiivisesti, eli lukujonon seuraava termi määräytyy edellisistä termeistä. Esimerkiksi a 1 =1, ja a n+1 = 6+a n, kun n 1, jolloin {a n } = {1, 6+1, 6+ 7, ,...}. Käsitteitä: Lukujono {a n } n on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa M R (yläraja) siten, että a n M kaikilla n N. 1 alhaalta rajoitettu, jos M R (alaraja) siten, että a n M kaikilla n N. 1 N = {1, 2, 3,...} = luonnolliset luvut. 4

5 Jonot ja sarjat rajoitettu, jos se on sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu. ei-negatiivinen, jos a n n. 2 positiivinen, jos a n > n. Vastaavasti määritellään ei-positiivinen ja ja negatiivinen. kasvava, jos a n+1 a n n. vähenevä, jos a n+1 a n n. monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä. alternoiva, jos a n a n+1 < n. (eli peräkkäiset termit ovat erimerkkiset) Esim. 1: rajoitettu. a n = n: alhaalta rajoitettu (a n kaikilla n N), ei ylhäältä Esim. 2 a n =1/n: rajoitettu, sillä a n 1 ja a n kaikilla n N. Esim. 3 a n = n! 2 n on kasvava: 3 eli a n+1 a n n. a n+1 (n + 1)! 2 n n +1 = = 1, a n n! 2n+1 2 Esim. 4 a n = (n!)2 (2n)! on vähenevä: a n+1 ((n + 1)!)2 (2n)! = a n (n!) 2 (2(n + 1))! = eli a n+1 <a n n. Esim. 5 a n =( 1) n jolloin ( (n + 1)! = ) 2 (2n)! n! (2n + 2)! (n + 1) 2 (2n + 2)(2n + 1) = 1 2 n +1 2n +1 < a n =( 1) n eli {a n } n = { 1, 1, 1, 1,...} on selvästi alternoiva: a n a n+1 =( 1) n ( 1) n+1 =( 1) 2n+1 = 1, koska 2n +1on aina pariton. 2 = kaikilla 3 n!= n. 5

6 Jonot ja sarjat 9.1 Suppeneminen ja raja-arvo Määritelmä Lukujono {a n } n kasvaa rajatta, jota merkitään lim a n =, n jos kaikilla M R on olemassa N N, jolle pätee n N a n M. Määritelmä Lukujono {a n } suppenee, jos on olemassa L R siten, että ɛ > N N s.e. a n L <ɛ n N. Tällöin sanotaan, että L on lukujonon {a n } raja-arvo ja merkitään lim a n = L. n Jos lukujono ei suppene, niin se hajaantuu. Esim. 1 a n = n kasvaa rajatta: jos M R, niin a n >M, kun n>m 2. 1 Esim. 2 lim n n =. Perustelu: Olkoon ɛ>. Koska 1 n <ɛ n>1 ɛ, niin luvuksi N kelpaa mikä tahansa luonnollinen luku N> 1 ɛ. Esim. 3 Jonolla a n =( 1) n ei ole raja-arvoa. Huom. Jos {a n } on lukujono ja f : R R on funktio, jolle f(n) =a n kaikilla n N ja raja-arvo lim x f(x) on olemassa, niin tällöin lim a n = lim f(x). n x Laskusääntöjä: Olkoon {a n } n ja {b n } n suppenevia lukujonoja. Tällöin pätee: 6

7 Jonot ja sarjat lim n (a n + b n )=lim n a n +lim n b n lim n (c a n )=c lim n a n lim n a n b n =lim n a n lim n b n lim n a n bn = limn an lim n b n, kun b n nja lim n b n. Lause 1 Jos {a n } on kasvava ja ylhäältä rajoitettu (tai vähenevä ja alhaalta rajoitettu), niin se suppenee. Esim. 1 Todistetaan, että jos lukujono määritellään rekursiivisesti kaavalla a 1 =1ja a n+1 = 6+a n, niin se suppenee. Näytetään ensin induktiolla, että {a n } on kasvava. Perusaskel: a 1 =1 6+1=a 2 ok. Induktioaskel: Oletetaan, että a k+1 a k jollakin k 1. Tällöin a k+2 = 6+a k+1 6+a k = a k+1 {a n } on kasvava. Näytetään seuraavaksi induktiolla, että {a n } on ylhäältä rajoitettu ja erityisesti a n < 3 kaikilla n N. Perusaskel: a 1 =1< 3 ok. Induktioaskel: oletetaan, että a k < 3, mistä seuraa a k+1 = 6+a k < 6+3=3. Saatiin siis, että {a n } on ylhäältä rajoitettu ja kasvava, joten se suppenee. Lasketaan vielä raja-arvo. Merkitään a =lim n a n, jolloin a = lim a n+1 = lim 6+an = 6+a n n mistä saadaan a 2 =6+a a =3. 7

8 Jonot ja sarjat (toinen ratkaisu toisen asteen yhtälölle olisi a = 2, mutta a n 1 kaikilla n) Lause 2 (Kuristusperiaate) Olkoot {a n }, {b n } ja {c n } lukujonoja, joille a n b n c n n 1. Jos {a n } ja {c n } suppenevat ja lim n a n =lim n c n = L, niin myös {b n } suppenee ja lim n b n = L. Esim. 1 Lasketaan lim n a n, kun a n = sin(n) n. Koska 1 sin(n) 1, saadaan 1 n a n 1 n ja koska lim n ( 1/n) =lim n 1/n =on myös lim n a n =. Esim. 2 Lasketaan lim n a n, kun a n = x n jollakin x R, x < 1. Määritellään b n = a n = x n jolloin b n a n b n. Osoitetaan seuraavaksi, että lim b n =. Jono {b n } on vähenevä, sillä b n+1 = x n+1 = x x n = x b n <b n. Jono {b n } on alhaalta rajoitettu, sillä b n kaikilla n N. Siispä {b n } suppenee ja merkitään lim n b n = b. Raja-arvo saadaan laskettua seuraavasti. Koska b n+1 = x b n saadaan lim b n+1 = x lim b n b = x b (1 x )b =. n n Koska 1 x > täytyy siis olla b =. Jonon {b n } raja-arvo on siis ja kuristusperiaatteen mukaan tällöin myös lim n a n =. Esim. 2 Lasketaan lim n a n kun a n = xn n! ja x R. 8

9 Jonot ja sarjat Valitaan N N siten, että N> x. Kaikilla n>n+2tällöin pätee a n = Siispä x x... x x x... x N (N + 1) (N + 2)... n = xn N! x n N (N + 1) (N + 2)... n. x n N a n = x N N! (N + 1) (N + 2)... n < x N x n N N! N n N Nyt uudelle jonolle {b n } pätee = x N N! ( ) x n N =: b n. N koska < x N lim b n = x N n N! lim n ( ) x n N =, N < 1. Sillä b n a n b n saadaan jälleen kuristusperiaatteen mukaan, että myös lim n a n =. Huom. Jos f : R R on jatkuva ja jos lim n a n = L, niin myös jono {f(a n )} suppenee ja lim n f(a n )=f(l). Esim. 3 Lasketaan lim a n kun a n = n 2 +2n n. Hankkiudutaan (osoittajan) neliöjuuresta eroon laventamalla: a n = ( n 2 +2n n)( n 2 +2n + n) n 2 +2n + n = n2 +2n n 2 n 2 +2n + n = 2n n 2 +2n + n = 2n n( 1+2/n + 1) = 2 1+2/n +1. Koska lim n 2/n =saadaan lim a n = n = Sarjat Olkoon {a n } lukujono. Ääretöntä summaa a 1 + a 2 + a = kutsutaan sarjaksi. Miten tällaisia summia pitäisi käsitellä? Jos laskettavana on voidaan laskea joko (1 1) + (1 1) + (1 1) +...= n=1 a n tai 1+( 1 + 1) + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) +...=1. 9

10 Jonot ja sarjat Summalla ei siis ole järkevää arvoa! Sarjan arvo määritellään osasummista muodostuvan lukujono avulla. Määritellään osasummien jono {s k } k=1 asettamalla s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3. s k = a 1 + a a k = k n=1 a n (=sarjan a n k:s osasumma). n=1 Jos raja-arvo lim k s k on olemassa, määritellään n=1 a n = lim s k = lim k k ja sanotaan, että n=1 a n on suppeneva sarja. Muuten sanotaan, että n=1 a n on hajaantuva sarja. k n=1 a n Esim. 1 n=1 a n, missä a n = 1 kaikilla n. Tällöin osasummat ovat s 1 =1, s 2 =1+1=2, s 3 =3,..., s k = k. Koska osasummat eivät suppene, myös sarja n=1 a n hajaantuu. Esim. 2 n=1 1 n(n + 1) = Hajoitetaan summan termit osamurtokehitelmällä: 1 n(n + 1) = A n + B A(n + 1) + Bn = = n +1 n(n + 1) josta saadaan A =1ja A + B =1+B =eli B = 1. (A + B)n + A, n(n + 1) Siispä a n = 1 n(n+1) = 1 n 1 n+1 ja osasummat voidaan kirjoittaa muodossa s k = a 1 + a 2 + a a k =(1 1 2 )+( )+( )+...+(1 k 1 k +1 ) Siten n=1 =1 1 1, k +1 1 n(n + 1) = lim k s k =1. Kyseessä on niin kutsuttu teleskooppisarja. 1 Geometrinen sarja Geometrinen sarja on muotoa ar n 1, n=1 kun k.

11 Jonot ja sarjat missä a, r R. Sarjan ominaisuuksia tarkasteltaessa voidaan olettaa, että vakio a =1. Sarjan osasummiksi saadaan s 1 =1 s 2 =1+r s 3 =1+r + r 2. s k =1+r + r r k 1 rs k = r + r 2 + r r k ja saadaan s k rs k =1 r k (1 r)s k =1 r k s k = 1 rk, jos r 1. 1 r Sarjan suppeneminen riippuu siis parametrin r arvosta ja saadaan: 1) r < 1; tällöin r k kun k ja geometrinen sarja suppenee n=1 r n 1 = lim s 1 r k k = lim k k 1 r = 1 1 r. 2) r =1; osasummille pätee s k = k ja siten geometrinen sarja hajaantuu. 3) r = 1; osasummille pätee s 1 =1, s 2 =1 1=, s 3 =1 1+1=1, s 4 =, jne. eli geometrinen sarja hajaantuu. 4) r>1; osasummien s k = rk 1 r 1 sarja hajaantuu. jono kasvaa rajatta ja siten geometrinen Lause 3 Geometrinen sarja suppenee jos ja vain jos r < 1. Tällöin n=1 r n 1 = 1 1 r. Esim. 1 Lasketaan s = Harmoninen sarja s = n=1 Harmoninen sarja on sarja n=1 ( ) 1 n 1 = /2 =2. 1 n =

12 Jonot ja sarjat Näytetään seuraavaksi, että harmoninen sarja hajaantuu. Näytetään, että osasummat s k = k n=1 1 n (kasvaa rajatta) kun k. Huomataan, että s k = k, eli kyseessä on k:n eri suorakulmion yhteenlaskettu pinta-ala. Siten s k > "varjostetun alueen pinta-ala"= k+1 1 ln(k + 1). Saatiin siis 1 xdx = k+1 1 ln(x) = s k > ln(k + 1), kun k ja siten osasummat kasvavat rajatta ja harmoninen sarja hajantuu. Huom. Jos sarja n=1 a n suppenee, niin lim n a n =. Tämä sama voidaan myös ilmaista sanomalla: Jos lim n a n, niin sarja n=1 a n hajaantuu. Pelkästään ehdosta lim n a n =ei kuitenkaan seuraa sarjan suppeneminen. 9.3 Suppenemistestejä Tässä luvussa tarkastellaan sarjoja n=1 a n, missä a n kaikilla n N. Lause 4 (Integraalitesti) Olkoon n=1 a n sarja ja f : R R funktio siten, että 1. f(x) 2. f on vähenevä, eli x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) 3. f(n) =a n kaikilla n N. Tällöin sarja n=1 a n suppenee jos ja vain jos epäoleellinen integraali suppenee. 1 f(x)dx 12

13 Jonot ja sarjat Huom. 1 f(x)dx = lim R R 1 f(x)dx eli integraalitestissä sarjan suppeneminen/hajaantuminen riippuu rajaarvon olemassaolosta. R lim R 1 f(x)dx Huom. Kohdista 2. ja 3. seuraa, että jonon {a n } on oltava vähenevä. Esim. 1 Suppeneeko n=1 1 n, kun p>1? p Määritellään f(x) = 1 x kun x 1, jolloin f on vähenevä ja positiivinen p sekä f(n) = 1 n. Lasketaan epäoleellinen integraali p 1 f(x)dx = 1 x p dx = 1 1 p 1 x 1 p 1 = lim R 1 p (R1 p 1) = 1 p 1. Epäoleellinen integraali siis suppenee ja siten sarja n=1 1 n myös suppe- p nee. (Huom. jos p =1on kyseessä harmoninen sarja joka hajaantuu) Huom. n=1 1 n 1 p p 1 eli epäoleellisen integraalin arvo ei anna äärettömän sarjan arvoa! Lause 5 (Vertailutesti) Olkoon {a n } ja {b n } sarjoja siten, että a n,b n ja a n b n n N. Tällöin jos sarja n=1 a n hajaantuu, niin sarja n=1 b n hajaantuu. Toisaalta jos sarja n=1 b n suppenee, niin sarja n=1 a n suppenee. Perustelu. Merkitään sarjojen osasummia s k = k a n ja σ k = n=1 k b k. Koska a n,b n ovat lukujonot {s k } ja {σ k } kasvavia. Koska b n a n, pätee myös σ k s k. Jos siis {s k } on ylhäältä rajoitettu niin se suppenee, eli tällöin n=1 a n suppenee. Negaationa sama: Jos n=1 a n hajaantuu, niin {s k } kasvaa rajatta. Koska σ k s k, kasvaa tällöin myös {σ k } rajatta ja tällöin myös n=1 b n hajaantuu. Tämä todisti ensimmäisen väitteen. Aivan samoin saadaan: Jos sarja n=1 b n suppenee, niin {σ k } on ylhäältä rajoitettu ja koska s k σ k on myös {s k } ylhäältä rajoitettu. Tästä taas seuraa, että myös {s k } suppenee ja siis n=1 a n suppenee. n=1 Esim. 1 Suppeneeko sarja n= n? 13

14 Jonot ja sarjat Määritellään a n = n ja b n = 1 2 n. Tällöin edellisen lauseen oletukset pätevät, ja sarja b n = n=1 n=1 1 2 n = ( ) 1 n 2 suppenee geometrisena sarjana. Tällöin siis myös n=1 a n = n=1 suppenee vertailutestin perusteella. n=! n Lause 6 (Suhdetesti) Olkoon n=1 sarja jolle a n > kaikilla n N. Merkitään a n+1 ρ = lim n a n ja oletetaan, että kyseinen raja-arvo on olemassa. Tällöin pätee: Jos ρ<1, niin sarja suppenee. Jos 1 <ρ, niin sarja hajaantuu. Jos ρ = 1, niin testi ei anna tietoa suppenemisesta (eli sarja voi joko supeta tai hajaantua). Esim. 1 Suppeneeko sarja n=1 n2 2 n? Nyt siis a n = n2 2 n > ja voidaan käyttää suhdetestiä. Lasketaan a n+1 (n + 1)2 = a n 2 n+1 2n n 2 = 1 2 ( n +1 n ) 2 1, kun n. 2 Saatiin siis ρ = 1 2 [, 1), joten sarja suppenee. Esim. 2 Suppeneeko sarja (2n)! n=1? (n!) 2 Ny a n = (2n)! > ja (n!) 2 a n+1 (2(n + 1))! = a n ((n + 1)!) 2 (n!)2 (2n)! (2n + 1) (2n + 2) = (n + 1) (n + 1) (2n + 2)! = (2n)! = n! n! (n + 1)! (n + 1)! 4n +2 n +1 = 4+2/n 4, 1+1/n kun n. Siispä ρ =4> 1 ja sarja hajaantuu. Esim. 3 Nyt a n = 1 n 2 Suppeneeko sarja n=1 1 n 2? > ja a n+1 a n = n 2 ( ) n 2 (n + 1) 2 = 1, kun n. n +1 14

15 Jonot ja sarjat Saatiin siis ρ = 1 ja suhdetesti ei anna tietoa sarjan suppenemisesta. Tosin integraalitestin perusteella todettiin aiemmin, että sarjat n=1 1 n p suppenevat kun p>1. Esim. 4 n=1 1 n, jolloin a n = 1 n >. Saadaan a n+1 a n = n n+1 1 joten suhdetesti ei anna informaatiota, mutta tiedetään, että sarja hajaantuu harmonisena sarjana. Lause 7 (Juuritesti) Olkoon n=1 a n sarja jossa a n > kaikilla n N. Merkitään σ = lim n n an (= lim n (a n) 1/n ) ja oletetaan, että kyseinen raja-arvo on olemassa. Tällöin Jos σ<1, niin sarja suppene. Jos 1 <σ, niin sarja hajaantuu. Jos σ =1, niin juuritesti ei anna tietoa. Esim. 1 Nyt a n = 2n+1 n n Suppeneeko sarja n=1 2n+1 n n? > ja ( ) 2 (a n ) 1/n n+1 1/n = n n = 2 21/n, n Siispä σ = [, 1) ja sarja suppenee. kun n. Sama voitaisiin todeta myös suhdetestin avulla: a n+1 = 2n+2 a n 2 n+1 n n ( ) (n + 1) n+1 =2 1 n n, kun n. n +1 n +1 Saatiis siis ρ = [, 1) ja sarja tietysti suppenee myös suhdetestin perusteella. Huom. Edellä olevassa esiintyy raja-arvo ( ) n +1 n ( lim = lim 1+ 1 n = e (= Neperin luku). n n n n) Esim. 2 Tässä a n = ( n n+1 σ = lim n Suppeneeko ) n 2 > ja n=1 ( ) n 2 n n+1? [ ( ) ] n n 2 1/n ( ) n n ( = lim = lim n +1 n n +1 n 1 1+1/n ) n = 1 [, 1), e 15

16 Jonot ja sarjat joten sarja suppenee. Esim. 3 Nyt a n = Suppeneeko n=1 nn (2 n ) 2? nn (2 n ) 2 = nn 2 2n > ja (a n ) 1/n = n 2 2 = n 4, kun n. Siispä σ = ja siten sarja hajaantuu. 9.4 Alternoivat sarjat Sarja n=1 a n on alternoiva (=vuorotteleva), jos lukujono {a n } on alternoiva, eli a n a n+1 < n N. Peräkkäiset alkiot ovat tällöin siis erimerkkiset ja a n kaikilla n N. Lause 8 Olkoon n=1 alternoiva sarja siten, että lukujono { a n } on vähenevä lim n a n =. Tällöin sarja n=1 suppenee. Huom. Jos jonolle {a n } pätee lim n a n =, niin tällöin lim n a n =. (Kuristusperiaate) Esim. 1 (Alternoiva harmoninen sarja) Suppeneeko n=1 ( 1)n 1 1 n? Nyt a n = 1 n on vähenevä ja sarja on selvästi alternoiva. Lisäksi lim n a n =, joten sarja suppenee. Esim. 2 Suppeneeko ( 1) n n=1 1+e? n Nyt a n = ( 1)n 1+e n ja sarja on selvästi altervoiva. Jono { a n } on vähenevä sillä 1+e e n 1+e n a n+1 = 1 1+e n e n = a n. Lisäksi lim a 1 n = lim n n 1+e n =, joten sarja suppenee. Itseinen suppeneminen 16

17 Jonot ja sarjat Sanotaan, että sarja n=1 a n suppenee itseisesti, jos sarja n=1 a n suppenee. Huom. Jos n=1 a n on alternoiva, on sarja n=1 a n positiiviterminen ( a n > kaikilla n N) ja edellisen luvun suppenemistestejä voi käyttää. Huom. Jos sarja n=1 a n suppenee, niin sarja n=1 a n suppenee. Perustelu. Koska a n + a n a n + a n =2 a n, niin vertailutestin perusteella: jos sarja n=1 a n suppenee (myös sarja n=1 2 a n tietysti suppenee) niin myös sarja n=1 (a n + a n ) suppenee. Tästä saadaan a n = lim n=1 k k n=1 = lim k n=1 a n = lim k ( k (a n + a n ) n=1 k (a n + a n ) lim k n=1 k a n = ) k a n n=1 (a n + a n ) a n, jossa siis kumpainenkin sarja suppenee ja siten myös n=1 a n suppenee. Huom. Käänteinen ei päde! Eli suppenemisesta ei seuraa itseistä suppenemista. n=1 n=1 Esim. 1 Sarja ( 1) n 1 n=1 n 4 suppenee. (kts. integraalitesti). suppenee itseisesti, sillä sarja n=1 1 n 4 Esim. 2 Sarja cos(nπ) n=2 ln(n) ei suppene itseisesti, sillä sarja cos(nπ) ln(n) = 1 ln(n) n=2 n=2 hajaantuu, joten vertai- 1 ei suppene: ln(n) > 1 n ja harmoninen sarja n=2 1 n lutestin perusteella myös 1 n=1 ln(n) hajaantuu. 17

18 Jonot ja sarjat 18

19 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa 1.1 Analyyttista geometriaa R 3 :ssa Kolmeuloitteisen avaruuden pisteen määrää sen koordinaatit koordinaattiakselien suhteen. Merkitään esim. P =(x,y,z ). Origo on piste O =(,, ). Oikean käden sääntö: Koordinaattiakselit on suunnistettu siten, että positiivisen z -akselin suunnasta katsottuna kierto positiiviselta x -akselilta positiiviselle y -akselille on positiivinen (=vastapäivään). Oikean käden avulla siis: peukalo = x -akseli, etusormi = y -askeli ja keskisormi = z -akseli. Kahden pisteen P 1 ja P 2 välistä janaa merkitään P 1 P 2. Pisteen P =(x, y, z) etäisyys origosta (= janan OP pituus) saadaan Pythagoraan lauseella: 19

20 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Hypotenuusan pituus s = x 2 + y 2, joten pisteen P etäisyys origosta on r = s 2 + z 2 eli P = OP = x 2 + y 2 + z 2. Vastaavasti kahden pisteen P =(x 1,y 1,z 1 ) ja Q =(x 2,y 2,z 2 ) etäisyys (=janan PQ pituus) on PQ = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2. Esim. 1 Pintoja R 3 :ssa. Pistejoukko {(z,y,z) R 3 y = x} on z akselin suuntainen taso, joka sisältää suoran y = x sekä z -akselin. {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 =1} sisältää ne pisteet P, joiden etäisyys origosta P = x 2 + y 2 + z 2 =1. Eli kyseessä on yksikköpallo. {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 =1} sisältää ne pisteet P, joiden etäisyys z - akselista on 1, eli kyseessä on ääretön z -akselin suuntainen sylinteri. 2

21 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa 1.2 Vektorit Vektori on matemaattinen käsite, joka määräytyy R n :n vektoreista puhuttaessa annetusta pituudesta ja suunnasta. Jokainen vektori voidaan tulkita kahden pisteen A R n ja B R n välisenä yhdysvektorina, jota merkitään AB = AB. Vektorilla on suunta (jos A B) ja se on A:sta B:hen eli A on vektorin alkupiste ja B kärkipiste. Se siis ilmaisee tällöin pisteen B sijainnin suhteessa pisteeseen A. Vektori OB on pisteen B paikkavektori. Vektoreita merkitään usein myös pienillä kirjaimilla, esim. v, u, w jne. ja painetussa tekstissä vektorit painetaan usein lihavoituna ilman yläviivaa, esim. u = u, v = v jne. Vektorin pituus AB = AB on pisteiden A ja B välinen etäisyys. Vektorin voi siirtää, eli kaksi vektoria on samat jos ja vain jos niiden pituudet ja suunnat ovat samat. Yhteenlasku: AB + BC = AC Suunnanvaihto: AB = BA. Skaalaus: Jos u ja t>, niin tu on vektori jolla on sama suunta kuin u:lla eli tu u ja tu = t u. 21

22 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Luonnolliset kantavektorit Tarkastellaan avaruutta R 3 karteesisessa koordinaatistossa. Tällöin koordinaattiakselien suuntaiset yksikön pituiset vektorit ovat erityisasemassa. Olkoon origo O =(,, ) ja P 1 =(1,, ), P 2 =(, 1, ) ja P 3 =(,, 1). Määritellään i = OP 1, j = OP 2, k = OP 3. Nämä kolme vektoria ovat R 3 :n luonnolliset kantavektorit ja jokainen avaruuden vektori v voidaan kirjoittaa näiden lineaarikombinaationa, eli muodossa v = ai + bj + ck, joillakin a, b, c R. Huom. Jos u = u 1 i + u 2 j + u 3 k ja v = v 1 i + v 2 j + v 3 k, niin u + v =(u 1 + v 1 )i +(u 2 + v 2 )j +(u 3 + v 3 )k ja tu =(tu 1 )i +(tu 2 )j +(tu 3 )k, t R ja u = u u2 2 + u2 3 Huom. Jokaista vektoria u vastaa yksikäsitteinen avaruuden piste P R n, jolle u = OP. Avaruuden R n pisteet P voidaan siis samaistaa origosta alkavien vektoreiden OP kanssa. Usein avaruuden pisteen paikkavektoria merkitään vektorilla r. Tällöin usein puhutaan pisteestä r, jolla siis tarkoitetaan sitä pistettä P, jolle r = OP. Tällöin saatetaan myös käyttää vektorin ja pisteen koordinaattien merkitää sekaisin, eli merkitä r = ai + bj + ck =(a, b, c) 22

23 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Pistetulo Jos u = u 1 i+u 2 j+u 3 k ja v = v 1 i+v 2 j+v 3 k, määritellään näiden kahden vektorin välinen pistetulo u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. Pistetulolle pätee: u 2 = u u u 2 3 = u u. Lause 9 (Kosinilause) Olkoon θ vektoreiden u ja v välinen kulma, jolloin pätee u 2 + v 2 2 u v cos(θ) = u v 2. Koska u v 2 =(u v) (u v) =u u 2u v + v v = u 2 2u v + v 2 saadaan kosinilauseen seuraksena u v = u v cos(θ). Vektorit u ja v ovat kohtisuorassa, jota merkitään u v, jos niiden välinen kulma on π 2 (=9 ). Edellisen kaavan nojalla saadaan, että jos u, v, niin u v u v =. Esim. 1 Luonnolliset kantavektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, sillä i j =ja i k =ja j k =. Esim. 2 Millä vakion a R arvolla pätee u v, kun u = i +5j 7k ja v = ai j? Sillä u ja v, niin u v jos ja vain jos u v =, eli u v =1 a +5 ( 1) 7 =a 5=, josta saadaan a =5. Projektio 23

24 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Olkoon annettuna kaksi vektoria u ja v. Miten kirjoitetaan u muodossa u = αv + w, missä joko w v tai w =? Ottamalla lausekkeesta pistetulo vektorin v kanssa puolittain, saadaan v u = αv v + v w = α v 2, josta saadaan α = v u v 2. Vektorille u saadaan siis esitys u = v u v 2 v + ( u v u v 2 v ). Vektori w on siis ja sille pätee w v, sillä w = u v u v 2 v w v = u v v u v 2 v v = u v v u v 2 v 2 =. Vektori u v = αv = v u v 2 v on vektorin u vektoriprojektio (tai projektio) vektorin v suuntaan. Esim. 1 Lasketaan vektorin u =5i +7j k projektio vektorin v = i suuntaan. Koska v = i, niin projektio on u v = u v v 2 v = v =5i. Esim. 2 Olkoon u = i +3j k ja v =2i j +3k. Tällöin u v =1 2+3 ( 1) 1 3= 4 ja v 2 = = 14, joten vektorin u projektio vektorin v suuntaan on u v = u v v 2 v = 4 14 (2i j +3k) = 4 7 i j 6 7 k. 1.3 Ristitulo Vektoreiden u, v R 3 ristitulo u v R 3 on vektori, jolle pätee 24

25 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa 1. u v u ja u v v eli (u v) u =ja (u v) v =. 2. u v = u v sin(θ), kun θ on vektoreiden u ja v välinen kulma. 3. u, v ja u v muodostavat oikeakätisen kolmikon. Huom. Kohta 2. tarkoittaa, että vektorin u v pituus on sama kuin vektoreiden u ja v virittämän suunnikkaan pinta-ala. Huom. Jos u v, niin u v =, sillä tällöin sin(θ) = sin() =. Lause 1 (Ristitulo) Olkoot u = u 1 i + u 2 j + u 3 k ja v = v 1 i + v 2 j + v 3 k. Tällöin i j k u u v = u 1 u 2 u 3 = i 2 u 3 v v 1 v 2 v 3 2 v 3 j u 1 u 3 v 1 v 3 + k u 1 u 2 v 1 v 2 = i(u 2 v 3 u 3 v 2 ) j(u 1 v 3 u 3 v 1 )+k(u 1 v 2 u 2 v 1 ). Ristitulo saadaan siis laskettua 3 3 determinantin avulla. Yleisestihän 2 2 determinantti on määritelty kaavalla a b = ad bc c d ja 3 3 determinantti voidaan kehittää minkä tahansa sarakkeen tai rivin mukaan, esimerkiksi 1. rivin mukaan kehitettynä saadaan a b c e f d e f = a h i b d f g i + c d e g h. g h i Esim. 1 Lasketaan i j ja saadaan i j k i j = 1 = i 1 j k 1 1 = k. 25

26 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa (k on siis se vektori, joka on kohtisuorassa vektoreita i ja j vastaan siten, että saadaan oikeakätinen kolmikko ja jonka pituus on i j sin(π/2) = 1.) Vastaavasti saadaan j k = i ja k i = j. Huom. Pätee: u v = v u. Syy tähän on se, että jos determinantin rivien paikkaa vaihdetaan, niin sen merkki vaihtuu, eli i j k u 1 u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 i j k v 1 v 2 v 3. u 1 u 2 u 3 Huom. Pätee: u u =, sillä u u = u 2 sin() =. Huom. Jos v = αu, niin u v = u (αu) =α(u u) =. Ristituloon liittyviä geometrisia tulkintoja Esim. 1 Todettiin jo, että u v = vektoreiden u ja v virittämän suunnikkaan pinta-ala. Ala = h u = v sin(θ) u = u v. Esim. 2 Ristitulon ja pistetulon avulla voidaan myös lausua kolmen vektorin u, v ja w virittämän suuntaissärmiön tilavuus. 26

27 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Suuntaissärmiön pohja on vektoreiden u ja v virittämä suunnikas, joten sen pinta-ala on Pohjan ala = u v. Vektori u v on kohtisuorassa suuntaissärmiön pohjaa vastaan, joten jos a = vektorin w projektio vektorin u v suuntaan, niin särmiön korkeus on vektorin a pituus. Suuntaissärmiön korkeus on siten h = a = w (u v) u v 2 (u v) w (u v) = u v tilavuudeksi saadaan siten (u v) Tilavuus = Pohjan ala korkeus = u v w = w (u v) u v Yllä esiintyvää lauseketta w (u v) kutsutaan vektoreiden u, v ja w skalaarikolmituloksi. Lause 11 (Skalaarikolmitulo) Jos u = u 1 i+u 2 j+u 3 k, v = v 1 i+v 2 j+v 3 k ja w = w 1 i + w 2 j + w 3 k, niin skalaarikolmitulo saadaan 3 3 determinanttina w 1 w 2 w 3 w (u v) = u 1 u 2 u 3. v 1 v 2 v 3 Perustelu: Koska u v = i u 2 u 3 v 2 v 3 j u 1 u 3 v 1 v 3 + k u 1 u 2 v 1 v 2, niin w (u v) =w 1 u 2 u 3 v 2 v 3 w 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + w 3 u 1 u 2 v 1 v 2, josta lause seuraa. Huom. Koska determinantin merkki vaihtuu, kun kaksi riviä vaihdetaan, pätee w (u v) = u (w v) = w (v u). Huom. Skalaarikolmitulossa pistetulon ja ristitulon paikkaa voi vaihtaa, sillä (u v) w = w (u v) = u (w v) =u (v w). 27

28 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Huom. Voidaan merkitä myös u v w ilman sulkeita, sillä laskujärjestys on yksikäsitteinen: u v R, joten (u v) w ei ole määritelty. 1.4 Tasot ja suorat Taso Taso määräytyy yksikäsitteisesti, kun tiedetään mikä tahansa tason piste P sekä tason normaalivektori n. Tällöin piste P on tason piste jos ja vain jos PP n. Olkoon r = OP = x i + y j + z k tason pisteen P paikkavektori ja n = ai + bj + ck tason normaalivektori. Tällöin piste P, jonka paikkavektori on r = OP = xi + yj + zk, on tason piste jos ja vain jos PP n (r r ) n (r r ) n =. Piste P =(x, y, z) on siis tason piste jos ja vain jos (x x )a +(y y )b +(z z )c = eli ax + by + cz = d, missä d = ax + by + cz. Tämä on tason yhtälö. Toisaalta jos on tiedossa tason yhtälö ax + by + cz = d, niin siitä voidaan suoraan lukea tason (eräs) normaalivektori n = ai + bj + ck. Esim. 1 Tason x 5y +7z = 12 normaalivektori on n = i 5j +7k. Esim. 2 Tason x =normaalivektori on n =1i +j +k = i. Pisteen etäisyys tasosta Lasketaan lyhin etäisyys pisteestä P =(x,y,z ) tasoon T, jonka yhtälö on ax + by + cz = d. 28

29 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Olkoon P 1 se tason piste, josta etäisyys pisteeseen P on pienin mahdollinen. Tällöin vektori P 1 P on kohtisuorassa tasoa T vastaan, eli P 1 P = αn, jollakin α R. Olkoon nyt P =(x,y,z ) mikä tahansa tason piste ja kirjoitetaan Tällöin P P 1 n ja siten joten P P = P P 1 + P 1 P. n P P = n P P 1 + n (αn) =α n 2, α = n P P n 2 ja siten pisteen P etäisyys tasosta T on P 1 P = αn eli Pisteen P etäisyys tasosta = n P P. n Kun P =(x,y,z ), P =(x,y,z ) ja n = ai + bj + ck, saadaan lauseke kirjoitettua auki muotoon Pisteen P etäisyys tasosta = (x x )a +(y y )b +(z z )c a 2 + b 2 + c 2 sillä ax + by + cz = d. = ax + by + cz d a 2 + b 2 + c 2, Esim. 1 Lasketaan pisteen (x,y,z ) etäisyys tasosta x =. Voidaan suoraan päätellä, että etäisyys on tietysti x. Lasketaan vielä kaavalla etäisyys = 1 x + y + z = x. Esim. 2 Origon etäisyys tasosta x + y + z =1on = 1 3. Suora Suora määräytyy yksikäsitteisesti, kun tunnetaan mikä tahansa suoran piste P sekä suoran suuntainen vektori v (eli suoran suuntavektori). 29

30 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Tällöin P on suoran piste jos ja vain jos PP = tv, jollakin t R. Olkoon r = OP = x i + y j + z k suoran pisteen P paikkavektori ja v = ai + bj + ck suoran suuntavektori. Tällöin piste P, jonka paikkavektori on r = OP = xi + yj + zk, kuuluu suoralla s jos ja vain jos r r = tv, jollakin t R eli x = x + ta, y = y + tb, t R, z = z + tc. (1.1) Tämä esitys on suoran parametrimuoto tai suoran parametrisointi. Huom. Suora on myös kahden tason leikkaus. Jos oletetaan, että a, b, c, niin (1.1) t = x x a = y y b = z z c bcx acy = bcx acy (taso 1) acy abz = acy abz (taso 2). Huom. Suoran parametrimuodon lisäksi suora voidaan siis esittää myös kahden tason leikkaussuorana, eli yhtälöparin a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 avulla, kun tasot eivät ole samansuuntaisia eli n 1 a 2 i + b 2 j + c 2 k = n 2. = a 1 i + b 1 j + c 1 k Esim. 1 Etsitään tasojen x y =3ja x + y + z =leikkaussuora. 3

31 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Ratkaistaan siis yhtälöparia x y =3 x + y + z =. Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan x =3+y ja sijoittamalla toiseen, saadaan z = x y = 3 y y = 3 2y. Jos siis y tunnetaan, saatiin sekä x että z koordinaatti ratkaistua x =3+y y = y, y R z = 3 2y. Tämä on jos itseasiassa hakemamme suoran parametrisointi parametrina y R, mutta usein selvyyden vuoksi parametria merkitään eri symbolilla kuin itse koordinaatteja. Valitaan siis parametriksi y = t R, jolloin x =3+t y = t, t R z = 3 2t. Kirjoitetaan vielä suoran vektoriparametrisointi, eli suoran pisteiden P paikkavektorit r muodossa r = r + tv. Yllä olevasta parametrisoinnista saadaan r = xi + yj + zk =(3+t)i + tj +( 3 2t)k =3i 3k + t(i + j 2k) =r + tv. Huom. Jos suora r = r + tv, t R, sijaitsee tasossa, jonka normaali on n, niin v n. Pisteen etäisyys suorasta Lasketaan lyhin etäisyys pisteestä P =(x,y,z ) suoralle, jonka vektoriparametrisointi on r = r + tv, t R. Olkoon r = OP ja r 1 = OP ja θ vektoreiden v ja r 1 r välinen kulma. Tällöin pisteen P etäisyys suorasta on r 1 r sin(θ) eli Pisteen P etäisyys suorasta = v (r 1 r ). v 31

32 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa (Muistetaan, että v (r 1 r ) = v r 1 r sin(θ).) Esim. 1 Lasketaan pisteen (x, y, z) etäisyys z -akselista. Voidaan helposti päätellä, että etäisyys on x 2 + y 2. Laskemalla kuten yllä saadaan suoran parametrisoinniksi r = tk, joten r =ja v = k ja siten i j k v r 1 = 1 = yi + xj. x y z Tästä saadaan etäisyys = v r 1 v = y 2 + x = x 2 + y 2. Suorien välinen etäisyys Lasketaan lyhin etäisyys kahden suoran välillä. Olkoon annettu kaksi suoraa l: r = r 1 + tv 1 ja s: r = r 2 + tv 2. Olkoon jana P 3 P 4 lyhin tapa yhdistää nämä suorat, kun P 3 kuuluu suoralle l ja P 4 suoralle s. Tällöin pätee mistä seuraa, että P 3 P 4 v 1 = ja P 3 P 4 v 2 =, P 3 P 4 = αv 1 v 2, jollakin parametrilla α R. Toisaalta P 1 P 2 = P 1 P 3 + P 3 P 4 + P 4 P 2 ja tiedetään, että P 1 P 3 v 1 ja P 3 P 4 v 1 v 2 ja P 4 P 2 v 2. Näin ollen P 3 P 4 on vektorin P 1 P 2 projektio vektorin v 1 v 2 suuntaan, eli josta saadaan P 3 P 4 = P 1P 2 (v 1 v 2 ) v 1 v 2 2 (v 1 v 2 ), etäisyys = P 3 P 4 = P 1P 2 (v 1 v 2 ) v 1 v 2 = (r 2 r 1 ) (v 1 v 2 ) v 1 v 2 Esim. 1 välinen etäisyys. Lasketaan suorien s 1 : r =2i j+t(j k) ja s 2 : i+k+t( 2j k) 32

33 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa Nyt siis r 1 =2i j, r 2 = i + k v 1 = j k, v 2 = 2j k, joten r 2 r 1 = i + j + k ja v 1 v 2 = Saadaan siis i j k = 3i. etäisyys = ( i + j + k) ( 3i) 3i = 3 3 =1. 33

34 Vektoreita ja geometriaa R 3 :ssa 34

35 Käyrät ja vektoriarvoiset funktiot 11.1 Käyrät Avaruuskäyrän määrittelee koordinaattifunktiot x = x(t), y = y(t), z = z(t), missä parametri t [a, b] tai t R. Käyrän paikkavektori on r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Sanotaan: funktio r(t) on vektoriarvoinen funktio. Jos z(t) =, niin käyrä on tasokäyrä. Esim. 1 Tarkastellaan tasokäyrää x = cos(t) y =sin(t), t R. Tiedetään, että sin 2 (t)+cos 2 (t) =, joten käyrän pisteiden koordinaateille pätee x 2 + y 2 =1. Kyseessä on siis (x, y) -tason yksikköympyrä. Kun t kasvaa, pyöritään yksikköympyrällä vastapäivään. 35

36 Käyrät ja vektoriarvoiset funktiot Esim. 2 Tarkastellaan käyrää x =2+t 2 y =3t, t R. Eliminoidaan parametri t: ratkaistaan t = y/3 ja sijoitetaan ensimmäiseen yhtälöön, jolloin x =2+t 2 =2+y 2 /9. Kyseessä on siis oikealle aukeava paraabeli. Olkoon r(t) =x(t)i + y(t)j + z(t)k käyrän paikkavektori. Tällöin r:n derivaatta on dr dt (t) =x (t)i + y (t)j + z (t)k. Sanotaan, että dr dt on käyrän nopeusvektori. Vauhti on dr dt. Esim. 1 Tarkastellaan nousevaa spiraalia x = cos(ωt) y =sin(ωt), t R. z = ct, missä ω> on kulmanopeus ja c> on nousunopeus. 36

37 Käyrät ja vektoriarvoiset funktiot Käyrän paikkavektori on r(t) = cos(ωt)i +sin(ωt)j + ctk ja nopeusvektori on v(t) = ω sin(ωt)i + ω cos(ωt)j + ck. Vauhti on v(t) = ω 2 sin 2 (ωt)+ω 2 cos 2 (ωt)+c 2 = ω 2 + c 2 (= vakio) ja kiihtyvyys on a(t) = dv dt (t) = ω2 cos(ωt)i ω 2 sin(ωt)j = ω 2 (x(t)i + y(t)j). Jos kappaleen massa on m ja se liikkuu edellä mainitulla spiraaliradalla sen paikkavektorin ollessa r(t), niin Newtonin II lain mukaan siihen kohdistuu voima F (t) =ma(t) = ω 2 m(x(t)i + y(t)j) (= keskeisvoima) Käyrän kaarenpituus Tarkastellaan tasokäyrää x = x(t) y = y(t), t [,τ], jolloin käyrän paikkavektori on siis r(t) = x(t)i + y(t)j. Jaetaan väli [,τ] N:ään yhtä pitkään väliin [t i,t i+1 ], kun i {,...,N 1}, missä t i+1 t i = t = τ N ja t =ja t N = τ. Olkoon s i käyrän pituus välillä t [t i,t i+1 ], ja x i = x(t i+1 ) x(t i ) ja y i = y(t i+1 ) y(t i ). Tällöin käyrän pituudelle saadaan arvio s i r(t i+1 ) r(t i ) = (x(t i+1 ) x(t i )) 2 +(y(t i+1 ) y(t i )) 2 ( xi ) 2 ( ) 2 yi = + t (x t t (t i )) 2 +(y (t i )) 2 t = dr dt (t i) t. 37

38 Käyrät ja vektoriarvoiset funktiot Näin ollen käyrän koko pituudelle s välillä t [,τ] saadaan arvio s N dr dt (t τ i) t dr dt (t) dt. i=1 Määritelmä (Kaarenpituus) Avaruuskäyrän r(t) kaarenpituus välillä t [a, b] on b a dr dt (t) dt. Huom. Jos r(t) on pisteen paikka (ajan)hetkellä t, niin dr dt on pisteen nopeusvektori ja dr dt (t) on pisteen vauhti, joka on skalaarisuure. Esim. 1 Lasketaan tasokäyrän x = e t cos(t), y = e t sin(t), t [,τ], t [,τ], kaarenpituus. Käyrän paikkavektori on r(t) =e t cos(t)i + e t sin(t)j ja nopeusvektori on siten dr dt (t) =( e t cos(t) e t sin(t))i +( e t sin(t)+e t cos(t))j Täten dr dt (t) 2 = e t (sin(t) + cos(t))i + e t (cos(t) sin(t))j. = e 2t (sin 2 (t)+2 sin(t) cos(t)+cos 2 (t))+e 2t (cos 2 (t) 2sin(t) cos(t)+sin 2 (t)) = 2e 2t. Näin ollen kaarenpituus on 38 s = τ 2e t dt = 2 τ e t = 2(1 e τ ).

39 Käyrät ja vektoriarvoiset funktiot Huomataan myös, että s 2, kun τ. Esim. 2 Lasketaan käyrän x = R cos(ωt), y = R sin(ωt), z = ct, kaarenpituus, kun t [, 2π ω ] ja R, ω, c >. Tällä välillä t [, 2π ω ] käyrä pyörähtää (x, y) -tasoon nähden yhden kierroksen ja nousee z -akselin suhteen matkan 2πc ω. Käyrän paikkavektori on r(t) =R cos(ωt)i + R sin(ωt)j + ctk ja nopeusvektori on dr (t) = Rω sin(ωt)i + Rω cos(ωt)+ck. dt Täten vauhti on dr dt (t) = R 2 ω 2 sin 2 (ωt)+r 2 ω 2 cos 2 (ωt)+c 2 = R 2 ω 2 + c 2 ja kaarenpituus välillä t [, 2π ω ] on Huom. s = 2π ω R 2 ω 2 + c 2 dt = 2π ω R 2 ω 2 + c 2. Olkoon u(t) =x(t)i + y(t)j + z(t)k ja v(t) =X(t)i + Y (t)j + Z(t)k vektoriarvoisia funktioita ja f : R R reaaliarvoinen funktio. Tällöin pätee 1.) 2.) 3.) 4.) d (u + v) =du dt dt + dv dt d dt (fu) =f u + f du dt d (u v) =du dt dt v + u du dt d (u v) =du dt dt v + u du dt. Yllä siis esimerkiksi funktio du dt v pisteessä t on ( du v)(t) =du dt dt (t) v(t) =(x (t)i + y (t)j + z (t)k) (X(t)i + Y (t)j + Z(t)k) = x (t)x(t)+y (t)y (t)+z (t)z(t). 39

40 Käyrät ja vektoriarvoiset funktiot 4

41 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille 12.1 Usean muuttujan funktiot Yhden muuttujan funktio on kuvaus f : I R, missä I R on kuvauksen määrittelyjoukko. Esim. 1 f(x) = 1 x. Tällöin määrittelyjoukko on I = R \{}. Usean muuttujan funktio on kuvaus f : R, missä R n (n 2) on kuvauksen määrittelyjoukko. Esim. 2 Jos f : R 3 R, niin funktion arvoja pisteessä (x, y, z) R 3 merkitään f(x, y, z) =f(r), missä r = xi + yj + zk on pisteen (x, y, z) paikkavektori. Esim. 3 V (r, h) =πr 2 h on r säteisen ja h korkuisen lieriön tilavuus. Määrittelyjoukko on tässä tapauksessa = {(r, h) R 2 r>, h>}. Esim. 4 V (a, b, c) =abc on kuution, jonka särmien pituudet ovat a, b ja c, tilavuus. Määrittelyjoukko siis = {(a, b, c) R 3 a>, b>, c>}. Esim. 5 f(x, y) = x 2 + y 2. Tässä tapauksessa kyseessa on kuvaus (x, y) -tasolta reaaliluvuille ja funktiota voidaan kuvata R 3 :n pinnalla z = 41

42 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille f(x, y). Tutkitaan funktion tasa-arvokäyriä, eli niitä (x, y) -tason joukkoja, missä f on vakio: f(x, y) =c x 2 + y 2 = c 2, eli funktio on vakio (saa arvon c) ympyrän kaarilla (c säteisellä). Lisäksi huomataan, että funktion kuvaajassa z = f(x, y) z -koordinaatti on sama kuin pisteen (x, y) etäisyys origosta, eli kuvaaja on kärjellään seisova kartio: 12.2 Raja-arvo ja jatkuvuus Raja-arvo Määritelmä Olkoon funktio f : R ja R 2. Funktiolla on tällöin raja-arvo L pisteessä (a, b) R 2 jos seuraava pätee. Jokaiselle ɛ>löytyy δ>siten, että < (x a) 2 +(y b) 2 <δ (x, y) f(x, y) L <ɛ. Tällöin merkitään lim f(x, y) =L. (x,y) (a,b) 42

43 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Laskusääntöjä: Jos raja-arvot lim (x,y) (a,b) f(x, y) =L ja lim (x,y) (a,b) g(x, y) =K ovat olemassa, niin pätee lim (x,y) (a,b) (f(x, y)+g(x, y)) = L + K lim (x,y) (a,b) f(x, y)g(x, y) =LK f(x,y) lim (x,y) (a,b) g(x,y) = L K, jos M Jos F : R R on jatkuva, niin lim (x,y) (a,b) F (f(x, y)) = F (L). Esim. 1 lim (x,y) (a,b) x2 y = lim (x,y) (a,b) x2 lim y = (x,y) (a,b) a2 b. Esim. 2 Olkoon f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2, kun (x, y) R 2 \{(, )}. Lähestyttäessä origoa x -akselia pitkin saadaan raja-arvo x 2 lim f(x, y) =limf(x, ) = lim (x,) (,) x x x 2 =1. Lähestyttäessä origoa y -akselia pitkin saadaan raja-arvo lim f(x, y) =lim f(,y)=lim y 2 (,y) (,) y y y 2 = 1. Raja-arvoa lim (x,y) (,) f(x, y) ei siis ole olemassa! Huom. Yleisestikin pätee: Jos f(x, y) lähestyy kahta eri arvoa, kun pistettä (a, b) lähestytään kahta eri käyrää pitkin, niin raja-arvoa lim (x,y) (a,b) f(x, y) ei ole olemassa. Huom. Vertaa yllä olevaa yhden muuttujan tapaukseen. Jos lim x a f(x) lim x a + f(x), niin raja-arvoa lim x a f(x) ei ole olemassa. 43

44 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Esim. 3 Olkoon f(x, y) = 2xy x 2, (x, y) R \{(, )}. + y2 Funktio ei ole määritelty origossa, mutta sillä voi olla raja-arvo origossa. Tutkitaan asiaa: Lähestytään origoa y -akselia pitkin, jolloin saadaan lim f(x, y) =lim f(,y)=lim 2 y (,y) (,) y y y 2 =. Kun origoa lähestytään suoraa y = x pitkin, saadaan raja-arvo 2x 2 lim f(x, y) =lim (x,x) (,) x x 2 + x 2 =1. Koska saatiin eri raja-arvot, ei raja-arvoa lim (x,y) (,) f(x, y) ole olemassa. Esim. 4 Olkoon f(x, y) = 2x2 y x 4, (x, y) R \{(, )}. + y2 Kun origoa lähestytään x- tai y -akselia pitkin, saadaan lim f(x, ) = lim f(,y)=. x y Jos origoa lähestytään suoraa y = kx pitkin, saadaan lim f(x, y) =limf(x, kx) =lim (x,kx) (,) x x 2kx 3 x 4 + k 2 x 2 =lim x 2kx x 2 + k 2 =. Mutta, jos origoa lähestytään pitkin paraabelia y = x 2, niin huomataan, että lim f(x, y) =lim f(x, 2x 4 (x,x 2 ) (,) x x2 )=lim x x 4 + x 4 =1. Koska saatiin eri tulos kuin edellisistä raja-arvoista ei raja-arvoa lim (x,y) (,) f(x, y) ole olemassa. 44

45 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Esim. 5 Osoitetaan, että funktion f(x, y) = raja-arvo origossa on nolla. x2 y x 2, (x, y) R \{(, )} + y2 Pitää siis osoittaa, että kaikille ɛ> löytyy δ> siten, että f(x, y) <ɛ, kun x 2 + y 2 <δ. Yritetään estimoida lauseketta f(x, y) : f(x, y) = x 2 y x 2 + y 2 = x2 y x 2 + y 2 x2 y x 2 = y = y 2 x 2 + y 2. Valitaan nyt mitä tahansa lukua ɛ> vastaten δ = ɛ. Tällöin kaikilla pisteillä (x, y), joille x 2 + y 2 <δ, pätee f(x, y) x 2 + y 2 <δ= ɛ. Siispä määritelmän mukaan funktion f raja-arvo origossa on. Jatkuvuus Määritelmä Funktio f : R 2 R 2 on jatkuva pisteessä (a, b) R 2, jos lim f(x, y) =f(a, b). (x,y) (a,b) Esim. 1 Funktio x 2 y, kun (x, y) (, ), x f(x, y) = 2 +y 2 1, kun (x, y) =(, ) ei ole jatkuva origossa, sillä lim f(x, y) = f(, ) = 1. (x,y) (,) Huom. Jos funktiolla on olemassa raja-arvo lim (x,y) (a,b) f(x, y) =L, se voidaan laajentaa jatkuvaksi pisteessä (a, b), vaikka se ei olisi alunperin siinä edes määritelty esimerkiksi nimittäjän -kohdan vuoksi. Tämä tehdään yksinkertaisesti asettamalla f(a, b) =L ja näin määritelty uusi funktio on funktion jatkuva laajennus pisteeseen (a, b). Esim. 1 Funktio x 2 y, kun (x, y) (, ), x f(x, y) = 2 +y 2, kun (x, y) =(, ) 45

46 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille on jatkuva koko R 2 :ssa, sillä ja kun (a, b) (, ) pätee myös lim f(x, y) ==f(, ) (x,y) (,) lim f(x, y) = a2 (x,y) (a,b) b a 2 = f(a, b). + b Osittaisderivaatat Osittaisderivoinnissa tarkastellaan funktion arvon muutosta koordinaattiakselien suuntaan liikuttaessa. Funktio F : R m R riippuu m:stä kappaleesta muuttujia x 1,x 2,...,x m ja sillä on siten m kappaletta osittaisderivaattoja. Näitä merkitään f x 1 = f x1 = f 1 = 1 f, f f = f x2 = f 2 = 2 f,..., = f xm = f m = m f x 2 x m Osittaisderivaatat ovat määritelty aivan kuten normaalitkin derivaatat, mutta laskemalla erotusosamäärän raja-arvo vain yhden muuttujan suhteen. Esimerkiksi kahden muuttujan tapauksessa, eli kun f : R 2 R, f = f(x, y), saadaan f x (x f(x + h, y ) f(x,y ) f(x + h, y ) f(x,y ),y )=lim =lim h x + h x h h ja f y (x f(x,y + h) f(x,y ) f(x,y + h) f(x,y ),y )=lim =lim, h y + h y h h mikäli raja-arvot ovat olemassa. f x (x,y ) kertoo pinnalle z = f(x, y) pisteeseen (x,y,f(x,y )) piirretyn x -akselin suuntaisen tangentin kulmakertoimen. 46

47 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Huom. Osittaisderivaatta lasketaan kuten yhden muuttujan funktion derivaatta, kunhan muita muuttujia käsitellään kuten vakioita. Esim. 1 ovat Funktion f : R 2 R, f(x, y) =x 2 sin(y) osittaisderivaatat f f (x, y) =2x sin(y), ja x y (x, y) =x2 cos(y). Esim. 2 Funktio g(x, y) =f ( x y ) toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön x g x + y g y =, sillä ja g x = x f g y = y f ( ) ( ) x x = f y y x ( ) ( ) x x = f y y y ( ) ( ) x x 1 = f y y y ( ) ( ) x x x = f y y y 2. Esim. 2 Jos f(x, y, z) = 2xy 1+xz+yz, niin f z = 2xy z 1+xz + yz =2xy z (1+xz+yz) 1 = 2xy(1+xz+yz) 2 z (1+xz+yz) = 2xy(1 + xz + yz) 2 2xy(x + y) (x + y) = (1 + xz + yz) 2. Tangenttitasot ja normaalivektorit Tarkastellaan funktion f : R 2 R kuvaajaa R 3 :ssa, eli pintaa z = f(x, y). Jos pinta z = f(x, y) on sileä pisteessä (a, b, f(a, b)), niin sillä on olemassa ko. pisteessä tangenttitaso ja sillä vastaavasti normaalivektori. Olkoon pinnan tangenttivektori x -akselin suuntaan t 1 ja y -akselin suuntaan t 2. Tällöin t 1 ja t 2 ovat luonnollisesti tangenttitason suuntaisia vektoreita ja tangenttipinnan normaalivektori on kohtisuorassa näitä kumpaakin vastaan. 47

48 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Vastaavien tangenttisuorien kulmakertoimet saadaan funktion f osittaisderivaatoista, ja siten tangenttivektoreiksi voidaan valita t 1 = i + f x (a, b)k, ja t 2 = j + f (a, b)k. y Tangenttitason normaalivektori saadaan siten näiden ristitulona, eli i j k n = t 1 t 2 = f 1 x (a, b) f 1 y (a, b) = f x f (a, b)i (a, b)j + k. y Jos piste P = (x, y, z) on tangenttitason piste, r = xi + yj + zk sen paikkavektori, ja r =(a, b, f(a, b)), niin tason yhtälö on (r r ) n = eli (x a) f (a, b) (y b) f (a, b)+z f(a, b) =, x y josta saadaan z =(x a) f (a, b)+(y b) f (a, b)+f(a, b) x y Pisteen (a, b, f(x, b)) kautta kulkevaa normaalin n suuntaista suoraa kutsutaan normaalisuoraksi. Sen esitys parametrimuodossa on x = a f x (a, b)t, y = b f y (a, b)t, t R, z = f(a, b)+t Esim. 1 Tarkastellaan paraboloidipintaa z =9 x 2 y 2. 48

49 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Nyt siis f(x, y) =9 x 2 y 2 ja siten f f (x, y) = 2x ja x y = 2y. Siten pisteessä (,,f(, )) = (,, 9) tangenttitason yhtälö on z = 2 (x ) 2 (y ) + f(, ) = 9, kyseessä on (x, y) -tason suuntainen taso z =9. Pisteessä (1, 1,f(1, 1)) = (1, 1, 7) tangenttitason yhtälö on z = 2 1 (x 1) 2 1 (y 1) + 7 = 2x 2y Normaalivektorin lauseke on n =2xi +2yj + k, eli pisteessä (1, 1, 7) se on n =2i +2j + k Korkeamman kertaluvun derivaatat Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatalla tarkoitetaan osittaisderivaattaa, jossa funktiota on derivoitu useamman kuin yhden kerran. Kertaluku = derivointikertojen lukumäärä. Funktion f(x, y) toisen kertaluvun derivaatat ovat 2 f x 2 = ( ) x x f = f xx = f 11 2 f y 2 = ( ) y y f = f yy = f 22 2 f x y = ( ) x y f = f yx = f 21 2 f y x = ( ) y x f = f xy = f 12. Huomaa, kuinka derivointijärjestys merkitään kahdella viimeisellä rivillä. 49

50 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Vastaavasti merkitään vielä korkeamman kertaluvun derivaattoja. Esim. funktion g = g(x, yz) eräs 5. kertaluvun derivaatta on 5 g z y x 2 z = ( ( 2 z y x 2 ( ))) g z Esim. 1 osittaisderivaatat. Lasketaan funktion f(x, y) =x 3 y 4 kaikki toisen kertaluvun Ensin ensimmäisen kertaluvun derivaatat: f x =3x2 y 4 ja f y =4x3 y 3. Sitten toisen kertaluvun derivaatat derivoimalla näitä lisää: 2 f x 2 = x (3x2 y 4 )=6xy 4 ja 2 f y 2 = y (4x3 y 3 ) = 12x 3 y 2 2 f x y = x (4x3 y 3 ) = 12x 2 y 3 ja 2 f y x = y (3x2 y 4 ) = 12x 2 y 3. Huom. Jos f, f x, f y, 2 f x y, 2 f y x ovat kaikki jatkuvia, niin 2 f x y = 2 f y x, eli derivointijärjestyksellä ei ole väliä. Huom. Jatkossa oletetaan, että kaikki funktiot ovat niin hyvin käyttäytyviä, että osittaisderivaatat voidaan laskea missä järjestyksessä tahansa. (Ellei vartavasten toisin mainita.) Ketjusääntö Olkoon x(t) ja y(t) yhden muuttujan funktioita, ja olkoon f : R 2 R kahden muuttujan funktio. Tällöin g(t) =f(x(t),y(t)) on yhden muuttujan funktio, joka kuvaa t f(x(t),y(t)) R. erivaatalle pätee tällöin d dt g(t) = d f dx f(x(t),y(t)) = (x(t),y(t)) dt x dt (t)+ f y (x(t),y(t)) dy dt (t). Esim. 1 ja f y Olkoon x(t) =2t ja y(t) =t 2 ja f(x, y) =4 xy. Tällöin f x = y = x ja siten d dt f(x(t),y(t)) = y(t) 2+( x(t)) 2t = 2t2 4t 2 = 6t 2. Tämä voidaan tarkistaa sijoittamalla f(x(t),y(t)) = 4 x(t)y(t) =4 2t 3 ja siten d dt f(x(t),y(t)) = d dt (4 2t3 )= 6t 2. 5

51 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Esim. 2 Olkoon f(x, y) = Lämpötila pisteessä (x, y). Lämpötilaa mittaa havaitsija, jonka sijainti hetkellä t on (x(t),y(t)). Tällöin f(x(t),y(t)) on havaittu lämpötila hetkellä t ja d dtf(x(t),y(t)) on havaitun lämpötilan muutosnopeus hetkellä t Gradientti ja suunnattu derivaatta Osittaisderivaatta kertoo siis funktion muutosnopeuden valitun koordinaattiakselin suuntaan. Mutta miten funktion arvot muuttuvat muihin kuin koordinaattiakselien suuntiin liikuttaessa? Olkoon f funktio f : R 2 R. Pisteessä (x, y) R 2 funktion gradientti on vektori f(x, y) = f f (x, y)i + (x, y)j. x y Esim. 1 Olkoon f(x, y) =3ye x. Tällöin f(x, y) = f f (x, y)i + x y (x, y)j =3yex i +3e x j. Huom. Jos f(a, b), niin f(a, b) on kohtisuorassa funktion f sitä tasa-arvokäyrää vastaan, joka kulkee pisteen (a, b) kautta. Perustelu: Olkoon x = x(t), y = y(t) pisteen (a, b) kautta kulkevan tasa-arvokäyrä siten, että x() = a ja y() = b, eli kun t =ollaan pistessä (a, b). Tasa-arvokäyrällä siis funktion arvo pysyy vakiona, eli pätee f(x(t),y(t)) = vakio = c R. Tällöin josta saadaan = d dt d dt f(x(t),y(t)) = d dt c =, f dx f(x(t),y(t)) = (x(t),y(t)) x dt (t)+ f y (x(t),y(t)) dy dt (t). 51

52 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Pisteessä (a, b), eli kun t =, pätee siten = f (a, b) dx x missä dr dt t =. () = dx dt dt ()+ f y ( f (a, b) dy dt () = x ) ( ) f dx dy (a, b)i + (a, b)j ()i + y dt dt ()j = f(a, b) dr dt (), dy ()i + dt ()j on tasa-arvokäyrän nopeusvektori pisteessä Saatiin siis, että f(a, b) on kohtisuorassa tasa-arvokäyrän nopeusvektoria (eli käyrän tangentin suuntaista vektoria) vastaan pisteessä (a, b). Tämä tarkoittaa, että f(a, b) on kohtisuorassa tasa-arvokäyrää vastaan pisteessä (a, b). Esim. 1 Etsitään käyrän x 2 3xy +2y 2 =4normaalivektori pisteessä (, 2). (Huom. piste on käyrällä sillä ( 2) 2 =4.) Määritellään f(x, y) =x 2 3xy +2y 2, (x, y) R 2, jolloin tarkasteltava on funktion f se tasa-arvokäyrä jossa f(x, y) =4. Nyt f(x, y) =(2x 3y)i +(4y 3x)j ja siten f(, 2) = 3 2i +4 2j. Gradientti f(, 2) on pisteessä (, 2) kohtisuorassa tasa-arvokäyrää vastaan, eli käyrän x 2 3xy +2y 2 =4normaalin n suuntainen. Voidaan siten valita esimerkiksi Suunnattu derivaatta n = 1 2 f(, 2) = 3i +4j. Suunnattu derivaatta kertoo funktion muutosnopeuden tiettyyn suuntaan siirryttäessä. Olkoon f funktio f : R 2 R ja u = u 1 i + u 2 j R 2 yksikkövektori, eli u u2 2 =1. Funktion f suunnattu derivaatta pisteessä (a, b) suuntaan u on ( u f)(a, b) = d dt f(a + tu 1,b+ tu 2 ) t= Huom. Jos r = ai + bj on pisteen (a, b) paikkavektori, niin f(a + tu 1,b+ tu 2 )=f(r + tu). Sillä r + tu on vektoriparametrisointi suoralle, jonka alkupiste on (a, b) ja suunta u, mittaa ( u f)(a, b) siis f:n muutosnopeutta pisteestä (a, b) suuntaan u siirryttäessä. 52

53 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Ketjusäännöllä saadaan ( u f)(a, b) = d dt f(a + tu 1,b+ tu 2 ) ( t= f = x (a + tu 1,b+ tu 2 ) d dt (x + tu 1)+ f y (a + tu 1,b+ tu 2 ) d ) dt (y + tu 2) = f x (a, b)u 1 + f y (a, b)u 2 = f(a, b) u. Saatiin siis, että funktion suunnattu derivaatta suuntaan u on kun u R 2 on yksikkövektori. Esim. 1 ja ( u f)(a, b) = f(a, b) u, Suunnatut derivaatat koordinaattiakselien suuntaan ovat eli normaalit osittaisderivaatat. ( i f)(a, b) = f(a, b) i = f (a, b) x ( j f)(a, b) = f(a, b) j = f (a, b) y t= Huom. Jos f(a, b), niin ( u f)(a, b) = f(a, b) u = f(a, b) u cos(θ), missä θ on vektoreiden f(a, b) ja u välinen kulma. Siten pätee: u f on suurin, kun cos(θ) =1, eli kun f(a, b) ja u ovat samansuuntaiset. Jos f, niin f kasvaa voimakkaimmin suuntaan f. u f on pienin, kun cos(θ) = 1, eli kun f(a, b) ja u ovat vastakkaissuuntaiset. Jos f, niin f vähenee voimakkaimmin suuntaan f. Esim. 1 f(x, y) =(x 2 + y 2 )/2. Funktion kuvaaja on tällöin paraboloidi: 53

54 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille f(x, y) = f f (x, y)i + (x, y)j = xi + yj = r, x y missä r = xi + yj on pisteen (x, y) paikkavektori. Pisteessä (x, y) R 2 funktio f siis kasvaa voimakkaimmin suuntaan f = r ja vähenee voimakkaimmin suuntaan f = r. Jos f(x, y) =, niin (x, y) =(, ). Tällöin f ei anna tietoa funktion kasvusta. Kuvasta kuitenkin nähdään, että funktio kasvaa yhtä nopeasti kaikkiin suuntiin. Esim. 2 f(x, y) =x 2 y 2. Millainen on funktion kuvaaja z = f(x, y)? 1.) Kun x =, saadaan z = f(,y)= y 2. Eli (y, z) -tasossa kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli ja käyrä (,y, y 2 ) kuuluu pinnalle. 2.) Kun y =, saadaan z = f(x, ) = x 2. Eli (x, z) -tasossa kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ja käyrä (x,,x 2 ) kuuluu pinnalle. 3.) Kun x =1, saadaan z = f(1,y)=1 y 2. Eli tasossa x =1kuvaaja on jälleen alaspäin aukeava paraabeli ja käyrä (1,y,1 y 2 ) kuuluu pinnalle. 4.) Kun x = 1, saadaan z = f( 1,y)=1 x 2. Eli tasossa x = 1 kuvaaja on jälleen alaspäin aukeava paraabeli ja käyrä ( 1,y,1 y 2 ) kuuluu pinnalle. Kyseessä on siis satulapinta! 54

55 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Funktiolla pätee f(x, y) =2xi +2xj, joten origossa gradientti on nolla ja ei anna tietoa funktion kasvusta. Kuvasta nähdään, että origosta funktio kasvaa voimakkaimmin suuntiin i ja i ja vähenee voimakkaimmin suuntiin j ja j. Pisteessä (1, 1) taas f(1, 1) = 2i 2j, ja siten f kasvaa voimakkaimmin suuntaan 2i 2j ja vähenee voimakkaimmin suuntaan 2i +2j. Kolmen muuttujan funktion gradientti Olkoon f funktio f : R 3 R. Pisteessä (a, b, c) R 3 funktion gradientti on vektori f(a, b, c) = f x (a, b, c)i + f y f (a, b, c)j + (a, b, c)k. z Myös tässä tapauksessa pätee: jos f, niin f osoittaa voimakkaimman kasvun suuntaan ja vastaavasti f osoittaa voimakkaimman vähenemisen suuntaan. Huom. Samoin kuin kahden muuttujan funktiolle, pätee myös kolmen muuttujan funktiolle: Jos piste (a, b, c) toteuttaa f(a, b, c) = (eli kuuluu funktion f tasa-arvopinnalle f = ) ja f(a, b, c), niin tällöin f(a, b, c) on kohtisuorassa tasa-arvopintaa f(x, y, z) =kohtaan. Esim. 1 Etsitään pinnan z 2x 2 +4xy = 3 tangenttitaso pisteessä (1, 1, 1). (Huom. piste kuuluu pinnalle, sillä =3) Tapa 1. Pinta on funktion f(x, y) =z 2x 2 +4xy 3 tasa-arvopinta f(x, y, z) =. 55

56 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Nyt f(x, y, z) =( 4x +4y)i +4xj + k, joten f(1, 1, 1) = 4j + k. Siten tasa-arvopinnan normaali pisteessä (1, 1, 1) on f(1, 1, 1) = 4j + k. Jos r = i + j + k on tasa-arvopinnan pisteen (1, 1, 1) paikkavektori ja r = xi + yj + zk, niin pinnan tangenttitason yhtälö on (r r ) n = ((x 1)i +(y 1)j +(z 1)k)) (4j + k) =, josta saadaan yhtälö 4y + z =5. Tapa 2. Sillä tarkastelemme pintaa, joka on funktion F (x, y) =2x 2 4xy +3 kuvaaja z = F (x, y) =2x 2 4xy +3, voidaan tangenttitason yhtälö laskea myös suoraan tangenttitason kaavasta z =(x a) F (a, b)+(y b) F (a, b)+f (a, b) =(x 1) +(y 1) ( 4)+1 = 4y+5. x y 56

57 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille 12.8 Implisiittifunktiot Kun (x, y) -tason käyrä on annettu kahden muuttujan funktion tasa-arvokäyränä, eli muodossa F (x, y) =, se on implisiittisesti määritelty käyrä. Esim. 1 Funktion F (x, y) = x 2 + y 2 1 tasa-arvokäyrä F (x, y) = määrittelee implisiittisesti yksikköympyrän. (Vrt. yksikköympyrä voidaan myös määritellä eksplisiittisesti kahden kuvaajan y = 1 x 2 ja y = 1 x 2 avulla.) Kysymys: Milloin käyrä F (x, y) = voidaan esittää muodossa y = y(x) tai x = x(y)? Esim. 2 ratkaista Tarkastellaan käyrää y + x 2 y 2x +3 =. Tästä voidaan y = y(x) = 2x 3 1+x 2, x R. Käyrä siis koostuu pisteistä (x, y(x)), x R. Esim. 3 Tässä käyrän pisteiden y -koordinaatti voidaan ratkaista yksikäsitteisesti, kun x -koordinaatti tunnetaan. Esim. 4 57

58 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Tässä piste (a, b) on ongelmallinen. Sen lähellä käyrän pisteiden y - koordinaatti ei määräydy yksikäsitteisesti x -koordinaatista. Huom. Jos y ratkaistaan x:n funktiona, niin ongelmia saattaa esiintyä pisteissä, joissa käyrän tangenttisuora on y -akselin suuntainen. Tiedämme, että tasa-arvokäyrän F (x, y) =normaali pisteessä (a, b) on n = F (a, b) = F x i + F y j (jos F (a, b) ), joten ongelmallisia ovat ne pisteet, joissa n i, eli F (a, b) =. y Lause 12 (Implisiittifunktiolause) Olkoon f : R 2 R jatkuvasti derivoituva funktio siten, että 1.) f(a, b) =, 2.) f y (a, b). Tällöin pisteen (a, b) lähellä yhtälön f(x, y) =ratkaisu voidaan esittää muodossa y = y(x). Huom. Ehto 2.) takaa, että tasa-arvokäyrän f(x, y) =tangentti ei ole y -akselin suuntainen pisteessä (a, b). Huom. Vastaavasti: Jos f x (a, b), niin ratkaisu voidaan esittää muodossa x = x(y). Tällöin tangenttisuora ei vastaavasti ole x -akselin suuntainen. Esim. 1 (Yksikköympyrä) Piste (x, y) kuuluu yksikköympyrälle jos x 2 + y 2 =1. Kyseessä on siis funktion f(x, y) =x 2 + y 2 1 tasa-arvokäyrä f(x, y) =. Siispä f (x, y) 2y, y joten käyrä voidaan esittää muodossa y = y(x) kaikkien niiden yksikköympyrän pisteiden ympäristössä, joissa y (eli muiden kun pisteiden (±1, ) ympäristöissä). Esitykseksi saadaan y = 1 x 2, joka on ylempi puoliympyrä, ja y = 1 x 2, joka on alempi puoliympyrä. Vastaavasti f (x, y) 2x, x joten käyrä voidaan esittää muodossa x = x(y) kaikkien niiden yksikköympyrän pisteiden ympäristössä, joissa x (eli muiden kun pistei- 58

59 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille den (, ±1) ympäristöissä). Esitykseksi saadaan x = 1 y 2, joka on oikea puoliympyrä, ja x = 1 y 2, joka on vasen puoliympyrä. Esim. 2 Tarkastellaan tasa-arvokäyrää f(x, y) =y + x 2 y 2x +3=. Aikaisemmin saatiin jo Milloin saadaan esitys x = x(y)? y = y(x) = 2x 3, kaikilla x R. 1+x2 Esitys on olemassa pisteen (x, y) lähellä mikäli f(x, y) =, y + x 2 y 2x +3=, f x (x, y), 2xy 2. Etsitään ensin pahat pisteet, joissa f x (x, y) =: y + x 2 y 2x +3= 1 x + x2 1 x xy =1 x ja y = 1 x Saatiin siis yhtälö 2x +3= 1+x 2 2x 2 +3x = x 2 3x 1= x = 3 ± Siten esitys x = x(y) on olemassa kaikkialla muualla, paitsi niiden pisteiden ympäristössä, joissa x = 3± Implisiittifunktiolause avaruudessa R 3 Implisiittifunktiolause yleistyy sellaisenaan myös avaruuteen R 3 (ja myös vielä korkeampiulotteisiin avaruuksiin). Lause 13 (Implisiittifunktiolause) Olkoon f funktio f : R 3 R, joka on jatkuvasti derivoituva, ja jolla 1.) f(a, b, c) = 2.) f z (a, b, c). Tällöin pisteen (a, b, c) lähellä yhtälön f(x, y, z) =ratkaisu voidaan esittää muodossa z = z(x, y). Esim. 1 Yksikköpallo on funktion f(x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2 1 tasaarvopinta f(x, y, z) =. Olkoon (a, b, c) piste pallolla, jolloin pisteen lähellä pallopinta voidaan esittää muodossa (x, y, z(x, y)) jos f (a, b, c) 2c. z 59

60 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Esitys siis löytyy kunhan piste (a, b, c) ei ole (x, y) -tasossa. Implisiittinen derivointi (Adams: 2.9) Oletetaan, että tasa-arvokäyrä f(x, y) = voidaan esittää muodossa y = y(x). Kun yhtälöä f(x, y(x)) = derivoidaan, saadaan ketsusäännöllä d f f(x, y(x)) = (x, y(x)) 1+ f dx x y (x, y(x))y (x) =. Olkoon y = y(x ) ja f y (x,y ). Tällöin f y x (x )= (x,y ) f y (x,y ). Huom. Jos esitys y = y(x) on olemassa, voidaan y (x) laskea suoraan funktiosta f ilman että tunnetaan y:n lauseketta. Esim. 1 f(x, y) =x 2 + y 2 1. Olkoon f(x,y )=ja oletetaan, että pisteen (x,y ) ympäristössä voidaan ratkaista y = y(x). Tällöin x 2 +(y(x)) 2 1= joten pisteessä (x,y ) saadaan d dx 2x +2y(x)y (x) =, 2x +2y y (x )= y (x )= x y. Yksikköympyrän tangenttisuora pisteessä (x,y ) on siten y y = y (x )(x x )= x y (x x ). Tässä tapauksessa voitaisiin toki myös ratkaista y(x) =± 1 x 2 josta saadaan y (x) =± 1 2 (1 x2 ) 1/2 2x = x ± 1 x 2 = x y(x), kun y(x). Sijoittamalla x = x päädytään samaan tulokseen kuin yllä. 6

61 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Implisiittiset yhtälöryhmät Tarkastellaan yhtälöryhmää F (x, y, u, v) =, G(x, y, u, v) =, missä F, G : R 4 R ovat jatkuvasti derivoituvia funktioita. Kysymys: Jos piste (x,y,u,v ) toteuttaa yhtälöryhmän, milloin yhtälöryhmän ratkaisu voidaan esittää muodossa (x, y, u(x, y),v(x, y)) pisteen (x,y,u,v )=(x,y,u(x,y ),v(x,y )) lähellä? Vastaus: Silloin kun kaikki derivaatat u x (x,y ), u y (x,y ), v x (x,y ) ja v y (x,y ) ovat äärellisiä. Yritetään siis ratkaista yhtälöryhmästä nämä derivaatat ja katsotaan mikä ehto saadaan. Huom. Yhtälöryhmän ratkaisu on R 4 :n osajoukko. Voitaisiin myös etsiä esityksiä (x(u, v),y(u, v),u,v) tai (x(y, u),y,u,v(y, u)) jne... Yhtälöryhmää voidaan myös ajatella vektoriarvoisen funktion W(x, y, u, w) = F (x, y, u, v)i+g(u, v, u, v)j (nyt siis W : R 4 R 2 ) yhtälöksi W (x, y, u, v) =. Oletetaan, että pisteen P =(x,y,u,v ) lähellä yhtälöryhmän ratkaisu voidaaan esittää muodossa (x, y, u(x, y),v(x, y)). Tällöin F (x, y, u(x, y),v(x, y)) =, G(x, y, u(x, y),v(x, y)) =. Halutaan ratkaista tästä ensin u x ketjusäännöllä: F x G x (x, y, u(x, y),v(x, y)) 1+ F y (x, y, u(x, y),v(x, y)) 1+ G y v ja x, joten derivoidaan x:n suhteen (...) + F u (...) + G u (...) u x (...) u x (x, y)+ F v (x, y)+ G v v (...) x (x, y) =, v (...) x (x, y) =, Pisteessä (x, y, u(x, y),v(x, y)) = P =(x,y,u,v ) merkitään F x (x, y, u(x, y),v(x, y)) = F x (P ) jne, jolloin yllä oleva yhtälöryhmä on sama kuin F x (P )+F u (P ) u x (x,y )+F v (P ) v x (x,y )=, G x (P )+G u (P ) u x (x,y )+G v (P ) v x (x,y )=. 61

62 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Tämä voidaan kirjoittaa matriisimuodossa F u(p ) F v (P ) u x (x,y ) v G u (P ) G v (P ) x (x = F x(p ).,y ) G x (P ) Yhtälöllä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jos ja vain jos det F u(p ) F v (P ) (12.2) G u (P ) G v (P ) ja tällöin u x (x,y ) v x (x = F 1 u(p ) F v (P ) F x(p ),y ) G u (P ) G v (P ) G x (P ) 1 = G v(p ) F v (P ) F x(p ). (12.3) det F u(p ) F v (P ) G u (P ) F u (P ) G x (P ) G u (P ) G v (P ) Samoin saadaan derivoimalla alunperin y:n suhteen: u y (x,y ) v y (x = F 1 u(p ) F v (P ) F y(p ),,y ) G u (P ) G v (P ) G y (P ) jos (12.2) pätee. erivaatat u x (x,y ), u y (x,y ), v x (x,y ) ja v y (x,y ) saatiin siis ratkaistua jos (12.2) pätee. Määritelmä Funktioiden F ja G Jacobin determinantti muuttujien u ja v suhteen on Huom. (F, G) (u, v) = det F u G u F v G v Yhtälöryhmästä (12.3) saadaan ratkaistua u x (x,y )= G v(p )F x (P ) F v (P )G x (P ) (F,G) (u,v) ja vastaavasti myös muut derivaatat. = (F,G) (v,x) (F,G) (u,v) Lause 14 (Implisiittifunktiolause yhtälöryhmille) Olkoon P =(x,y,u,v ) ratkaisu yhtälöryhmälle F (x, y, u, v) =, G(x, y, u, v) =, Jos (F,G) (u,v) (P ), niin silloin yhtälöryhmän ratkaisu pisteen P ympäristössä esittää muodossa (x, y, u(x, y),v(x, y)). 62

63 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Esim. 1 Tarkasteellaan yhtälöryhmää x = u 2 + v 2, y = uv. Voidaanko ratkaisu esittää pisteen (5, 2, 1, 2) lähellä muodossa (x, y,u(x, y), v(x, y))? (Selvästi ratkaisu voidaan esittää muodossa (x(u, v),y(u, v),u,v)=(u 2 + v 2,uv,u,v).) Määritellään funktiot F (x, y, u, v) =u 2 + v 2 x ja G(x, y, u, v) =uv y. Tarkistetaan, että tarkasteltava piste on yhtälöryhmän ratkaisu: F (5, 2, 1, 2) = =ja G(5, 2, 1, 2) = 1 2 2=. Lasketaan Jacobin determinantti: (F, G) (u, v) = det F F u v = det 2u v G u Pisteessä P =(5, 2, 1, 2) siten G v (F, G) (u, v) (P )= = 6, 2v =2u 2 2v 2. u joten implisiittifunktiolauseen mukaan yhtälöryhmän ratkaisu voidaan esittää muodossa (x, y, u(x, y),v(x, y)) pisteen P lähellä. Lasketaan vielä derivaatat u v x ja x pisteessä P. erivoidaan yhtälöä puolittain x:n suhteen, jolloin x =(u(x, y)) 2 +(v(x, y)) 2 y = u(x, y)v(x, y) 1=2u(x, y)+ u v x (x, y)+2v(x, y) x (x, y) = u x v (x, y)v(x, y)+u(x, y) x (x, y). Tästä saadaan matriisiyhtälö 2u v 2v u u x v x = 1 ja sijoittamalla piste (x, y, u, v) =(5, 2, 1, 2) saadaan 2 4 u x (5, 2) = (5, 2) v x ja siten u x v x (5, 2) = = (5, 2)

64 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille 12.9 Taylorin kehitelmä funktiolle f : R 2 R. Yhden muuttujan Taylorin kehitelmä Funktion f : R R Taylorin kehitelmä pisteessä a R on sarja f(a + h) =f(a)+f (a)h + 1 2! f (a)h ! f (3) (a)h = k= f (k) (a) h k, k! missä a R on kehityskeskus ja h R poikkeama kehityskeskuksesta. (Yleensä h on pieni) Funktion 1. asteen kehitelmä on funktion approksimaatio f(a + h) f(a)+f (a)h. 1. asteen kehitelmä siis approksimoi funktion arvoja kun h on pieni korvaamalla funktion kuvaaja sen tangentilla. Funktion 2. asteen kehitelmä on approksimaatio f(a + h) f(a)+f (a)h + f (a) h 2, 2 missä funktion kuvaaja korvataan paraabelilla. Tämä approksimaatio on pienillä h:n arvoilla tarkempi kuin 1. asteen approksimaatio. Yleisesti n. asteen kehitelmä on approksimaatio f(a + h) = n k= f (k) (a) h k, k! jossa funktiota approksimoidaan n. asteen polynomilla. 64

65 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Esim. 1 Olkoon f : R R funktio, jolle f (a) =. Tällöin funktion 2. asteen Taylorin kehitelmä on f(a + h) f(a)+ 1 2 f (a)h 2. Tällöin kehitelmän antama polynomi on paraabeli, jonka huippu on pisteessä (a, f(a)). Riippuen f (a):n merkistä paraabeli aukeaa joko ylös- tai alaspäin. (Jos f (a) >, niin a on lokaali minimi ja paraabeli aukeaa ylöspäin, jos f (a) <, niin a on lokaali maksimi ja paraabeli aukeaa alaspäin.) Kahden muuttujan Taylorin kehitelmä Olkoon nyt f : R 2 R ja (a, b) R 2. Tavoitteena on nyt approksimoida funktion arvoja f(a+h, b+k) käyttämällä funktion f osittaisderivaattoja, kun h ja k ovat pieniä. Piste (a, b) R 2 on nyt siis kehityskeskus ja (h, k) R 2 poikkeama. Määritellään uusi funktio G : R R, G(t) =f(a + th, b + tk), t R. Tarkastelemme siis funktion f arvoja suoralla, jonka alkupiste on (a, b) (kun t =) ja päätepiste (a + h, b + k) (kun t =1). Taylorin kehitelmä funktiolle G on joten G(t) =G() + G ()t + G () 2 G(1) = f(a + h, b + k) =G() + G () + G () 2 Saimme siis: t 2 + G(3) () t , 3! + G(3) () 3! +... Funktion f. asteen Taylorin kehitelmä on F (a + h, b + k) G() = f(a, b), 65

66 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille kun h ja k ovat pieniä. Tämä vastaa funktion approksimoimista vakiolla. Koska G (t) = d dt f f(a + th, b + tk) = f (a + th, b + tk)h + (a + th, b + tk)k x y saadaan funktion f 1. asteen Taylorin kehitelmä f(a + h, b + k) G() + G () = f(a, b)+ f f (a, b)h + (a, b)k, x y kun h ja k ovat pieniä. Tämä vastaa funktio approksimoimista tangenttitasolla. Koska G (t) = 2 f x 2 (a+th, b+tk)h2 + 2 f x y (a+th, b+tk)hk+ 2 f y x (a+th, f b+tk)hk+ 2 y 2 (a+th, b+tk)k2, saadaan funktion f 2. asteen Taylorin kehitelmä f(a + h, b + k) G() + G () kun h ja k ovat pieniä. = f(a, b)+ f x f (a, b)h + (a, b)k y ( 2 f x 2 (a, b)h f ) x y (a, b)hk + 2 f (a, b)k2, y2 Laskemalla yksi derivaatta lisää, saataisiin G () = f xxx (a, b)h 3 +3f xxy (a, b)h 2 k +3f xyy (a, b)hk 2 + f yyy (a, b)k 3, ja edelleen G (n) () = f x...x (a, b)h n +nf x...xy (a, b)h n 1 k+...+nf xy...y (a, b)hk n 1 +f y...y (a, b)k n. erivaattojen kertoimet ovat binomikertoimia ja ne saadaan Pascalin kolmiosta:

67 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Taylorin kehitelmä kahden muuttujan funktiolle on siten f(a + h, b + k) =f(a, b)+f x (a, b)h + f y (a, b)k (f xx(a, b)h 2 +2f xy (a, b)hk + f yy (a, b)k 2 ) + 1 3! (f xxx(a, b)h 3 +3f xxy (a, b)h 2 k +3f xyy (a, b)hk 2 + f yyy (a, b)k 3 ) + 1 4! (f xxxx(a, b)h 4 +4f xxxy (a, b)h 3 k+6f xxyy (a, b)h 2 k 2 +4f xyyy (a, b)hk 3 +f yyyy (a, b)k 4 )+..., joka on summakaavana sama kuin f(a + h, b + k) = m= n= m 1 1 n! (m n)! ( ) m ( ) m n f(a, b)h m k m n. x y Esim. 1 Lasketaan funktion f(x, y) =e x 2y, (x, y) R 2, toisen asteen Taylorin kehitelmä kehityskeskuksena origo. Etsitään siis muotoa e x 2y A + Bx + Cy ( x 2 + Exy + Fy 2), joka approksimoi funktiota parhalla mahdollisella tavalla pienillä x ja y. Tapa 1. Tiedetään, että eksponenttifunktion Taylorin kehitelmä on e t =1+t t ! t Kun (x, y) on lähellä origoa, niin tällöin x 2y on pieni, joten f(x, y) =e x 2y 1+(x 2y)+ 1 2 (x 2y)2 =1+x 2y (x2 4xy +4y 2 ), joka on kysytty toisen asteen Taylorin kehitelmä. Tapa 2. Lasketaan funktion derivaatat: A = f(, ) = 1 B = f (, ) = f(, ) = 1 x C = f (, ) = 2f(, ) = 2 y = 2 f (, ) = f(, ) = 1 x2 E = 2 f (, ) = 2f(, ) = 2 x y F = 2 f (, ) = 4f(, ) = 4, y2 joten e x 2y 1+x 2y (x2 4xy +4y 2 ), 67

68 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille kun (x, y) on lähellä origoa. Esim. 2 Miten funktio f(x, y) =sin(x + y)sin(x y), (x, y) R 2, käyttäytyy origon lähellä? Tiedetään, että joten sin(t) t, kun t R on pieni. sin(t) =t t3 3! + t5 5!..., Origon lähellä x y ja x + y ovat pieniä, joten f(x, y) (x + y)(x y) =x 2 y 2, joka on satulapinta. Origon lähellä funktion määräämä pinta siis muistuttaa satulapintaa Funktion f : R 2 R ääriarvot Olkoon f funktio f :[a, b] R. Tällöin f:n ääriarvokohdat kuuluvat joukkoon {x [a, b] f (x) =tai f (x) ei ole olemassa, tai x = a tai x = b}. Esim. 1 Käsitteitä: Olkoon f funktion R, kun R 2. Jos P, niin P on lokaali minimi, jos f(p ) f(x, y), kun (x, y) on P :n lähellä. P on lokaali maksimi, jos f(p ) f(x, y), kun (x, y) on P :n lähellä. P on ääriarvokohta, jos se on lokaali minimi tai lokaali maksimi. Tällöin f(p ) on ääriarvo. P on globaali minimi, jos f(p ) f(x, y) kaikilla (x, y). P on globaali maksimi, jos f(p ) f(x, y) kaikilla (x, y). 68

69 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Esim. 1 Tarkastellaan funktiota f(x, y) =x 2 +y 2, kun (x, y) R 2. Piste (, ) on globaali minimi, sillä f(, ) = x 2 + y 2 = f(x, y), kaikilla (x, y) R 2. Esim. 2 maksimi. Vastaavasti funktiolle f(x, y) = x 2 y 2 origo on globaali Esim. 3. Funktiolle f(x, y) =x 2, kun (x, y) R 2, kaikki pisteet (,y), y R, ovat globaaleja minimejä, sillä f(,y)= x 2 = f(x, y), kaikilla (x, y) R 2. Esim. 4 Esim. 5 Funktiolla f(x, y) =x, (x, y) R 2, ei ole ääriarvokohtia. Funktiolle f(x, y) =x, kun f : R, missä = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}, piste (1, ) on globaali maksimi ja piste ( 1, ) on globaali minimi. Ääriarvokohdat ovat siis pisteitä, joissa funktion tasa-arvokäyrät sivuavat aluetta. Lause 15 Olkoon f funktio f : R ja R 2. Tällöin f:n ääriarvokohdat kuuluvat joukkoon {(x, y) R 2 f(x, y) =tai f(x, y) ei ole olemassa tai (x, y) on :n reunapiste.} 69

70 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Perustelu: Oletetaan, että = R 2 ja että f(x, y) on aina olemassa. Ääriarvokohta P on joko lokaali minimi tai lokaali maksimi. P on lokaali minimi jos ja vain jos f(p ) f(x, y) pisteen P lähellä. Jos f(p ), niin f vähenee vektorin f(p ) suuntaan, joten P ei voi olla lokaali minimi. Siispä lokaalissa minimissä f(p )=. Samoin, koska funktio kasvaa suuntaan f liikuttaessa, täytyy myös lokaalissa maksimissa P olla f(p )=. Esim. 6 Aiemmin todettiin, että funktiolla f(x, y) =x 2 +y 2, (x, y) R 2, on globaali minimi pisteessä (, ). Onko funktiolla muita ääriarvoja? Koska on koko avaruus R 2 ja funktiolla on olemassa gradientti kaikissa tason pisteissä, kuuluvat ääriarvokohdat joukkoon {(x, y) R 2 f(x, y) =} = {(, )}, eli origo on ainoa ääriarvokohta. Esim. 7 Etsitään funktio f(x, y) =x 2 y 2, (x, y) R 2, ääriarvokohdat. Ääriarvokohdat kuuluvat jälleen joukkoon {(x, y) R 2 f(x, y) =} = {(x, y) R 2 2xi 2yj =} = {(, )}. Origo on siis ainoa mahdollinen ääriarvokohta. Kuitenkin huomataan, että f(x, ) = x 2 > =f(, ), kaikilla x ja f(,y)= y 2 < =f(, ), kaikilla y, joten origo ei ole ääriarvokohta. (Funktio kasvaa kun liikutaan x -akselin suuntaan ja pienenee y -akselin suuntaan liikuttaessa.) Funktiolla f ei siis ole ääriarvokohtia. (Kyseessä on satulapinta.) Huom. Kaikilla funktiolla ei siis ole ääriarvokohtia. Millä ehdoilla funktiolla on ääriarvokohta? Seuraava lause vastaa yo. kysymykseen yhden muuttujan tapauksessa. 7

71 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Lause 16 Jos f :[a, b] R on jatkuva funktio, niin sillä on globaali minimi ja globaali maksimi välillä [a, b]. Seuraava lause on vastaava tulos kahden muuttujan funktiolle. Lause 17 Olkoon funktio f : R, kun R 2, jatkuva funktio. Jos lisäksi on rajoitettu ja :n reuna kuuluu joukkoon, niin funktiolla f on globaali minimi ja globaali maksimi :ssä. Huom. Joukko on rajoitettu, jos sen voi peittää jollakin kiekolla, jonka keskipiste on origo ja säde R<. Esim. 1 Olkoon = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2} ja olkoon f : R funktio f(x, y) =xy. Tällöin f on jatkuva, on rajoitettu ja :n reuna = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 =2}. Siten f:llä on globaali minimi ja maksimi joukossa. Lisäksi tiedetään, että f:n ääriarvokohdat kuuluvat joukkoon {(x, y) f(x, y) =tai x 2 + y 2 =2}. Nyt f(x, y) = yi + xj = jos ja vain jos (x, y) = (, ). Origo ei ole kuitenkaan ääriarvokohta, sillä selvästi f(x, x) =x 2 > =f(, ), kaikilla x, eli funktio kasvaa origosta suuntaan i + j liikuttaessa, ja f(x, x) = x 2 < =f(, ), kaikilla x eli funktio vähenee origosta suuntaa i j liikuttaessa. Siten kaikki funktion ääriarvot ovat alueen reunalla. Tarkistetaan seuraavaksi reunapisteet. Reuna voidaan parametrisoida käyrällä r(t) = 2 cos(t)i +2sin(t)j, t [, 2π]. Funktion arvot reunalla ovat siten f(r(t)) = 4 sin(t) cos(t) =2sin(2t), t [, 2π]. 71

72 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Funktio saavuttaa maksimin kun sin(2t) =1eli t = π 4 + nπ, n {, 1}, ja funktio saavuttaa minimin kun sin(2t) = 1 eli t = π 4 + nπ, n {, 1}. Funktiolla on siis globaali maksimi pisteissä (2 cos( π 4 ), 2sin(π 4 )) = (1, 1) ja (2 cos(5π 4 ), 2sin(5π 4 )) = ( 1, 1) ja globaali minimi pisteissä (2 cos( π 4 ), 2sin( π 4 )) = (1, 1) ja (2 cos(3π 4 ), 2sin(3π 4 )) = ( 1, 1). Kriittisten pisteiden luokittelu Olkoon f : R R funktio, jolle f (a) =. Tällöin a) Jos f (a) >, niin a on minimi. b) Jos f (a) <, niin a on maksimi. c) Jos f (a) =, niin a voi olla minimi, maksimi tai ei kumpikaan. Miten tämä yleistyy kahden muuttujan funktioille. Määritelmä Olkoon f funktio f : R 2 R. Piste P R 2 on kriittinen piste, jos f(p )=. Lisäksi, piste P on satulapiste, jos i) P on kriittinen piste ja ii) P ei ole minimi eikä maksimi (eli P ei ole ääriarvokohta). Esim. 1 f(x, y) =x 2 y 2, jolloin (, ) on kriittinen piste sillä f(, ) =, mutta se ei ole ääriarvokohta. Siispä (, ) on satulapiste. Esim. 2 f(x, y) = x 3, jolloin f(x, y) = 3x 2 i =jos ja vain jos x = ja y R. Funktion kriittisiä pisteitä ovat siten kaikki y -akselin pisteet. Piste (,y), y R, ei kuitenkaan ole minimi eikä maksimi, eli jokainen piste (,y), y R, on satulapiste. 72

73 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Huom. P on kriittinen piste jos ja vain jos P on minimi, maksimi tai satulapiste. Miten nämä vaihtoehdot erotetaan toisistaan? Milloin P on minimi? Tarkastellaan funktion Taylorin kehitelmää kriittisen pisteen P =(a, b) lähellä: f(a + h, b + k) f(a, b)+ f f (a, b)h+ x y (a, b)k+ 1 ( fx x(a, b)h 2 +2f xy (a, b)hk + f yy (a, b)k 2) 2 = f(a, b)+ 1 ( fx x(a, b)h 2 +2f xy (a, b)hk + f yy (a, b)k 2). 2 Tämän 2. asteen Taylorin kehitelmän viimeiset termit voidaan kirjoittaa matriisikertolaskun avulla määrittelemällä funktion Hessen matriisi pisteessä P Tällöin 2 f (P ) Hessf(P )= x 2 2 f y x (P ) f(a + h, b + k) f(a, b)+ 1 2 [ h 2 f x y (P ). 2 f (P ) y 2 ] k Hessf(P ) h. k Piste P on nyt siis minimi jos ja vain jos f(a, b) f(a + h, b + k) kaikilla tarpeeksi pienillä h ja k. Käyttämällä tähän ehtoo yo. Taylorin kehitelmää, saadaan P on minimi 1 2 [ h ] k Hessf(P ) h, k kaikilla tarpeeksi pienillä h ja k. Huom. Lineaarialgebraa: Symmetrinen matriisi A R n n on Positiividefiniitti, jos x T Ax > kaikilla x R n, x.( matriisin ominaisarvot ovat positiivisia) 73

74 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Negatiividefiniitti, jos x T Ax < kaikilla x R n, x.( matriisin ominaisarvot ovat negatiivisia) Semidefiniitti, jos matriisilla on sekä negatiivisia, että positiivisia ominaisarvoja, ja nolla ei ole ominaisarvo. Lause 18 Jos P on kriittinen piste, niin P on minimi, jos Hessf(P ) on positiividefiniitti. P on maksimi, jos Hessf(P ) on negatiividefiniitti. P on satulapiste, jos Hessf(P ) on semidefiniitti. Huom. symmetrinen. Hessen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia, sillä matriisi on Huom. Testit soveltuvat myös funktioille f : R 3 R, jolloin f xx f xy f xz Hessf(P )= f yx f yy f yz. f zz f zy f zz Esim. 1 f(x, y) =x 2 + y 2, jolloin P =(, ) on ainoa kriittinen piste ja Hessf(P )= 2. 2 Nähdään suoraan, että Hessen matriisilla on ainoastaan ominaisarvo 2, joten P on minimi. 74

75 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Esim. 2 Vastaavasti, jos f(x, y) = x 2 y 2, niin kriittinen piste (, ) on maksimi, sillä Hessen matriisin Hessf(, ) = 2. 2 ainoa ominaisarvo 2 on negatiivinen. Esim. 3 Jos f(x, y) =x 2 y 2, niin f(x, y) =2xi 2yj =jos ja vain jos (x, y) =(, ). Ainoa kriittinen piste on siis origo, ja Hessf(, ) = 2, 2 jonka ominaisarvot ovat 2 ja 2. Origo on siis satulapiste. Huom. Jos on Hessen matriisin ominaisarvo, niin kriittisen pisteen luonne ei selviä. Jos taas ei ole ominaisarvo, niin kriittisen pisteen luonne aina selviää. Esim. 4 Jos f(x, y) =x 4 + y 4, niin ainoa kriittinen piste on origo ja Hessf(, ) =. 75

76 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Sama pätee myös esimerkiksi funktioille f(x, y) =x 4 y 4 tai f(x, y) = x 3 + y 5. Tällöin kriittisen pisteen luonne ei selviä Hessen matriisista ja se pitää selvittää muuten. Jos f(x, y) =x 4 + y 4, niin origo on minimi, sillä f(, ) = <x 4 + y 4 = f(x, y) kaikilla (x, y) (, ). Jos f(x, y) =x 3 +y 5, niin origo on satulapiste, sillä f(x, x) =x 3 + x 5 <, kun x<, ja f(x, x) >, kun x>. Esim. 5 Etsi ja luokittele funktion f(x, y) =2x 3 6xy +3y 2 kriittiset pisteet. Etsitään ensin kriittiset pisteet: f(x, y) =(6x 2 6y)i +(6y 6x)j = x 2 = y ja x = y, joten ainoat kriittiset pisteet ovat (, ) ja (1, 1). Funktion Hessen matriisi on Hessf(x, y) 12x Pisteessä (, ) saadaan Hessf(, ) 6, 6 6 jonka ominaisarvot lasketaan determinantista λ λ = λ(6 λ) 36 = λ2 6λ 36 = λ = 3(1 ± 5). Hessen matriisin ominaisarvot ovat siis λ 1 = 3(1 + 5) > ja λ 2 = 3(1 5) <. Piste (, ) on siis satulapiste. Pisteessä (1, 1) saadaan Hessf(, ) 12 6, 6 6 jonka ominaisarvot lasketaan determinantista 12 λ λ = (12 λ)(6 λ) 36 = λ2 18λ+36 = λ = 3(3± 5). Hessen matriisin ominaisarvot ovat siis molemmat positiivisia ja piste (1, 1) on minimi. 76

77 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille 13.3 Lagrangen kerroin Miten löydetään funktion f(x, y) minimi, kun muuttujille x ja y on asetettu ehto g(x, y) =. Tutkimme siis funktion f arvoja funktion g tasaarvokäyrällä g(x, y) =. Esim. 1 Minkä muotoinen on tölkki, jonka tilavuus on 1 ja pinta-ala mahdollisimman pieni? Tehdään seuraavat oletukset: P R 2 on minimointitehtävät ratkaisu. g(p ) (Tällöin implisiittifunktiolause sanoo, että g = määrää käyrän pisteen P ympäristössä) f(x, y) (Tämä on menetelmän johtamista helpottava lisäoletus, mutta ei välttämätön) Tällöin pisteessä P funktion f tasa-arvokäyrä ja käyrä g(x, y) =ovat tangentiaalisia. Syy: Jos näin ei ole, käyrät leikkaavat jossain kulmassa ja tällöin käyrällä g(x, y) =voidaan liikkua tasa-arvokäyrältä f(x, y) =f(p ) pois sinne suuntaan mihin f vähenee. Tällöin P ei olisikaan minimointitehtävän ratkaisu. 77

78 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Huom. Aiemmin saatiin, että f on kohtisuorassa f:n tasa-arvokäyrää vastaan, josta seuraa f(p ) g(p) f(p )=λ g(p). Siispä tehtävän ratkaisun P täytyy toteuttaa: f(p )=λ g(p), jollain λ R, g(p )=. (13.4) Huom. Tässä yhtälössä on kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta a, b ja λ (kun P =(a, b)). Huom. Lagrangen menetelmä olettaa, että tehtävällä on ratkaisu. Siten menetelmä sopii parhaiten tehtäville, joista jo tiedetään, että ratkaisu on olemassa. Huom. (λ, P ) on yhtälöryhmän (13.4) ratkaisu jos ja vain jos (λ, P ) on kriittinen piste funktiolle L : R 3 R, L(x, y, λ) =f(x, y) λg(x, y), sillä L =( f x λ g )i +( f x y λ g )j gk. y Kerroin λ on nimeltään Lagrangen kerroin ja funktio L on Lagrangen funktio. Esim. 1 Tarkastellaan tölkkiä, jonka säde on r>ja korkeus h>. Tölkin pinta-ala on A(r, h) =2πr 2 +2πrh =2π(r 2 + rh) ja tilavuus on V (r, h) =πr 2 h. Minimoidaan pinta-ala, kun tilavuus V =1. Minimoidaan siis funktiota A(r, h) ehdolla g(r, h) =V (r, h) 1=. Tehtävän Lagrangen funktio on L(r, h) =A(r, h) λg(r, h), ja sen kriittiset pisteet toteuttavat A r A h g (r, h) =λ r (r, h) g (r, h) =λ h (r, h) g(r, h) = 4πr +2πh = λ2πrh 2πr = λπr 2 πr 2 h =1, 78

79 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille josta saadaan 2r + h = λrh 2r + h = 2 r rh =2h h =2r 2r = λr 2 λ = 2 r πr 2 h =1 πr 2 2r =1 r 3 = 1 2π. Saatiin siis tölkin optimaaliset mitat r = 3 1 2π h = π Esim. 2 Minimoidaan f(x, y) =y ehdolla g(x, y) =y 3 x 2 =. Ehto g =pätee siis kun y 3 = x 2, eli käyrällä y = x 2/3. Kuvasta nähdään, että käyrällä g =pienin arvo funktiolle f(x, y) =y saavutetaan pisteessä (, ). Siinä f(, ) =. Yritetään ratkaista tehtävä Lagrangen kertoimen avulla: Lagrangen funktio on L(x, y, λ) =f(x, y) λg(x, y) =y λ(y 3 x 2 ). Tämän kriittiset pisteet saadaan yhtälöistä L x = λ2x =, L y = 1 λ3y2 =, L λ = y3 = x 2. Jos x, niin ensimmäisestä yhtälöstä seuraa λ =, jolloin toinen yhtälö antaa 1=, joka on ristiriita. Jos taas x =, seuraa viimeisestä yhtälöstä y =, jolloin toinen yhtälö jälleen antaa 1=, joka on myös ristiriita. Siten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Tehtävä ei siis ratkea Lagrangen menetelmällä. Syy tähän on se, että pisteessä (, ) pätee g(, ) =. Lagrangen menetelmä yleisesti Funktion f(x 1,x 2,...,x n ) ääriarvot rajoitusehdoilla g 1 (x 1,x 2,...,x n )=, g 2 (x 1,x 2,...,x n )=,., g m (x 1,x 2,...,x n )=, 79

80 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille löytyvät pisteistä, joissa kun Lagrangen funktio on L(x 1,x 2,...,x n,λ 1,λ 2,...,λ m )=, L(x 1,x 2,...,x n,λ 1,λ 2,...,λ m ) = f(x 1,...,x n ) λ 1 g 1 (x 1,...,x n )... λ m g m (x 1,...,x n ). Tässä λ 1,λ 2,...,λ m ovat Lagrangen kertoimet. Esim. 1 Lasketaan funktion f(x, y, z) =x + y 2 z ääriarvot ehdoilla y 2 + z 2 =2ja z = x. Nyt g(x, y, z) =y 2 + z 2 2=ja h(x, y, z) =x z =ovat rajoitusehdot ja L(x, y, z, λ, µ) =f(x, y, z) λg(x, y, z) µh(x, y, z) =x+y 2 z λ(y 2 +z 2 2) µ(x z) on tehtävän Lagrangen funktio. Ääriarvokohdissa pätee siten L(x, y, z, λ, µ) = f = λ g + µ h, g =, h =, josta saadaan yhtälöryhmä 1 µ =, µ =1 2yz 2λy =, y(z λ) = y =tai z = λ, y 2 2λz + µ =, y 2 + z 2 2=, x z =, x = z. Jos y =, niin y 2 z 2 2= z 2 2=, jolloin z = ± 2. Kriittiset pisteet ovat tällöin (± 2,, ± 2). Jos z = λ, niin y 2 2λz + µ = y 2 2z 2 +1 = = y 2 + z 2 2. Tästä seuraa z 2 =1, joten z = ±1. Kriittiset pisteet ovat tällöin (±1, 1, ±1) ja (±1, 1, ±1). Lasketaan funktion arvot kaikissa näissä kriittisissä pisteissä: f( 2,, 2) = 2, f( 2,, 2) = 2, f(1, ±1, 1) = 2, (maksimi) f( 1, ±1, 1) = 2, (minimi). 8

81 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille Kurssin loppuosa 14. Useamman muuttujan integraalit tasointegraali epäoleellinen integraali avaruusintegraali muuttujanvaihto sovelluksia 15. Vektorikentät vektori- ja skalaarikentät konservatiiviset kentät viivaintegraalit pintaintegraalit vuointegraalit 16. Vektorilaskenta gradientti, divergenssi, roottori Greenin lause Gaussin lause Stokesin lause sovelluksia fysiikkaan käyräviivaiset koordinaatit 81

82 ifferentiaalilaskentaa useamman muuttujan funktioille 82

83 14. Useamman muuttujan funktioiden integrointi 14.1 Tasointegraalit Kerrataan: Olkoon f :[a, b] R funktio, jolle f(x) kaikilla x [a, b]. Tällöin b a f(x)dx = Pinta-ala käyrä y = f(x) ja x-akselin välissä. Integraali määriteltiin Riemannin summan raja-arvona seuraavasti. 1. Jaetaan integroitava väli [a, b] tasavälisesti n osaan. 2. Arvoidaan käyrän rajaamaa pinta-alaa suorakulmioiden pinta-alojen summalla n f(x i ) x i, i=1 missä x i on i:nnen välin keskipiste ja x i on i:nnen välin leveys. 3. Annetaan välien lukumäärän n. Tällöin jos f on riittävän hyvin 83

84 Useamman muuttujan funktioiden integrointi käyttäytyvä (esim. jatkuva), niin summa suppenee ja tällöin määritellään b a f(x)dx = lim n n f(x i ) x i. Tässä b a f(x)dx on siis pinta-ala käyrän y = f(x) ja x -akselin välin [a, b] välillä. Samalla tavalla määritellään integraali myös funktioille joille ei päde f(x). Kysymys: Olkoon f : R funktio kun R 2 ja f(x, y) kaikilla (x, y). Mikä on tilavuus f:n määräämän pinnan z = f(x, y) ja (x, y) -tason alueen välillä? i=1 Olkoon suorakulmio = {(x, y) R 2 x [a, b] y [c, d]} =[a, b] [c, d]. Jaetaan molemmat sivut tasavälisesti n osaan, jolloin jakautuu n 2 pieneen suorakulmioon. Tällöin arvio tilavuudelle on f(x i ) x i, n 2 i=1 missä x i on i:nnen suorakulmion keskipiste ja x i on i:nnen suorakulmion pinta-ala. Annetaan nyt n, jolloin jos f on riittävän hyvin käyttäytyvä, niin summa suppenee. Tällöin n 2 f(x, y)da = lim f(x n i ) x i. i=1 Tässä f(x, y)da on f:n tasointegraali alueen yli. Merkitykseltään tasointegraali on siis tilavuus f:n ja :n välillä. Kaava avulla määritellään tasointegraali myös silloin kun f(x) ei päde. 84

85 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Oletetaan jatkossa, että funktiot ovat riittävän hyvin käyttäytyviä, jotta niitä niitä voidaan integroida. Esim. 1 Laskettava yda kun =[, 1] [, 1]. Jaetaan :n sivut tasavälisesti n osaan. Kun i, j =, 1,...,n 1, niin pisteikkö ( i n + 1 2n, j n + 1 2n ) R2 käy läpi jokaisen pienen neliön keskipisteen. Näin ollen n 1 yda = lim n n 1 i= j= = lim n n 1 1 = lim n n 2 ( j n + 1 2n )( 1 n )2 j= ( n 1 1 n 2 i= (j ) 1 1 n 1 (j + 1 n 2 ) )= lim n j= 1 n 2 (n 2 Tämä sama voidaan todeta myös geometrisesti. n(n 1) + ) 2 1 n 2 = lim n n 2 2 = 1 2. yda = prisman tilavuus = puolet kuution tilavuudesta = 1 2. Yleisemmät alueet Olkoon R 2 rajoitettu, mutta ei välttämättä suorakaide ja f : R funktio. 85

86 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Tällöin määritellään f(x, y)da = f(x, y)da, missä on suorakaide, jolle ja f(x, y), kun x f(x, y) =, muulloin. Tasointegraalin ominaisuuksia Olkoon R 2 rajoitettu ja f,g : R funktioita. Jos :n pinta-ala on, niin f(x, y)da =. Alueen pinta-ala on 1dA = :n pinta-ala. Jos L R, niin Lf(x, y)da = L f(x, y)da. (f(x, y)+g(x, y)da = f(x, y)da + g(x, y)da Jos f(x, y) g(x, y), niin f(x, y)da g(x, y)da Kolmioepäyhtälö: f(x, y)da f(x, y) da. Jos = 1 2, missä 1, 2 R 2 ja joukon 1 2 pinta-ala on, niin f(x, y)da = f(x, y)da + f(x, y)da

87 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Esim. 1 Olkoon = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} yksikkökiekko. Tällöin 5dA =5 1dA =5 π 1 2 =5π Iteroidut integraalit Tehtävänä on laskea f(x, y)da, kun =[a, b] [c, d] ja f on funktio f : R. Integraalin arvo suoraan määritelmän (Riemannin summan raja-arvo) avulla on hankala laskea. Lause 19 Jos =[a, b] [c, d], niin tasointegraaleille pätee b ( d ) f(x, y)da = f(x, y)dy dx. Yhtälön oikea puoli on iteroitu integraali. Perustelu : Jaetaan tasavälisiin osiin muuttujan x suhteen. a c Tällöin saadaan arvio f(x, y)da n i=1 d c f(x i,y)dy x i, missä x i on i:nnen viipaleen keskipisteen x -koordinaatti ja x i on i:nnen viipaleen leveys. Kun viipaleiden lukumäärä n, saadaan b ( d ) f(x, y)da = f(x, y)dy dx. Vastaavasti, jos jaetaan y -akselin suuntaisiin osiin, saadaan d ( b ) f(x, y)da = f(x, y)dx dy. Integrointijärjestyksellä ei siis ole merkitystä, vaan b ( d ) d ( b ) f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy. a c a c c c a a 87

88 Useamman muuttujan funktioiden integrointi (Vrt. osittaisderivoinnin järjestys, jos derivoitava funktio on riittävän sileä.) Esim. 1 Tapa 1. Lasketaan Lasketaan I = y da, kun =[, 1] [, 1] R 2. I = 1 ( 1 ) 1 1 ydy dx = 2 dx = 1 2. Tapa 2. Lasketaan 1 ( 1 I = ) ydx dy = 1 ( y 1 ) 1dx dy = 1 y dy = 1 2. Esim. 2 Lasketaan sen kappaleen tilavuus, jota rajaa yläpuolella pinta z = x 2 + y 2 ja alapuolella (x, y) -tason alue [, 1] [, 2]. 88

89 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Kappaleen tilavuus on x 2 + y 2 da = 1 ( 2 = 1 ) x 2 + y 2 dy dx = ( 2x ) dx = 3 1 Integrointi muun kuin suorakulmion yli Laskettavana on nyt f(x, y)da, 1 ( 2 x2 y + 1 ) 3 y3 dx 2 3 x x = = 1 3. kun = {(x, y) R 2 x [a, b] ja y [c(x),d(x)]}, missä c(x) ja d(x) ovat jatkuvia funktioita. Tällöin f(x, y)da = b a ( ) d(x) f(x, y)dy dx. Tällaisessa alueessa y -akselin suuntaisten janojen täytyy kuulua alueeseen. Tällöin alueet c(x) ovat ok, mutta alueet eivät ole. Alueella on siis oltava yläreuna (käyrä d(x)) ja alareuna (käyrä c(x)). Vastaavasti, jos = {(x, y) R 2 x [a(x),b(x)] ja y [c, d]}, missä a(x) ja b(x) ovat jatkuvia funktioita, niin ( d ) b(x) f(x, y)da = f(x, y)dx dy. c Tällaisessa alueessa on oltava siis vasen reuna (käyrä a(x)) ja oikea reuna (käyrä b(x)). Esim. 1 Lasketaan alueen pinta-ala, kun on kolmio, jonka kärjet ovat (, ), (1, ) ja (1, 1). a(x) 89

90 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Pinta-ala on siis A = 1dA. Tapa 1. Integraalin voi nyt laskea integroimalla ensin y-akselin suunnassa, jolloin = {(x, y) R 2 x [, 1], y [,x]} ja A = 1 x 1dydx = 1 xdx = 1 2. Tapa 2. Integraalin voi myös laskea integroimalla ensin x-akselin suunnassa, jolloin = {(x, y) R 2 x [y, 1], y [, 1]} ja Esim. 2 da, kun on kuten edellisessä esimerkissä. Tapa 1. Tapa 2. sin(x) x A = 1 1 y Lasketaan da = 1dxdy = 1 x sin(x) x 1 (1 y)dy = 1 y2 (y 2 )=1 2. sin(x) 1 x dydx = sin(x) ( x ) x y dx sin(x) x = da = 1 sin(x)dx = 1 1 y 1 cos(x) =1 cos(1). sin(x) x dxdy. sin(x) x dx ei voida esit- Tätäpä ei voidakaan integroida, sillä integraalia 1 y tää alkeisfunktioiden avulla. Huom. Oikea esitystapa integroitavalle alueelle voi olla ratkaisevaa laskun onnistumiselle! Esim. 3 Lasketaan pintojen z =, y =, y =1 x 2 ja z =1 x rajoittaman kappaleen tilavuus. 9

91 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Olkoon kappaleen pohja: = {(x, y) R 2 x [ 1, 1], y [, 1 x 2 ]}. Kappaleen korkeus pisteessä (x, y) on tällöin z =1 x joten tilavuus saadaan integraalina (1 x)da = 1 1 x 2 1 (1 x)dydx = = 1 1 (1 x)(1 x 2 )dx 1 1 x x2 /2 x 3 /3+x 4 /4= Epäoleelliset integraalit Edellä tasointegraaleja laskettiin vain rajoitetussa alueessa. Näin ei kuitenkaan tarvitse olla. Mikäli integrointialue tai integroitava funktio on rajoittamaton, kyseessä on ns. epäoleellinen integraali. Kysymys: Olkoon f : R funktio ja alue R 2 rajoittamaton. Miten lasketaan f(x, y)da? Kertausta: Yhden muuttujan tapauksessa esim. 1 Siispä x 2 dx = lim R R a b x 2 dx = lim R f(x)dx = lim R f(x)dx = lim R x 1 = lim (1 R R 1 )=1. R a b R R R f(x)dx = lim R R f(x)dx, (14.1) f(x)dx, f(x)dx. 91

92 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Olkoon nyt R 2 rajoittamaton alue ja f : R funktio, jolle f(x, y) kaikilla (x, y). Tällöin integraali f(x, y)da lasketaan iteroituna integraalina. Jos tässä tulee vastaan rajoittamattomia yhden muuttujan integraaleja, lasketaan ne kaavojen (14.1) avulla. Esim. 1 Lasketaan I = e x y da kun on x -akselin ja suoran y = x rajaama alue (x, y) -tason ensimmäisessä neljänneksessä, eli = {(x, y) R 2 x [, ), y [,x]}. Lasketaan I = Huom. x = lim e x y dydx = lim R = lim R R R R x e x y dydx R ( x e x y) dx = lim (e x e 2x )dx R R ( e x e 2x )= lim R ( e R e 2R )=1 2. Edellä laskettiin siis kappaleen tilavuus, jonka pohja on ja korkeus pisteessä (x, y) on e x y. Rajoittamattomalla kappaleella voi siis aivan hyvin olla äärellinen tilavuus. Esim. 2 käyrän y = 1 x I = 1 Lasketaan I = 1dA kun on x -akselin, suoran x =1ja rajaama alue (x, y) -tason ensimmäisessä neljänneksessä, eli = {(x, y) R 2 x 1, y 1 x }. Tällöin 1/x R 1dydx = lim R Funktion keskiarvo 1 1 dx = lim x R R ln(x) = lim(ln(r) 1) =. R Olkoon f : R funktio ja R 2 rajoitettu alue, jonka pinta-ala on A. Merkitään m = f:n pienin arvo alueessa ja M = f:n suurin arvo alueessa. Tällöin m f(x, y) M kaikilla (x, y) ja ma = mda f(x, y)da MdA = MA, joten 92 m 1 A f(x, y)da M.

93 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Luku f() = 1 A on funktion f keskiarvo joukossa. f(x, y)da Esim. 1 Lasketaan funktion f(x, y) = xy keskiarvo joukossa = [, 1] [, 1]. Alueen pinta-ala on A =1 1=1, joten f() = 1 A 1 1 xy dxdy = 1 ( 1 y 1 2 x2 ) dy = Joukon keskipiste ja kappaleen painopiste y2 1 2 = 1 4. Olkoon R 2 rajoitettu, jonka pinta-ala on A. Tällöin :n keskipiste on (x, y), missä x = 1 A xda, y = 1 A yda. Siispä x on funktion f(x, y) =x keskiarvo :ssä ja y on funktion f(x, y) = y keskiarvo :ssä. Jos tarkastellaan (x, y) -tason kappaletta, jonka tiheys (massa pinta-ala yksikköä kohden) pisteessä (x, y) on ρ(x, y), niin kappaleen painopiste on (x ρ, y ρ ), missä x ρ = 1 xρ(x, y)da, M y ρ = 1 yρ(x, y)da, M ja M on kappaleen massa, eli M = ρ(x, y)da. Jos kappaleen tiheys on vakio, keskipiste sama kuin painopiste. Esim. 1 Voi myös olla, että keskipiste ei kuulu itse kappaleeseen : 93

94 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Esim. 2 Lasketaan paraabelin y =1 x 2 ja x-akselin rajaaman kappaleen keskipiste. Alueena on siin = {(x, y) R 2 x [ 1, 1], y [, 1 x 2 ]} ja sen pinta-ala on 1 1 x 2 A = 1dA = 1dydx = Keskipisteen x-koordinaatti on siten x = 1 xda = x 2 xdydx = 1 A A A 1 (1 x 2 )dx = = x(1 x 2 )dx = 1 1 A x2 1 4 x4 =. Tämä olisi voitu kyllä päätellä suoraan symmetrian perusteellakin. Vastaavasti y-koordinaatti on y = 1 A yda = 1 A 1 1 x 2 1 Kappaleen keskipiste on siis (, 8 15 ). ydydx = 1 A 1 1 ( ) 1 x y2 dx = 1 A 1 = (x x x5 )= 3 8 ( )= (1 x2 ) 2 dx 14.4 Tasointegraali napakoordinaateissa Karteesiset koordinaatit: Napakoordinaatit: Näiden koordinaattien välinen yhteys on x = r cos(φ), y = r sin(φ) Kysymys: Miten integroidaan funktio, joka on määritelty napakoordinaateissa? Esim. 1 R 2 r [, 1], φ [, 2π]}. Esim. 2 Yksikköympyrä = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} = {(r, φ) Ympyrärengas = {(x, y) R 2 1 x 2 + y 2 2} = {(r, φ) R 2 r [1, 2], φ [, 2π]}. Esim. 3 Halutaan integroida funktio f(x, y) = arctan y/x alueen = {(x, y) R 2 x [, 1], y 1 x 2 } yli. Integrointi karteesisissa koordinaateissa näyttää menevän hankalaksi, mutta napakoordinaateissa alue 94

95 Useamman muuttujan funktioiden integrointi on = {(r, φ) R 2 r [, 1], φ [, π 2 ] ja integroitava funktio on g(r, φ) =f(r cos(φ),rsin(φ)) = φ. Jotta edellisen esimerkin integrointi voitaisiin suorittaa, pitää kuitenkin selvittää, mitä pinta-alaelementti da on napakoordinaateissa. Infinitesimaalinen pinta-alaelementti da on sen alueen pina-ala, joka muodostuu koordinaattien infinitesimaalisesta muutoksesta. Karteesisissa koordinaateissa: Muutos x x + dx ja y y + dy Napakoordinaateissa: antaa pinta-alan da = dx dy. Muutos r r + dr ja φ φ + dφ antaa pinta-alan da rdrdφ. Napakoordinaattien tapauksessa pinta-alaelementtiä approksimoidaan suorakulmiolla ja koska dr ja dφ ovat infinitesimaalisen pieniä, arvion virhe on häviävän pieni verrattuna da:n kokoon. Määritellään: Napakoordinaateissa da = rdrdφ. Olkoon f(r, φ) funktio, f : R, missä on kiekon segmentti = {(r, φ) R 2 r [a, b], φ [α, β]}. Tällöin f(r, φ)da = b β a α f(r, φ)rdφ dr. Muunlaiset alueet integroidaan iteroituina integraaleina aivan kuten karteesisissa koordinaateissakin. Eli jos = {(r, φ) R 2 φ [α, β], r [r 1 (φ),r 2 (φ)}, niin f(r, φ)da = β r2 (φ) α r 1 (φ) f(r, φ) r dr dφ. Esim. 1 Tällainen alue voi olla esimerkiksi: 95

96 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Esim. 2 pinta-ala. Lasketaan lemniskaatan r 2 = 4 cos(2φ) sisään jäävän alueen Alue on symmetrinen, joten alueen pinta-ala on 4 ensimmäiseen neljännekseen kuuluva ala: A =4 Esim. 3 π/4 2 cos(2φ) r dr dφ =4 Lasketaan R 2 R 2 r, φ [, 2π]}. Siten I = 2π e r2 rdφdr = =4 π/4 π/4 2 cos(2φ) 1 2 r2 dφ 2 cos(2φ)dφ =4 π/4 e r2 da. Napakoordinaateissa R 2 2πre r2 dr = lim R π R sin(2φ) =4. = {(r, φ) ( 2r)e r2 dr = π lim Esim. 4 Lasketaan I = e x2 dx. Lasketaan ensin integraalin neliö: R R e r2 = π. ( 2 I 2 = e dx) x2 = e x2 dx = e x2 y 2 dxdy = R 2 e y2 dy (x e 2 +y 2) dxdy = R 2 r e 2 da = π. 96

97 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Siten saadaan I = π. (Huom. Ei voi olla I = π, sillä e x2 >.) Muuttujanvaihto tasointegraaleissa Kertauksena: Jos f on funktion f :[a, b] R ja g : R R on bijektio, niin b a f(t)dt = g 1 (b) g 1 (a) f(g(s))g (s)ds. Tässä integraalissa tehtiin siis muuttujanvaihto t = g(s), jolloin dt = g (s)ds. Integrointirajat muuttuvat tällöin: t = g(s) =a s = g 1 (a) ja t = g(s) =b s = g 1 (b). Kysymys: Miten tehdään muuttujanvaihto tasointegraaleissa? Olkoon S, R 2 tason alueita, missä S on suorakulmio ja olkoon T : S bijektio, T (u, v) =x(u, v)i + y(u, v)j, kun (u, v) S. Olkoon myös f funktio f : R. Miten tasointegraali f(x, y)da voidaan lausua tasointetegraalina alueen S yli? Jaetaan alueen S sivut tasavälisesti n osaan. Siten alue S jakautuu n 2 pieneen suorakulmioon. Kun nämä suorakulmiot kuvataan kuvauksella T alueeseen, jakautuu vastaaviin n 2 kaarevaan suorakulmioon. Arvioidaan alueen integraalia alueen yli summalla n 2 f(x, y)da f(t (u i,vi )) A i, i=1 missä piste (u i,v i ) on i:nnen suorakulmion keskipiste alueessa S ja siten piste T (u i,v i ) on i:nnen kaarevan suorakulmion piste alueessa. Vastaavasti A i on i:nnen kaarevan suorakulmion pinta-ala. Arvioidaan nyt pinta-alaa A i. 97

98 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Kuvassa vektori p on p = T (u+ u, v) T (u, v) =(x(u+ u, v) x(u, v))i+(y(u+ u, v) y(u, v))j = Vastaavasti saadaan x(u + u, v) x(u, v) ui + u q x y (u, v) vi + (u, v) vj. v v y(u + u, v) y(u, v) uj u x y (u, v) ui + (u, v) uj. u u Approksimoidaan nyt pinta-alaa A i vektoreiden p ja q virittämän suunnikkaan pinta-alalla, jolloin saadaan i j k A i p q = det x u u y u u x v v y v v = det x u u y u u k = det x u x v v y v v Näin saatiin siis arvio x v y u y v u v = (x, y) (u, v) u v. n 2 n 2 f(x, y)da f(t (u i,vi )) A i f(t (u i,vi )) (x, y) (u, v) u v i=1 ja kun jakopisteiden lukumäärä n lähestyy ääretöntä, saadaan f(x, y)da = f T (u, v) (x, y) (u, v) dudv. S Tämä on muuttujanvaihtokaava tasointegraalille ja kaava pätee myös silloin kun S ei ole suorakulmio. Esim. 1 i=1 Edellä todettiin geometrisesti, että muutettaessa karteesisista koordinaateista napakoordinaatteihin, täytyy lisätä kerroin r. Tarkistetaan, että yleinen muuttujanvaihtokaava antaa saman tuloksen. Olkoon S = {(r, φ) R 2 r [, 1], φ [, 2π]} ja = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. Tällöin kuvaus T : S T (r, φ) =r cos(φ)i + r sin(φ)j on bijektio ja kuvauksen Jacobin determinantti on (x, y) (u, v) = x x r φ = cos(φ) r sin(φ) sin(φ) r cos(φ) y r y φ = r. 98

99 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Jos siis f on funktio f : R, niin f(x, y)da = f T (r, φ) r dr dφ = S 2π 1 f T (r, φ)r dr dφ. Huom. f(x, y) on f:n esitys karteeesisissa koordinaateissa ja f T (r, φ) = f(r cos(φ),rsin(φ)) on f:n esitys napakoordinaateissa. Esim. 2 kun a, b >. Lasketaan ellipsin = {(x, y) R 2 x2 a + y2 b 1} pinta-ala, Asetetaan S = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} ja T (u, v) =aui + bvj. Tällöin S on bijektio S : S ja sen Jacobin determinantti on (x, y) (u, v) = a b = ab. Siten muuttujanvaihtokaavalla :n pinta-ala = 1dA = S 1 ab du dv = ab S 1du dv = πab. 99

100 Useamman muuttujan funktioiden integrointi 14.5 Avaruusintegraali Olkoon R 3 kappale ja f : R funktio. Halutaan määritellä f(x, y, z)dv = avaruusintegraali kappaleen yli. Idea: Tasointegraali osataan jo laskea, joten lisätään vain yksi dimensio mukaan samalla tavalla kuin edelliset. Vaihe 1: Oletetaan, että on suorakulmainen särmiö = {(x, y, z) R 3 x [x 1,x 2 ],y [y 1,y 2 ],z [z 1,z 2 ]} =[x 1,x 2 ] [y 1,y 2 ] [z 1,z 2 ]. Jaetaan :n kaikki särmät tasavälisesti n osaan, jolloin jakautuu n 3 suorakulmaiseen särmiöön. Tällöin integraali saadaan raja-arvona n 3 f(x, y, z)dv = lim f(x n i,yi,zi ) V i, missä (x i,y i,z i ) in i:nnen suorakulmaisen särmiön keskipiste ja V i on i:nnen särmiön tilavuus. Vaihe 2: Jos R 3 on rajoitettu (mutta ei suorakulmainen särmiö), i=1 niin määritellään f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dv, missä on suorakulmainen särmiö ja ja f(x, y, z), kun (x, y, z) f(x, y, z) =, muulloin. Huom. Vastaavasti kuin yksi- ja kaksiulotteisessa tapauksessa (kun R 3 on rajoitettu) 1 dv = :n tilavuus. Huom. Jos f(x), niin b a f(x) =käyrän y = f(x) ja x-akselin rajoittama pinta-ala välillä [a, b]. 1

101 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Jos f(x), niin f(x, y)da on pinnan z = f(x, y) ja (x, y)-tason alueen rajoittama tilavuus. Samoin f(x, y, z)dv on sen neliulotteisen kappaleen tilavuus, jota rajoittaa hyperpinta w = f(x, y, z) ja kolmeulotteinen pohja. Käytännöllisempiä tulkintoja seuraa kuitenkin sovelluksista. Esim. 1 Jos f(x, y, z) on kappaleen massajakauma (paikallinen tiheys, yksikkönä kg/m 3 ) jossakin kappaleessa, niin f(x, y, z)dv on :n kokonaismassa. Huom. Avaruusintegraalille pätee samat laskukaavat kuin tasointegraalille, esim. kun C on vakio. Cf(x, y, z)dv = C f(x, y, z)dv, Huom. Avaruusintegraali voidaan laskea myös interoituna integraalina! Esim. 2 Olkoon = {(x, y, z) R 3 x [,a], y [,b], z [,c]} ja f : R funktio. Tällöin f(x, y, z)dv = a b c f(x, y, z)dz dy dx = c a b f(x, y, z)dy dx dz =... Integroinnin voi suorittaa 3! = 6 eri järjestyksessä. Integroimisjärjestyksellä ei ole lopputuloksen kannalta väliä, mutta laskujen vaikeuteen se voi vaikuttaa ratkaisevastikin. Esim. 3 Lasketaan pintojen z =, x 2 + y 2 =1ja z = y rajoittaman kappaleen tilavuus. 11

102 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Kappale koostuu kahdesta samanmuotoisesta kiilasta, joten riittää laskea näistä toisen tilavuus ja kertoa kahdella. Toisen kiilan pohja on z =tasossa alue {(x, y) R 2 x [ 1, 1], y [, 1 x 2 } ja katto on pinta z = y. Kiila on siis kappale = {(x, y, z) R 3 x [ 1, 1], y [, 1 x 2,z [, y]}. Koko kappaleen tilavuus on siten 2 y 1 1dV =2 1 1dz dy dx 1 x 2 1 =2 1 ( y)dy dx =2 1 x = x 2( 1 2 y2 )dx 2 (1 x2 )dx = (x 1 3 x3 )= 4 3. Esim. 4 Lasketaan sen kappaleen tilavuus, jota rajaavat pinnat z = x 2 +3y 2 ja z =8 x 2 y 2. Kappale näyttää tältä: 12

103 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Kappale koostuu ala- ja yläosasta: Etsitään ensin integrointirajat. Pinnat leikkaavat toisensa, kun x 2 +3y 2 =8 x 2 y 2 x 2 +2y 2 =4 x2 4 + y2 2 =1. Leikkauskäyrän projektio (x, y) -tasoon on siis ellipsi ja koko kappaleen projektio (x, y)-tasoon on tämän ellipsin sisäpuoli R = {(x, y) R 2 x 2 +2y 2 4} = {(x, y) R 2 x [ 2, 2], y [ 2 x 2 /2, 2 x 2 /2]}. Tämä R on siten alue, jonka yli integroidaan muuttujien x ja y suhteen. Jokaisessa pisteessä (x, y) R kappale ulottuu nyt siis pinnalta z = x 2 +3y 2 pinnalle z =8 x 2 y 2 ja siten kappaleen tilavuus on V = 1dz dy dx = = 2 2 = x 2 /2 2 x 2 /2 2 x 2 /2 (8 2x 2 4y 2 )dy dx = 2 x 2 / = 2 8 x 2 y 2 2 x 2 +3y x 2 /2 2 x 2 /2 1dz dy dx (2(8 2x 2 ) 2 x 2 /2 83 (2 x2 /2) 3/2 ) dx (8(2 x 2 /2) 3/2 83 (2 x2 /2) 3/2 ) dx = 2 (8y 2x 2 y 43 y3 ) dx (2 x2 ) 3/2 dx. 13

104 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Tehdään nyt muuttujanvaihto x =2sin(u), jolloin dx = 2 cos(u)du ja integrointirajat muuttuvat x = 2 u = π/2 ja x =2 u = π/2. Tällöin V = π/2 pi/2 = /2 2 (4 4sin 2 (u)) 3/2 2 cos(u)du π/2 π/2 (1 sin 2 (u)) 3/2 cos(u)du = Nyt kaksinkertaisen kulman kaavalla saadaan π/2 π/2 cos 4 (u)du. cos 4 (u) = (1 + cos(2u))2 = 1 4 (1 + 2 cos(2u) + cos2 (2u)) ja siten = 1 4 (1 + 2 cos(2u)+1 2 (1 + cos(4u))) = 1 (3 + 4 cos(2u) + cos(4u)) 8 V = π/2 π/2 (3 + 4 cos(2u) + cos(4u))du = π =8 2π Muuttujanvaihto avaruusintegraaleissa Muuttujanvaihto yleistyy tasointegraaleista suoraan avaruusintegraaleihin ja vielä korkeampiulotteisiin integraaleihinkin. Olkoon S, R 3 kappaleita ja T : S bijektio. Merkitään T (u, v, w) = x(u, v, w)i + y(u, v, w)j + z(u, v, w)k. Jos f on funktio R, niin muuttujanvaihtokaava avaruusintegraalille on f(x, y, z)dv = f T (u, v, w) (x, y, z) (u, v, w) du dv dw. S Tässä Jacobin determinantti on (x, y, z) (u, v, w) = x u y u z u x v y v z v x w y w z w Sylinterikoordinaatisto Kolmiulotteisessa sylinterikoordinaatistossa koordinaatit ovat 14

105 Useamman muuttujan funktioiden integrointi r = pisteen etäisyys z-akselista =(x, y)-tasoon projisoidun pisteen etäisyys origosta. φ = (x, y)-tasoon projisoidun pisteen ja x -akselin välinen kulma. z = korkeus = etäisyys (x, y) -tasosta. Sylinterikoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välinen yhteys: x = r cos(φ) y = r sin(φ) z = z r = x 2 + y 2, r [, ) φ = arctan (y/x), φ [, 2π) z = z, z R. Huom. Pinnat z = vakio ovat tasoja, jotka ovat (x, y)-tason suuntaisia tasoja. Pinnat r = vakio ovat sylintereitä z-akselin ympärillä. Pinnat φ = vakio ovat (x, y) -tasoa vastaan kohtisuoria tasoja, jotka päättyvät z -akseliin. Lasketaan Jacobin determinantti sylinterikoordinaateille: (x, y, z) (r, φ, z) = x r y r z r x φ y φ z φ x z y z z z = cos(φ) r sin(φ) = sin(φ) r cos(φ) 1 cos(φ) r sin(φ) sin(φ) r cos(φ) = r(cos2 (φ)+sin 2 (φ)) = r. Esim. 1 Lasketaan sylinterin tilavuus. 15

106 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Sylinterikoordinaateissa :n esitys on S = {(r, φ, z) R 3 r [,R], φ [, 2π], z [,h]}. Kappaleen tilavuus on siten V = 1dV = h 2π R 1 r dr dφ dz = πhr 2. Yhteenvetona: Integraalin f(x, y, z)dv laskeminen sylinterikoorinaateissa: 1) Esitä f ja sylinterikoordinaateissa. 2) Korvaa dxdydz r drdφdz. 3) Aseta integroimisrajat (=:n esitys sylinterikoordinaateissa.) Esim. 2 Pyörähdyskappale. Olkoon f :[,h] R funktio ja f(z). Tällöin f määrää pyörähdyskappaleen, joka saadaan kun käyrä y = f(z) pyörähtää z-akselin ympäri. Lasketaan seuraavaksi syntyvän kappaleen tilavuus. Kappaleen esitys sylinterikoordinaateissa on {(r, φ, z) R 3 r [,f(z)], φ [, 2π], z [,h]}. Tilavuus on tällöin V = 1dV = h 2π f(z) rdrdφdz = h 2π 1 2 f(z)2 dφdz = π h f(z) 2 dz. Esim. 3 Jos tarkastellaan pyörähdyskappaletta, kun f(z) =1 z ja h =1, saadaan ympyräkartio. 16

107 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Sen tilavuus on V = π 1 (1 z) 2 dz = π 1 (z z z3 )= π 3. (Muistetaan, että ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 πr2 h, joten oikein meni.) 14.6 Pallokoordinaatit Pallokoordinaateissa koordinaatit ovat ρ = etäisyys origosta. (ρ = rho) φ = pisteen paikkavektorin ja positiivisen z -akselin välinen kulma. (φ = phi) θ =(x, y)-tasoon projisoidun pisteen paikkavektorin ja positiivisen x - akselin välinen kulma. (theta = theta) Pallokoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välinen yhteys saadaan kahdesta kuvan suorakulmaisesta kolmiosta: sin(φ) = r ρ sin(θ) = y r ja cos(φ) = z ρ cos(θ) = x r. Saadaan siis x = r cos(θ) =ρ sin(φ) cos(θ) y = r sin(θ) =ρ sin(φ)sin(θ) z = ρ cos(φ), 17

108 Useamman muuttujan funktioiden integrointi missä ρ [, ) φ [,π) θ [, 2π). Huom. Pallokoordinaateissa pinnat ρ = vakio ovat origokeskisiä pallonkuoria. Pinnat φ = vakio ovat äärettömien kartioiden kuoria. Pinnat θ = vakio ovat (x, y) -tasoa vastaan kohtisuoria tasoja, jotka päättyvät z -akseliin: Huom. Jacobin determinantti pallokoordinaateille on x x ρ φ (x, y, z) (ρ, φ, θ) = y y ρ φ z z ρ φ ρ cos(φ) cos(θ) = cos(φ) ρ cos(φ) sin(θ) x θ y θ z θ sin(φ) cos(θ) ρ cos(φ) cos(θ) ρ sin(φ) sin(θ) = sin(φ) sin(θ) ρ cos(φ) sin(θ) ρ sin(φ) cos(θ) cos(φ) ρ sin(φ) ρ sin(φ) sin(θ) sin(φ) cos(θ) ρ sin(φ) sin(θ) +ρ sin(φ) ρ sin(φ) cos(θ) sin(φ) sin(θ) ρ sin(φ) cos(θ) = cos(φ) ( ρ 2 sin(φ) cos(φ) ) + ρ sin(φ) ( ρ sin 2 (φ) ) = ρ 2 sin(φ). Saatiin siten (x, y, z) (r, φ, θ) = ρ2 sin(φ), sillä φ [,π) ja siten sin(φ). Esim. 1 Lasketaan onton kuulan = {(x, y, z) R 3 a x 2 + y 2 + z 2 b} tilavuus. 18

109 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Kappaleen esitys pallokoordinaateissa on S = {(r, φ, θ) R 3 r [a, b], φ [,π), θ [, 2π)}. Kappaleen tilavuus on siten = 2π 1dV = 1dθ π 2π π b sin(φ)dφ a b a 1 ρ 2 sin(φ)dρ dφ dθ ( ρ 2 π ) dρ =2π ( cos(φ) ( b 1 a 3 ρ3 ) = 4π 3 (b3 a 3 ). Huomataan, että tulokseksi saadaan tietysti b säteisen pallon tilavuus 4 3 πb3, josta on vähennetty a säteisen pallon tilavuus 4 3 πa3. Yhteenvetona: Integraalin f(x, y, z)dv laskeminen pallokoordinaateilla: 1) Esitä f ja pallokoordinaateilla. 2) Korvaa dv = ρ 2 sin(φ)dρ dφ dθ. 3) Aseta integrointirajat (= :n esitys pallokoordinaateissa) Esim. 2 Lasketaan jäätelötötterön tilavuus. Tarkastellaan kartiota, jonka kartio φ = π 3 leikkaa pallosta ρ =1. Kappaleen esitys pallokoordinaateissa on S = {(r, φ, θ) R 3 ρ [, 1], φ [, π ],θ [, 2π)} 3 ja siten kappaleen tilavuus on 1dV = 2π π/3 1 ρ 2 sin(φ)dρ dφ dθ = =2π 1 3 π/3 2π π/3 1 sin(φ)dφdθ 3 ( cos(φ)) = 2π 3 (1 1 2 )=π 3. Esim. 3 Lasketaan integraali 3 4 y/2+1 y/2 ( 2x y + z 2 3 ) dxdydz. Tehdään muuttujanvaihto u = 2x y 2, v = y 2 ja w = z 3. Nyt (x, y, z)-avaruuden integrointialue on = {(x, y, z) R 3 x [y/2,y/2 + 1], y [, 4], z [, 3]}. 19

110 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Uusi integrointialue saadaan tästä: x = y 2 x = y 2 2x y = u = +1 2x y 2 y = v = y =4 v =2 z = w = z =3 w =1. =1 u =1 ja siten uusi integrointialue on S = {(u, v, w) R 3 u [, 1], v [, 2], w [, 1]}. Muuttujanvaihdon Jacobin determinantti on Siten haluttu integraali on 3 4 y/2+1 y/2 1 1 (x, y, z) (u, v, w) = 2 =6. 3 ( 2x y + z 2 3 =6 ) dxdydz = (u + w)6dudvdw ( w)dvdw =6 ( 1 + w)dw = Pinnan ala Olkoon R 2 alue ja f : R funktio. Tällöin f määrää pinnan F = {(x, y, z) R 3 (x, y), z = f(x, y)}. Mikä on pinnan F ala? Oletetaan ensin, että on pieni suorakulmio. 11

111 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Arvioidaan pinta-alaa vektorien p ja q avulla: p =((x + x)i + yj + f(x + x)k) (xi + yj + f(x, y)k) ( = xi +(f(x + x, y) f(x, y)) k x i + f ) (x, y)k. x Vastaavasti saadaan ( q y j + f ) (x, y)k. y Arvio pinta-alalle S saadaan näiden vektorien virittämän suunnikkaan pinta-alana: i j k S p q = det f x x x f y y y = ( f x y)i ( f x y)j + x yk x y = 1+ ( ) f 2 + x ( ) f 2 x y y Jos siis on pieni suorakulmio jonka pinta-ala on x y, niin pinnan z = f(x, y) pinta-ala alueen yläpuolella on ( ) f 2 ( ) f 2 S = 1+ + x y. x y Arvio pinta-alalle yleisellä alueella saadaan jakamalla pieniin suorakulmioihin, soveltamalla y.o. kaavaa ja laskemalla nämä pienet pinta-alat yhteen, jolloin S n 1+ i=1 ( ) f 2 ( ) f 2 x (x i,y i ) + y (x i,y i ) x y, missä pisteet (x i,y i ) ovat pienien suorakulmioiden kulmapisteitä ja summauksessa siis summataan kaikkia pieniä suorakulmioita vastaavat pintaalat yhteen. Kun x ja y, niin x y dxdy ja summauksesta pinta-alaelementtien yli tulee integraali. Tällöin siis ( ) f 2 ( ) f 2 S = ds = 1+ (x, y) + (x, y) dxdy. x y Pinta-ala differentiaali on siis ds = joka on infinitesimaalisen pinnan ala. Esim. 1 :n ala. 1+ ( f x (x, y) ) 2 + ( f y (x, y) ) 2dxdy, Jos f(x, y) =C = vakio, niin pinnan ala on dxdy = 111

112 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Esim. 2 Pinnoilla Z = f(x, y) ja z = f(x, y)+c on sama pinta-ala. (Eli se millä korkeudelle pinta on, ei tietenkään ole merkitystä pinta-alaan.) Esim. 3 Lasketaan pinnan {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z = x 2 + y 2 } pinta-ala. Pohjana on siis kiekko = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} ja pintana paraboloidi z = f(x, y) =x 2 + y 2. Pinta-ala on siten S = 1+ f x + f y da = 1+(2x) 2 +(2y) 2 da = 1 + 4(x 2 + y 2 )dxdy. Tehdään nyt muuttujanvaihto napakoordinaatteihin, jolloin x 2 + y 2 = r 2 ja itegroitava alue on napakoordinaateissa on {(r, φ) R 2 r [, 1], φ [, 2π)} ja da = rdrdφ. Siten S = 2π 1 1+4r 2 rdrdφ =2π (1 + 4r2 ) 3/2 = π 6 (53/2 1) Massat ja momentit Olkoon kappaleen R 3 paikallinen tiheys ρ(x, y, z). Lasketaan kappaleen kokonaismassa. Ajatellaan, että kappale koostuu n kappaleesta pieniä kuutioita, joiden massat ovat m k. Tällöin m k ρ(x k,y k,z k ) V k, missä (x k,y k,z k ) on k:nnen kuution keskipiste ja V k sen tilavuus. Koko kappaleen massa on tällöin n n M = m k = ρ(x k,y k,z k ) V k ρ(x, y, z)dv, kun n. k=1 k=1 Momentit Massaelementillä m k = ρ(x k,y k,z k ) V k on tasojen x = x, y = y ja z = z suhteen momentit (x k x ) m k, (y k y ) m k ja (z k z ) m k. 112

113 Useamman muuttujan funktioiden integrointi koko kappaleen momentit näiden tasojen suhteen ovat M x=x = (x x )ρ(x, y, z)dv = M x= x M M y=y = (y y )ρ(x, y, z)dv = M y= y M M z=z = (z z )ρ(x, y, z)dv = M z= z M, missä M = ρ(x, y, z)dv on kappaleen kokonaismassa. Kappaleen massakeskipiste on se piste P =(x, y, z), jossa kaikki momentit M x=x, M y=y ja M z=z ovat nollia. Massakeskipisteen koordinaatit ovat siten Esim. 1 x = M x= M y = M x= M z = M x= M = 1 M xρ(x, y, z)dv = 1 M yρ(x, y, z)dv = 1 M zρ(x, y, z)dv. Etsitään massakeskipiste kuution muotoiselle kappaleelle, x, y, z a, jonka tiheysfunktio on ρ(x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2. Kappaleen kokonaismassa on M = a a a (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz = = a Momentti tason x =suhteen on a M x= = xρ(x, y, z)dv = = a = a x a a ( 1 3 a3 + y 2 a + z 2 a)dydz ( 1 3 a a4 + z 2 a 2 )dz = 1 3 (a5 + a 5 + a 5 )=a 5. a a a x(x 2 + y 2 + z 2 )dydzdx (x 2 a a3 + z 2 a)dzdx Massakeskipisteen x-koordinaatti on siten x(x 2 a a a4 )dx = 1 4 a a a6 = 7 12 a6. x = M x= M = 7 12 a. Symmetrian nojalla saadaan myös y = 7 12 a ja z = 7 12a. Massakeskipiste on siis piste ( 7 12 a, 7 12 a, 7 12a). (Huom. Jos massa olisi tasaisesti jakautunut, olisi massakeskipiste kuution keskipiste (a/2,a/2,a/2). Nyt kappaleen tiheys on suurempi kauempana origosta, joten massakeskipiste on myös kauempana origosta.) 113

114 Useamman muuttujan funktioiden integrointi Hitausmomentti Etäisyydellä r k pyörimisakselista olevan pistemäisen massan m k hitausmomentti on J = m k rk 2. Koko kappaleen hitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massaalkiot kappaleen yli J = lim n k=1 n rk 2 m k = lim n k=1 n rk 2 ρ(x k,y k,z k ) V k = r(x, y, z) 2 ρ(x, y, z)dv, missä r(x, y, z) on pisteen (x, y, z) etäisyys pyörimisakselista ja ρ(x, y, z) kappaleen tiheys pisteessä (x, y, z). Esim. 1 Hitausmomentit koordinaattiakselien suhteen ovat J x = (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z)dv J y = (x 2 + z 2 )ρ(x, y, z)dv J z = (x 2 + y 2 )ρ(x, y, z)dv. Huom. Mitä suurempi on kappaleen hitausmomentti, sitä suurempi momentti tarvitaan, jotta kappale saataisiin pyörimään halutulla kulmakiihtyvyydellä. Esim. 2 Lasketaan vakiotiheyttä olevan ρ =1olevan kappaleen {(x, y, z) R 3 x [ a/2,a/2], y [ b/2,b/2], z [ c/2,c/2]} hitausmomentit koordinaattiakselien suhteen: J x = =4a c/2 b/2 a/2 =8 c/2 b/2 a/2 c/2 b/2 a/2 c/2 ( 1 3 (y 2 + z 2 )dxdydz (y 2 + z 2 )dxdydz =4a c/2 b/2 (y 2 + z 2 )dydz b 3 8 +z2 b 2 )dz =4a( 1 48 b3 c c3 b)= abc 12 (b2 +c 2 )= M 12 (b2 +c 2 ), missä M = abc on kappaleen kokonaismassa. Vastaavasti saadaan J y = M 12 (a2 + c 2 ) ja J z = M 12 (a2 + b 2 ). Esim. 3 Jos edellisen esimerkin kappaleelle halutaan antaa kulmakiihtyvyys ω x-akselin ympäri, täytyy siihen kohdistaa momentti M = J x ω. Tässä momentti M = Fr, jos kappaleeseen kohdistetaan voima F 114

115 Useamman muuttujan funktioiden integrointi kohtisuorasti x -akselia vastaan etäisyydellä r akselista. Jos siis kappaletta pyöritetään x-akselin ympäri siitä päästä missä y =ja z = c/2, on r = c/2, jolloin kulmakiihtyvyyden ω aikaansaamiseksi x-akselin ympäri täytyy kappaletta pyörittää voimalla F = 2 c J xω = abc 6 kokoajan x-akselia vastaan kohtisuorasti. Hitaussäde Kappaleen hitaussäde on J r g = M, b 2 +c 2 c ω = ab 6 (b2 + c 2 ) missä J on kappaleen hitausmomentti ja M on kappaleen massa. Hitaussäde kertoo millä etäisyydellä pyörimisakselista olevaa pistemäistä kappaletta kyseinen kappale vastaa. Esim. 3 Lasketaan putken (tiheys = ρ = vakio) {(x, y, z) a 2 x 2 +y 2 b 2,z [,z]} hitausmomentti ja hitaussäde z-akselin suhteen. kuva Sylinterikoordinaateissa putki on {(r, φ, z) r [a, b], φ [, 2π), z [,c]}. Hitausmomentti on siten J z = c 2π b a r 2 ρrdrdφdz = ρc2π 1 4 (b4 a 4 )= πρc 2 (b4 a 4 ). Kappaleen hitaussäde on siten πρc(b r g = 4 a 4 )/2 1 ρcπ(b 2 a 2 = ) 2 (b2 + a 2 ). 115

116 Useamman muuttujan funktioiden integrointi 116

117 15. Vektorikentät 15.1 Vektorikentät Vektorikenttä on funktio, joka liittää määrittelyalueensa jokaiseen pisteeseen vektorin: 117

118 Vektorikentät Olkoon R 3. Tällöin F : R 3 on vektorikenttä :ssä. Vastaavasti, jos R 2, on tällöin F : R 2 vektorikenttä :ssä. Vertaa: 1) f : R R yhden muuttujan funktio 2) f : R 2 R useamman muuttujan funktio 3) c : R R 2 käyrä 4) F : R 2 R 2 vektorikenttä. Jos F : R 3 on vektorikenttä, niin merkitään F(x, y, z) =F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k, missä funktiot F 1, F 2 ja F 3 ovat F:n komponenttifunktiot. (Huom. Tässä alaindeksillä ei tarkoiteta derivaattaa!) Esim. 1 määrää vektorikentän. Esim. 2 Olkoon f : R 3 R funktio. Tällöin sen gradientti f = f x i + f y j + f z k (Gravitaatiokenttä) Tarkastellaan systeemiä, johon kuuluu origossa sijaitseva massa M ja massa m pisteessä r = xi + yj + zk. Tällöin massat vetävät toisiaan puoleensa voimalla, joka on verrannollinen massojen suuruuteen ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön. Siten massa M vetää massaa m puoleensa voimalla, joka on F(r) = kmm r r 3, missä k > on gravitaatiovakio. Kyseessä on vektorikenttä F : R 3 R 3. (Huom. F() ei ole määritelty, sillä m ja M eivät voi olla samassa pisteessä.) Puhutaan myös kappaleen aiheuttamasta gravitaatiokentästä, jolla tarkoitetaan kappaleen aiheuttamaa putoamiskiihtyvyyttä. Massan M aiheuttama gravitaatiokenttä on siis g(r) = km r r

119 Vektorikentät Esim. 3 (Sähkökenttä) Coulombin lain mukaan kahden pistemäisen varauksen välillä vaikuttaa voima, joka on verrannollinen varauksien suuruuteen ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön. Varaus Q vetää siten varausta q puoleensa voimalla, joka on F(r) = 1 4πɛ Qqr r 3. Varauksen Q aiheuttama sähkökenttä on taas Esim. 4 E = 1 4πɛ Qr r 3. (Pyörivä levy) Tarkastellaan levyä, joka pyörii kulmanopeudella Ω (yksikkönä rad/s) vastapäivään. Olkoon (x, y) =(r cos(φ),rsin(φ)) piste levyllä. Tällöin pisteen rata on josta saadaan r(t) =r cos(ωt + φ)i + r sin(ωt + φ)j, r (t) = Ωr sin(ωt + φ)i +Ωr cos(ωt + φ)j. Siten pisteen (x, y) nopeusvektori on r () = Ωr cos(φ)i +Ωr cos(φ)j =Ω( xi + yj) =Ωk r. Funktio F(x, y) =Ωk r määrää siten vektorikentän F : R 2, joka kuvaa pisteessä (x, y) olevan pisteen nopeusvektoria. Esim. 5 nopeuskenttä. Muita vektorikenttiä ovat mm. magneettikenttä, nesteen/kaasun 15.1 Vektorikentän kenttäviivat Olkoon F : R 3 vektorikenttä, missä R 3. Tällöin käyrä r :(a, b) on kenttäviiva, jos r (t) =λ(t)f(r(t)), kun t (a, b), 119

120 Vektorikentät jollain funktiolla λ :(a, b) R, jolle λ(t) >, kun t (a, b). Huom. Tämä siis tarkoittaa sitä, että jokaisessa käyrän r(t) pisteessä sen tangentti r on samansuuntainen kuin vektorikenttä F siinä samassa pisteessä. Kenttäviivat siis kuvaavat vektorikentän mukaisesti kulkevien pisteiden ratoja. Esim. 1 Jos vektorikenttä tässä on esimerkiksi nesteen nopeuskenttä, niin kenttäviiva r(t) kuvaa pienen hiukkasen rataa nesteessä. Kysymys: Miten lasketaan kenttäviivat vektorikentälle? Merkitään F = F 1 i + F 2 j + F 3 k ja r(t) =x(t)i + y(t)j + z(t)k. Jos r(t) tällöin kenttäviiva, niin r (t) =λ(t)f(r(t)) ja siten dx dt (t) =λ(t)f 1(x(t),y(t),z(t)), dy dt (t) =λ(t)f 2(x(t),y(t),z(t)), dz dt (t) =λ(t)f 3(x(t),y(t),z(t)). Saadaan siis kolme kappaletta ensimmäisen kertaluvun (epälineaarisia) differentiaaliyhtälöita dx dt (t) F 1 (x(t),y(t),z(t) = dy dt (t) F 2 (x(t),y(t),z(t) = dz dt (t) F 3 (x(t),y(t),z(t). Yhtälöt voidaan formaalisti kertoa puolittain termillä dt, jolloin saadaan Adamsin käyttämä muoto dx F 1 (x, y, z) = dy F 2 (x, y, z) = dz F 3 (x, y, z). Tämä muoto on kätevä, jos yhtälöt voidaan separoida (kts. Adams 7.9), missä tapauksessa yhtälöt saadaan sopivalla funktiolla kertomalla muotoon P (x)dx = Q(y)dy = R(z)dz. Tällöin yhtälöt voidaan ratkaista yksinkertaisesti integroimalla. Tämä on mahdollista seuraavassa esimerkissä. Esim. 1 kenttäviivat, Ω >. (Pyörivä levy) Lasketaan vektorikentän F(x, y) = Ω( yi + xj) Yhtälö kenttäviivojen komponenteille on dx Ωy = dy xdx = ydy ( x)dx = ydy, Ωx 12

121 Vektorikentät joten saadaan 1 2 x2 = 1 2 y2 C x 2 + y 2 =2C, jollakin C>. Kenttäviivat ovat siis ympyröitä Vektorikenttä napakoordinaateissa Tason vektorikenttä F : R 2 R 2 voidaan esittää napakoordinaateissa F = F(r, φ) =F r (r, φ) r + F φ (r, φ) φ. Tässä F r (r, φ) =radiaalinen komponentti. F φ (r, φ) =kohtisuora komponentti. r = paikkavektorin suuntainen yksikkövektori, eli r = cos(φ)i +sin(φ)j. φ = on kulman suuntainen yksikkövektori, eli paikkavektoria kohtisuorassa oleva yksikkövektori, eli φ = sin(φ)i + cos(φ)j. (Huom. Nyt pätee φ r =.) Huom. pätee Nyt kummatkin kantavektorit r ja φ riippuvat kulmasta φ ja d r dφ = φ. Jos on annettu käyrä napakoordinaattimuodossa r = r(φ), se voidaan esittää vektorimuodossa r(φ) = r(φ) r = r(φ) cos(φ)i + r(φ) sin(φ)j. Tämä käyrä on vektorikentän F kenttäviiva, mikäli sen tangenttivektori dr dr d r (φ) = (φ) r + r(φ) dφ dφ dφ = dr (φ) r + r(φ) φ dφ 121

122 Vektorikentät on yhdensuuntainen kenttävektorin F(r, φ) kanssa jokaisessa käyrän pisteessä. Tästä saadaan dr dφ (φ) =λ(φ)f r(r, φ), r(φ) =λ(φ)f φ (r, φ), dr dφ (φ) F r (r, φ) = r(φ) F φ (r, φ) Myös tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa dr F r (r, φ) = rdφ F φ (r, φ), joka on hyödyllinen muoto jos yhtälöt voidaan separoida. dr dφ (φ) r(φ) = F r(r, φ) F φ (r, φ). Sillä d dx ln(x) =1/x, saadaan tästä käyttämällä ketjusääntöä differentiaaliyhtälö myös muotoon Esim. 1 d dφ ln(r(φ)) = F r(r, φ) F φ (r, φ). Tarkastellaan vektorikenttää F(r, φ) = r + r φ. Tällöin siis F r =1ja F φ = r, josta saadaan kenttäviivoille yhtälö Tästä nähdään, että dr(φ) dφ dr(φ) dφ r(φ) = 1 r(φ). =1 r(φ) =φ + C. Kenttäviivat ovat siis spiraaleita, jotka voidaan esittää napakoordinaatimuodossa yhtälöllä r = φ + C Konservatiiviset kentät Nyt siis tiedetään, että jos f : R on funktio ja R 3, niin f on vektorikenttä f : R 3. Päteekö tämä toisin päin? Jos F : R 3 on annettu vektorikenttä, niin voidaanko F esittää muodossa F = Φ, 122

123 Vektorikentät jollakin funktiolla Φ: R? Jos F voidaan esittää muodossa F = Φ, niin F on konservatiivinen vektorikenttä ja Φ on F:n skalaaripotentiaali. Esim. 1 (Gravitaatiokenttä) Origossa oleva massa M aiheuttaa gravitaatiokentän (putoamiskiihtyvyyden), joka on g(r) = km r r 3. Kenttä on konservatiivinen, sillä asettamalla Φ(r) =km 1 r, pätee Huom. Φ(r) = km 1 1 r r = km r 2 r 2 r = g(r). Gradienttia laskettaessa voidaan käyttää ketjusääntöä niinkuin muissakin derivaatoissa. Eli jos g(r) =f( r ), niin g = f ( r ) r, missä r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 Huom. = 1 2x 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 i + 1 2y 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 j + 1 2z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 k xi + yj + zk = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = r r. Jos funktio Φ on vektorikentän F skalaaripotentiaali, niin funktio CΦ on vektorikentän CF skalaaripotentiaali. Huom. Edellisen esimerkin fysikaalinen potentiaali on V (r) = Φ(r) = km 1 r, joka siis kasvaa kun loitotaan origosta. Laskettaessa kappaleen potentiaalienergiaa (voiman tekemä työ siirryttäessä jostakin referenssipisteestä toisaalle) maan pinnan tuntumassa, on putoamiskiihtyvyys suunnilleen vakio g(r) g r (missä g 9.81m/s 2 ) ja tällöin kappaleeseen (massa m) vaikuttava voima F(r) mg r. Kappaleen (massa m) potentiaalienergia korkeudella h maan pinnasta on siten E(h) = R+h R F(s r) ds mg R+h R ds = mgh. Esim. 2 konservatiivinen. Vektorikenttä F = Ω( yi + xj), (x, y) R 2, Ω >, ei ole Mikäli olisi olemassa Φ:R 2 R, jolle F = Φ, niin Φ x = Ωy, Φ y =Ωx, 2 Φ y x = Ω, 2 Φ x y =Ω. 123

124 Vektorikentät Jos siis Φ on kahdesti derivoituva, niin Ω =Ω, jolloin Ω=. Tämä on ristiriidassa oletuksemme kanssa ja siten tällaista funktiota Φ ei voi olla olemassa ja F ei ole konservatiivinen. Yleisesti pätee: Olkoon F : R 3 vektorikenttä F(x, y, z) =F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k. Jos F on konservatiivinen, niin F = Φ, jollakin Φ: R. Tällöin Φ x = F 1 ja Φ y = F 2 ja Φ z = F 3, jolloin F 1 y F 2 z F 3 x = 2 Φ y x = 2 Φ x y = F 2 x, = 2 Φ z y = 2 Φ y z = F 3 y, = 2 Φ x z = 2 Φ z x = F 1 z. Saatiin siis: Jos vektorikenttä F : R 3 on konservatiivinen, niin F 1 y = F 2 x, F 2 z = F 3 y, F 3 x = F 1 z. Vastaavasti tasossa: Jos R 2 ja F : R 2 on konservatiivinen, niin F 1 y = F 2 x. Esim. 1 Tutkitaan, onko F : R 2 R 2, F(x, y) =yi +sin(x)j konservatiivinen. Koska ei kenttä ole konservatiivinen. F 1 y =1 cos(x) = F 2 x, (x, y) R2, 15.3 Tasapotentiaalipinnat ja -käyrät Jos Φ(x, y, z) on vektorikentän F : R 3 skalaaripotentiaali, niin pinnat Φ(x, y, z) =C = vakio ovat F:n tasapotentiaalipintoja. Koska F = Φ on kohtisuorassa näitä pintoja vastaan, tasapotentiaalipinnat ja kenttäviivat leikkaavat aina suorassa kulmassa. Kaksiulotteisessa tapauksessa F : R 2 yhtälö Φ(x, y) =C = vakio määrää tasapotentiaalikäyrän. Esim. 1 Edellä todettiin gravitaatiokenttä g(r) = km r konservatiiviseksi ja sen kenttäviivat ovat origon kautta kulkevia suoria. r 3 Tasapotentiaalikäyrät ovat tällöin origokeskisiä ympyröitä. 124

125 Vektorikentät Esim. 2 Olkoon vektorikenttä F : R 2 R 2 annettu muodossa F(x, y) = xi + yj x 2 + y 2, jolloin F 1 = x/(x 2 + y 2 ) ja F 2 = y/(x 2 + y 2 ). Tällöin F 1 y = 2xy (x 2 + y 2 ) 2 = F 2 x, joten vektorikenttä F voi olla konservatiivinen. (Huom. y.o. ehdosta ei siis vielä suoraan seuraa, että kenttä on konservatiivinen.) Jos nyt F = Φ, niin Tästä saadaan, että ja siten Φ x = x x 2 + y 2 ja Φ y = y x 2 + y 2. Φ(x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 )+C 1 (y) Φ y (x, y) = y x 2 + y 2 + C 1(y) = y x 2 + y 2. Siten C 1 (y) =ja saadaan C 1(y) =C = vakio. Tämä vakio ei millään tavalla vaikuta siihen, onko Φ skalaaripotentiaali ja voidaan valita C =, jolloin Φ(x, y) = 1 2 ln(x2 + y 2 ). Löydettiin siis skalaaripotentiaali ja F on konservatiivinen. Tasapotentiaalikäyrät ovat nyt käyriä eli ympyröitä. 1 2 ln(x2 + y 2 )=C x 2 + y 2 = e 2 C, 15.2 Lähde, nielu ja dipoli Lähde Ajatellaan seuraavaa tilannetta: - Koko avaruus R 3 on täytetty kokoonpuristumattomalla nesteellä. 125

126 Vektorikentät - Origosta ilmestyy nestettä nopeudella dv dt =4πm, missä m> on lähteen voimakkuus. (Nestettä siis ilmestyy esim. 4πm kuutiota sekunnissa.) - Neste leviää symmetrisesti ja tasaisesti ulospäin origosta. Nyt haluttaisiin tietää millä nopeudella neste liikkuu etäisyydellä r origosta? Olkoon r(t) pienen nestehiukkasen etäisyys origosta ajan funktiona. Nesteen tilavuus r(t) säteisen pallon sisäpuolella on V (t) = 4πr(t)3 3 ja sillä neste leviää tasaisesti ja ei puristu kokoon on tämän r(t) säteisen pallon sisäpuolelle jäävän nestemäärän muutosnopeus 4πm. Siten dv dt (t) =4πr(t)2 r (t) =4πm r (t) = m r(t) 2. Nesteen nopeuskenttä on siten v(r) = m r 2 r r = m r r 3. Huom. Näin saatu kenttä on samaa muotoa kuin gravitaatiokenttä, joten lähteen nopeuskenttä on konservatiivinen. Nielu Nyt käsitellään samaa tilannetta, mutta origossa on pumppu, joka imee nestettä nopeudella missä m on nielun voimakkuus. Nielun nopeuskenttä on tällöin ja se on konservatiivinen. ipoli dv dt = 4πm, v(r) = m r r 3 ipoli koostuu lähteestä ja nielusta, joiden kummankin voimakkuus on m>. Esim. magneetin vuoviivat: 126

127 Vektorikentät 15.3 Funktion viivaintegraali Tavoitteena on integroida funktio/vektorikenttä annetun käyrän/pinnan yli. Olkoon r :[a, b] R 3 käyrän c parametrisointi ja S R 3 pinta. Jos f : R 3 R ja F : R 3 R 3, niin laskettavia integraaleja on tällöin: 1.) I = f ds = funktion viivaintegraali c:n yli. c 2.) I = F dr = vektorikentän viivaintegraali c:n yli. c 3.) I = f ds = funktion pintaintegraali pinnan S yli. S 4.) I = F S = vektorikentän pintaintegraali pinnan S yli. S Esim. 1 Esimerkkejä edellisistä: 1.) f = ρ = langan tiheys, jolloin I = langan kokonaismassa. 2.) F = kappaleeseen kohdistuva voima, jolloin I = voiman tekemä työ. 3.) f = ρ = pinnan tiheys, jolloin I = pinnan kokonaismassa. 4.) F = nesteen nopeuskenttä, jolloin I = nesteen vuo pinnan S läpi (= pinnan läpi virtaavan nesteen määrä/aikayksikkö). Funktion viivaintegraali Olkoon R 3 (tai R 2 ) ja f : R funktio. Olkoon c käyrä ja r :[a, b] käyrän c parametrisointi siten, että dr dt, kaikilla t [a, b]. Tällöin funktion f viivaintegraali käyrän c yli on c f ds = b a f(r(t)) dr dt (t) dt. Esim. 1 Olkoon c käyrä r :[a, b] R 3. Tällöin c 1ds = b a 1 dr dt (t) dt = käyrän c pituus. Esim. 2 Jos c on ohut lanka R 3 :ssa, joka voidaan parametrisoida funktiolla r :[a, b] R 3, ja f(r(t)) on langan massatiheys (kg/m) pisteessä r(t), niin c f ds on langan kokonaismassa. 127

128 Vektorikentät Perustellaan tämä seuraavaksi. Jos f on vakio, niin c f ds = f c ds = f langan kokonaispituus = langan kokonaismassa. Jos f ei ole vakio, niin jaetaan c pieniin pätkiin c 1, c 2,..., c n. Kussakin näistä lyhyistä pätkistä f on likimain vakio f f i. Tällöin c f ds = n i=1 c i f ds n f i ds = c:n kokonaismassa, c i i=1 sillä f i c i ds on i:nnen pätkän kokonaismassa. Kun langan jakovälien pituus lähestyy nollaa, niin tilalle saadaan = merkki. Esim. 3 Lasketaan I = c f ds, kun käyrä c on yksikköympyrä, jonka parametrisoinniksi voidaan ottaa r(t) = cos(t)i +sin(t)j, t [, 2π] ja f(x, y, z) =x 2. Tällöin dr dt (t) = sin(t)i + cos(t)j ja siten dr dt (t) = 1. Nyt f(r(t)) = (cos(t)) 2 ja siten määritelmän mukaan 2π I = f(r(t)) dr dt (t) 2π dt = cos 2 (t)dt = 2π 1 (1 + cos(2t))dt = π. 2 Esim. 4 Lasketaan funktion f(x, y, z) =x 3y 2 + z viivaintegraali yli janan, jonka päätepisteet ovat origo ja (2, 1, 2). Janan parametrisoinniksi voidaan ottaa r(t) =2ti + tj +2tk, t [, 1]. Tällöin dr dt (t) =2i + j +2k, joten dr dt = = 3, ja f(r(t)) = 2t 3t 2 +2t =4t 3t 2. Siten 1 f ds = (4t 3t 2 ) 3dt =3 1 (2t2 t 3 ) = 3(2 1) = 3. c Esim. 5 Lasketaan saman funktion viivaintegraali yli murtojanan, joka koostuu janasta c 1 = OP 1 ja c 2 = P 1 P 2, missä P 1 =(2, 1, ) ja P 2 = (2, 1, 2). Murtoviivalla on siis sama alkupiste (origo) ja sama päätepiste (piste (2, 1, 2)) kuin edellisessä tehtävässä. Janan c 1 parametrisoinniksi voidaan ottaa r 1 (t) =2ti + tj, t [, 1] 128

129 Vektorikentät ja janan c 2 parametrisoinniksi Tällöin c dr 1 dt = 2i + j = 5 ja f ds = f ds + f ds = c 1 c 2 = 5 1 (2t 3t 2 )dt +2 r 2 (t) =2i + j +2tk, t [, 1]. 1 dr 2 dt 1 = 2k =2ja siten f(2t, t, ) 5dt + Saatiin siis eri tulos kuin edellisessä esimerkissä. Huom. 1 f(2, 1, 2t) 2dt (2 3+2t)dt = 5 1 (t2 t 3 )+2 1 ( t + t2 ) = 5(1 1) + 2( 1 + 1) =. Vaikka funktio olisi sama ja integroimispolun päätepisteet samat, voi integraalin tulos riippua käytetystä polusta. Kertausta 2. välikokeeseen? 15.4 Vektorikentän viivaintegraali Esim. 1 (Gravitaatiokenttä) Kun massa m putoaa matkan h lähellä maan pintaa, niin maapallon aiheuttama putoamiskiihtyvyys on likimain vakio ja siten kappaleeseen kohdistuva voima on F = mgk. Gravitaatiokentän tekemä työ on siten W = hmg = F r, missä r = hk on massan siirtymää vastaava vektori. Jos massa m ei putoakaan suoraan alas vaan liukuu matkan h kaltevaa tasoa pitkin, niin gravitaatiokentän tekemä työ on W = cos(α) h mg = F r, missä r on massan siirtymää vastaava vektori. 129

130 Vektorikentät Mikä on yleisesti vektorikentän F tekemä työ, kun massa m liikkuu käyrää c pitkin? Tarkastellaan tilannetta pienessä mittakaavassa. Olkoon r :[a, b] R 3 käyrän c parametrisointi, jolloin voiman F tekemä työ matkalla dr on dw = F dr = F dr dt dt. Integroimalla välin [a, b] yli saadaan kokonaistyöksi W = b a F(r(t)) dr dt (t)dt Otetaan tämä vektorikentän viivaintegraalin määritelmäksi: Olkoon F : R 3 vektorikenttä, R 3, ja c käyrä r :[a, b], jolle Tällöin dr dt, c F dr = kaikilla t [a, b]. b a F(r(t)) dr dt (t)dt Huom. Jos c on suljettu, eli r(a) =r(b), niin merkitään myös F dr = F dr. c c Esim. 2 (Gravitaatiokenttä) Jos kappaletta liikutetaan gravitaatiokentässä siten, että etäisyys maan pinnasta kasvaa huomattavasti, ei 13

131 Vektorikentät maapallon aiheuttama gravitaatiokenttä enää ole vakio vaan vektorikenttä g(r) = km r r 3. Tällöin massan m liikkuessa pitkin käyrää c, jonka parametrisointi on r :[a, b] R 3, gravitaatiokenttä tekee työn W = c b r(t) F(r) dr = m g(r) dr = kmm c a r(t) 3 dr dt (t)dt. Esim. 3 Lasketaan vektorikentän F(x, y, z) =(y x 2 )i +(z y 2 )j +(x z 2 )k tekemä työ yli käyrän r(t) =ti + t 2 j + t 3 k, t [, 1]. Nyt ja vektorikenttä käyrällä on dr dt (t) =i +2tj +3t2 k F(r(t)) = F(t, t 2,t 3 )=(t 2 t 2 )i +(t 3 t 4 )j +(t t 6 )k =(t 3 t 4 )j +(t t 6 )k, joten F(r(t)) dr dt (t) =2t(t3 t 4 )+3t 2 (t t 6 )=3t 3 +2t 4 2t 5 3t 8. Kentän tekemä työ on siten W = Huom. 1 1 F(r(t)) dr dt (t)dt = (3t 3 +2t 4 2t 5 3t 8 )dt = 1 (3 4 t t5 2 6 t6 3 9 t9 )= = Tarkastellaan konservatiivista vektorikenttää F : R 3. Tällöin siis F = Φ, jollakin funktiolla Φ: R. Jos r :[a, b] on käyrä niin r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, d Φ Φ(r(t)) = dt x (r(t))x (t)+ Φ y (r(t))y (t)+ Φ y (r(t))y (t) =( Φ)(r(t)) dr dr (t) =F(r(t)) dt dt (t). 131

132 Vektorikentät Integroimalla välin [a, b] yli saadaan b a F(r(t)) dr = b a d Φ(r(t))dt =Φ(r(b)) Φ(r(a)). dt Saatiin siis: Jos F = Φ on konservatiivinen vektorikenttä F : R 3 ja c on käyrä r :[a, b], jolle dr (t), dt kaikilla t [a, b], niin c F dr =Φ(r(b)) Φ(r(a)). Huom. Vertaa yksiulotteiseen tapaukseen: Jos f = F, missä f : R R ja F : R R, niin b a f(x)dx = F (b) F (a). Huom. 1. seuraus: Jos F on konservatiivinen vektorikenttä, niin c F dr riippuu ainoastaa käyrän c päätepisteistä. Huom. 2. seuraus: Jos F on konservatiivinen ja c on suljettu, niin F dr =. c Esim. 1 Olkoon F : R 2 R 2 funktio F(x, y) =yi + xj. Lasketaan I = c F dr, kun c on käyrä r(t) =ti + t k j, t [, 1], missä parametri k (, ) määrää käyrän muodon. Tapa 1. Huomataan, että F = Φ, kun Φ(x, y) =xy. Tällöin F dr =Φ(r(1)) Φ(r()) = 1 1 =1. c 132

133 Vektorikentät Tapa 2. Koska F(r(t)) = t k i + tj ja dr dt = i + ktk 1 j, saadaan määritelmän mukaan F dr = c 1 F(r(t)) dr dt (t)dt = 1 t k + t kt k 1 dt = 1 (1 + k)t k =1. Huomataan, että integraalin arvo ei riipu parametrista k, koska F on konservatiivinen Pinnat ja pintaintegraalit Mikä on pinta? Esim. 1 Pinta on kaksiulottainen objekti ja sen pisteet voidaan paikantaa kahden koordinaatin avulla. (Vrt. Käyrän pisteet voidaan esittää yhdellä koordinaatilla = parametrilla.) Parametrisoitu pinta Olkoon R 2 alue ja r : R 3 kuvaus r(u, v) =x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v). Tällöin joukko r() ={r(u, v) R 3 (u, v) } on parametrisoitu pinta, mikäli vektorit r u (u, v) ja r (u, v) v ovat lineaarisesti riippumattomat kaikilla (u, v). 133

134 Vektorikentät Esim. 1 Olkoon r : R 2 R 3 kuvaus r(u, v) = R 3. Tällöin r(r 2 )= {} R 3 eli koko taso R 2 kuvataan origoon. Tällöin r r u =ja v =ovat lineaarisesti riippuvia ja r(r 2 ) ei täten ole parametrisoitu pinta. Esim. 2 Olkoon r : R 2 R 3 kuvaus r(u, v) =vk. Tällöin Vektorit r u r(r 2 )={r(u, v) (u, v) R 2 } = {vk v R} = z-akseli. parametrisoitu pinta. =ja r v = k ovat lineaarisesti riippuvia, joten r(r2 ) ei ole Esim. 3 Olkoon r : R 2 R 3 kuvaus r(u, v) =ui + vj +(u 2 + v 2 )k. Nyt r(r 2 ) on parametrisoitu pinta, sillä vektorit r u = i +2uk ja r v = j +2vk, ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla (u, v) R 2. Huom. Vektorit r r u (u, v) ja v (u, v) ovat parametrisoidun pinnan tangenttivektorit pisteessä r(u, v) (kts. Adams 12.3). Siten ehto vektoreille r u ja r v takaa, että parametrisoidulla pinnalla on joka pisteessä 2-ulotteinen tangenttitaso. Huom. Oletetaan, että r : R 3, määrää parametrisoidun pinnan. Asetetaan n : R 3, r(u, v) =x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k n(u, v) = r r (u, v) (u, v). u v 134

135 Vektorikentät Tällöin n(u, v) on kohtisuorassa vektoreihin r r u (u, v) ja v (u, v) nähden, joten se on kohtisuorassa pisteessä r(u, v) olevaa tangenttitasoa vastaan. Vektori n(u, v) on siis pinnan normaalivektori. Lauseke normaalivektorille n Koska saadaan r u = x u i + y u j + z u k ja r v = x v i + y v j + z v k, n(u, v) = r u r v = = y u y v i j k x u x v z u z v y u y v i z u z v x u x v z u z v j + x u x v Funktion kuvaaja parametrisoituna pintana Olkoon R 2 alue ja r : R 3 kuvaus muotoa = r(u, v) =ui + vj + f(u, v)k y u y v k (y, z) (x, z) (x, y) i j + (u, v) (u, v) (u, v) k. jollain funktiolla f : R. Tällöin r() on aina parametrisoitu pinta: r u = i + f u k ja r v = j + f v k ovat lineaarisesti riippumattomat. Pinnan normaalivektori on Yleinen pinta n(u, v) = r u r =...= f v u i f v j + k. Yleinen pinta saadaan liimaamalla yhteen äärellisen monta parametrisoitua pintaa. Esim

136 Vektorikentät Huom. Pinnalla voi olla myös reuna. Jos pinnalla ei ole reunaa, niin pinta on suljettu. Esimerkiksi pallo ja kuutio ovat suljettuja pintoja. Funktion pintaintegraali Oletetaan, että r : R 3, R 2, r(u, v) =x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k määrää parametrisoidun pinnan S = r(). Oletetaan, että g : S R on pinnan massatiheys (yksikkönä kg/m 2 ). Otetaan tehtäväksi laskea pinnan massa. Määritellään p = r(u +du, v) r(u, v) = r u du q = r(u, v +dv) r(u, v) = r v dv ds = p q = r u r v du dv = n du dv. Kaarevan suorakulmion massa on tällöin noin g(r(u, v))ds = g(r(u, v)) n(u, v) du dv, joten pinnan S kokonaismassa saadaan integroimalla g(r(u, v)) n(u, v) du dv ( ) (y, z) 2 = g(r(u, v)) + (u, v) ( ) (x, z) 2 + (u, v) ( ) (x, y) 2 da =: (u, v) S g ds. Tässä viimeinen yhtäsuuruus tarkoittaa määritelmää/merkintätapaa integraalille g ds. S Sanotaan, että 136 S g ds

137 Vektorikentät on funktion g pintaintegraali pinnan S yli. Huom. (Funktion kuvaaja) Jos r : R 3 on muotoa r(u, v) =ui + vj + f(u, v)k, jollain funktiolla f : R, niin pinnan normaalivektori on S n(u, v) = f u i f v j + k. Tällöin g ds = g(r(u, v)) n(u, v) da Huom. Jos g 1, niin ( f ) 2 1dS = + u S ( f ) 2 = g(r(u, v)) + u Tulos pätee myös yleisesti pinnoille, eli 1dS = S:n ala. S ( ) f 2 +1dA = S:n ala. v ( ) f 2 +1dA. v Esim. 1 Lasketaan kokonaisvaraus pinnalla r(u, v) =e u cos(v)i + e u sin(v)j + uk, u [, 1], v [,π], kun varaustiheys on δ(u, v) = 1+e 2u. Nyt siis x(u, v) =e u cos(v), y(u, v) =e u sin(v) ja z(u, v) =u, joten (y, z) (u, v) = e u sin(v) e u cos(v) 1 = eu cos(v) (x, z) (u, v) = e u cos(v) e u sin(v) 1 = eu sin(v) (x, y) (u, v) = e u cos(v) e u sin(v) e u sin(v) e u cos(v) = e2u. Pintaelementti ds saa siis muodon ( ) (y, z) 2 ( ) (x, z) 2 ds = + + (u, v) (u, v) = ( ) (x, y) 2 da (u, v) e 2u cos 2 (u)+e 2u sin 2 (u)+e 4u da = e u 1+e 2u da. 137

138 Vektorikentät Kokonaisvaraus on tällöin S Huom. δ ds = π 1 1+e 2u e u 1+e 2u du dv = π π 1 (e u + e 3u )dudv (e e3 1 3 )dv = π(e e3 4 3 ). Esimerkin normaalivektori voidaan laskea myös suoraan määritelmästä n(u, v) = r i j k r (u, v) u v = e u cos(v) e u sin(v) 1 =... e u sin(v) e u cos(v) jollon ds = n(u, v) da. Riippuu siis täysin omasta mielihalusta kumpaa lauseketta haluaa käyttää Suunnistetut pinnat ja vuointegraalit Mikä on nesteen vuo pinnan läpi? Miten kiinnitetään positiivinen kulkusuunta pinnan läpi? Määritelmä Pinta S R 3 on suunnistuva jos löytyy jatkuva vektorikenttä N : S R 3 siten, että kaikilla r S pätee 1.) N(r) on pinnan S normaali pisteessä r, 2.) N(r) =1. Tällöin N on suunnistus pinnalle S. Huom. Jos N on suunnistus, niin myös N on suunnistus. Muita suunnistuksia ei ole. Huom. Suunnistuvalla pinnalla on kaksi puolta. Parametrisoidun pinnan suunnistukset 138

139 Vektorikentät Olkoon S = r() parametrisoitu pinta, R 2, ja r : R 3. Tällöin n(u, v) = r u r = pinnan S normaali ja n, v joten pinnan S mahdolliset suunnistukset ovat N = ± n r n = ± r u r v u r v. Funktion kuvaajan suunnistukset Olkoon S pinta S = {(x, y, f(x, y) R 3 (x, y) }, missä R 2 ja f : R on funktio. Aiemmin laskettiin pinnan S normaalivektoriksi n = f x i f y j + k, joten pinnan mahdolliset suunnistukset ovat N = ± n n = ± f ( f x x i f y j + k ) 2 ( ). 2 + f y +1 Esim. 1 (Möbiuksen nauha) 1.) Leikkaa paperiliuska:. 2.) Käännä liuskaa puoli kierrosta:. 3.) Liimaa liuskan päädyt yhteen (nuolet vastakkain). Näin syntyy pinta, jolla on vain yksi puoli ja pinta ei täten ole suunnistuva. 139

140 Vektorikentät Piirretty Mathematicalla: ParametricPlot3[{Cos[t](3+r Cos[t/2]), Sin[t](3+r Cos[t/2]), r Sin[t/2]},{r,-1,1},{t,,2 Pi}]. Reunan suunnistus Olkoon S pinta, jolla on suunnistus N. Jos c on suljettu reunakäyrä pinnalle S, niin c suunnistetaan (eli kiinnitetään c:n positiivinen kiertosuunta) säännöllä: Pinnan S reunakäyrän c positiivinen kiertosuunta on kiertosuunta, jossa S jää vasemmalle puolelle, kun ollaan pinnan positiivisella puolella. Esim. 1 Esim. 2 Huom. Suunnistettuja reunallisia pintoja voi liimata yhteen, kunhan liittymäkohdan suunnistukset menevät kohdakkain Vektorikentän pintaintegraali Esim. 1 Olkoon v = Cj nesteen nopeuskenttä, missä C> (yksikkönä m/s) on nesteen nopeus. Olkoon SR-säteinen kiekko (x, z)-tasossa. 14

141 Vektorikentät Lasketaan nesteen virtausnopeus kiekon S läpi (= nesteen vuo S:n läpi). Yhden sekunnin aikana kiekon läpi virtaa tilavuus V = πr 2 C 1 (yksikkönä m 2 m/s s = m 3 ). Vuo on siten πr 2 C. Esim. 2 Lasketaan vuo kiekon läpi, kun kiekon normaalivektori on N (eli kiekko ei olekaan kohtisuorassa virtauskenttää vastaan), N =1. Kirjoitetaan v kahdessa osassa: v =(v N)N +(v (v N)N) =v + v, missä v =(v N)N on vektorin N suuntainen osa ja v = v (v N)N on vektoria N kohtisuorassa oleva osa. Siten v ei aiheuta vuota kiekon S läpi ja vuo kiekon S läpi on (v N)πR 2. Huomioi, että koska N =1, on v N vektorin v projektio vektorin N suuntaan. Huom. N määrää nesteen positiivisen virtaussuunnan pinnan S läpi. Vuo yleisen pinnan läpi Lasketaan nyt vuo pinnan S läpi, kun pinta ei ole välttämättä tason osa ja nesteen nopeuskenttä ei ole vakio. Olkoon siis S R 3 pinta ja N : S R 3 sen suunnistus. Olkoon V : R 3 R 3 nesteen nopeuskenttä. Tarkastellaan vuota differentiaalisen pinta-ala-alkion ds läpi: 141

142 Vektorikentät Vuo pinnan ds läpi on V N ds ja näin ollen kokonaisvuo pinnan S läpi on integraali V N ds. Määritellään: V ds = V N ds. S S S Sanotaan, että V ds on vektorikentän V pintaintegraali pinnan S yli (eli vuointegraali S:n yli). S Huom. Jos V on yhdensuuntainen N:n kanssa, niin V ds >. Huom. Jos S:n suunnistus vaihtuu (N N), niin vastaavasti vuointegraalin merkki vaihtuu. Esim. 1 Olkoon F(x, y, z) =Ai+Bj+Ck, ja S on laatikko, jonka tahkot ovat koordinaattitasojen suuntaisia. S Lasketaan I = F ds = F ids + F ( i)ds + F j ds S etusivu takasivu oikea sivu + F ( j)ds + F k ds + F ( k)ds vasen sivu = AdS + kansi ( A)dS + pohja B ds etusivu + takasivu oikea sivu ( B)dS + C ds + ( C)dS =. vasen sivu kansi pohja Tulkinta: Jos F on esim. nesteen nopeuskenttä, niin laatikkoon tulee yhtä paljon nestettä kuin siitä poistuukin. Huom. Jos S on parametrisoitu pinta S = r(), R 2, r : R 3, 142

143 Vektorikentät niin tällöin N = ± n n, r missä n = u r v, ovat S:n mahdolliset suunnistukset. Tällöin S = ± V ds = S ( V(r(u, v)) V N ds = n(u, v) n(u, v) ( ) V(r(u, v)) N(r(u, v)) n(u, v) da ) n(u, v) da = ± missä ± riippuu pinnan S suunnistuksesta. Esim. 1 V(r(u, v)) n(u, v)da, Lasketaan vektorikentän F(x, y, z) =xi+yj+z 2 k vuo ylöspäin läpi parametrisoidun pinnan r(u, v) =u cos(v)i + u sin(v)j + uk, (u, v) =[, 2] [,π]. Lasketaan r = cos(v)i +sin(v)j + k u r = u cos(v)i + u cos(v)j, v joten n(u, v) = r u r v = i j k cos(v) sin(v) 1 u sin(v) u cos(v) = u cos(v)i u sin(v)j + uk. Koska lasketaan vuota ylöspäin ja vektorin n z-komponentti on positiivinen, valitaan N =+ n n. 143