ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015
Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot Nabla on ystävä Gaussin ja Stokesin lauseet 2 (19)
Karteesinen koordinaatisto (x, y, z) z x y ẑ x z ŷ y Tavallinen suorakulmainen (x, y, z)-koordinaatisto. Yksikkövektorit x, ŷ, ẑ ovat paikan suhteen vakioita. x Koordinaatisto on ortogonaalinen ja oikeakätinen: x ŷ = ŷ ẑ = ẑ x = 0 x x = ŷ ŷ = ẑ ẑ = 1 x ŷ = ẑ ŷ ẑ = x ẑ x = ŷ Sama pätee sylinteri- ja pallokoordinaatiston yksikkövektoreille, kun ( x, ŷ, ẑ ) :n sijaan käytetään ( r, φ, ẑ ) tai ( R, φ, θ ) vastaavassa järjestyksessä.
Sylinterikoordinaatisto (r, φ, z) z ẑ z φ r Koordinaatti r 0 on etäisyys z-akselista r = x 2 + y 2, 0 φ < 2π on kulma x-akselista φ r y φ = arctan y x x Huom: ja z on sama kuin karteesisessa koordinaatistossa. Yksikkövektorit r ja φ riippuvat kulmasta φ. Arkustangentti on π-periodinen. Valitse φ oikein. 4 (19)
Pallokoordinaatisto (R, θ, φ) x z θ φ r R R θ φ y Koordinaatti R 0 on etäisyys origosta R = x 2 + y 2 + z 2, 0 θ π on kulma z-akselista θ = arctan r z = arctan x 2 + y 2 z ja φ on sama kuin sylinterikoordinaatistossa. Huom: Yksikkövektorit riippuvat kulmista θ ja φ: R = R(θ, φ), θ = θ(θ, φ), φ = φ(φ) 5 (19)
Differentiaaliset pituudet Etäisyyskoordinaattien tapauksessa differentiaalinen pituus on dx, dy, dz, dr, dr. Ympyränkaaren pituus on säde kertaa kulma radiaaneissa: sylinterikoordinaatistossa: r dφ pallokoordinaatistossa: R dθ, R} sin {{ θ} dφ =r Esim: Pallokoordinaatiston tilavuusalkio dv = dr (R dθ) (R sin θ dφ) = R 2 sin θ dr dθ dφ Sylinteripinnan pinta-ala-alkio ( r on pinnan ulkonormaali) ds r = r (r dφ) dz 6 (19)
Viivaintegraaliesimerkki V = E(x, y) dl c b y x dx c V a x ŷ dy Kirjan ja kaavakokoelman mukaan karteesisen koordinaatiston viiva-alkio on dl = x dx + ŷ dy + ẑ dz mutta tästä pitää oikeastaan valita sopiva osa: V = a E(x, y) x dx + 0 b 0 E(x, y) ŷ dy 7 (19)
Koordinaattimuunnosesimerkki Sylinterikoordinaatistosta karteesiseen koordinaatistoon x sin φ y ŷ cos φ φ φ r ŷ sin φ φ r x cos φ y = r sin φ φ x = r cos φ x Yleensä r ja r eivät tietenkään ole samanpituisia: r = 1 ja [r ] = m.
Sama kaavakokoelman avulla Koordinaattien muunnokset x = r cos φ, y = r sin φ, z = z r = x 2 + y 2, φ = arctan y x, z = z Vektorikomponettien muunnokset A x cos φ sin φ 0 A y = sin φ cos φ 0 A z 0 0 1 A r cos φ sin φ 0 A φ = sin φ cos φ 0 0 0 1 A z A r A φ A z A x A y r = x cos φ + ŷ sin φ ja φ = x sin φ + ŷ cos φ A z 9 (19)
Nablaoperaatiot Nabla ( ) on vektorimuotoinen derivaatta, joka karteesisessa koordinaatistossa voidaan esittää muodossa = x x + ŷ y + ẑ z Tavallisen vektorilaskennan avulla saadaan skalaarifunktiolle V ja vektorifunktiolle A operaattorit: gradientti divergenssi roottori V A A Laplacen operaattori 2 V = ( V ) Muissa koordinaatistoissa kannattaa ehdottomasti käyttää kurssin vektorikaavakokoelmaa. 10 (19)
Gradientti Skalaarifunktion gradientti V (x, y, z) = x x V + ŷ y V + ẑ z V osoittaa funktion suurimman kasvun suuntaan ja suuruus on kasvuvauhti kyseisessä suunnassa. Esim: V = x 2 y 2 V = 2x x 2y ŷ 1 0.5 0 0.5 1 1 0.5 0 0.5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Gradientti (jatkoa) Gradientin avulla voi laskea yksikkövektori â:n suuntaisen suunnatun derivaatan: â V Tulon derivaatta ja ketjusääntö: (UV ) = V U + U V [ ( )] f V (x, y, z) = f (V ) V 12 (19)
Divergenssi Vektorifunktion divergenssi A(x, y, z) = x A x + y A y + z A z mittaa vektorikentän muuttumista vektoreiden suunnassa tai vuoviivojen hajaantumista. Vektorikenttä A on lähteetön jos A = 0. A(x, y) = 0 A(x, y) = vakio > 0
Divergenssi (jatkoa) Tällä 2D-vektorikentällä on yksi pistemäinen lähde ja yksi pistemäinen nielu, ja muualla se on lähteetön. (Kuva voisi olla kahden vastakkaismerkkisen viivavarauksen vuoviivat.) 14 (19)
Gaussin lause A dv = V S A ds V = tilavuus S = tilavuuden ulkopinta ds = n ds n = pinnan ulkonormaali Tarkastelemalla häviävän pientä tilavuutta V saadaan myös divergenssille tulkinta. 15 (19)
Roottori Vektorikentän roottori x ŷ ẑ A(x, y, z) = x y z A x A y A z mittaa kentän pyörteisyyden ja osoittaa pyörimisakselin suuntaan. Roottori on vektorikentän maksimikierto C A dl pinta-alaa kohti: [ ] 1 A = lim n A dl s 0 s C max n C 16 (19)
Roottori (jatkoa) A = y x + x ŷ A = 2 ẑ A = x x + y ŷ A = 0 17 (19)
Stokesin lause ( A) ds = S C A dl S = pinta ds = n ds n = pinnan normaali C = pinnan reunakäyrä (Reunakäyrän ja normaalin suunta oikeakätisesti kuten äsken.) Vektorikenttä A on pyörteetön eli konservatiivinen jos A = 0. 18 (19)
Toinen derivaatta nablalla Laplacen operaattori Kaksoisroottori ( V ) = 2 V = 2 x 2 V + 2 y 2 V + 2 z 2 V ( A) = ( A) 2 A Nollakaavat ( A) = 0 ( V ) = 0 Lähteetön vektorikenttä (B) voidaan esittää vektoripotentiaalin roottorina ja pyörteetön vektorikenttä (staattinen E) voidaan esittää skalaaripotentiaalin gradientilla. (Mikä tahansa vektorikenttä voidaan jakaa lähteettömään ja pyörteettömään osaan.) 19 (19)