ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 8 / versio 3. marraskuuta 2015

Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu Tasoaaltoyhtälöt ja yleinen etenemissuunta Tasoaalto häviöllisessä aineessa Hyvä johde ja hyvä eriste 2 (15)

Aikaharmoniset kentät ja osoittimet Kun oletetaan cos(ωt)-aikariippuvuus, voidaan esittää E = Re {Ẽ } e +jωt missä E = E(x, y, z; t) = hetkellinen kenttä (aina reaalinen) Ẽ = Ẽ(x, y, z) = vektorimuotoinen osoitin (kompleksivektori) Aikaderivaatta vastaa osoitinalueessa jω:lla kertomista (miksi?) t jω 3 (15)

Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Osoitinmuodossa saadaan Ẽ = jω B H = J + jω D D = ρ v B = 0 D = ε Ẽ B = µ H J = σ Ẽ Kaikki (ko)sinimuotoisesti ajasta riippuvat suureet korvataan vastaavilla osoittimilla ja aikaderivaatat jω:lla. (Ole tarkkana :n kanssa!) 4 (15)

Aaltoyhtälö (Helmholtz) Lähteettömässä ( J = 0, ρ v = 0) ja häviöttömässä (σ = 0) avaruudessa saadaan Ẽ = jωµ H, Ẽ = 0, H = jωε Ẽ, H = 0, mistä edelleen, ottamalla roottori Faradayn laista, ( ) ( ) Ẽ = jωµ H ( ) ( ) Ẽ 2 Ẽ = jωµ jωε Ẽ = ω 2 µεẽ, saadaan sähkökentälle aikaharmoninen aaltoyhtälö (Helmholtzin yhtälö) 2 Ẽ + k 2 Ẽ = 0 k 2 = ω 2 µε 5 (15)

Tasoaaltoratkaisu Oletetaan, että Ẽ = Ẽ(z), jolloin aaltoyhtälöstä saadaan minkä yleinen ratkaisu on d 2 Ẽ dz 2 + k2 Ẽ = 0, Ẽ(z) = Ẽ + e jkz + Ẽ e +jkz. Tällä ratkaisulla ei voi olla z-komponenttia (Gaussin laki). Valitaan prototyyppiratkaisuksi Ẽ = x E 0 e jkz 6 (15)

Tasoaaltoratkaisu (jatkoa) Lasketaan sähkökentän roottori Ẽ = ( x E 0 e jkz) = E 0 ( e jkz) x = ŷ ( ) jke 0 e jkz }{{} ẑ( jk)e jkz ja ratkaistaan tasoaallon magneettikenttä Faradayn laista H = 1 jωµ Ẽ = missä η = ωµ/k on väliaineimpendanssi. 1 [ ŷ ( ) ] jke 0 e jkz = ŷ E 0 jωµ η e jkz, 7 (15)

Prototyyppitasoaalto Ẽ = x E 0 e jkz H = ŷ E 0 η e jkz k = ẑ k k = ω µε k = k k η = ωµ k = λ = 2π k µ ε u p = ω k = 1 µε = etenemissuunta = aaltoluku = aaltovektori = väliaineimpedanssi = aallonpituus = vaihenopeus Tasoaalto on TEM-aalto, eli sekä E- että H-kenttä (ja niiden osoittimet) ovat kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan. 8 (15)

Tasoaaltoyhtälöt Oletetaan, että kenttien paikkariippuvuus on muotoa e jk R k = aaltovektori R = paikkavektori Tällöin Maxwellin yhtälöissä voidaan korvata Ẽ = jωµ H H = jωε Ẽ jk k Ẽ = ωµ H k H = ωε Ẽ Tasoaalto-osoittimille riittää kaksi yhtälöä, jossa ei esiinny lainkaan derivaattoja. (Entä divergenssiyhtälöt, mihin ne hävisivät?) 9 (15)

Tasoaaltoyhtälöt Tasoaaltoyhtälöistä k Ẽ = ωµ H, k H = ωε Ẽ näkee (helposti?), että Ẽ, H ja k muodostavat oikeakätisen ortogonaalisen kannan. Lisäksi saadaan ehto ( ) ( ) k k Ẽ = k ωµ H ( ) k k Ẽ Ẽ (k k) = ω 2 µεẽ k 2 = ω 2 µε Tasoaaltoyhtälöt voidaan myös esittää (näppärämmin?) etenemissuunnan k ja väliaineimpendanssin η avulla muodossa: H = 1 η k Ẽ Ẽ = η k H 10 (15)

Kompleksinen permittiivisyys Entä jos materiaalissa on johtavuutta (häviöitä)? Hävitetään johtavuusvirta Ampèren laista ( ) σ H = J + jωεẽ = σ Ẽ + jωεẽ = jω jω + ε Ẽ määrittelemällä kompleksinen permittiivisyys ε c = ε jε = ε j σ ( ω = ε 0 ε r j σ ) ωε 0 Tämä toimii yleisesti aikaharmonisessa tapauksessa ja erityisesti tasoaallon tapauksessa. 11 (15)

Tasoaalto häviöllisessä aineessa Häviöllisessä tapauksessa (σ > 0) käytetään kompleksista permittiivisyyttä ε c, jolloin +z-suuntaan etenevä prototyyppitasoaalto on Ẽ = x E 0 e γz = x E 0 e }{{ αz, γ = α + jβ = jω µε }}{{} c, amplitudi vaihe e jβz missä γ = (kompleksinen) etenemiskerroin α = vaimennuskerroin > 0 β = vaihekerroin > 0 ja väliaineimpedanssi on kompleksinen η c = µ/ε c. Tunkeutumissyvyyteen δ s = 1/α palataan ensi viikolla. 12 (15)

Johde vai eriste? Hieman työlään kaavapyörityksen jälkeen voidaan kirjoittaa vaimennus- ja vaihekertoimien lausekkeet yleiselle ε c = ε jε (ks. oppikirjan luku 7-4). Seuraavat erikoistapaukset ovat kuitenkin usein kiinnostavampia: Hyvä (tai vähähäviöinen) eriste jolla ε ε (ε > 100 ε ) Hyvä johde jolla ε ε (ε > 100 ε ) 13 (15)

Hyvä eriste (ε /ε 1) Taylor-approksimaation 1 x 1 x/2, x 1, avulla saadaan etenemiskertoimeksi γ = jω µε c = jω µ(ε jε ) = jω µε ) jω µε (1 j ε 2ε = ωε 2 1 j ε ε µ ε + jω µε = α + jβ. α σ 2 µ µ ε, β k = ω µε, η c η = ε 14 (15)

Hyvä johde (ε ε ) Approksimaation ε c jε avulla saadaan ja γ 2 = ω 2 µε c jω 2 µε = (α + jβ) 2 = α 2 + j2αβ β 2 η c = α β ω 2 µε 2 ωµσ = = 2 α β ω 2 µε 2αβ πf µσ µ j µ µ ωµ ε c ε = (1 + j) = (1 + j) 2ε 2σ. α β πf µσ, η c (1 + j) α σ 15 (15)